1、专题1 有理数【知识要点】知识点一 有理数基础概念n 有理数正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。【易错点】1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。2）-a可能是正数、负数或0。(当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a=0时，-a=0， 0不分正负。)3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。【如何判断一组
2、词是否具有相反意义的量】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示热考题型一 理解正数与负数【解题思路】1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。 2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。典例1（2022云南中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家若零上10记作+10，则零下10可记作（）A10B0C-10 D-20变式1-1（2022四川巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（）A(-1)2B|-3|C-
3、(-5)D3-8变式1-2（2022江苏镇江中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响大致海拔每升高100米，气温约下降0.6C有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6C，则此时山顶的气温约为_C有理数的分类：【易错点】1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333.等）2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：)3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。4）最小的正整数 _1_。最大的负整数 _-1_。最小的自然数 _0_。热考题型二 理解有
4、理数【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。典例2（2021广西来宾中考真题）下列各数是有理数的是（ ）ABCD变式2-1（2021山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）A负数B正数C零D非正数变式2-2（2019湖北咸宁中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）A是正数B是负数C是有理数D是无理数变式2-3（2019四川乐山中考真题）一定是（ ）A正数B负数CD以上选项都不正确n 数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。【易错点】1）数轴是一条可向两段无限
5、延伸直线。2）数轴的三要素缺一不可。3）同一数轴上的单位长度要统一。4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。利用数轴比较两个数大小：依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。热考题型三 用数轴上的点表示有理数【解题思路】任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。典例
6、3（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A2B12C2D3变式3-1（2022广西玉林中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2-x2-4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是()ABCD或变式3-2（2022山东临沂中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA若点B表示的数是6，则点A表示的数是（）A-2B-3C-4D-5变式3-3（2020江苏盐城中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）ABCD变式3-4（2020北京中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是（ ）A2B-1C-2D-3变式3-5（2
7、020内蒙古中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）A或1B或2CD1热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负【解题思路】数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。典例4（2022宁夏中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（）A-2B-1C0D2变式4-1（2022四川内江中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A12a12bBabCa+b0D|a|b|0变式4-2（2022内蒙古内蒙古中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+
8、|a-1|的化简结果是（）A1B2C2aD12a变式4-3（2022江苏镇江中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（）Aa+b0Bb-a2bDa+20, 若aa=-1，则a0,b0,则a+b=+|a|+|b|；若a0,b0,b|b|,则a+b=+|a|-|b|若a0,b0,且|a|0,b0，N0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5lg2+lg2的值为（）A5B2C1D0变式13-3（2022湖南长沙中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大保密性强、追踪性高等特点，
9、它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力看似“码码相同”，实则“码码不同”通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210=1024,103=
10、1000，所以我估计2200比1060大其中对2200的理解错误的网友是_（填写网名字母代号）热考题型十四 有理数混合运算【解题思路】掌握有理数的混合运算运算顺序典例14（2022山东烟台中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图若x5，y3，则输出结果为 _变式14-1（2022山东烟台中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _变式14-2（2022湖北宜昌中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家两
11、千多年前战国时期李悝所著的法经中已出现使用负数的实例九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法请计算以下涉及“负数”的式子的值：-1-32=_变式14-3（2022浙江丽水中考真题）计算：9-(-2022)0+2-1变式14-4（2022广西中考真题）计算：(-1+2)3+22+-4变式14-5（2022广西柳州中考真题）计算：3（1）+22+|4|变式14-5（2022山东临沂中考真题）计算：(1)-234916-13；(2)1x+1-1x-1n 科学记数法形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整
12、数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a10-n的形式.(1a10，n是正整数)【易错点（表示小于1的数）】n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）【解题小技巧】科学记数法的表示的数a10n还成成原数时，n0时，小数点就向右移动n位得到原数； n0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。n 近似数和有效数字在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得
