1、2017-2018 学年吉林省 XX 中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，A=2 ，4，5，B=1，3，5，7，则 A（ UB）= （ ）A5 B2，4 C 2，4，5，6 D1，2，3，4，5，72 （5 分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（ ）Ay=sinx By=cosx Cy=lnx Dy=x 33 （5 分）已知平面向量 =（1，2） ， =（2，m） ，且 ，则 m=（ ）A1 B1 C4 D 44 （5 分）函数 f（x ）
2、=2sin（x+ ） （0， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A B C D5 （5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ， B ，C ， D ，6 （5 分）已知 a=sin80， ， ，则（ ）Aa b c Bbac Ccab Db c a7 （5 分）已知 cos+cos= ，则 cos（ ）= （ ）A B C D18 （5 分）已知非零向量 ， 满足| |=4| |，且 （2 + ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D9 （5 分）函数 y=log0.4（x 2+3x+4）的值域是（ ）A （0 ， 2 B2，+） C （ ，2 D2，+）10 （5 分）
3、把函数 y=sin（x + ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D11 （5 分）已知函数 f（ x）和 g（x ）均为奇函数，h（x）=af（x ）+bg（x）+2在区间（0，+）上有最大值 5，那么 h（x）在（ ，0）上的最小值为（ ）A 5 B1 C3 D512 （5 分）已知函数 ，若 a，b ，c 互不相等，且f（a）=f（b） =f（c ） ，则 a+b+c 的取值范围是（ ）A （1 ，2017） B （1，2018） C2，2018 D （2，2018）二、填空题：（本大题共 4 小题
4、，每小题 5 分）13 （5 分）已知 tan=3，则 的值 14 （5 分）已知 ，则 的值为 15 （5 分）已知将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 y=g（x）的图象，则 g（x）在 上的值域为 16 （5 分）下列命题中，正确的是 已知 ， ， 是平面内三个非零向量，则（ ） = （ ） ；已知 =（sin ） ， =（1， ） ，其中 ，则；若 ，则（1tan） （1tan）的值为 2；O 是ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足：，（0，+） ，则直线 AP 一定通过ABC 的内心三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18-22 小题每小题 10 分
5、；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 =（4，3） ， =（5，12） （）求| |的值；（）求 与 的夹角的余弦值18 （12 分）已知 ， 都是锐角， ， （）求 sin 的值；（）求 的值19 （12 分）已知函数 f（ x）=cos 4x2sinxcosxsin4x（1）求 f（x）的最小正周期；（2）当 时，求 f（x ）的最小值以及取得最小值时 x 的集合20 （12 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x ）+f（x）=0当 x0 时，f（x）= 4x+82x+1（）求 f（x）的解析式；（）当 x3，1时，求 f（x）的最大值和最小值21 （
6、12 分）已知向量 =（ ） ， =（cos ） ，记 f（x）=（）求 f（x）的单调递减区间；（）若 ，求 的值；（）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位得到 y=g（x）的图象，若函数 y=g（x ） k 在 上有零点，求实数 k 的取值范围22 （12 分）已知函数 f（ x） ，当 x，y R 时，恒有 f（x+y）=f（x）+f（y） 当x0 时，f （x）0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若 ，试求 f（x ）在区间 2，6上的最值；（3）是否存在 m，使 f（2（ ） 24）+f（4m2（ ） ）0 对任意x1，2恒成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说
7、明理由2017-2018 学年吉林省 XX 中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，A=2 ，4，5，B=1，3，5，7，则 A（ UB）= （ ）A5 B2，4 C 2，4，5，6 D1，2，3，4，5，7【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，B=1，3，5，7，C UB=2，4，6，又 A=2，4，5，则 A（C UB）=2，4故选 B2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（ ）Ay=sinx By=c
