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    2023年中考数学高频考点突破训练:圆的综合(3)含答案解析

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    2023年中考数学高频考点突破训练:圆的综合(3)含答案解析

    1、 2023年中考数学高频考点突破训练圆的综合1如图,在O中,AB是直径,点D是O上一点且BOD=60,过点D作O的切线CD交AB的延长线于点C,E为的中点,连接DE,EB(1)求证:四边形BCDE是平行四边形;(2)已知图中阴影部分面积为6,求O的半径r2如图,AB为O的直径,点C,D在O上,且BC6cm,AC8cm,ABD45(1)求BD的长;(2)求图中阴影部分的面积3在O中,直径AB6,BC是弦,ABC30,点P在BC上,点Q在O上,且OPPQ(1)如图1,当PQAB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值4如图,O是ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接

    2、CD,且AE=DE,BC=CE(1)求ACB的度数;(2)过点O作OFAC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长5如图,以ABC的一边AB为直径作O,O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作O的切线交AC于点E(1)求证:DEAC;(2)若AB=3DE,求tanACB的值6如图,已知P是O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦ABOC,劣弧AB的度数为120,连接PB(1)求BC的长;(2)求证:PB是O的切线7如图,在ABC中,以BC为直径作半圆0,交AB于点D,交AC于点EAD=AE(1)求证:AB=AC;(2)若BD=4,BO=,求AD的长8如图,AB为O

    3、的直径,点C为O上一点,若BAC=CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D(1)试判断CD与O的位置关系,并说明理由;(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,O的半径为3,并且CAB=30,求CE的长9如图,在ABC中,B=60,O是ABC的外接圆,过点A作O的切线,交CO的延长线于点M,CM交O于点D(1)求证:AM=AC;(2)若AC=3,求MC的长10如图,PA,PB分别切O于点A,B,连结PO,AB相交于点D,C是O上一点,C60.(1)求APB的大小;(2)若PO20 cm,求AOB的面积11如图,ABC中,ACB=90,D是边AB上一点,且A=2DCBE是BC边上的一点,以

    4、EC为直径的O经过点D(1)求证:AB是O的切线;(2)若CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长12如图,A,P,B,C是半径为8的O上的四点,且满足BAC=APC=60,(1)求证:ABC是等边三角形;(2)求圆心O到BC的距离OD13如图,AB,CD是O的直径,点E在AB延长线上,FEAB,BE=EF=2,FE的延长线交CD延长线于点G,DG=GE=3,连接FD(1)求O的半径;(2)求证:DF是O的切线14如图,在ABC中,AB=BC,以AB为直径的O交AC于点D,DEBC,垂足为E(1)求证:DE是O的切线;(2)若DGAB,垂足为点F,交O于点G,A=35,O半径为5,求劣弧DG的

    5、长(结果保留)15如图,在O中,直径AB与弦CD相交于点P,CAB=40,APD=65.(1)求B的大小;(2)已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长.16如图,AB是O的直径,BCAB于点B,连接OC交O于点E,弦ADOC(1)求证:;(2)求证:CD是O的切线17如图在O中弦BC垂直于半径OA垂足为ED是优弧BC上一点连接BD、AD、OC,ADB=30(1)求AOC的度教;(2)若弦BC=6cm求图中阴影部分的面积18如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且ACB=DCE(1)判断直线CE与O的位置关系,并证明你的结论;(2)若ta

    6、nACB=,BC=2,求O的半径参考答案1(1)证明见试题解析(2)6【分析】(1)连接OE,先由CD是O的切线,得到ODCD,于是得到BECD,再证明DEBC,即可证得结论;(2)连接OE,设BE与OD交于F,由(1)知ODE是等边三角形,OFBF,即可得到,则,根据扇形的面积公式列方程即可得到结论(1)解:连接OE,BOD=60,AOD=120,E是的中点,ODBE,CD是圆O的切线,ODCD, OE=OD,DOE是等边三角形,EDO=BOD=60, 四边形BCDE是平行四边形;(2)解:连接OE,设BE与OD交于F,由(1)知ODE是等边三角形,OFBF,F是OD的中点,F是BE的中点,