13、到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。热考题型十五 科学记数法与近似数【解题思路】熟记科学记数法和近似数的定义典例15（2022浙江杭州中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（）A14.126108B1.4126109C1.4126108
14、D0.141261010变式15-1（2022河南中考真题）孙子算经中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿，则1兆等于（）A108B1012C1016D1024变式15-2（2022湖南邵阳中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a1012，则a的值是（）A0.11B1.1C11D11000变式15-3（2022广东深圳中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元1.5万亿用科学记数法表示（）A0.151013B1.51012C1.51013D1510
15、12变式15-4（2022山东济宁中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（）A0.015B0.016C0.01D0.02专题1 有理数热考题型一 理解正数与负数【解题思路】1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。 2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。典例1（2022云南中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家若零上10记作+10，则零下10可记作（）A10B0C-10 D-20【详解】解：若零上10C记作+10C，则零下10C可记作：-10C故选：C变式1-1（202
16、2四川巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（）A(-1)2B|-3|C-(-5)D3-8【详解】解：(-1)2=1，是正数，故 A 选项不符合题意；|-3|=3，是正数，故 B 选项不符合题意；-(-5)=5，是正数，故 C 选项不符合题意；3-8=-2，是负数，故 D 选项符合题意变式1-2（2022江苏镇江中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响大致海拔每升高100米，气温约下降0.6C有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6C，则此时山顶的气温约为_C【详解】解：山顶的气温约为6-2350-3501000.6=-6故答案：6或
17、零下6有理数的分类：【易错点】1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333.等）2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：)3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。4）最小的正整数 _1_。最大的负整数 _-1_。最小的自然数 _0_。热考题型二 理解有理数【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。典例2（2021广西来宾中考真题）下列各数是有理数的是（ ）ABCD【详解】解：四个选项的数中：，是无理数， 0是有理数，故选项D符合题意故选：D变式2-1（2
18、021山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）A负数B正数C零D非正数【详解】解：由x|x|0得，|x|x，负数或零的绝对值等于它的相反数，x一定是负数或零，即非正数故选：D变式2-2（2019湖北咸宁中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）A是正数B是负数C是有理数D是无理数【详解】既不是正数也不是负数，是有理数故选C变式2-3（2019四川乐山中考真题）一定是（ ）A正数B负数CD以上选项都不正确【详解】a可正、可负、也可能是0选D.【名师点拨】本题考查有理数的分类，解本题的关键是掌握a不确定正负性，-a就无法确定.n 数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：
19、原点、正方向、单位长度。画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。【易错点】1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。2）数轴的三要素缺一不可。3）同一数轴上的单位长度要统一。4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。利用数轴比较两个数大小：依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。热考题型三 用数轴上的点表示有理数【解题思路】任何
20、有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。典例3（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A2B12C2D3【详解】解：点A表示的数为2，2的相反数为2，故选：C变式3-1（2022广西玉林中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2-x2-4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是()ABCD或【详解】解：2xx+2-x2-4(x+2)2=2xx+2x+22-x2-4(x+2)2=2x2+4x-x2+4x+22=x+22(x+2)2=1；故选B变式3-2（2022山东临沂中考真题）如图，A，B位
21、于数轴上原点两侧，且OB=2OA若点B表示的数是6，则点A表示的数是（）A-2B-3C-4D-5【详解】解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，OB=6, OB=2OA，OA=3, A在原点的左侧，A表示的数为-3, 故选B变式3-3（2020江苏盐城中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）ABCD【详解】由图可得，故选C变式3-4（2020北京中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是（ ）A2B-1C-2D-3【详解】由数轴的定义得：又到原点的距离一定小于2，观察四个选项，只有选项B符合故选：B变式3-5（2020内蒙古中考真题）点A在数轴上
22、，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）A或1B或2CD1【详解】解：由题意得：|2a+1|=3当2a+10时，有2a+1=3，解得a=1当2a+10时，有2a+1=-3，解得a=-2所以a的值为1或-2故答案为A【名师点拨】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负【解题思路】数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。典例4（2022宁夏中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（）A-2B-1C0D2【详解】解：由数轴上点的位置可得a0，aa+bb=a-a+bb=-1+1=0，故选：C变式4-1（2022四川内江中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A12a12bBabCa+b0D|a|b|0【详解】解：由题意得：ab，2a2b，12a12b，A选项的结论成立；ab，ab，B选项的结论不成立；2a1，2b3，1a2，2b3ab，a+b0，C选项的结论不成立；aba-b0，D选项的结论不成立故选：A变式4-2（2022内蒙古内蒙古中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a-1|的化简结果是（）A1B2C2aD12a【详解】解根据数
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