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    初二下册数学直升班培优讲义:第13讲 函数初步及一次函数(含答案)

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    初二下册数学直升班培优讲义:第13讲 函数初步及一次函数(含答案)

    1、第13讲函数初步及一次函数模块一:函数初步 1常量与变量的概念:在一些变化过程中,有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量;在一些变化过程中,有一种量,可以取不同数值的量,叫做变量2函数的概念:在某一变化过程中,有两个量x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,此时称y是x的函数其中x是自变量,y是因变量例如:圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系:,这里表示圆周率;它的数值不会变化,是常量,S随着r的变化而变化,r是自变量,S是因变量3数学上表示函数关系的方法通常有三种:(1)解析法:用数学式子表示函数的方法叫做解析法譬如:,(2)列表法:通过列表表示函数的方法(3)图象法:用图

    2、象直观、形象地表示一个函数的方法4关于函数的关系式(解析式)的理解:(1)函数关系式是等式例如就是一个函数关系式(2)函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数通常等式右边代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数 例如中x是自变量,y是x的函数(3)函数关系式在书写时有顺序性 例如:是表示y是x的函数,若写成就表示x是y的函数 (4)求y与x的函数关系时,必须是只用变量x的代数式表示y,得到的等式右边只含x的代数式5函数图象:(1)列表:对应到x的每一个值,y有唯一确定的值,列表;(2)描点:把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标,画点;(3)连线:坐标平面内把这些点连接起来

    3、所组成的图形,就是这个函数的图象6函数解析式与函数图象的关系:以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上;函数图象上点的坐标满足函数解析式模块二:一次函数图像、性质及解析式1正比例函数(1)定义:一般地,形如(k为常数,)的函数,叫正比例函数,k叫比例系数(2)图象:正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.(3)性质:示意图(草图)图象位置变化趋势性质(增减性)经过原点和第一、三象限从左向右上升y随x的增大而增大y随x的减小而减小经过原点和第二、四象限从左向右下降y随x的增大而减小y随x的减小而增大2一次函数(1)定义:一般地,形如(k,b为常数,)的函数,叫做一次函数当

    4、时,即为,所以正比例函数是特殊的一次函数(2)图象:一次函数的图象是一条直线,我们称它为直线,它可以看作直线平移个单位长度而得到(当时,向上平移;当时,向下平移)(3)图象与坐标轴交点:图象与y轴交于点,与x轴交于点(4)性质:示意图(草图)经过的象限变化趋势性质(增减性)一、二、三从左向右上升y随x的增大而增大,y随x的减小而减小一、三、四一、二、四从左向右下降y随x的增大而减小,y随x的减小而增大二、三、四(5)一次函数的解析式待定系数法:因为两点确定一条直线,所以有两个已知的点,带入解析式中,通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值,就可以求出解析式步骤:一设二代三解点斜式,让学生

    5、理解这种方法,并熟练使用,提升解题速率模块一函数初步例题1判断下列式子中,y是否是x的函数(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【解析】 (1)(2)(3)(4)(6)(8)中,y是x的函数;(5)(7)中,y不是x的函数【教师备课提示】这道题主要考查函数的基本概念,函数判断:对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,则y是x的函数例题2求下列函数中自变量的取值范围(1) (2) (3)(4) (5) (6)【解析】 (1)x为任意实数;(2);(3),且;(4);(5)由,解得;(6)由,解得,且【教师备课提示】这道题主要考查函数关系式中,自变量x的取值范围的求法:(1

    6、)分母不为0;(2)偶次根号下非负;(3)代数式有意义例题3(1)三角形的周长是y cm,三边长分别为4cm,6cm,x cm,则以x为自变量表示y的函数关系式为_,自变量x的取值范围是_(2)矩形周长为30,则面积y与一条边长x之间的函数关系式为_(3)某市为了鼓励居民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:若每月每户用水不超过12立方米,按每立方米2元收费;若超过12立方米,则超过部分每立方米按4元收费,某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(立方米)()之间的关系式为_,若该月交水费元,则这个月的实际用水_立方米【解析】 (1),;(2),;(3),16【教师备课提示】这道题主要考查函数关

    7、系式的理解,y用x来表示或者y与x的函数关系式都是指的函数关系式,注意自变量x的取值范围例题4(1)下图分别给出了变量与之间的对应关系,是的函数的图象是( )A B C D(2)下面的曲线不表示y是x的函数的是( )(3)如图,在等边中,直线l垂直底边BC,现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点,直线l与的边相交于E、F两点设线段EF的长度为y,平移时间为t,则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是() A B C D【解析】 (1)C,对于x的每个值,y都有唯一确定的值与之对应,由x与y之间的一对一的关系即可判断;(2)B;(3)B模块二一次函数图像、性质及解析式例题5(1)若函数是正比

    8、例函数,则m的值是_(2)下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限( )A BC(为常数) D(3)若正比例函数的图象经过点和点,当时,则m的取值范围是_(4)一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点及,则这个正比例函数为_【解析】 (1)且,所以;(2)D;(3);(4)【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数的基本概念,正比例函数的判定:形如(k为常数,)的函数,叫做正比例函数例题6(1)下列函数中,(p为常数);,其中是一次函数的是_(2)当_时,函数表示一次函数,其表达式是_(3)当_时,函数是一次函数【解析】 (1);(2);(3)由定义可知:或,或【教师备课提示】这道题主要考查一次

