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    2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

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    2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

    1、2016-2017 学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷一.选择题(每小题 4 分,共 32 分,每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1 (4 分)已知集合 U=1,2,3,4,5,6,M=1,5,P=2,4,则下列结论正确的是( )A1 U(MP ) B2 U(M P ) C3 U(MP) D6 U(MP)2 (4 分)下列函数在区间(,0)上是增函数的是( )Af (x)=x 24x Bg(x) =3x+1Ch (x )=3 x Dt (x)=tanx3 (4 分)已知向量 =( 1,3 ) , =(3,t) ,若 ,则实数 t 的值为( )A 9 B1 C1 D94 (4

    2、 分)下列函数中,对于任意的 xR,满足条件 f(x )+f(x)=0 的函数是( )Af (x)=x Bf(x)=sinx Cf(x)=cosx Df (x)=log 2(x 2+1)5 (4 分)代数式 sin( + )+cos( )的值为( )A 1 B0 C1 D6 (4 分)在边长为 1 的正方形 ABCD 中,向量 = , = ,则向量 ,的夹角为( )A B C D7 (4 分)如果函数 f(x)=3sin(2x+)的图象关于点( ,0)成中心对称(| ) ,那么函数 f(x)图象的一条对称轴是( )Ax= Bx= Cx= Dx=8 (4 分)已知函数 f(x)= 其中 MP=R

    3、,则下列结论中一定正确的是( )A函数 f(x)一定存在最大值 B函数 f(x)一定存在最小值C函数 f(x)一定不存在最大值 D函数 f(x)一定不存在最小值二.填空题(本大题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)9 (4 分)函数 y= 的定义域为 10 (4 分)已知 a=40.5,b=0.5 4,c=log 0.54,则 a,b,c 从小到大的排列为 11 (4 分)已知角 终边上有一点 P(x,1) ,且 cos= ,则 tan= 12 (4 分)已知ABC 中,点 A( 2,0 ) ,B (2,0) ,C(x,1)(i)若 ACB 是直角,则 x= (ii)若ABC 是锐角三角

    4、形,则 x 的取值范围是 13 (4 分)燕子每年秋天都要从北方到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 若两岁燕子耗氧量达到40 个单位时,其飞行速度为 v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时,耗氧量达到 单位14 (4 分)已知函数 f( x)=|ax 1|(a 1)x(1)当 a= 时,满足不等式 f(x)1 的 x 的取值范围为 ;(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点,则实数 a 的取值范围为 三.解答题(本大题共 4 小题,共 44 分)15 (12 分)已知函数 f( x)=x 2+bx+c,其对称轴

    5、为 y 轴(其中 b,c 为常数)()求实数 b 的值;()记函数 g(x)=f( x)2,若函数 g(x )有两个不同的零点,求实数 c 的取值范围;()求证:不等式 f(c 2+1)f(c )对任意 cR 成立16 (12 分)已知如表为“五点法”绘制函数 f(x)=Asin(x+ )图象时的五个关键点的坐标(其中 A0, 0,|)x f(x) 0 2 0 2 0()请写出函数 f(x)的最小正周期和解析式;()求函数 f(x)的单调递减区间;()求函数 f(x)在区间 0, 上的取值范围17 (10 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A( ,0) ,B( ,0) ,锐角 的终边与单位圆

    6、O 交于点 P()用 的三角函数表示点 P 的坐标;()当 = 时,求 的值;()在 x 轴上是否存在定点 M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出点M 的横坐标;若不存在,请说明理由18 (10 分)已知函数 f( x)的定义域为 R,若存在常数 T0,使得 f(x)=Tf(x+T)对任意的 xR 成立,则称函数 f(x)是 函数()判断函数 f(x)=x,g(x)=sinx 是否是 函数;(只需写出结论)()说明:请在(i) 、 (ii)问中选择一问解答即可,两问都作答的按选择(i)计分(i)求证:若函数 f(x)是 函数,且 f(x )是偶函数,则 f(x)是周期函数;(ii)求证:

    7、若函数 f(x)是 函数,且 f(x)是奇函数,则 f(x)是周期函数;()求证:当 a1 时,函数 f(x )=a x 一定是 函数选做题(本题满分 10 分)19 (10 分)记所有非零向量构成的集合为 V,对于 , V, ,定义 V(, )=|xV|x =x |(1)请你任意写出两个平面向量 , ,并写出集合 V( , )中的三个元素;(2)请根据你在(1)中写出的三个元素,猜想集合 V( , )中元素的关系,并试着给出证明;(3)若 V( , )=V ( , ) ,其中 ,求证:一定存在实数 1, 2,且1+2=1,使得 =1 +2 2016-2017 学年北京市海淀区高一(上)期末数