8、osx Cy=lnx Dy=x 3【解答】解：y=sinx 为奇函数，且以 2 为最小正周期的函数；y=cosx 为偶函数，且以 2 为最小正周期的函数；y=lnx 的定义域为（0，+） ，不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3 为奇函数，不为周期函数故选 A3 （5 分）已知平面向量 =（1，2） ， =（2，m） ，且 ，则 m=（ ）A1 B1 C4 D 4【解答】解： ，m+4=0，解得 m=4故选：D4 （5 分）函数 f（x ）=2sin（x+ ） （0， ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A B C D【解答】解：在同一周期内，函数在 x= 时取得最大值，x= 时取得最
9、小值，函数的周期 T 满足 = = ，由此可得 T= =，解得 =2，得函数表达式为 f（x）=2sin（2x+）又当 x= 时取得最大值 2，2sin（2 +）=2，可得 += +2k（kZ ） ，取 k=0，得 =故选：A5 （5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ， B ，C ， D ，【解答】解：对于 A， ， ， 是两个共线向量，故不可作为基底对于 B， ， 是两个不共线向量，故可作为基底对于 C， ， ， 是两个共线向量，故不可作为基底 对于 D， ， ， 是两个共线向量，故不可作为基底故选：B6 （5 分）已知 a=sin80， ， ，则（ ）Aa b c Bbac
10、Ccab Db c a【解答】解：a=sin80（ 0，1） ， =2， 0，则 bac 故选：B7 （5 分）已知 cos+cos= ，则 cos（ ）= （ ）A B C D1【解答】解：已知两等式平方得：（cos +cos）2=cos2+cos2+2coscos= ， （sin +sin） 2=sin2+sin2+2sinsin= ，2+2 （coscos+sinsin）= ，即 coscos+sinsin= ，则 cos（）=coscos+sinsin= 故选 B8 （5 分）已知非零向量 ， 满足| |=4| |，且 （2 + ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D【解答】解：由
11、已知非零向量 ， 满足| |=4| |，且 （2 + ） ，可得 （2+ ）=2 + =0，设 与 的夹角为 ，则有 2 +| |4| |cos=0，即 cos= ，又因为0， ，所以 = ，故选：C9 （5 分）函数 y=log0.4（x 2+3x+4）的值域是（ ）A （0 ， 2 B2，+） C （ ，2 D2，+）【解答】解： ；有 ；所以根据对数函数 log0.4x 的图象即可得到：=2；原函数的值域为2，+ ） 故选 B10 （5 分）把函数 y=sin（x + ）图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A
12、B C D【解答】解： 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 ；再将图象向右平移 个单位，得函数 ，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知 是其图象的一条对称轴方程故选 A11 （5 分）已知函数 f（ x）和 g（x ）均为奇函数，h（x）=af（x ）+bg（x）+2在区间（0，+）上有最大值 5，那么 h（x）在（ ，0）上的最小值为（ ）A 5 B1 C3 D5【解答】解：令 F（x）=h（x ） 2=af（x）+bg（x ） ，则 F（x）为奇函数x（0，+）时，h（x）5，x（0，+）时，F（x）=h（x）23又 x（， 0）时，x （ 0，+） ，F（x）
13、3F（x ） 3F（x）3h（x）3+2=1，故选 B12 （5 分）已知函数 ，若 a，b ，c 互不相等，且f（a）=f（b） =f（c ） ，则 a+b+c 的取值范围是（ ）A （1 ，2017） B （1，2018） C2，2018 D （2，2018）【解答】解：作出函数的图象，直线 y=m 交函数图象于如图，不妨设 abc，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b ，m）关于直线 x= 对称，因此 a+b=1，当直线 y=m=1 时，由 log2017x=1，解得 x=2017，即 x=2017，若满足 f（a）=f（b ）=f（c） ， （a、b、c 互不相等） ，由 abc
14、可得 1c2017，因此可得 2a+b+c2018，即 a+b+c（2，2018 ） 故选：D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13 （5 分）已知 tan=3，则 的值 【解答】解： = = =故答案为：14 （5 分）已知 ，则 的值为 1 【解答】解： ，f（ ）= = ，f（ ） =f（ ）1=cos 1= = ， = =1故答案为：115 （5 分）已知将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 y=g（x）的图象，则 g（x）在 上的值域为 1， 【解答】解：将函数= sin2x+ =sin（2x+ ） 的图象，向左平移 个单位长度后得到 y=g（x ）=sin（2x
15、+ + ）= sin2x 的图象，在 上，2x ，sin2x ，1，sin （2x） 1， ，故 g（ x）在 上的值域为1， ，故答案为：1， 16 （5 分）下列命题中，正确的是 已知 ， ， 是平面内三个非零向量，则（ ） = （ ） ；已知 =（sin ） ， =（1， ） ，其中 ，则；若 ，则（1tan） （1tan）的值为 2；O 是ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足：，（0，+） ，则直线 AP 一定通过ABC 的内心【解答】解：已知 ， ， 是平面内三个非零向量，则（ ） = （ ）不正确，由于（ ） 与 共线， （ ）与 共线，而 ， 不一定共线，故不正确；已知 =（
