1、特殊二次函数的图像2内容分析特殊二次函数的图像是九年级数学上学期第三章第二节的内容，本讲主要讲解二次函数和二次函数的图像及其性质重点是通过学习抛物线平移得到二次函数和二次函数的方法，掌握二次函数和二次函数的直观性质，并体会图形运动的运用熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二次函数的基础知识结构模块一：二次函数y = ax2 + c的图像知识精讲1、 二次函数的图像一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶
2、点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点例题解析【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像【难度】【答案】如图：yOx【解析】略【总结】本题考查二次函数的图像及平移【例2】 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表抛物线开口方向对称轴顶点坐标【难度】【答案】抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上轴向上轴向上轴【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下【总结】本题考查抛物线的图像和性质【例3】 说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、 对称
3、轴和顶点坐标（1）；（2）【难度】【答案】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标；（2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下【总结】本题考查抛物线的平移，做题的关键是理解平移口诀“左加右减，上加下减”【例4】 在函数；中，图像开口大小按题号顺序表示为（ ）ABC D【难度】【答案】B【解析】抛物线中，决定开口大小，越大，开口越小【总结】本题考察抛物线的性质，主要理解开口大小由
4、决定【例5】 抛物线，共有的性质是（ ）A开口向上B对称轴都是y轴C都有最高点D顶点相同【难度】【答案】B【解析】抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标【总结】本题考查抛物线的性质【例6】 已知，点（a 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数的图像上，则（ ）AB CD 【难度】【答案】C【解析】，三点都在抛物线对称轴的左侧，在轴左侧随的增大而减小，【总结】本题考查抛物线的性质，知道对称轴的两侧图像的增减性【例7】 将抛物线的图像绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线解析式是
5、_【难度】【答案】【解析】抛物线顶点坐标为，绕原点O旋转180后，旋转后抛物线顶点为，开口方向相反，旋转后解析式为【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变，找出旋转后的顶点坐标即可【例8】 如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中 的图像大致是（ ）xyOxyOxyOxyOABCD【难度】【答案】A【解析】当时，抛物线开口向上，顶点为，在轴正半轴上，反比例函数 过第二、四象限； 当时，抛物线开口向下，顶点为，在轴负半轴上，反比例函数过 第一、三象限【总结】本题考察抛物线和双曲线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法【例9】 若
6、函数的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b的值【难度】【答案】【解析】把（0，1），（1，2）分别代入得，解得，【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式【例10】 若二次函数，当x取，（）时，函数值相等，则当x取时，函数的值为_【难度】【答案】【解析】当取，（）时，函数值相等，关于抛物线的对称轴 轴对称，【总结】本题考查了抛物线的对称性，抛物线上的两点，如果纵坐标一样，则横坐标关 于对称轴对称【例11】 若抛物线的顶点在x轴下方，求m的值【难度】【答案】【解析】由得，抛物线顶点在轴下方， ，得，综上可得【总结】本题考查了二次函数的概念和性质【例12】 若函数的函数值为5，则自变量x
7、的值为_【难度】【答案】【解析】把代入得，解得【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征【例13】 若点P（-1，a）和点Q（1，b）都在抛物线上，求线段PQ的长 【难度】【答案】【解析】把代入得，同理可得，【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征【例14】 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积ABCOPxy【难度】【答案】（1）、；（2）【解析】（1）把代入得，解得，、；把代入得，（2）易得直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得， 联立，解得，【总结】本题考查了二次函数的图像与性质及
8、不规则四边形的面积求法，常采用割补法【例15】 如图，大桥拱形可以看作抛物线的一部分在大桥截面1 : 10000的比例图上，跨度AB = 5厘米，拱高OC = 0.9厘米，线段DE表示大桥拱内桥长，DE / AB在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1厘米作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系（1）求出图中以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；xyABCDEOM（2）如果DE与AB的距离OM = 0.45厘米，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）【难度】【答案】（1）；（2）350米【解析】（1）点在轴上，且OC = 0.9，设这部分的抛物线解析式
9、为，点在抛物线上，得设这部分的抛物线解析式为（2）点、点的纵坐标为，、，因此实际桥长（米）【总结】本题考查二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系模块二：二次函数y = a(x+m)2 的图像知识精讲1、 二次函数的图像一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点例题解析【例16】 在同一平面直角坐标系中，画出函数、和 的图像yOx【难度】【答
10、案】如图：【解析】略【总结】本题考查了二次函数的图像及平移【例17】 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表抛物线开口方向对称轴顶点坐标【难度】【答案】抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下直线向下直线向下直线【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下【总结】本题考查了二次函数的图像及性质【例18】 说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）；（2）【难度】【答案】（1）向左平移两个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；（2）向右平移四个单位；开