    8、学试卷参考答案与试题解析一.选择题(每小题 4 分,共 32 分,每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1 (4 分)已知集合 U=1,2,3,4,5,6,M=1,5,P=2,4,则下列结论正确的是( )A1 U(MP ) B2 U(M P ) C3 U(MP) D6 U(MP)【解答】解:由已知得到 MP= 1,5,2,4;所以 U(M P)=3,6;故A、B 、D 错误;故选:C2 (4 分)下列函数在区间(,0)上是增函数的是( )Af (x)=x 24x Bg(x) =3x+1Ch (x )=3 x Dt (x)=tanx【解答】解:对于 A,f( x)=x 24x=(x2

    9、) 24,在(,0)上是单调减函数,不满足题意;对于 B,g(x)=3x +1 在( ,0)上是单调增函数,满足题意;对于 C,h(x)=3 x= 是(,0)上的单调减函数,不满足题意;对于 D,t(x)=tanx 在区间( ,0)上是周期函数,不是单调函数,不满足题意故选:B3 (4 分)已知向量 =( 1,3 ) , =(3,t) ,若 ,则实数 t 的值为( )A 9 B1 C1 D9【解答】解:向量 =(1, 3) , =(3,t) ,若 ,可得 t=9故选:D4 (4 分)下列函数中,对于任意的 xR,满足条件 f(x )+f(x)=0 的函数是( )Af (x)=x Bf(x)=s

    10、inx Cf(x)=cosx Df (x)=log 2(x 2+1)【解答】解:对于任意的 xR,满足条件 f(x )+f(x)=0 的函数是奇函数A,非奇非偶函数;B 奇函数,C,D 是偶函数,故选 B5 (4 分)代数式 sin( + )+cos( )的值为( )A 1 B0 C1 D【解答】解:sin( + )+cos ( )= 故选:C6 (4 分)在边长为 1 的正方形 ABCD 中,向量 = , = ,则向量 ,的夹角为( )A B C D【解答】解:设向量 , 的夹角为 ,以 A 为坐标原点,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 x 轴,建立直角坐标系,A(0,0 ) , B(1.

    11、0) ,C(1,1) ,D(0,1) ,向量 = , = ,E ( ,1) ,F(1, ) , =( , 1) , =(1 , ) ,| |= , = , = + = ,cos= = = ,= ,故选:B7 (4 分)如果函数 f(x)=3sin(2x+)的图象关于点( ,0)成中心对称(| ) ,那么函数 f(x)图象的一条对称轴是( )Ax= Bx= Cx= Dx=【解答】解:函数 f(x )=3sin(2x+)的图象关于点( ,0 )成中心对称,2 +=k,kZ,解得:=k ,kZ,| ,= ,可得:f(x)=3sin(2x+ ) ,令 2x+ =k+ ,k Z,可得:x= + ,kZ,

    12、当 k=0 时,可得函数的对称轴为 x= 故选:B8 (4 分)已知函数 f(x)= 其中 MP=R,则下列结论中一定正确的是( )A函数 f(x)一定存在最大值 B函数 f(x)一定存在最小值C函数 f(x)一定不存在最大值 D函数 f(x)一定不存在最小值【解答】解:由函数 y=2x 的值域为(0,+) ,y=x2 的值域为0 ,+) ,且 M P=R,若 M=(0,+) ,P=(,0,则 f(x)的最小值为 0,故 D 错;若 M=(,2) ,P=2 ,+) ,则 f(x)无最小值为,故 B 错;由 M P=R,可得图象无限上升,则 f(x)无最大值故选:C二.填空题(本大题 6 小题,

    13、每小题 4 分,共 24 分)9 (4 分)函数 y= 的定义域为 2,+) 【解答】解:由 2x40,得 2x4,则 x2函数 y= 的定义域为 2,+) 故答案为:2,+) 10 (4 分)已知 a=40.5,b=0.5 4,c=log 0.54,则 a,b,c 从小到大的排列为 cb a 【解答】解:a=4 0.54 0=1,0b=0.5 40.5 0=1,c=log0.54log 0.51=0,a ,b ,c 从小到大的排列为 cba故答案为:cba11 (4 分)已知角 终边上有一点 P(x,1) ,且 cos= ,则 tan= 【解答】解:角 终边上有一点 P(x,1) ,且cos

