1、2024年高考数学复习：平面向量一选择题（共8小题）1在平行四边形ABCD中，设，则x+y（）A1BCD2若向量，满足|3，|1，|2，则（）A0BCD33在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a：b：c3：2，则B等于（）ABCD4已知向量（1，1），（2，x），若，则|（）AB3CD25如图，在ABC中，AB，若MNBC，则cosA的值为（）ABCD6已知向量满足，则（）A1B2C3D47已知向量、不共线，且，若与共线，则实数x的值为（）A1BC1或D1或8如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且，则x+2y的值为（）A0BCD1二多选题（共4小题）（多选）9（2023春福州期中
2、）若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积，则（）ABC若b3，则ac10D（多选）10（2023秋潮安区校级月考）已知向量，函数，则（）Af（x）的最大值为2B直线是f（x）图象的一条对称轴C点是f（x）图象的一个对称中心Df（x）在上单调递减（多选）11（2023春仙游县校级期中）下列说法中正确的是（）A若，则B若两个非零向量，满足，则与共线且反向C若对平面内的任意一点O，有，且x+y1，则A，B，C三点共线D若，且与夹角为锐角，则（多选）12（2023五华区校级模拟）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A若，则x2BBAC为锐角的充要条件是C若O为ABC所在平
3、面内一点，且，则O为ABC的重心D若，且，则ABC为等边三角形三填空题（共5小题）13（2023春金凤区校级月考）已知，则向量与向量的夹角为钝角时t的取值范围是 14（2023贵州开学）设O为ABC的外心，AB6，AC8，则 15（2023春会宁县校级期中）已知，则在上的投影向量为 16（2023春漳州期末）ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a4，A30，试写出一个b值，使该三角形有两解，则满足题意的b的值可以是 17已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b）：（b+c）：（c+a）4：6：5，则sinC 四解答题（共5小题）18（2023秋怀仁市校级月考
4、）已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（b+c）2a2+（2+）bc（1）求sinA的值；（2）如图，D为AB上的一点，且AD2BD，若BCD2ACD，B为锐角，求cosBCD，sinB的值19（2023春河南月考）已知平面四边形ABCD中，CD3，AD4，且四边形ABCD有外接圆E（1）求角D的大小；（2）求tanDAC的值20（2023春开福区校级月考）如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且（1）求实数的值；（2）若M是线段BC上的动点，求的取值范围21（2023春全南县校级期末）已知向量，求：（1）若，且，求的坐标；（2）若，求m+n；（3）若，求k的值2
5、2（2023春漳州期末）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，且（1）求B；（2）求2a+c的最大值参考答案解析一选择题（共8小题）1在平行四边形ABCD中，设，则x+y（）A1BCD【考点】平面向量的基本定理；向量数乘和线性运算【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【答案】B【分析】分别利用与表示，进而确定，即可得解【解答】解：如图所示，因为，所以，所以，所以，故故选：B2若向量，满足|3，|1，|2，则（）A0BCD3【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】D【分析】由已知结合向量数量积的性质即可直接求解【解答】
6、解：因为|3，|1，|2两边平方得 22+292+14，所以3故选：D3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a：b：c3：2，则B等于（）ABCD【考点】余弦定理；正弦定理【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】C【分析】由，设，利用余弦定理求解【解答】解：在ABC中，设，由余弦定理得，因为B（0，），所以故选：C4已知向量（1，1），（2，x），若，则|（）AB3CD2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】A【分析】根据向量共线的规则求出x，再根据向量的坐标运算规则求解【解答
7、】解：，x20，解得x2，（2，2），又（1，1），（3，3），|3故选：A【点评】本题主要考查了平行向量的坐标关系，考查了向量的坐标运算，属于基础题5如图，在ABC中，AB，若MNBC，则cosA的值为（）ABCD【考点】平面向量的基本定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算，推出+，再由0，结合平面向量数量积的运算法则，得解【解答】解：+（）+（）（）+（）+，因为MNBC，所以（+）（）2+23cosA+20，解得cosA故选：A【点评】本题考查平面向量的基本定理，熟练掌
8、握平面向量的加法、减法和数乘运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题6已知向量满足，则（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】A【分析】根据题意结合向量数量积的运算律得到方程组，运算求解即可【解答】解：，又，即，由4解得：，故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算及其模，属于基础题7已知向量、不共线，且，若与共线，则实数x的值为（）A1BC1或D1或【考点】向量相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】C【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数
