1、平面直角坐标系内容分析平面直角坐标系是七年级第15章的内容，本节主要学习了平面直角坐标系的有关概念，点与坐标的对应关系，坐标系作为一个平台，利用数形结合的思想来研究数学问题知识结构模块一：点的坐标的概念与应用知识精讲知识点1：点的坐标的概念与应用1、 在平面内取一点O，过点O画两条互相垂直的数轴，且使它们以点O为公共原点，这样，就在平面内建立了一个直角坐标系 一般地，水平放置的数轴，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作x轴），铅直放置的数轴，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作y轴）横轴、纵轴统称坐标轴，点O叫做坐标原点2、 在平面直角坐标系中，点P所对应的有序实数对（a，b）称为点P的坐
2、标，记作P（a，b），其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点O的坐标为（0，0），在直角坐标平面内，所有的点与所有的有序实数对是一一对应的例题解析【例1】 （1）数轴上的所有点与实数的全体之间有_的关系； （2）直角坐标平面上的所有点与所有有序实数对之间具有_的关系【难度】【答案】（1）一一对应；（2）一一对应【解析】根据数轴及直角坐标系的性质可知都是一一对应的关系【总结】考查数轴及直角坐标系的概念ABCDEFGHOxy【例2】 如图，在直角坐标平面内写出各点的坐标（小方格的边长为1）【难度】【答案】； 【解析】准确找到原点，根据坐标的特征即可写出
3、各点的坐标【总结】考查坐标的概念及书写【例3】 已知P（a，b），（1） 若点P在原点，则a =_，b =_；（2） 若点P在x轴上，则a =_，b =_；（3） 若点P在y轴上，则a =_，b =_【难度】【答案】（1）；（2）为一切实数，；（3），为一切实数【解析】原点，轴上的点特征是纵坐标为，即，轴上的点特征是横坐标 为，即【总结】考查坐标系中特殊位置的点的坐标特征【例4】 在直角坐标平面内，点P的坐标是（a，b），如果ab=0，那么点p在_上【难度】【答案】坐标轴【解析】，则点在轴上或轴上【总结】考查坐标系中特殊位置的点的特征【例5】 如图，点P的坐标是_，点P到x轴的距离等于_；到y
4、轴的距PQOyx34-2离等于_点Q的坐标是_，点Q到x轴的距离等于_，到y轴的距离等于_【难度】【答案】；【解析】第一象限内点的符号特征，第三象限内点的符号 特征，到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值【总结】考查坐标的概念，注意对点到坐标轴的距离的准确理解【例6】 如图，写出矩形ABCD各顶点的坐标：A：_，B：_，ABCDOxy11C：_，D：_【难度】【答案】【解析】根据点的坐标特征可得各点坐标【总结】考查写点的坐标特征，注意每个象限的符号特征【例7】 在直角坐标平面内，点M的坐标为（-3，y），点N的坐标为（x，4），如果M、N两点表示同一点，那么x=_，y=_【难度
5、】【答案】【解析】表示同一点，则横坐标和纵坐标都相等【总结】考查坐标系中相同的两个点的坐标特征【例8】 在直角坐标平面内一点A的横坐标是3，纵坐标是2，那么点A的坐标是_；如果点B的横坐标是2，纵坐标是3，那么点B的坐标是_这样点A与点B是表示_的两点（填写“相同”或“不同”）【难度】【答案】；不同【解析】根据坐标的表示方法即可写出两点坐标，横、纵坐标不同，则表示的点不同【总结】考查坐标的概念与书写【例9】 （1）已知在平面直角坐标系中点A（2，y）到x轴的距离为3，求y的值； （2）若在平面直角坐标系中有一点B（a，b），求点B到y的距离【难度】【答案】（1）；（2）点到轴的距离为【解析】到
6、轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值【总结】考查坐标系中点到坐标轴的距离的概念及运用【例10】 下列判断中：在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；在直角坐标平面内（x，y）与点(y，x)表示不同的两点；原点O的坐标是（0，0），它即在x轴上，又在y轴上，其中错误的个数是（） A1个B2个 C3个D4个【难度】【答案】【解析】正确；错误，坐标平面内所有的点与所有有序实数对之间是一一对应的； 正确；正确故选【总结】考查直角坐标系的概念及坐标系中点的坐标的概念xyOABCDEF【例11】 在平面直角坐标系中，已
7、知点A（0，2），B（2，0），C（3，1）在图中进行如下操作：（1） 画ABC；（2） 画一个DEF，使ABCDEF【难度】【答案】略【解析】（1）按照坐标描出各点，再联结各点组成三角形 （2）将平移即可得【总结】考查根据已知点的坐标进行画图【例12】 在平面直角坐标系中，如果点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等于5，这样的点P共有（） A1个B2个 C3个D4个【难度】【答案】【解析】根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，故可得P 点的坐标为：，故选【总结】考查点到坐标轴的距离与坐标间的关系，综合性较强，注意多种情况的考虑ABxyO11【例13】 如图，在直角坐标平