11、口向下，对称轴为直线，顶点坐标【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下【总结】本题考查了二次函数的性质及平移【例19】 已知函数，当x = _时，函数取得最_值，为_；已知函数，当x = _时，函数取得最_值，为_【难度】【答案】，小，0；，大，0【解析】二次函数（）的对称轴是直线，顶点为；当时，开口向上，函数有最小值，为0；当时，开口向下，函数有最大值，为0【总结】本题考查了二次函数的性质【例20】 把抛物线
12、向左平移2个单位得到抛物线_；若将它向下平移2个单位，得到抛物线_【难度】【答案】；【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到平移口诀，“左加右减，上加下减”【总结】本题考查了二次函数的平移，做题关键掌握平移口诀，“左加右减，上加下减”【例21】 已知抛物线，当x 1时，y随着x的增大而_；当x 1时，y随着x的增大而_【难度】【答案】减小；增大【解析】抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大【总结】本题考查了二次函数的性质【例
13、22】 如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）xyOxyOxyOxyOABCD【难度】【答案】A【解析】A：由抛物线可知，由直线知，A正确； B：由抛物线可知，由直线知，B错误； C：由抛物线可知，由直线知，C错误； D：由抛物线可知，由直线知，D错误；【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法【例23】 顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数相同的抛物线是_【难度】【答案】【解析】设抛物线解析式为，该抛物线与的开口方向、形状相同，【总结】本题考查抛物线
14、的图像与性质，两个抛物线的形状相同，说明相同【例24】 若抛物线的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线的形状相同，开口方向相反，则点（a，m）关于原点的对称点为_【难度】【答案】【解析】抛物线的对称轴为直线， 抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， 关于原点的对称点为【总结】本题考查抛物线的图像与性质及关于原点对称的两个点的坐标特征【例25】 一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）ABCD【难度】【答案】A【解析】因为原价为50万元，每年折旧率为，所以1年后的价格为万元， 1年后的价格为万元，【总结】本题是平均折旧率的问题，可
15、用公式来解题【例26】 下列命题中，错误的是（ ）A抛物线不与x轴相交B抛物线与形状相同，位置不同C抛物线的顶点坐标为（，0）D抛物线的对称轴是直线【难度】【答案】D【解析】D选项：抛物线的对称轴是直线【总结】本题考察抛物线的图像和性质【例27】 已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此函数解析式【难度】【答案】或【解析】二次函数图像的顶点在轴上，设抛物线解析式为， 把（2，2）与（-1，8）代入得，解得， 抛物线解析式为或【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式，当顶点在轴上时，可设抛物线解析式 为【例28】 已知二次函数的顶点坐标为，且过点（1）求这个二次
16、函数的解析式；（2）点在这个函数图像上吗？（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B？【难度】【答案】（1）；（2）不在；（3）向右平移1个单位【解析】（1）把、代入得， 解析式为（2）把代入得，点不在函数图像上（3）把代入平移后的解析式为，得，平移后的解析式为，函数向右平移1个单位，能使它经过点【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，会判断点与函数的位置关系，注意平移的口诀“左加右减，上加下减”BACOxy【例29】 已知抛物线的顶点为C，直线y = 2x + 4与抛物线交于A、B两点试求【难度】【答案】【解析】联立解析式得，解得：，、BACOxyD法一：如图，过点作轴交于点，由题意得易
17、得直线解析式为，法二：过作轴于点，则【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法，坐标系中求三角形面积常采用的方法为割补法ABCDOEFPNMQGHxy【例30】 为了参加科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形钢筋支架在如图所示的设计图中，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5 : 1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长【难度】【答案】（1）；（2）边长为【解析】（1）设，则， 抛物线关于轴对称， 、，代入得，解得，抛物线解析式中常数的值为（2）由（1）得，抛物线解析式为 设正方形的
18、边长为，则，代入得： ，解得（舍负） 正方形的边长为【总结】本题考察了函数与几何的简单结合，观察各点坐标之间的关系，通过巧妙设点，减少未知量，用待定系数法求出函数关系式随堂检测【习题1】 函数的图像是_，开口_，对称轴是_，顶点坐标是_，它的图像有最_点，这个点的纵坐标是_，此函数的图像是由的图像向_平移_个单位得到的【难度】 【答案】抛物线，向下，轴，高，1，上，3【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线； 顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口 向上；当时，开口向下，图像平移口诀“上加下减，左加右减”【总结】本题考查抛物线的性质及抛物线的平移【习题2】 函数
19、的图像是_，开口_，对称轴是_，顶点坐标是_，它的图像有最_点，这个点的纵坐标是_，此函数的图像是由的图像向_平移_个单位得到的【难度】 【答案】抛物线，向下，直线，高，0，左，4【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是抛物线的 开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下【总结】本题考查抛物线的性质及抛物线的平移【习题3】 已知抛物线，当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y随x的增大而减小【难度】 【答案】，【解析】抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的
20、值随的增大而减小，在对 称轴的左侧二次函数的值随的增大而增大，即当时，二次函数的 值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大【总结】本题考查了二次函数的性质【习题4】 函数与函数的图像的形状相同，开口方向相反将函数图像沿y轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是_【难度】【答案】【解析】由题意得，图像向上平移两个单位得函数解析式是【总结】本题考查了二次函数的性质及平移【习题5】 二次函数的图像关于直线对称，那么它的解析式是_，图像的顶点坐标是_【难度】【答案】，【解析】二次函数的图像的对称轴为直线，可得，抛物线解析式为，顶点为【总结】本题考查了二次函数的性质【习题6】 二次函数图像经过点