    9、函数的基本概念,一次函数的判定:形如(k,b为常数,)的函数,叫做一次函数例题7(1)已知一次函数为,其与x轴的交点坐标为_,与y轴的交点坐标为_(2)已知一次函数,其中,则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过( )A第一、二象限 B第二、三象限 C第三、四象限 D第一、四象限(3)如果直线经过一、三、四象限,那么直线经过第_象限;直线经过第_象限(4)如果一次函数不经过第一象限,那么ab_0(5)一次函数不经过第一象限,则k的取值范围是_【解析】 (1),;(2)B(k和b同号);(3)一、二、三,二、四;(4)此题有两种情况:,;,;(5)由题意得,.【教师备课提示】这道题主要考查一次函

    10、数中和的作用:(1)的正负性决定一次函数的上下坡趋势,时,一定经过一三象限;时,一定经过二四象限;(2)的正负性决定一次函数与y轴交点位置例题8(1)(石室联中期末)已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大,则一次函数的图像大致是( ) (2)下列图像中,不可能是关于x的一次函数的图像的是()A B C D(3)如图,一次函数和正比例函数在同一坐标系的大致图像是( )A B C D【解析】 (1)B;(2)D;(3)B【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数和一次函数图象的判断例题9(1)若点,点是直线(k为常数)上的点,则m、n的大小关系是()A B C D无法确定(2)(嘉祥期末)在函数的

    11、图像上有、三个点,则、从小到大排列为_(3)三个一次函数、在同一直角坐标系中的图象如图所示,分别为直线、,则、的大小关系是_【解析】 (1)A; (2); (3)(有个简便的判断斜率大小的方法:在轴正方向的远端(一定要足够远)画一条垂直于轴的判定线,观察并比较直线与判定线交点的纵坐标大小,就可以得到斜率的大小关系.记住判断方法可以帮助我们更快更准确比较斜率大小)【教师备课提示】时,y随x的增大而增大,一定经过一三象限;时,y随x的增大而减小,一定经过二四象限例题10求下列一次函数解析式:(1)已知一次函数的图象经过和两点则解析式为_(2)已知一次函数的图象经过和两点则解析式为_(3)已知一次函

    12、数的图象经过和两点,则解析式为_(4)已知一次函数的图象经过和两点,则解析式为_【解析】 (1)法一:设一次函数为,将点代入,解得:,则解析式为:法二:,设一次函数为,将任意一个点代入,可得,则解析式为:(2)(3)(4)【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的解析式的求法:待定系数法,通过这道题总结斜率公式,并让学生们使用另外一种方法:点斜式重新练习下并快速写出解析式例题11一次函数,当时,对应的y值为,求一次函数的解析式【解析】 若,所以当时,;当时,;则,解得,;若,所以当时,;当时,;则,解得,【教师备课提示】这道题结合增减性来考查一次函数的解析式,分类讨论复习巩固模块一函数初步演练1

    13、(1)下列各图中,是函数图象的是() A B C D(2)下列图形中的曲线不表示y是的函数的是( ) A B C D(3)边长为1和2的两个正方形,其一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形内除去小正方形部分的面积为s(阴影部分),则s与t的大致图象为( )A B C D【解析】 (1)D,y有唯一值与x对应(2)C(3)选择A,当小正方形完全进入大正方形中时,所剩面积为3,是大正方形面积的,所以选择A,C的描述比例不符合演练2判断下列式子中y是否是x的函数,若是,请指出自变量x的取值范围(1); (2); (3); (4);(5); (6);

    14、 (7); (8)【解析】 (3)(5)不是,其余均是.其中:(1)任意实数;(2);(4)任意实数;(6);(7)且;(8)任意实数模块二一次函数图像、性质及解析式演练3(1)函数是正比例函数,则m的值是为_(2)当_时,函数是一次函数(3)若一次函数,y随x增大而减小,m的值为_【解析】 (1)或;(2)由且,得;(3)演练4(1)函数的图象在第一,三,四象限,那么k,b的符号同时正确的是()A, B, C, D,(2)若一次函数的函数值y随x的增大而减小,且图象与y轴的负半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的是()A, B, C,D, 【解析】 (1)D;(2)D演练5(1)已知一次函数

    15、的图象如图所示,则a的取值范围是_(2)一次函数图象不经过第一象限,则m的取值范围是_(3)若,则一次函数的图象必定经过第_象限【解析】 (1)由题意可得:,解得;(2)由题意可得:,解得;(3)由题意知,或,从而判断一定过一、二象限演练6(1)如下图,在同一直角坐标系中,直线和直线的图象可能是( ) A B C D(2)函数和在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D【解析】 (1)B;(2)D 演练7(1)已知一次函数的图象经过点和点,点是一次函数的图象与轴的交点,则这个一次函数的表达式是_(2)已知:一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点,且一次函数的图象与y轴的交点Q的纵坐标为4正比例函数的解析式是_,一次函数的解析式是_【解析】 (1);(2),演练8已知一次函数,当时,对应的y值为求kb的值【解析】 由题意可得:将k分为两种情况:若,则当时,;当时,则,解得,;若,则当时,;当时,则,解得,;综上所述,kb的值为14或


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