1、新海、宿迁两校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，集合且，则（ ）A. B.C. D.2.若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）A. B.C. D.3.已知向量，且，则的最大值为（ ）A.1 B.2 C. D.44.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭中庭下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼第二眼第三眼第四眼第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近
2、似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A. B. C. D.5.已知等比数列的各项均为正数，它的前项和为，且，则（ ）A.27 B.64 C.81 D.1286.设，则（ ）A. B.C. D.7.已知直线经过抛物线的焦点且与交于两点，设线段的中点为，过作与轴垂直的直线与抛物线的准线交于点，设直线的斜率分别为，则的最小值为（ ）A. B. C.2 D.18.若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）A.1 B.2 C.3 D.无数条二多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
3、部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线C：，两个焦点记为，下列说法正确的是（ ）A.B.渐近线方程为：C.离心率为D.点在双曲线上且线段的中点为，若，则10.设函数，已知在有且仅有3个极小值点，则（ ）A.在上可能有6个零点B.在有且仅有2个极大值点C.的取值范围是D.在上单调递减11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱上一点，是的中点，则（ ）A.存在棱上的点，使得B.四面体的体积为C.三棱锥的内切球的表面积为D.当为棱的中点时，平面平面12.已知直线与圆相交于两不同的点，与两坐标轴分别交于C，D两点，则下列说法正确的是（ ）A.的取值范围为B.的最大值为C.直线一定
4、与圆相离D.存在使得三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.现有橡皮泥制作的表面积为的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的侧面积为_.14.已知为第二象限角，且，则_.15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，新海市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为4的圆，圆心到伞柄底端距离为4，阳光照射抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，新海市的阳光与地面夹角为），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为_.16.如图，是面积为2的等腰直角
5、三角形，记的中点为，以为直角边第一次构造等腰Rt，记的中点为，以为直角边第二次构造等腰Rt，以此类推，当第次构造的等腰Rt的直角边所构成的向量与同向时，构造停止，则构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为_.四解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）某学校对男女学生是否喜欢名著阅读进行了调查，调查男女生人数均为统计得到以下列联表，经过计算可得男生女生合计喜欢
6、不喜欢合计（1）完成表格并求出值；（2）为弄清学生不喜欢名著阅读的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对名著阅读喜欢的人数为，求的数学期望.附：20.（本小题满分12分）如图多面体中，四边形是菱形，平面，.（1）证明：平面；（2）在棱上有一点（不包括端点），使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.21.（本小题满分12分）已知双曲线过点，点在双曲线的渐近线上，点，过作直线交双曲线于两点（其中不平行于轴），直线与轴交于点，
7、直线与轴交于点.（1）求的方程；（2）若，求直线的方程.22.（本小题满分12分）已知函数和，它们的图像分别为曲线和.（1）求函数的单调区间；（2）证明：曲线和有唯一交点；（3）设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.参考答案一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AC 10.ACD 11.ABD 12.ACD.三填空题：本大题共4小
8、题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 16.四解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（1）在中，的对边分别为，由正弦定理得.，即.（2）由题意，则，则，由，得，则，故的取值范围为18.（本小题满分12分）解：（1）依题意，所以，两式相减得，化简得，又时，得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，（2）当为偶数时，；当为奇数时，所以19.（本小题满分12分）解：（1）列联表如下表所示男生女生合计喜欢不喜欢合计，（2）采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢名著阅读的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4人，女生的人数为5
9、人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，至少抽到一名女生的概率为由题意知.（本小问也可以先求分布列，再求期望）20.（本小题满分12分）（1）证明：取的中点，连接，因为，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为是菱形，所以，且，所以且，所以四边形是平行四边形，又平面平面，所以平面.（另可以通过证明平面平面，同样得分）（2）平面平面，且，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设在棱上存在点使得平面与平面的夹角余弦值为，则设，所以设平面的一个法向量为，则，即，令，得设平面的一个法向量为，则，即，取，得，.，解得或，又，此时，点到平面的距离.21.（本小题满分12分）解：（1）由题意知，可得，所以的方程为.（2）设，即，设点联立方程得由韦达定理得，又，且.直线，令可得，直线，令可得，.，即即且的方程为：或.22.（本小题满分12分）解：（1），令，则，当时，递增；当时，递减；故的单调增区间为，单调减区间为.（2），设，则，令，则，易知，即，又易证，所以在为减函数，又，即，由零点存在定理知，在存在唯一的零点，即方程有唯一解，等价于曲线和有唯一交点.（3）由（1）知，同理易知，并且由（2）知，直线必过曲线和的交点，且，即，故有，且，由（1）知在上递增，同理，即，即成等比数列.
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