    14、= = ,x= ,tan= = ,故答案为: 12 (4 分)已知ABC 中,点 A( 2,0 ) ,B (2,0) ,C(x,1)(i)若 ACB 是直角,则 x= (ii)若ABC 是锐角三角形,则 x 的取值范围是 (2, )(2,+) 【解答】解:(i)ABC 中,点 A( 2,0) ,B(2,0) ,C(x,1) , =( 2x,1) , =(2 x, 1) ,ACB 是直角, =( 2x) (2x)+( 1) (1)=x 23=0,解得 x= (ii)ABC 中,点 A(2,0) ,B(2,0) ,C (x,1) , =( 2x,1) , =(2 x, 1) , =(x+2,1)

    15、, =(4,0) , =(x2,1) ,=( 4,0) ,ABC 是锐角三角形, ,解得2x 或 x2x 的取值范围是(2, )(2,+) 故答案为: , (2, )(2,+) 13 (4 分)燕子每年秋天都要从北方到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 若两岁燕子耗氧量达到40 个单位时,其飞行速度为 v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时,耗氧量达到 320 单位【解答】解:由题意,令 x=40,v=10 10=alog24;所以 a=5;v=25 m/s,25=5 log ,得到 x=320 单位故答案为:3201

    16、4 (4 分)已知函数 f( x)=|ax 1|(a 1)x(1)当 a= 时,满足不等式 f(x)1 的 x 的取值范围为 (2,+) ;(2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点,则实数 a 的取值范围为 ,1) 【解答】解:(1)a= 时,f (x)=| x1|+ x= ,f( x)1, ,解得 x2,故 x 的取值范围为(2,+ ) ,(2)函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点,当 a1 时,f (x )=|ax 1|与 g(x)=(a 1)x 的图象:两函数的图象恒有交点,当 0a1 时,f (x )=|ax 1|与 g(x)= (a 1) x 的图象:要使两个图象无交点,斜率

    17、满足:a1 a,a ,故 a1当 a0 时,f (x )=|ax 1|与 g(x)=(a 1)x 的图象:两函数的图象恒有交点,综上知: a1故答案为:(2,+) , ,1)三.解答题(本大题共 4 小题,共 44 分)15 (12 分)已知函数 f( x)=x 2+bx+c,其对称轴为 y 轴(其中 b,c 为常数)()求实数 b 的值;()记函数 g(x)=f( x)2,若函数 g(x )有两个不同的零点,求实数 c 的取值范围;()求证:不等式 f(c 2+1)f(c )对任意 cR 成立【解答】解:()函数 f(x )=x 2+bx+c,其对称轴为 y 轴, =0,解得:b=0; ()

    18、由(I)得: f(x )=x 2+c,则 g( x)=f(x)2=x 2+c2,若函数 g(x )有两个不同的零点,则= 4(c2)0,解得:c2 ; ()证明:函数 f(x) =x2+c 的开口朝上,|c 2+1|2|c|2=c4+c2+1=(c 2+ ) 2+ 0 恒成立,故|c 2+1|c |,故不等式 f(c 2+1)f(c )对任意 cR 成立16 (12 分)已知如表为“五点法”绘制函数 f(x)=Asin(x+ )图象时的五个关键点的坐标(其中 A0, 0,|)x f(x) 0 2 0 2 0()请写出函数 f(x)的最小正周期和解析式;()求函数 f(x)的单调递减区间;()求

    19、函数 f(x)在区间 0, 上的取值范围【解答】解:()由表格可得 A=2, = + ,=2,结合五点法作图可得 2 += ,= ,f( x)=2sin(2x+ ) ,它的最小正周期为 =()令 2k+ 2x+ 2k+ ,求得 k+ xk+ ,可得函数 f(x)的单调递减区间为 k+ ,k+ ,k Z()在区间0, 上,2x + , ,sin(2x+ ) ,1,f(x) ,2,即函数 f(x )的值域为 ,217 (10 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A( ,0) ,B( ,0) ,锐角 的终边与单位圆 O 交于点 P()用 的三角函数表示点 P 的坐标;()当 = 时,求 的值;()在