    7、 阴影部分面积为6,r=6【点评】本题主要考查了切线的性质,平行四边形的性质与判定,垂径定理,等边三角形的性质与判定,弧、弦、圆心角的关系,扇形面积,正确作出辅助线是解题的关键2(1)BD5cm;(2)S阴影cm2【分析】(1)由AB为O的直径,得到ACB=90,由勾股定理求得AB,OB=5cm连OD,得到等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到结论;(2)根据S阴影=S扇形SOBD即可得到结论【解析】(1)AB为O的直径,ACB=90,BC=6cm,AC=8cm,AB=10cmOB=5cm连OD,OD=OB,ODB=ABD=45BOD=90BD=cm(2)S阴影=S扇形SOBD=5255=cm2

    8、3(1);(2)【分析】(1)在RtOPB中,由OP=OBtanABC可求得OP=,连接OQ,在RtOPQ中,根据勾股定理可得PQ的长;(2)由勾股定理可知OQ为定值,所以当OP最小时,PQ最大根据垂线段最短可知,当OPBC时OP最小,所以在RtOPB中,由OP=OBsinABC求得OP的长;在RtOPQ中,根据勾股定理求得PQ的长【解析】解:(1)OPPQ,PQAB,OPAB在RtOPB中,OP=OBtanABC=3tan30=连接OQ,在RtOPQ中,(2) 当OP最小时,PQ最大,此时OPBCOP=OBsinABC=3sin30=PQ长的最大值为考点:解直角三角形;勾股定理4(1)ACB

    9、=60;(2)AB=7【分析】(1)由题意可得出AEBDEC,从而可得出EBC为等边三角形,即可得出答案;(2)由已知得出EF,BC的长,进而得出CM,BM的长,再求出AM的长,再由勾股定理求出AB的长【解析】解:(1)在AEB和DEC中,AEBDEC(ASA),EB=EC,又BC=CE,BE=CE=BC,EBC为等边三角形,ACB=60;(2)OFAC,AF=CF,EBC为等边三角形,GEF=60,EGF=30,EG=2,EF=1,又AE=ED=3,CF=AF=4,AC=8,EC=5,BC=5,作BMAC于点M,BCM=60,MBC=30,CM=,BM=,AM=ACCM=,AB=【点评】本题

    10、考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点,综合性较强,掌握基本图形的性质,熟练运用勾股定理是解题关键5(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接OD,可以证得DEOD,然后证明ODAC即可证明DEAC;(2)利用ADECDE,求出DE与CE的比值即可(1)证明:连接OD,D是BC的中点,OA=OB,OD是ABC的中位线,ODAC,DE是O的切线,ODDE,DEAC;(2)解:连接AD,AB是O的直径,ADB=90,DEAC,ADC=DEC=AED=90,ADE+CDE=DCE+CDE=90,ADE=DCE在ADE和CDE中,CDEADE,设tan

    11、ACB=x,CE=a,则DE=ax,ADBC,D是BC的中点,AC=AB,AB=3DE, AC=3ax,AE=3axa,整理得:x23x+1=0,解得:x=,tanACB=【点评】本师生考查切线的性质,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,圆周角定理的推论,三角形中位线定理,熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形中位线定理是解题的关键6(1)2(2)见解析【分析】1)连接OB,由弦ABOC,劣弧AB的度数为120,易证得OBC是等边三角形,则可求得BC的长(2)由OC=CP=2,OBC是等边三角形,可求得BC=CP,即可得P=CBP,又由等边三角形的性质,OBC=

    12、60,CBP=30,则可证得OBBP,从而证得PB是O的切线【解析】解:(1)连接OB,弦ABOC,劣弧AB的度数为120,弧BC与弧AC的度数为:60BOC=60OB=OC,OBC是等边三角形OC =2,BC=OC=2(2)证明:OC=CP,BC=OC,BC=CPCBP=CPBOBC是等边三角形,OBC=OCB=60CBP=30OBP=CBP+OBC=90OBBP点B在O上,PB是O的切线7(1)见解析(2)6【分析】(1)连接CD、BE,利用直径所对圆周角900,由ASA证明ADCAEB得AB=A C(2)由OBDABC得,求得AB=10,因此由 AD=ABBD求解【解析】解:(1)证明:

    13、连接CD、BE, BC为半圆O的直径,BDC=CEB=90ADC=AEB=90又AD=AE,A=AADCAEB(ASA)AB=AC(2)连接OD,OD=OBOBD=ODBAB=ACOBD=ACBODB=ACB又OBD=ABCOBDABCBO=BC=又BD=4解得AB=10AD=ABBD=68(1)直线CD与O相切(2)【分析】(1)要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时,只需连接圆心和这点,再证过已知点的半径垂直于这条直线即可因此,连接CO,根据OCA=CAM,证明OCAD,再根据CDAD,得OCCD,从而证明CD是O的切线(2)由题意得COE=2CAB=60,则在RtCOE中应用正切函数定义即

    14、可求解【解析】解:(1)直线CD与O相切理由如下:连接OC,OA=OC,BAC=OCABAC=CAM,OCA=CAMOCADCDAD ,OCCDOC是O的半径,直线CD与O相切(2)CAB=30,COE=2CAB=60在RtCOE中,OC=3,CE=OCtan60=【点评】本题考查了切线的判定与性质,正切的定义,等腰三角形的性质等知识,证明切线是解题的关键9(1)证明见解析(2)3 【解析】试题分析:(1)连接OA,可求出AOC=120,得到OCA的度数,由切线的性质求出M的度数,即可得到答案;(2)作AGCM于G,由直角三角形的性质求出AG的长,由勾股定理求出CG,即可得到答案试题解析:(1

    15、)连接OA,AM是O的切线,OAM=90,B=60,AOC=120,OA=OC,OCA=OAC=30,AOM=60,M=30,OCA=M,AM=AC;(2)作AGCM于G,OCA=30,AC=3,AG=,由勾股定理的,CG=,则MC=2CG=考点:切线的性质10(1)60(2)25【分析】(1)由PA、PB分别切O于A、B,由切线的性质,即可得OAPA,OBPB,又由圆周角定理,求得AOB的度数,继而求得APB的大小(2)由切线长定理,可求得APO的度数,继而求得AOP的度数,易得PO是AB的垂直平分线,然后利用三角函数的性质,求得AD与OD的长,从而求得答案(1)解:PA、PB分别切O于A、

    16、B,OAPA,OBPB,PAO=PBO=90,C=60,AOB=2C=260=120,APB=360-PAO-PBO-AOB=60;(2)解:PA、PB分别切O于A、B,PAO=PBO=90,APO=APB=60=30,PA=PB,P在AB的垂直平分线上,OA=OB,O在AB的垂直平分线上,即OP是AB的垂直平分线,即ODAB,AD=BD=AB,PAO=90,AOP=60,在RtPAO中,AO=PO=20=10,在RtAOD中,AD=AOsin60=10=5,OD=OAcos60=10=5,AB=2AD=10,AOB的面积为:ABOD=105=25【点评】本题考查了切线的性质,切线长定理,圆周

    17、角定理,三角函数以及线段垂直平分线的判定和性质,掌握切线的相关知识是解题的关键11(1)证明见解析;(2)BD=2.【分析】(1)连接OD,如图1所示,由OD=OC,根据等边对等角得到一对角相等,再由DOB为COD的外角,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,等量代换可得出DOB=2DCB,又A=2DCB,可得出A=DOB,又ACB=90,可得出直角三角形ABC中两锐角互余,等量代换可得出B与ODB互余,即OD垂直于BD,确定出AB为圆O的切线,得证;(2)过O作OM垂直于CD,根据垂径定理得到M为DC的中点,由BD垂直于OD,得到三角形BDO为直角三角形,再由BE=OE=OD,得到O

    18、D等于OB的一半,可得出B=30,进而确定出DOB=60,又OD=OC,利用等边对等角得到一对角相等,再由DOB为三角形DOC的外角,利用外角的性质及等量代换可得出DCB=30,在三角形CMO中,根据30角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的长求出OC的长,进而确定出OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长;【解析】(1)证明:连接OD,如图1所示:OD=OC,DCB=ODC,又DOB为COD的外角,DOB=DCB+ODC=2DCB,又A=2DCB,A=DOB,ACB=90,A+B=90,DOB+B=90,BDO=90,ODAB,又D在O上,AB是O的切线;(2)过点

    19、O作OMCD于点M,如图1,OD=OE=BE=BO,BDO=90,B=30,DOB=60,OD=OC,DCB=ODC,又DOB为ODC的外角,DOB=DCB+ODC=2DCB,DCB=30,在RtOCM中,DCB=30,OM=1,OC=2OM=2,OD=2,BO=BE+OE=2OE=4,在RtBDO中,根据勾股定理得:BD=;【点评】考点: 1.切线的判定;2.含30度角的直角三角形;3.垂径定理;4圆周角定理.12(1)证明见解析(2)4【解析】解:(1)证明:APC和ABC是同弧所对的圆周角,APC=ABC 又在ABC中,BAC=APC=60,ABC=60ACB=180BACABC=180