16、sin ） ， =（1， ） ，其中 ，则 =sin+ =sin+|sin|=sinsin=0，则 ，故正确；若 ，则（1tan） （1tan）=1 tantan+tantan=1tan（ +） （1 tantan）+tantan=1 （ 1） （1tantan）+tantan=2，故正确； ，（0，+） ，设 = ， = ，= +（ + ） ， =（ + ） ， =（ + ） ，由向量加法的平行四边形法则可知，以 ， 为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角直线 AP 即为 A 的平分线所在的直线，即一定通过ABC 的内心，故正确故答案为：三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17
17、 小题 10 分，18-22 小题每小题 10 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 =（4，3） ， =（5，12） （）求| |的值；（）求 与 的夹角的余弦值【解答】解：（）根据题意， =（4，3） ， =（ 5， 12） 则 + =（9 ，9） ，则| + |= =9 ，（） =（4，3） ， =（5， 12） 则 =45+3（12）= 16，| |=5，| |=13，则 cos= = 18 （12 分）已知 ， 都是锐角， ， （）求 sin 的值；（）求 的值【解答】解：（）， 都是锐角，且 ， cos ， sin（ +）= ，sin=sin（ +）=
18、sin（ +）cos cos（ +）sin= ；（） =cos2=12sin2=12 19 （12 分）已知函数 f（ x）=cos 4x2sinxcosxsin4x（1）求 f（x）的最小正周期；（2）当 时，求 f（x ）的最小值以及取得最小值时 x 的集合【解答】解：f（x）=cos 2x2sinxcosxsin2x=cos2xsin2x= cos（2x+ ）（1）T=（2）20 （12 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x ）+f（x）=0当 x0 时，f（x）= 4x+82x+1（）求 f（x）的解析式；（）当 x3，1时，求 f（x）的最大值和最小值【解答】解：由 f（x
19、）+f（ x）=0当，则函数 f（x）是奇函数，且 f（0）=0，当 x0 时，f（x）=4 x+82x+1当 x0 时，x0，则 f（ x）= 4x+82x+1由 f（x）= f（x）所以：f（x ）=4 x82x1故得 f（ x）的解析式；f（x）=（）x3， 1时，令 ，t2 ，8，则 y=t28t1，其对称轴 t=42，8，当 t=4，即 x=2 时，f（x） min=17当 t=8，即 x=3 时，f（x） max=121 （12 分）已知向量 =（ ） ， =（cos ） ，记 f（x）=（）求 f（x）的单调递减区间；（）若 ，求 的值；（）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个
20、单位得到 y=g（x）的图象，若函数 y=g（x ） k 在 上有零点，求实数 k 的取值范围【解答】解：（）f（x ）= = sin cos + = sin + =sin（+ ）+ ，由 2k+ + 2k+ ，求得 4k+ x4k+ ，所以 f（ x）的单调递减区间是 4k+ ，4k+ （）由已知 f（a）= 得 sin（ + ）= ，则 a=4k+ ，k Zcos（ a）=cos（ 4k ）=1 （）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位得到 g（x）=sin（ ）+的图象，则函数 y=g（x）k=sin（ ）+ k ，所以 sin（ ）1，0 sin（ ）+ 若函数 y=g（x）k
21、在 上有零点，则函数 y=g（x）的图象与直线 y=k 在0， 上有交点，所以实数 k 的取值范围为0， 22 （12 分）已知函数 f（ x） ，当 x，y R 时，恒有 f（x+y）=f（x）+f（y） 当x0 时，f （x）0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若 ，试求 f（x ）在区间 2，6上的最值；（3）是否存在 m，使 f（2（ ） 24）+f（4m2（ ） ）0 对任意x1，2恒成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1）令 x=0，y=0，则 f（0）=2f（0） ，f（ 0）=0令 y=x，则 f（0）=f（x）+f（x） ，f （x ）=
22、f（x） ，即 f（x）为奇函数；（2）任取 x1，x 2R，且 x1x 2f（ x+y）=f（x）+f（y） ，f（ x2）f（x 1）=f（x 2x1） ，当 x0 时，f（x）0，且 x1x 2，f（ x2x1）0，即 f（x 2）f （x 1） ，f（ x）为增函数，当 x=2 时，函数有最小值，f（x ） min=f（ 2）= f（2）= 2f（1）=1当 x=6 时，函数有最大值，f（x） max=f（6）=6f（1）=3；（3）函数 f（x）为奇函数，不等式 可化为，又f（ x）为增函数， ，令 t=log2x，则 0t 1，问题就转化为 2t242t4m 在 t0，1上恒成立，即 4m2t 2+2t+4 对任意 t0，1恒成立，令 y=2t2+2t+4，只需 4my max，而 （0t1） ，当 时， ，则 m 的取值范围就为
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