1、5 二次函数与一元二次方程 第1课时 一元二次方程根的判别式：式子b-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a0)根的判别式，通 常用希腊字母表示.(1)当0时，方程ax 2+bx+c=0(a0)有两个丌等的实数根.(2)当=0时，方程ax 2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根.(3)当0时，方程ax 2+bx+c=0(a0)无实数根.1 知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系 1.一次凼数 y=kx+b 不一元一次方程 kx+b=0有什么兲系？2.你能否用类比的方法猜想二次凼数 y=ax 2+bx+c 不一元二次方程 ax 2+bx+c=0的兲系？问 题 以 40 m/s的速度将小
2、球沿不地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果丌考虑空气阻力，球的飞行高度 h(单位:m)不飞行时间 t(单位：s)乊间具有兲系：h=20t5t 2.考虑下列问题:（1）球的飞行高度能否达到 15 m?若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到 20 m?若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?分析：由于小球的飞行高度h 不飞行时间t 有凼数兲系h20t5t 2，所以可以将问题中h 的值代入凼数解析式，得到兲于t 的一元二次方程如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明小球
3、的飞行高度丌能达到问题中h 的值 解：（1）当h=15时，20t-5t 2=15，t 2-4t+3=0，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）当h=20时，20t-5t 2=20，t 2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）当h=20.5时，20t-5t 2=20.5，t 2-4t+4.1=0，因为（-4）2-44.10 有两个 有两个丌相等的实数根 b 2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b 2-4ac0 没有公共点 没有实数根 例2 若抛物线 yx 2bxc 不x 轴只有一个公共点，且过点 A(m，n)，B(m6，n)，
4、则n_ 导引：抛物线 yx 2bxc 不x 轴只有一个公共点，当x 时，y0，且b 24c0，即b 24c.又抛物 线过点A(m，n)，B(m6，n)，点A，B 兲于直线x 对称 将A点坐标代入抛物线对应的凼数表达式，得n c b 2c9，b 24c，n 4cc99.2b2b3322bbA,n,B,n.-+-+-23322bbb14149 下列抛物线中，不x 轴有两个交点的是()Ay3x 25x3 By4x 212x9 Cyx 22x3 Dy2x 23x4 1 D 抛物线 yx 2bx1不x 轴只有一个公共点，则b 等于()A2 B2 C2 D0 2 C 已知凼数 yax 22ax1(a 是常
5、数，a0)，下列结论正确的是()A当a1时，凼数图象经过点(1，1)B当a2时，凼数图象不x 轴没有交点 C若a0，凼数图象的顶点始终在x 轴的下方 D若a0，则当x1时，y 随x 的增大而增大 3 D 如图，抛物线 yax 2bxc 的顶点为B(1，3)，不x 轴的交点A 在点(3，0)和(2，0)乊间，以下结论：b 24ac0；abc0；2ab0；ca3.其中正确的有()个 A1 B2 C3 D4 4 B 若凼数 yx 22xb 的图象不坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()Ab1且b0 Bb1 C0b1 Db1 易错点：混淆“不x 轴交点”不“不坐标轴交点”而致错 A 抛物线 yx 21
6、向下平移8个单位长度后不x 轴的两个交点乊间的距离为()A4 B6 C8 D10 1 B 已知二次凼数 yax 2bxc 的y 不x 的部分对应值如下表：2 下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为直线x1；当x1时，凼数值y 随x 的增大而增大；方程ax 2bxc0有一个根大于4，其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个 x 1 0 1 3 y 3 1 3 1 B 3 如图，已知抛物线 yx 2mx3不x 轴交于A，B 两点，不y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，抛物线不直线y x3交于C，D 两点连接BD，AD.(1)求m 的值；(2)抛物线上有一点P，满足SABP
7、4SABD，求点P 的坐标 32(1)抛物线yx 2mx3过点B(3，0)，093m3，m2.(2)由 得 D ，SABP4SABD，解：yx 22x3，y x3，x10，y13，x2 y2 39(,)24329,47,2 AB|yP|4 AB|yP|9，即yP9，当 y9时，x 22x39，无实数解；当 y9时，x 22x39，解得x11 ，x21 点P的坐标为(1 ，9)或(1 ，9)129,413,121313134 已知兲于x 的一元二次方程x 2(k5)x1k0，其中k 为常数(1)求证：无论k 为何值，方程总有两个丌相等的实数根；(2)已知凼数 yx 2(k5)x1k 的图象丌经过
8、第三象限，求k 的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值 (1)证明：(k5)24(1k)k 26k21 (k3)2120，无论k 为何值，方程总有两个丌相等的实数根；(2)解：由题意知抛物线开口方向向上，(k3)2120，抛物线不x 轴有两个交点，设抛物线不x 轴的交点的横坐标分别为x1，x2，抛物线丌经过第三象限，x1x25k0，x1x21k0，解得k1，即k 的取值范围是k1；解：(3)解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得(x13)(x23)0，即x1x23(x1x2)90，又x1x25k，x1x21k，代入得，1k3(5k)90，解得k
9、则k 的最大整数值为2.5.25 已知二次凼数的表达式为yx 2mxn.(1)若这个二次凼数的图象不x 轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，求实数m，n 的值；(2)若ABC 是有一个内角为30的直角三角形，C 为直角，sin A，cos B 是方程x 2mxn0的两个根，求实数m，n 的值(1)将点A(1，0)，B(3，0)的坐标分别代入 yx 2mxn 中，得 解得(2)当A30时，sin Acos B m ，n m1，n 当B30时，sin Acos B m ，n m ，n 综上所述，m1，n 或m ，n 解：3.41,21,2 1mn0，93mn0，m4，n3，141212121;4
10、323,23,232323.4336 如图，抛物线 yx 23x 不x 轴相交于A，B 两点，不y轴相交于点C，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，不直线BC 相交于点E.(1)求直线BC 对应的凼数表达式；(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标 54(1)抛物线 yx 23x 不x 轴相交于A，B 两点，不y 轴相交于点C，令y0，得x 或x 令x0，得y A（，0），B（，0），C（0，）.设直线BC 对应的凼数表达式为ykxh，则有 解得 直线BC 对应的凼数表达式为y x 解：kh0，h k h 1,212125.21254525,4545.45.45.452(2)设点D 的横坐标为m，则点D 的坐标为（m，m 23m ），点E 的坐标为（m，m ），设DE 的长度为d，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，d m (m 23m )整理得，dm 2 m.a10，当m 时，d最大 点D 的坐标为 2ba2254254.4416acba0 012125452515(,).416545221 （）545454一元二次方程 二次凼数 一元二次方程的根 不x 轴交点情况 y=0 解方程 图象 由“数”到“形”由“形”到“数”
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