1、达州市2023届毕业年级第一次诊断测试模拟考试文科数学试卷一 单选题（5分*12）1. 设集合 M=xx2=x,N=xlgx0, 则MN等于（ ）A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,12. 如图, 若向量 OZ对应的复数为z, 则z+4z表示的复数为（ ）A.1+3iB.-3-iC.3-iD.3+i3. 已知函数 f(x)=13x3-f(2)x2+x-3, 则f(2)=（ ）A.-1B.1C.-5D.54. 设条件甲: “事件 A与B是对立事件”, 结论乙: “概率满足P(A)+P(B)=1” , 则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、5. 执行程序框图, 则输出的 S的值为（ ）A.31B.32C.63D.646. 已知平面向量 a,b是非零向量,|b|=2,a、b夹角120, 则向量b在向量a方向上的投影为（ ）A.-1B.1C.-2D.27. 已知直线 ax+by-1=0(a0,b0)与圆x2+y2=4相切, 则log2a+log2b的最大值为（ ）A.3B.2C.-2D.-38. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近
3、线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A.y212-x24=1B.3y24-x24=1C.x24-y24=1D.y216-x24=19. 已知定义在 R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x), 当x-1,1时,f(x)=x3-3x, 则f(2023)等于（ ）A.1B.-2C.-1D.210. 已知函数 f(x)=sinx+6(0)在区间-4,23上单调递增, 则的取值范围为（ ）A.0,83B.0,12C.12,83D.83,211. 某顾客在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式购买一辆价值 2 万元的家电, 在购买一个 月后 2 月
4、1 日第一次还款, 且以后每个月 1 日等额还款一次, 如果一年内还清全部贷款 (12月 1 日最后一次还款), 月利率为0.5%.按复利计算, 则该顾客每个月应还款多少元? (精确到 1 元, 参考值1.00510=1.05,1.00511=1.06（ ）A.1767B.1818C.1923D.194612. 如图所示, 设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 点P是棱AD上一点, 且AP=a3, 过B1,D1,P的平面交平面ABCD于PQ,Q在直线CD上, 则PQ=（ ）A.223aB.23aC.22aD.233a二 填空题（5分*4）13. 设变量 x,y满足约束条件:x+y-
5、30,x-y0,y0,则目标函数z=x+2y的最大值为_.14. 已知数列 an满足2an=an-1+an+1(n2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9, 则a3+a4等于_.15. 已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点, 若抛物线y2=2x的焦点为F, 点Q是抛物线上的一动点, 则|MQ|-|QF|的最小值是_.16. 已知当 xe时, 不等式xa+1x-e1xalnx恒成立, 则正实数a的最小值为_.三 解答题17. （12分）ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知bsinC+asinA=bsinB+csinC.(1)求 A;(2) 设 D是线段BC的中点
6、, 若c=2,AD=13, 求a.18. （12分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A，B两所大学各随机抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.（1）计算A，B两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.19. （12分）如图, 在四棱锥 P-ABCD中, 底面ABCD是边长为 2 的菱形,BAD=60, 侧面PAD为等边三角形.(
7、1)求证: ADPB;(2) 若平面 PAD平面ABCD, 点E为PB的中点, 求三棱锥P-ADE的体积.20. （12分）平面直角坐标系 xOy中, 已知椭圆C:x24+y2=1, 椭圆E:x216+y24=1。设点P为椭圆C上任意一点, 过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点, 射线PO交椭圆E于点Q.(1) 求证: |OQ|OP|=2;(2)求 ABQ面积的最大值.21. （12分）已知函数 f(x)=ex-ksinx, 其中k为常数.(1) 当 k=1时, 判断f(x)在区间(0,+)内的单调性;(2) 若对任意 x(0,), 都有f(x)1, 求k的取值范围.22. （10分）
8、在平面直角坐标系 xOy中, 曲线C1的方程为(x+3)2+(y+1)2=4以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2,C3的极坐标方程分别为=2sin,=2cos+6.(1) 若曲线 C2,C3相交于异于极点的点Q, 求点Q的极坐标;(2) 若直线 l:=(R)与C1,C2相交于异于极点的A,B两点, 求|AB|的最大值.23. （10分）设 f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m.(1) 求 m;(2) 若 a,b,c(0,+),a2+c22+b2=m, 求ab+bc的最大值.参考答案1. A 【解析】x2=x得x=0或 1 ，所以M=0,1，解 lgx0得0x1，所以
9、 N=x0x1则 MN=x0x1.故选: A.2. D 【解析】由题图可得 z(1，-1)，即z=1-i，所以 z+4z=1-i+41-i=1-i+4(1+i)(1-i)(1+i)=1-i+4+4i2=1-i+2+2i=3+i.故选: D.3. B 【解析】f(x)=13x3-f(2)x2+x-3则 f(x)=x2-2f(2)x+1,f(2)=4-4f(2)+1,解得 f(2)=1.故选: B.4. A 【解析】若事件 A与事件B是对立事件，则AB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1；投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)+P(B)=1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A:
10、“至少出现一次正面”，事件B: “出现3次正面”，则P(A)=78，P(B)=18，满足P(A)+P(B)=1，但A，B不是对立事件.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A.5. C 【解析】模拟程序的运行，S=0,i=0S=0+20=1， 满足条件i5，i=1，S=1+21=3，满足条件i5，i=2，S=3+22=7， 满足条件i5，i=3，S=7+23=15，满足条件i5，i=4，S=15+24=31，满足条件i5，i=5，S=31+25=63，此时，不满足条件i0,b0)与圆x2+y2=4相切，所以 1a2+b2=2，即a2+b2=14，因为 a2+b22ab，所以ab18，所以 log2
11、a+log2b=log2ablog218=-3，所以 log2a+log2b的最大值为-3，故选：D.8. B9. D10. B 【解析】由函数解析式知: f(x)在2k-2,2k+2(kZ)上单调递增，12k-23x12k+3,kZ，f(x)单调递增，又 f(x)在区间-4,23上单调递增，12k-23-412k+323，解得83-8k3k+120kZ，所以当 k=0时，有012，故选: B.11. A 【解析】设每月还款 x元，共还款 11 个月，所以 x1.00510+1.0059+1.005+1=200001.00511，x=200001.005111+1.005+1.00510=20
12、0001.005111-1.005111-1.005=200001.061-1.06-0.0051767.故选: A.12. A 【解析】因为平面 A1B1C1D1|平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCD=PQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1=B1D1，所以 B1D1|PQ.又因为 B1D1|BD，所以BD|PQ，设 PQAB=M，因为AB|CD，所以 APMDPQ.所以 PQPM=PDAP=2，即PQ=2PM.又知 APMADB，所以 PMBD=APAD=13，所以 PM=13BD，又BD=2a，所以 PQ=223a.故选A.13. 92 【解析】根据不等式组作出可行域，如图所示当目
13、标函数 z=x+2y经过点32,32时，z取最大值为92.14. 7 【解析】2an=an-1+an+1, an是等差数列，由等差数列性质可得 a2+a4+a6=3a4=12，a1+a3+a5=3a3=9,a3+a4=3+4=7.15. 52 【解析】抛物线的准线方程为 x=-12，当 MQ|x轴时，|MQ|-QF取得最小值，此时点Q的纵坐标y=2，代入抛物线方程 y2=2x得Q的横坐标x=2，则 |QM|-|QF|=|2+3|-2+12=52.故答案为 52.16. 1e 【解析】由题意得，原不等式可变形为 e1x-1xxa-alnx，即1x-lne1xxa-lnxa，设 f(x)=x-ln
14、x，则当xe时，fe1xfxa恒成立，由 f(x)=x-lnx，得f(x)=1-1x=x-1x，当 0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，因为 xe，a0，所以e1x1，xa1，因为 f(x)在(1,+)上单调递增， 所以要使fe1xfxa，只要 e1xxa， 两边取对数得，1xalnx，因为 xe，所以a1xlnx，令 h(x)=xlnx(xe,+)，则h(x)=1+lnx0，所以 h(x)在e,+)上单调递增，所以 h(x)min =h(e)=elne=e，所以 00, 可得m24+16k2,则有 x1+x2=-8km1+4k2,
15、x1x2=4m2-161+4k2. 所以x1-x2=416k2+4-m21+4k2.因为直线 y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以 OAB的面积S=12|m|x1-x2=216k2+4-m2|m|1+4k2=216k2+4-m2m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.设 m21+4k2=t, 将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得 1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,由 0, 可得m21+4k2，由 (1)(2)可知 00恒成立,故 f(x)在区间(0,+)上单调递增.(2) 当 x(0,)时,sinx(0,1,故 f(x)1, 即ex-ksinx1, 即ex-ksi
16、nx-10.令 g(x)=ex-ksinx-1, 当 k0时,-ksinx0, 又ex-10,故 g(x)0在x(0,)上恒成立, 故k0; 当 00在x(0,)上恒成立,g(x)在x(0,)上单调递增,故 g(x)g(0)=e0-k0,即 g(x)在x(0,)上单调递增,故 g(x)g(0)=e0-1=0, 故01时, 由可知g(x)在x(0,)上单调递增,设 g(x)=0时的根为x0, 则g(x)在x0,x0上单调递减;在 xx0,上单调递增.又 g(0)=e0-1=0, 故gx00, 舍去.综上, k(-,1.22. (1) 1,6.(2) 27. 【解析】(1) 由 =2sin, 由=
17、2cos+6.所以点 Q的极坐标为1,6.(2) 可得 C1的极坐标方程为2+23cos+2sin=0,则 =-23cos-2sin.设 AA,BB,则 A=-23cos-2sin,B=2sin,所以 |AB|=B-A=|4sin+23cos|=27|sin(+)|,因为 |sin(+)|1,所以 |AB|=27|sin(+)|27.故 |AB|的最大值为27.23. (1)m=2.(2)2 . 【解析】(1)f(x)=|x-1|-2|x+1|=x+3,x-1,-3x-1,-1x1,-x-3,x1.所以 f(x)max =f(-1)=2,即 m=2.(2)由(1)知 a2+c22+b2=2.因为 a,b,c(0,+), 所以aba2+b22,bcb2+c22,所以 ab+bca2+b22+b2+c22=a2+c22+b2=2.所以 ab+bc的最大值为 2 .
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