8、面内有两点A、B，连接AB，如果AB是正方形ABCD的一条边，请画出正方形ABCD，并写出它的各顶点的坐标【难度】【答案】 或【解析】根据正方形四边相等的特征，描出两点， 顺次联结即可画出正方形【总结】考查对正方形的理解及点的坐标的综合运用，注意进行分类讨论，综合性较强xyO【例14】 在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形，如图，给出直角坐标系，设格点A（-2，1），请画出一个格点三角形，使A在它的内部且这个三角形的面积最小，并写出这个三角形的各个顶点的坐标【难度】【答案】格点三角形不唯一，面积最小的三角形顶点坐标为： ，此时面积为【解析】以
9、一个小正方形的对角线的长为底，两个小正方形的 对角线长为腰，这样的格点三角形面积最小【总结】考查直角坐标系中作图【例15】 在直角坐标平面内，已知点A（x，y）的坐标满足，点B（x，y）的坐标满足，点C（x，y）的坐标满足连接AB、BC、CA，试问：ABC是一个怎么的三角形?说明你的理由【难度】【答案】钝角三角形【解析】， ； ，； 在直角坐标系中画出可知，为钝角三角形【总结】本题综合性较强，一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用，另一方面考查点的坐标在坐标系中的表示模块二：平面直角坐标系知识精讲1坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，如图1，可以看成坐标平面的六个区域：x轴，y轴，第一象限，
10、第二象限，第三象限，第四象限注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限2. 点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|3. 特殊位置的点的坐标的特征：（1）坐标轴上的点： 点P的坐标为（a，0）点P在x轴上； 点P的坐标为（0，b）点P在y轴上；（2）各象限内的点： 点P在第一象限； 点P（a，b）在第二象限； 点P（a，b）在第三象限； 点P（a，b）在第四象限例题解析【例16】 （1）在第一象限内，则满足 ， 在第二象限内，则满足 ；（2）在第三象限内，则满足 ， 在第四象限内则满足 【难度】【答案】（1）；（2）；【解析】根据点在各象限内的坐标特征：可得答案【总结】考查各个象限内
11、点的坐标特征【例17】 （1）在轴上，则满足 ，在轴上，则满足 ；（2）在轴左边，则满足 ，在轴右边，则满足 ；（3）在轴上方，则满足 ， 在轴下方，则满足 【难度】【答案】（1）为一切实数，；，为一切实数；（2） ，为一切实数；，为一切实数；（3） 为一切实数，；为一切实数，【解析】根据点在直角坐标系内的坐标特征：可得答案【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【例18】 （1）点的坐标满足，那么的位置可能是 ；（2）点的坐标满足，那么的位置可能是 【难度】【答案】（1）除原点外的轴上；（2）除原点外的轴上【解析】（1），在除原点外的轴上； （2），在除原点外的轴上【总结】考查直角坐标系内点的坐
12、标特征【例19】 （1）点的坐标满足，则在 上； （2）点的坐标满足则点在 象限【难度】【答案】（1）坐标轴；（2）第二或第四象限内【解析】（1），在轴或轴上；（2） ，异号，在第二或第四象限内【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【例20】 在直角坐标平面内，如果点O的坐标是（0，0），那么点O叫做_点，x轴上的点的坐标特征是_坐标为零；y轴上的点坐标特征是_坐标为零【难度】【答案】（1）原点；纵；横【解析】根据坐标特征可得答案【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【例21】 若点P（x， y）在第二象限，且，则点P的坐标为（ A（1，2） B（3，8） C（2，1） D（8，3）【难度】【答案
13、】A【解析】， 在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， ，故选【总结】考查第二象限内点的坐标特征【例22】 （1）已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在第 象限； （2）若P(a，b)是第二象限内的点，则Q(a，ab)是第 象限内的点【难度】【答案】（1）二；（2）一【解析】（1）在第四象限，在第二象限； （2）在第二象限， 在第一象限内【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【例23】 解下列各题：（1） 如果点A（m，3-m）是第二象限的点，那么m应满足什么条件?（2） 已知点P（a，b）在y轴的负半轴上，写出a，b的取值范围；（3） 已知点P（x，y）的坐标满足，那么点P在第几象限
