1、2023年湖南省株洲市荷塘区中考二模数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 五一期间，株洲醴陵市炒粉节3天时间共接待游客783000人次，783000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图是某企业2020年510月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（）A 56月份月利润增长量大于910月份月利润增长量B. 510月份月利润的中位数是700万元C. 510月份月利润的平均数是760万元D. 510月份月利润的众数是1000万元5.
2、 关于的不等式的一个解是，则的值可能是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56. 如图，将木条和用螺丝钉在一起，且，若木条位置不动，将木条绕固定点顺时针旋转，使得，则旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，以正五边形顶点为圆心作分别与边交于点，点是劣弧上一点，连接，则的度数为（ ）A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，若点横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在中，点为边上一点，点是边上的
3、动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：；当时，；若点恰好落在线段上时，则其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11. 因式分解：_12. 从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是_13. 计算：_14. 分式方程的解是_15. 某中学举办“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是_甲乙丙丁平均分85909085方差5042504216. 如图，在中，点在上，且平分，
4、交于点，若，则_17. 如图，矩形的边与y轴平行，且，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为_18. 如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在几何原本中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连接，记的面积为，图中阴影部分的面积为若点在同一直线上，若，则_；的值为_三、解答题（本大题共8小题，共78分）19. 计算：20. 先化简，再求值：，其中21. 如图，在菱形中，于点于点（1）求证：；（2）已知，求的长22. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过
5、测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米（1）求该支架的边的长；（2）求支架的边的顶端点到地面的距离（结果保留根号）23. 荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读话动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析：【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）：32 43 34 35 15 56 48 24 45 10 25 40 59 42 55 30 47 28 37 42【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整积分/分星级频数红2橙3黄5
6、绿青 根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图（1）填空：_，_；（2）补全频数分布直方图；（3）【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数（4）已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红的积分为分，是青星级如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图像交于点，交轴于点 （1）求的值；（2）过点的直线，交反比例函数的图象于点，分别交轴于点、点若，求的面积25. 四边形内接于为的直径，点在的延长线上，且 （1）如图1，求证：是的切线；（2）如图1，若 ，当的半径为时，求的长；（3）如图2，延长
7、线交于点，若，求证：26. 已知二次函数（1）若，且该二次函数的图象经过点，求关于的一元二次方程根的判别式的值；（2）如图1，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中，与轴交于点，二次函数的顶点，连接并延长交轴于点，连接，且满足求证：；如图2，过点作轴交二次函数的图象于点，过点作轴于点，若四边形为正方形，令，求的最小值2023年湖南省株洲市荷塘区中考二模数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的数叫做相反数，即可进行解答【详解】解：的相反数是2，故选
8、：A【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握：只有符号不同的数叫做相反数2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式分别验证即可得到答案【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；B、，计算错误，不符合题意；C、，计算错误，不符合题意；D、，根据平方差公式可知计算正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式等知识，熟记相关运算法则及公式是解决问题的关键3. 五一期间，株洲醴陵市炒粉节3天时间共接待游客
9、783000人次，783000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数【详解】解：783000用科学记数法表示故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法4. 如图是某企业2020年510月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（）A
10、. 56月份月利润增长量大于910月份月利润增长量B. 510月份月利润的中位数是700万元C. 510月份月利润的平均数是760万元D. 510月份月利润的众数是1000万元【答案】B【解析】【分析】先从统计图获取信息，再对选项逐一分析，选择正确结果【详解】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、A.56月份利润增长了，910月份利润，增长了，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；B.510月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意C.510月份利润的平均数为（万元），故C说法与图中反映的信息不相符，故本选
11、项不符合题意；D.700出现了2次，是出现次数最多的，510月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了折线统计图，平均数和中位数，根据图表准确获取信息是解题的关键5. 关于的不等式的一个解是，则的值可能是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】先解不等式，然后根据不等式的一个解是，求得的范围即可求解【详解】解：解得：不等式的一个解是，解得：的值可能是，故选：A【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键6. 如图，将木条和用螺丝钉在一起，且，若木条位置不动，将木条绕固定点顺时针旋转
12、，使得，则旋转的角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“三线八角”可知与是同位角，若旋转木条使，则，从而由得到旋转角度【详解】解：根据题意，当木条绕固定点顺时针旋转，使得时，未旋转前，旋转后，即木条绕固定点顺时针旋转，使得，则旋转的角度可以是，故选：B【点睛】本题考查“三线八角”及平行线的判定与性质，读懂题意，弄清旋转前后的角度变化是解决问题的关键7. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质知直接判断即可得到答案.【详解】解：由题意可得，当时，故选D【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握
13、不等式的基本性质8. 如图，以正五边形的顶点为圆心作分别与边交于点，点是劣弧上一点，连接，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的性质求得，进而根据圆周角定理求得，根据圆内接四边形对角互补即可求解【详解】解：如图所示，点为优弧上一点，连，的度数为，故选：D【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键9. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设零和点的坐标为
14、（n，-n），代入y=x2+3x+m得到关于n的一元二次方程，由题意可知此方程有两相等的实数根，即可得到=42-4m=0，解得即可【详解】解：二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，设零和点的坐标为（n，-n），方程-n=n2+3n+m即n2+4n+m=0有两个相等的实数根，=42-4m=0，m=4，故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根据题意得到关于m的方程是解题的关键10. 如图，在中，点为边上一点，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：；当时，；若点恰好落在线段上时，则其中正确的是（ ） A. B. C. D.