    20、6060=60ABC是等边三角形(2)连接OB,ABC为等边三角形,O为其外接圆,O为ABC的外心BO平分ABCOBD=30.OD=8=4(1)根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知BAC=APC=60可得ABC的每一个内角都等于60,从而得证(2)根据等边三角形三线合一的性质,得含30度角直角三角形OBD,从而根据30度角所对边是斜边一半的性质,得OD=8=413(1)2;(2)证明见解析【分析】(1)O半径为R,则OD=OB=R,在RtOEG中,OEG=90,由勾股定理得出方程(R+3)2=(R+2)2+32,求出即可;(2)证FDGOEG,推出FDG=OEG=90,求出ODDF,根据切线的

    21、判定推出即可【解析】解:(1)设O半径为R,则OD=OB=R,在RtOEG中,OEG=90,由勾股定理得:OG2=OE2+EG2,(R+3)2=(R+2)2+32,R=2,即O半径是2(2)OB=OD=2,OG=2+3=5,GF=2+3=5=OG,在FDG和OEG中FDGOEG(SAS),FDG=OEG=90,ODF=90,ODDF,OD为半径,DF是O的切线【点评】本题考查切线的判定;全等三角形的判定与性质;勾股定理14(1)见解析;(2)【分析】(1)连接BD,OD,求出ODBC,推出ODDE,根据切线判定推出即可(2)求出BOD=GOB,从而求出BOD的度数,根据弧长公式求出即可【解析】

    22、解:(1)证明:连接BD、OD,AB是O直径,ADB=90BDACAB=BC,AD=DCAO=OB,DOBCDEBC,DEODOD为半径,DE是O切线(2)连接OG,DGAB,OB过圆心O,弧BG=弧BDA=35,BOD=2A=70BOG=BOD=70GOD=140劣弧DG的长是15(1)证明见解析;(2)AD=2OE=6【分析】(1)由同弧所对的圆周角相等求得CAB=CDB=40,然后根据平角是180求得BPD=115;最后在BPD中依据三角形内角和定理求B即可;(2)过点O作OEBD于点E,则OE=3根据直径所对的圆周角是直角,以及平行线的判定知OEAD;又由O是直径AB的半径可以判定O是

    23、AB的中点,由此可以判定OE是ABD的中位线;最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度【解析】解:(1)CAB=CDB(同弧所对的圆周角相等),CAB=40,CDB=40;又APD=65,BPD=115;在BPD中,B=180-CDB-BPD=25;(2)过点O作OEBD于点E,则OE=3AB是直径,ADBD(直径所对的圆周角是直角);OEAD;又O是AB的中点,OE是ABD的中位线,AD=2OE=616(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)连接OD,由平行可得DAO=COB,ADO=DOC;再由OA=OD,可得出,DAO=ADO,则COB=COD,从而证出;(2)由(1)得,COD

    24、COB,则CDO=B又BCAB,则CDO=B=90,从而得出CD是O的切线【解析】证明:(1)连接ODADOC,DAO=COB,ADO=DOC,又OA=OD,DAO=ADO,COB=COD,;(2)由(1)知DOE=BOE,在COD和COB中,CO=CO,DOC=BOC,OD=OB,CODCOB,CDO=B又BCAB,CDO=B=90,即ODCD即CD是O的切线【点评】本题考查了切线的判定和圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系,注:在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弧、弦中有一组量相等,其余各组量也相等17(1);(2).【分析】(1)先根据垂径定理得出,再根据圆周角定理即可得出的度数;(2)先根据勾股定理得出的长,再连接,求出的度数,再根据计算即可.【解析】(1)连接,(2),在中,.【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角函数的定义、扇形面积的计算及勾股定理,熟知以上知识是解答此题的关键.18(1)相切(2)【解析】解:(1)直线CE与相切.理由如下:四边形ABCD是矩形,.又,如答图所示,连接OE,则,.,即又OE是的半径,直线CE与相切.(2), ,.又,.方法一:在中,, .连接OE,设的半径为r,则在中,即,解得.方法二:,过点O作于点M,则.在中,


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