14、?【难度】【答案】（1）；（2），；（3）在第三象限【解析】（1）在第二象限，；（2） 在轴的负半轴上，；（3） ，在第三象限【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【例24】 直角坐标系中，等边三角形的一个顶点的坐标是（0，），另两个顶点B、C都在x轴上，求B、C的坐标【难度】【答案】或【解析】因为等边三角形，又，所以， 所以或【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征及三角形的性质，本题综合性较强，建议老师选择性的讲解【例25】 请在直角坐标平面内画出四条直线x=3，x=-4，y=4，y=-2（1） 这四条直线所围成的四边形是一个怎样的四边形?（2） 现有点A（，3），B（-，-1），C（2，-），
15、D（-3，5），E（，-），F（，2），请问：哪些点在这个四边形的内部?各在什么象限?【难度】【答案】（1）围成的是长方形；（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点，可知：在四边形内部；第一象限内的点：、；第二象限内的点：；第三象限内的点：；第四象限内的点：【解析】（1）根据画出图形可知，围成的四边形是长方形（2） 如图可得：在直角坐标系中描出各点，可知：在四边形内部第一象限内的点：、；第二象限内的点：；第三象限内的点：；第四象限内的点： 【总结】考查直角坐标系内点的坐标【例26】 （1）在第二，四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ；（2）在第一，三象限内，两坐标轴夹
16、角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 【难度】【答案】（1）互为相反数；（2）相等【解析】解：（1）二、四象限角平分线为，横、纵坐标互为相反数；（2） 一、三象限角平分线为，横、纵坐标相等；【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行归纳总结【例27】 若点P(3a-9，1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么a = 【难度】【答案】【解析】解：是第三象限内的点， ，横、纵坐标都是整数，【总结】考查第三象限的点的坐标的符号特征，注意对整数的理解随堂检测【习题1】 （1）直角坐标平面内的横轴与纵轴是互相_的，而且交点就是_点，它的坐标是_； （2）第_象限内的点的横纵坐标都
17、是负数；第_象限内的点的横纵坐标异号；横纵坐标相等的点在_；横纵坐标互为相反数的点在_【难度】【答案】（1）垂直，原点，；（2）三，二或四，一、三象限的角平分线上， 二、四象限的角平分线上【解析】（1）根据直角坐标系的概念可知；（2）根据直角坐标系内点的坐标的特征可知【总结】考查直角坐标系的概念以及点的概念及坐标特征【习题2】 在x轴上的点的纵坐标是（） A正数B负数C零D实数【难度】【答案】【解析】轴上点的特征，故选【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【习题3】 如果且，那么P（m，n）在（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【难度】【答案】【解析】同号，又在第一象限【总结】考查直角
18、坐标系内点的坐标特征【习题4】 如果点A（m，n）在第二象限，则点B（-m+1，3n+5）在第_象限【难度】【答案】一【解析】解：在第二象限， 在第一象限内【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【习题5】 横坐标为3的点一定在（）A 与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上B 与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上C 与x轴正半轴相交，与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上D 与y轴正半轴相交，且与x轴的距离为3的直线上【难度】【答案】【解析】点的横坐标为3，则这个点为，根据坐标特征，故选【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行总结【习题6】 已知：两点A（），B（），当坐标满足什么条件时，
19、才能使点A、B都在平行于y轴的某一直线上，该条件是（） ABCD【难度】【答案】【解析】横坐标相等，两点的连线垂直轴，平行于轴，故选【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【习题7】 已知：点P（x，y），且x，y是方程的解，那么点P在（） A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限【难度】【答案】【解析】解：，在第二象限， 故选【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意非负数的和为零的模型的运用【习题8】 如图，（1）A、B、C、D四点的横坐标不变，将它们的纵坐标都除以-1，得到E、F、G、H，再将它们对应的点联结起来，写出这八个点的坐标；OABCDxy1-1-11 （2）将A、B、C、D四点的