15、【答案】D【解析】【分析】过点作于点，利用三线和一以及正切的定义，求出，即可判断；过点作于点，利用勾股定理求出，判断；过点作于点，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出的值，进而求出的长，判断；证明，推出，根据折叠的性质，推出，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断【详解】解：过点作于点， ，；故正确；过点作于点，则：四边形为矩形， ，；故正确；过点作于点， ，翻折，设，；故错误；当点恰好落线段上时，如图：设与交于点， ，翻折，；故正确，综上：正确的是；故选D【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定
16、理本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可【详解】解：原式=3(x24)=3(x+2)(x2)；故答案为：3(x+2)(x2)【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键12. 从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是_【答案】【解析】【分析】先得出随意取出一个数的所有可能的结果，再找出该数为3的倍数的结果，然后利用概率公式计算
17、即可得【详解】从1到10的十个自然数中，随意取出一个数的所有可能的结果有10种，即，它们每一种结果的可能性相等，其中，该数为3的倍数的结果有3种，即则该数为3的倍数的概率是故答案为：【点睛】本题考查了简单概率的计算，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键13. 计算：_【答案】【解析】【分析】先运用乘法分配律展开，再利用二次根式的乘法法则计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键14. 分式方程的解是_【答案】x=-3【解析】【分析】方程两边都乘x（x-2）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可【详解】解：方程两边都乘x（x-2），得5
18、x=3（x-2），解得：x=-3，检验：当x=-3时x（x-2）0，所以x=-3是原方程的解，故答案为：x=-3【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键解分式方程注意要检验15. 某中学举办“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是_甲乙丙丁平均分85909085方差50425042【答案】乙【解析】【分析】根据应选择平均分大且方差小的同学参赛进行求解即可【详解】解：从平均分看，乙、丙的平均分相同且都高于甲、丁的平均数，故应从乙、丙中选
19、择一人参赛，从方差来看，乙、丁的方差相同且都低于甲、丙的方差，故应从乙、丁中选择一人参赛，综上所述，应选择乙同学参赛，故答案为：乙【点睛】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，正确理解题意是解题的关键16. 如图，在中，点在上，且平分，交于点，若，则_【答案】#【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，则，根据平分，可得，从而得出，则，根据，得出，根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：四边形是平行四边形，平分，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键17. 如图，矩形的边与y轴平行，且，反比例函数的图象同时经过
20、点B与点D，则k的值为_【答案】9【解析】【分析】根据四边形为矩形，结合，得出点B、D的坐标，然后再根据点B、D在反比例函数的图象上，列出关于m的方程，解方程即可得出m的值，最后求出k的值即可【详解】解：矩形的边与y轴平行，点B的坐标为，点D的坐标为，点B、D在反比例函数的图象上，解得：，点B的坐标为，故答案为：9【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，解题的关键是根据题意得出，18. 如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在几何原本中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连接，记的面积为，图中阴影部分的面积为若
21、点在同一直线上，若，则_；的值为_【答案】 . . 【解析】【分析】连接，由列出比例式，整理可得，然后分别用含的式子表示出，即可解决问题.【详解】解：连接，点，在同一直线上，即，整理可得：，故答案为：，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理，作出辅助线根据相似三角形的性质得出是解题关键.三、解答题（本大题共8小题，共78分）19. 计算：【答案】【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键20. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解
22、析】【分析】根据分式混合运算，先化简，再代值即可得到答案详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键21. 如图，在菱形中，于点于点（1）求证：；（2）已知，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，即可证明；（2）设，勾股定理得出，进而求得，则，在中，勾股定理即可求解【小问1详解】解：，在菱形中， ，在和中，；【小问2详解】在中，设，在中，解得：，在中，【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，已知正切求边长，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键22. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架