21、（1，）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标【难度】【答案】，开口向下，顶点坐标【解析】把（1，）、（0，1）代入得，解得，函数解析式为，开口向下，顶点坐标【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质【习题7】 抛物线绕顶点旋转180后，再向左平移3个单位得到的抛物线是_【难度】【答案】【解析】抛物线绕顶点旋转180后，得到解析式为，再向左平移3个单位得到的抛物线是【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化及图像的平移，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变及理解平移口诀【习题8】 已知二次函数，当a为何值时，图像的顶点在x轴上【难度】【答案】【解析】，当时，顶
22、点为，在轴上；当时，函数为常值函数，不符合题意【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点在轴上【习题9】 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y = 3x + 4交y轴与点A，在抛物线上能否存在一点P，使的面积等于10（平方单位）？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【难度】【答案】存在，、【解析】由题意得，设，则，解得：，存在、【总结】本题将二次函数与三角形结合在一起，通过三角形的面积确定图像上点的坐标xyAOC【习题10】 二次函数的图像如图，已知，试求该抛物线的解析式【难度】【答案】【解析】由题意得，、，解得（舍），该抛物线的解析式为【总结】本题考查了二次函数与几何的简
23、单综合课后作业【作业1】 抛物线是由抛物线（ ）得到的A向上平移2个单位B向下平移2个单位C向上平移3个单位D向下平移3个单位【难度】 【答案】C【解析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”【总结】本题考查了抛物线的平移【作业2】 填表：函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性【难度】【答案】函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性向下轴最大值随增大而增大，减小而减小向上轴最小值随增大而减小，减小而增大【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上， 对称轴左侧随增大而减小，减小而增大；当时，开口向下，对称轴左侧随增大
24、而增大，减小而减小【总结】本题考查抛物线的图像和性质【作业3】 二次函数的最大值为_，二次函数的最大值为_【难度】【答案】0，【解析】二次函数顶点坐标为，开口向下，有最大值0；二次函数顶点坐标为，开口向下，有最大值【总结】本题考查了二次函数的性质，开口向下，顶点纵坐标为最大值；开口向下，顶点纵坐标为最小值【作业4】 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动：（1）把x轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_；（2）把y轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）把轴向上平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，解析式为（2）把轴向右平移2个单位
25、，抛物线形状不变，顶点为，解析式为【总结】本题考查抛物线的平移，坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移【作业5】 任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线，关于这些抛物线有以下结论，其中判断正确的个数是（ ）、开口方向都相同；、对称轴都相同；、形状都相同；、都有最低点A1个B2个C3个D4个【难度】【答案】D【解析】抛物线，开口向上，有最低点，对称轴为轴，形状相同【总结】本题考查了二次函数的性质【作业6】 如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）xyOxyOxyOxyOABCD【难度】【答案】C【解析】A：由抛物线可知，由直线知，A错误；B：由抛物线可知，由直线知，
26、B错误；C：由抛物线可知，由直线知，C正确；D：由抛物线可知，由直线知，D错误【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法【作业7】 抛物线顶点坐标是（0，2），且形状与相同，求抛物线的解析式【难度】【答案】或【解析】由题意知，把（0，2）代入得，或【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式，抛物线形状相同，说明相同【作业8】 已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y轴的交点的纵坐标是-3，求该抛物线的解析式【难度】【答案】【解析】抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，图像关于y
27、轴对称，设抛物线解析式为，将点、代入，得，解得，抛物线解析式为：【总结】本题通过已知条件分析出抛物线的图像关于y轴对称，从而能够确定出解析式的形式，再根据所经过的点的具体坐标，确定出解析式来yxABCOP【作业9】 某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB = 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO = 1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？【难度】【答案】500米【解析】根据题意得，设抛
28、物线表达式为，把代入得，解得，当时，解得，（舍）飞机到P处的水平距离OP应为500米【总结】本题考查二次函数的实际应用，求的长即是当时的值【作业10】 二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、A100在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3、B100在二次函数位于第一象限的图像上，若、都为等边三角形，则的边长 = _xyA0B1A1A3A2B2B3【难度】【答案】100【解析】是等边三角形， 的解析式为， 联立，解得，（为原点，舍去），点， 等边的边长为， 同理，的解析式为， 联立，解得，（在第二象限，舍去）， 点，等边的边长为， 同理可求出，等边的边长为， 以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的自然数，的边长 【总结】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质；发现等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键
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