20、横坐标都乘以-1，纵坐标不变，得到M、N、P、Q，请画 出四边形MNPQ，并写出各点的坐标【难度】【答案】（1）， ；（2），画图略【解析】（1）根据图形中点所处的位置得到A、B、C、D四点的坐标， 然后再根据规定的计算得到相应的坐标【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征【习题9】 在直角坐标平面内，已知点A（-2，1），另有一点B，且直线AB平行于x轴，如果A、B两点距离是4，那么B的坐标是_【难度】【答案】或【解析】轴，纵坐标相等，距离为，当在左侧时，横坐标为， ；当在右侧时，横坐标为，【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类【习题10】 在直角坐标平面内有直线lx轴，
21、直线l上有两点A、B，已知点A的坐标是（，），且与A、B两点的距离等于3，求点B的坐标【难度】【答案】或【解析】轴，纵坐标相等，距离为，当在左侧时，横坐标为，当在右侧时，横坐标为，【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类【习题11】 已知：点A（a，-3），B（-4，b），若A、B两点的连线平行于x轴，a，b应满足什么条件?【难度】【答案】且【解析】解：轴，纵坐标相等，且【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意A、B是不同的两点课后作业【作业1】已知点A的坐标是（m，n），如果m0且n=0，那么点A在（）Ax轴上By轴上Cx轴上，但不能包括原点Dy轴上，但不能包括原点【
22、难度】【答案】【解析】解：，在轴上，不在原点上，故选【总结】考查坐标系内点的特征【作业2】已知B（a，b）在第三象限，那么点A（-a+2，b-1）在（） A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限【难度】【答案】【解析】在第三象限， 在第四象限，故选【总结】考查各象限内的点的符号特征【作业3】（1）如果点P（m，n）在第三象限两坐标轴夹角的平分线上，那么m、n应该满足的条件是_； （2）在平面直角坐标系xoy中有点M（-4，4），连接MO，那么MOx=_【难度】【答案】（1）相等，（2）【解析】（1）一、三象限的角平分线上的点特征为：横、纵坐标相等；二、 四象限角平分线上的点的特征为：横、纵坐
23、标互为相反数 （2）M（-4，4），点M在二四象限的角平分线上， MOx =【总结】考查直角坐标系内各象限内的点的坐标特征【作业4】在平面直角坐标系中有点A（0，3），B（0，-2），C（6，-2），那么ABC是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【难度】【答案】【解析】A（0，3），B（0，-2），在轴上，且， B（0，-2），C（6，-2），轴，且，是直角三角形 故选【总结】考查点的坐标的特征与几何图形的综合应用【作业5】在直角坐标平面内，已知点P（-2，1），另有一点Q，且直线PQ平行于y轴如果P、Q两点的距离是6，那么点Q的坐标是_【难度】【答案】或【解析
24、】轴，横坐标相等，距离为，当在上方时，纵坐标为， ；当在下方时，纵坐标为，【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要分类讨论【作业6】在平面直角坐标系中，已知点P（0，2），在y轴上有点Q，它到点P的距离等于3，求点Q的坐标【难度】【答案】或【解析】当点在点上方时，纵坐标为，； 当点在点下方时，纵坐标为，【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类【作业7】在如图所示的平面直角坐标系中画出与ABC全等的所有三角形，已知每个三角 形的顶点坐标均为整数，请写出每个三角形的顶点坐标ABCOxy【难度】【答案】详见解析【解析】由图可知： 当把每个点向左平移一个单位时，得：
25、 ；当把每个点向上平移一个单位时，得： ； 三点关于轴对称得： ；三点关于轴对称得： ；三点关于轴对称得：；三点关于轴对称得：；三点关于轴对称得：；三点关于轴对称得：；故以上的点都满足题意【总结】考查点的移动及点的对称的特征，综合性较强，注意从多个角度去考虑【作业8】在直角坐标平面内有一个圆，圆心是A（2，0），该圆与x轴有一个交点是B（5，0），那么这个圆的周长等于_，圆的面积等于_【难度】【答案】【解析】解：，【总结】考查两点距离与圆的周长及面积公式的综合运用【作业9】在ABC中，AB=BC，B=90，顶点A在原点，AB边在x轴上，且AB=6，求点C的坐标【难度】【答案】或或或【解析】在原
26、点，边在轴上，或，的横坐标为或，或或或【总结】考查点的距离与特征结合直角三角形的综合应用【作业10】在直角坐标平面内，有一点C（a，b），垂直于x轴的直线AB经过点C，已知点A（5，-2），ab的值是，a与b的值各是多少?【难度】【答案】【解析】轴，点C（a，b）在上，A（5，-2）， 【总结】考查点的坐标的特征，注意进行合理计算【作业11】已知点M为平行于x轴且到x轴的距离为5的直线上的一点，它到y轴的距离是6，且M的坐标【难度】【答案】或或或【解析】点M到轴的距离是，点M的纵坐标的绝对值是， 点M的纵坐标为 点M到轴的距离是，点M的横坐标的绝对值是， 点M的纵坐标为， 点M的坐标为或或或【总结】考查坐标系内点坐标的特征，注意距离与坐标之间的关系
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