9、x的等式，解之即可【解答】解：因为与共线，则存在kR，使得，即，因为向量、不共线，则，整理可得x（2x1）1，即2x2x10，解得或1故选：C【点评】本题主要考查了共线向量基本定理的应用，属于基础题8如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且，则x+2y的值为（）A0BCD1【考点】平面向量的基本定理【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】C【分析】根据向量的线性运算，即可求解【解答】解：已知D点在三角形ABC的边BC上，且，则，所以，则故选：C【点评】本题考查了平面向量的运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题二多选题（共4小题）（多选）9（2023春福州期中）若ABC的内
10、角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积，则（）ABC若b3，则ac10D【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】AB【分析】根据面积公式以及正弦定理可判断A，根据余弦的和差角公式即可判断B，根据正弦定理可判断C，根据弦切互化可判断D【解答】解：由题意可得：，可得，由正弦定理可得：，B（0，），sinB0，可得，故A正确；又，A+C（0，），则，故B正确；对于C，若b3，则，故C错误；对于D，故D错误故选：AB【点评】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题（多选）10（2023
11、秋潮安区校级月考）已知向量，函数，则（）Af（x）的最大值为2B直线是f（x）图象的一条对称轴C点是f（x）图象的一个对称中心Df（x）在上单调递减【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；数学运算【答案】ACD【分析】根据向量数量积求出f（x）解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可【解答】解：已知向量，函数，则，对于选项A，f（x）的最大值为2，即选项A正确；对于选项B，因为，即选项B错误；对于选项C，即选项C正确；对于选项D，令，kZ，解得，kZ，所以f（x）的单调递减区间为，kZ，即选项D正确故
12、选：ACD【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题（多选）11（2023春仙游县校级期中）下列说法中正确的是（）A若，则B若两个非零向量，满足，则与共线且反向C若对平面内的任意一点O，有，且x+y1，则A，B，C三点共线D若，且与夹角为锐角，则【考点】向量相等与共线；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】BC【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，平面向量基本定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：若，则不一定成立，例如当时，则和是任意向量，故A错误；若两个非零向量，满足，则与共线且
13、反向，故B正确；对平面内的任意一点O，有，且x+y1，则A，B，C三点共线，故C正确；若，且与夹角为锐角，则 、不共线且cos ，为正数，且2+30，6且，故D错误，故选：BC（多选）12（2023五华区校级模拟）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A若，则x2BBAC为锐角的充要条件是C若O为ABC所在平面内一点，且，则O为ABC的重心D若，且，则ABC为等边三角形【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】AD【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；利用充分与必要条件的定义，向量夹角公式，判断B；利用数量积的运算律
14、及垂直关系的向量表示判断C；利用数量积的运算律及定义计算判断D作答【解答】解：对于A选项，且，2x4，x2，A选项正确；对于B选项，当时，cosBAC0，B选项错误；对于C选项，在ABC中，由，可得，即OBCA，同理OCBA，OABC，O为ABC的垂心，C选项错误；对于D选项，又，ABC为等边三角形，D选项正确故选：AD三填空题（共5小题）13（2023春金凤区校级月考）已知，则向量与向量的夹角为钝角时t的取值范围是 t|t2且t8【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；数学运算【答案】t|t2且t8【分析】由向量夹角是钝角，得cos，（1，0），即数量积小于
15、0，且两向量不共线，由此列不等式组求出实数t的取值范围【解答】解：因为，向量与向量的夹角为钝角，所以cos，（1，0），所以4+2t0，且向量与向量不共线，即，解得t2且t8，所以t的取值范围是t|t2且t8故答案为：t|t2且t8【点评】本题考查了平面向量的夹角是钝角应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题14（2023贵州开学）设O为ABC的外心，AB6，AC8，则14【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学建模；数学运算【答案】14【分析】由题意画图，结合数量积几何意义和定义求解即可【解答】解：如图所示，过点O分别作AB、AC的垂线，垂足分别为
16、D、E，则在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，因为O为ABC的外心，所以，所以，所以故答案为：14【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义，属中档题15（2023春会宁县校级期中）已知，则在上的投影向量为 【考点】投影向量；平面向量数量积的性质及其运算【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【答案】【分析】由投影向量的定义求结果即可【解答】解：由题意，在上的投影向量为故答案为：16（2023春漳州期末）ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a4，A30，试写出一个b值，使该三角形有两解，则满足题意的b的值可以是 5（答案不唯一）【考点】解三角形；正弦定理【专题】