23、撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米（1）求该支架的边的长；（2）求支架的边的顶端点到地面的距离（结果保留根号）【答案】（1）该支架的边的长为米； （2）【解析】【分析】（1）在中，根据已知可得，即可求解（2）由代入数据求得，进而根据，即可求解【小问1详解】解：，是直角三角形，在中，即该支架的边的长为米；【小问2详解】根据已知可得，在，中，且，即，解得：，在矩形中，米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键23. 荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读话动
24、，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析：【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）：32 43 34 35 15 56 48 24 45 10 25 40 59 42 55 30 47 28 37 42【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整积分/分星级频数红2橙3黄5绿青 根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图（1）填空：_，_；（2）补全频数分布直方图；（3）【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数（4）已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红
25、的积分为分，是青星级如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_【答案】（1）7、3 （2）补全频数分布直方图见解析 （3）300人 （4）17【解析】【分析】（1）整理样本中的数据，得满足的共7个；满足有共3个；即可得到答案；（2）根据（1）中所得的数据，绿星级对应的频数是7，青星级对应的频数是3，画图即可；（3）总人数乘以样本中绿星级以上的人数所占比例即可；（4）找到的最大值、的最小值，相减即可得出答案【小问1详解】解：由样本数据得的有7人，的有3人，则，故答案为：7；3；【小问2详解】解：由（1）中，补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】解：样本中，积分在绿星级以上的
26、人数，占抽样人数的，（人，答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人；【小问4详解】解：俩人积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，的最大值为58，的最小值为41，最大值为，故答案为：17【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，交轴于点 （1）求的值；（2）过点的直线，交反比例函数的图象于点，分别交轴于点、点若，求的面积【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，待
27、定系数法求反比例函数解析式即可求解；（2）由（1）可得反比例函数解析式，进而设，根据，求得，继而求得直线的表达式为，得出，进而根据三角形面积公式即可求解【小问1详解】解：一次函数的图象经过点解得：反比例函数经过点，；【小问2详解】由（1）可得反比例函数解析式为，设，解得：，设直线的解析式为，将,代入得，解得：，直线的表达式为，当时，由，当时，则，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键25. 四边形内接于为的直径，点在的延长线上，且 （1）如图1，求证：是的切线；（2）如图1，若 ，当的半径为时，求的长；（3）如图2，的延长线交于点，若，求证：
28、【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）圆周角定理，得到，进而得到，即可得出结论；（2）勾股定理求出的长，平行得到，进而得到，证明，得到，同角的余角相等，得到，解，即可得解；（3）等边对等角得到，圆周角定理，得到，利用等角的余角相等，得到，即可得证【小问1详解】证明：为的直径，为的半径，是的切线【小问2详解】解：为的直径， ，即：，【小问3详解】证明：，【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键26. 已知二次函数（1）若，且该二次函数的图象经过点，
29、求关于的一元二次方程根的判别式的值；（2）如图1，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中，与轴交于点，二次函数的顶点，连接并延长交轴于点，连接，且满足求证：；如图2，过点作轴交二次函数的图象于点，过点作轴于点，若四边形为正方形，令，求的最小值【答案】（1） （2）见解析；【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解；（2）根据抛物线解析式求得的坐标，得出直线的解析式，进而求得的坐标，证明，进而得出，根据根与系数的关系以及勾股定理的逆定理进行证明即可求解；根据正方形的性质得出，即结合的条件，得出，代入，根据二次函数的性质即可求解【小问1详解】，且该二次函数的图象经过点，【小问2详解】由，当时，顶点坐标为，设直线的解析式为，解得：直线的解析式为：当时，。，,即，设的横坐标分别为，,即，即，又，；轴，,四边形是正方形，即，由可得，将，代入，当时，有最小值为【点睛】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键
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