    20、x 轴上是否存在定点 M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出点M 的横坐标;若不存在,请说明理由【解答】解:锐角 的终边与单位圆 O 交于点 P()用 的三角函数表示点 P 的坐标为(cos ,sin) ;() , , = 时,即(cos ) (cos )+sin 2= ,整理得到 cos ,所以锐角 =60;()在 x 轴上假设存在定点 M,设 M(x,0) , ,则由| |= | |恒成立,得到 = ,整理得2cos(2+x)=x 24,所以存在 x=2 时等式恒成立,所以存在 M( 2,0 ) 18 (10 分)已知函数 f( x)的定义域为 R,若存在常数 T0,使得 f(x)=

    21、Tf(x+T)对任意的 xR 成立,则称函数 f(x)是 函数()判断函数 f(x)=x,g(x)=sinx 是否是 函数;(只需写出结论)()说明:请在(i) 、 (ii)问中选择一问解答即可,两问都作答的按选择(i)计分(i)求证:若函数 f(x)是 函数,且 f(x )是偶函数,则 f(x)是周期函数;(ii)求证:若函数 f(x)是 函数,且 f(x)是奇函数,则 f(x)是周期函数;()求证:当 a1 时,函数 f(x )=a x 一定是 函数【解答】解:(I)对于函数 f(x)=x 是 函数,假设存在非零常数T,Tf(x+T)=f(x) ,则 T(x +T)=x,取 x=0 时,则

    22、 T=0,与 T0 矛盾,因此假设不成立,即函数 f(x )=x 不是 函数对于 g(x )=sinx 是 函数,令 T=1,则 sin( x)=sin ( x)=sinx即sin(x1) )=sinxTsin(x+T)=sinx 成立,即函数 f(x)=sinx 对任意 xR,有 Tf(x+T)=f(x)成立(II) (i )证明: 函数 f(x)是 函数,存在非零常数 T,Tf(x+T )=f (x ) ,Tf(x +T)=f(x) 又 f(x)是偶函数,f( x)=f(x ) ,Tf (x+T )=Tf(x +T) ,T0,化为:f(x+T)=f(x+T) ,令 xT=t,则 x=T+t

    23、,f(2T +t)=f (t)=f (t ) ,可得: f(2T+t )=f (t ) ,因此函数 f(x)是周期为 2T 的周期函数(ii)证明: 函数 f(x)是 函数,存在非零常数 T,Tf(x+T )=f (x ) ,Tf(x +T)=f(x) 又 f(x)是奇函数,f( x)=f(x) ,Tf (x +T)=Tf(x+T) ,T 0,化为:f(x+T)=f(x+T) ,令 xT=t,则 x=T+t,f (2T+t)=f( t)= f(t ) ,可得:f (2T+t)=f(t) ,因此函数 f( x)是周期为 2T 的周期函数(III)证明:当 a1 时,假设函数 f(x)=a x 是

    24、 函数,则存在非零常数T,Tf(x+T)=f(x) ,Ta x+T=ax,化为:Ta Tax=ax,a x0,Ta T=1,即 aT= ,此方程有非 0 的实数根,因此 T0 且存在,当 a1 时,函数 f(x )=a x 一定是 函数选做题(本题满分 10 分)19 (10 分)记所有非零向量构成的集合为 V,对于 , V, ,定义 V(, )=|xV|x =x |(1)请你任意写出两个平面向量 , ,并写出集合 V( , )中的三个元素;(2)请根据你在(1)中写出的三个元素,猜想集合 V( , )中元素的关系,并试着给出证明;(3)若 V( , )=V ( , ) ,其中 ,求证:一定存

    25、在实数 1, 2,且1+2=1,使得 =1 +2 【解答】解:(1)比如 =(1,2) , =(3,4) ,设 =(x,y) ,由 = ,可得 x+2y=3x+4y,即为 x+y=0,则集合 V( , )中的三个元素为( 1,1) , (2,2) , (3, 3) ;(2)由(1)可得这些向量共线理由:设 =( s,t ) , =( a,b ) , =(c ,d ) ,由 = ,可得 as+bt=cs+dt,即有 s= t,即 =( t,t) ,故集合 V( , )中元素的关系为共线;(3)证明:设 =(s,t ) , =(a,b ) , =(c ,d) ,=( u, v) , =(e,f ) ,若 V( , )=V ( , ) ,即有 as+bt=cs+dt,au+bv=ue+fv,解得 a= c+ e+ ,可令 d=f,可得 1= ,2= ,则一定存在实数 1, 2,且 1+2=1,使得 =1 +2


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