17、转化思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】5（答案不唯一）【分析】利用正弦定理求出sinB，然后根据三角形有两解得到ba，sinB1即可求得【解答】解：由正弦定理有：，ABC有两解，BA，即，4b8满足题意的b的取值范围为：（4，8）故答案为：5（答案不唯一）【点评】本题考查正弦定理和三角形的解的个数问题，属于基础题17已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b）：（b+c）：（c+a）4：6：5，则sinC【考点】余弦定理【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算【答案】【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解【解答】解：设 a+b8t，则 b+c12t，c+a10
18、t，三式联立解得a3t，b5t，c7t，由余弦定理得cosC，所以 故答案为：四解答题（共5小题）18（2023秋怀仁市校级月考）已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（b+c）2a2+（2+）bc（1）求sinA的值；（2）如图，D为AB上的一点，且AD2BD，若BCD2ACD，B为锐角，求cosBCD，sinB的值【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】（1）；（2），【分析】（1）由已知等式结合余弦定理求出cosA，再由同角公式可得sinA；（2）分别在ADC和BCD中由正弦定理得，得，得sinBcos，得，再根据A+B+C
19、，得，得，再根据二倍角公式和诱导公式可求出sinB【解答】解：（1）可化为，由余弦定理得，A（0，），（2）设ACD，由BCD2ACD可得BCD2，在ADC中，由正弦定理得，得，可得，在BCD中，由正弦定理得，可得，可得，得，又因为sin0，所以sinBcos，又由B，为锐角，得，得，可得，又由A+B+C，得，可得，所以，又由cos22cos21，得，因为为锐角，所以，即19（2023春河南月考）已知平面四边形ABCD中，CD3，AD4，且四边形ABCD有外接圆E（1）求角D的大小；（2）求tanDAC的值【考点】解三角形；正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】（
20、1）；（2）【分析】（1）连接AC，在ABC和ACD中，分别利用余弦定理结合D+B求解；（2）在ACD中，利用正弦定理得到4sinDAC3sinDCA，再结合求解【解答】解：（1）如图所示：四边形ABCD有外接圆E，D+B连接AC，在ABC中，由余弦定理可得，在ACD中，由余弦定理可得AC242+32243cosD2524cosD，由可得，D（0，），；（2）在ACD中，由正弦定理可得，即4sinDAC3sinDCA由（1）可知，4sinDAC，20（2023春开福区校级月考）如图，在四边形ABCD中，B60，AB3，BC6，且（1）求实数的值；（2）若M是线段BC上的动点，求的取值范围【考点
21、】平面向量数量积的性质及其运算【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【答案】（1）；（2）15，21【分析】（1）根据求得，从而求得（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求得的取值范围【解答】解：（1）由于，所以ADBC，所以BAD120，则，所以，所以，即；（2）以B为原点建立如图所示平面直角坐标系，则，设M（t，0），0t6，则，则6t15，由于0t6，则06t36，则156t1521，所以的取值范围是15，2121（2023春全南县校级期末）已知向量，求：（1）若，且，求的坐标；（2）若，求m+n；（3）若，求k的值【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量
22、数量积的性质及其运算；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算【答案】（1）或；（2）1；（3）【分析】（1）利用向量共线定理设，结合向量线性运算的坐标表示求解作答（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量列式求解作答（3）利用垂直关系的坐标表示求出k值作答【解答】解：（1）由，设，而，因此，解得，所以或；（2）因为，则，于是，解得m2，n1，所以m+n1；（3）依题意，又，因此（2k+1）3+（k+2）（4）0，解得，所以22（2023春漳州期末）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，且（1）求B；（2）求2a+c的
23、最大值【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算【答案】（1）B；（2）2【分析】（1）由题意可得abcosC+csinB，再由正弦定理及三角形中角之间的关系整理可得tanB的值，进而求出B角的大小；（2）由（1）和正弦定理可得2a+c的表达式，再由A角的范围，可得2a+c的最大值【解答】解：（1）因为，所以bcosC+csinB，由正弦定理可得sinAsinBcosC+sinCsinB，而sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，所以cosBsinCsinCsinB，又因为sinC0，所以tanB，B（0，），解得B；（2）由正弦定理可得2，所以a2sinA，c2sinC，所以2a+c4sinA+2sinC4sinA+2sin（+A）5sinA+cosA2sin（A+），且tan，则sin，即，因为A（0，），所以sin（A+）1，所以2a+c的最大值为：2
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