1、10.1 随机事件与概率 【知识点梳理】1随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验 (random experiment)，简称试验，常用字母E表示2随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果3样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间 (sample space)一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点在本书中，我们只讨论为有限集的情况如果一个随机试验有n个可能结果1，2，n，则称样本空间1，2
2、，n为有限样本空间.4随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件 (random event)，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event)随机事件一般用大写字母A，B，C，表示在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.5必然事件，不可能事件在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件6.事件的关系与运算定义表示法图示事件的运算包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A
3、发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA (或AB )并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB (或A+B)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB (或AB)互斥关系若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥若AB，则A与B互斥对立关系若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为BA或AB若AB，ABU，则A与B对立探究1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？(2)互斥事件和对立事件的关系是怎
4、样的？答案 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样(2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生AB并事件(和事件)A与B至少一个发生AB或AB交事件(积事件)A与B同时发生AB或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB互为对立A与B有且仅有一个发生AB，AB7. 概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示8. 古典概型（1）古典概型考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪
5、些共性可以发现，它们具有如下共同特征：有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型（2）概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A).其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数9.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：性质1：对任意的事件A，都有P(A)0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0.
6、性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)性质5：如果AB，那么P(A)P(B)性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB)P(A)P(B)P(AB)【典型例题】题型一 样本空间例1（2022湖南高一课时练习）在0，1，2，9这10个数字中任意选取一个，写出试验的样本点和样本空间.【答案】见解析【解析】【分析】利用样本点和样本空间的定义进行求解即可.【详解】在0，1，2，9这10个数字中任意选取一个，试验的样本点为：0，1，2，3, 4，5，6，7，8，9；样本空间.解题技巧（
7、写样本空间的注意事项）在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏例2（2022湖南高一课时练习）抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.【答案】见解析.【解析】【分析】给抛掷一枚骰子的结果编号，给抛掷一枚硬币的结果编号，写出所有的可能组合即可.【详解】设表示抛掷骰子所得点数为，表示抛掷硬币反面朝上，表示抛掷硬币正面朝上，则分别表示“抛掷骰子所得点数为且抛掷硬币反面朝上”与“抛掷骰子所得点数为且抛掷硬币正面朝上.则样本空间,例3（2022全国高一）已知集合，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标(1)写出这个
8、试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；(4)说出事件所表示的实际意义【答案】(1)答案见解析；(2)(3)(4)得到的点是第三象限内的点.【解析】【分析】（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；（2）由样本空间可得样本点的个数；（3）找出横纵坐标都大于的样本点即可；（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.(1)样本空间为：(2)由知这个试验样本点的总数为.(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.题型二 必然事件、不可能事件与随机事件的判断例4（2021全国高一
9、课时练习）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯(3)若xR，则x211.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【答案】(1)随机事件(2)随机事件(3)是必然事件(4)不可能事件【解析】【分析】根据必然事件是一定会发生的，随机事件是可能发生，也可能不发生，不可能事件是不可能发生对每个问题逐一判断即可.(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军可能发生，也可能不发生，所以是随机事件(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯, 可能发生，也可能不发生，所以是随机事件
10、(3)若xR，则x211，一定会发生，是必然事件(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2，不可能发生，是不可能事件解题技巧： (判断事件类型的步骤)要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件例5（2021全国高一课时练习）指出下列事件中，哪些是随机事件必然事件或不可能事件：(1)任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形；(2)任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面；(3)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于
11、一点；(4)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5；(5)实数a，b不都为0，但；(6)汽车排放尾气会污染环境；(7)明天早晨有雾；(8)明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温.【答案】(1)随机事件(2)不可能事件(3)随机事件(4)必然事件(5)不可能事件(6)必然事件(7)随机事件(8)随机事件【解析】【分析】根据随机事件必然事件或不可能事件的概念直接判断.(1)任取3条线段，这3条线段恰好能组成直角三角形，是随机事件；(2)任取1个正方体的3个顶点，这3个顶点不共面，是不可能事件；(3)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点，是随机事件；(4)把
12、9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5，是必然事件；(5)实数a，b不都为0，但，是不可能事件；(6)汽车排放尾气会污染环境，是必然事件；(7)明天早晨有雾，是随机事件；(8)明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温，是随机事件.例6（2020全国高一课时练习）某转盘被平均分成10份（如图所示）.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.问题（1）设事件“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？（2）设事件 “转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？（3）设事件“转出的数字x满足，”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
13、【答案】（1）随机事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.【解析】根据必然事件、不可能事件还是随机事件的定义判断：（1）可能发生也可能不发生，（2）不可能发生；（3）一定会发生【详解】（1）“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.（2） “转出的数字是0”，即，不是样本空间的子集，故事件B是不可能事件.（3），故事件C是必然事件.【点睛】本题考查必然事件、不可能事件还是随机事件的概念，属于基础题题型三 事件关系的判断例7（2022湖北一模）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（）A“至少有1个红球”与“都是黑球”B“恰好有1个
14、红球”与“恰好有1个黑球”C“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D“都是红球”与“都是黑球”【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.【详解】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑2红2黑，对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；故选：D.解题技巧（事件
15、关系的判断方法）(1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件例8（2021全国高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（
16、10）【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.【解析】根据题意分别计算各个事件的基本事件,再逐个判断即可.【详解】解：该试验的样本空间可表示为,由题意知,.（1）,满足,所以与互斥,故正确；（2）,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）,所以,故正确；（7）,故正确；（8）因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.【点睛】本题主要考查了事件间的关系判断,属于基础题型.例9（2021全国高一课时练习）如图是
17、某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；(2)用A，B，C表示下列事件：至少订阅一种学习资料；恰好订阅一种学习资料；没有订阅任何学习资料.【答案】(1)答案见详解；(2)A+B+C；.【解析】【分析】(1)根据题设条件分别写出1，4，5，8各区域所代表的事件即可.(2)将所给事件分别用A，B，C表示出来即可.(1)由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；区域4表示该生只订阅语文、数学两种
18、学习资料；区域5表示该生只订阅语文学习资料；区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.(2)至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；没有订阅任何学习资料的事件是事件、同时发生，所以这个事件表示为：.题型四 事件的运算例10（2021全国高一课时练习）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次
19、反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.【答案】(1)BA，CA，EA，A=B+C+E(2)AD=有正面向上，也有反面向上，B+C=一次正面向上或两次正面向上，AD=B+C【解析】【分析】（1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系.(1)事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正
20、面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以BA，CA，EA，A=B+C+E(2)“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD=一次正面向上或两次正面向上，B+C=一次正面向上或两次正面向上，所以AD=B+C解题技巧： (事件运算的规律)(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算(2
21、)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算例11（2021全国高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：（1）事件与事件是什么关系？（2）事件与事件的交事件与事件是什么关系？【答案】（1）.（2）事件与事件的交事件与事件相等.【解析】(1)根据事件与事件的基本事件分析即可.(2)分析事件的基本事件,再判断即可.【详解】（1）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.（2）对
22、于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.【点睛】本题主要考查了事件的基本关系的判断,属于基础题.例12（2021全国高一课时练习）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.（1）三个事件都发生；（2）三个事件至少有一个发生；（3）A发生，B，C不发生；（4）A，B都发生，C不发生；（5）A，B至少有一个发生，C不发生；（6）A，B，C中恰好有两个发生.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可【详解】解：（1）三个事件都发生表示
23、为；（2）三个事件至少有一个发生表示为；（3）A发生，B，C不发生表示为；（4）A，B都发生，C不发生表示为；（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为题型五 简单古典概型的计算例13（2022云南师大附中高三阶段练习（文）中国古乐中的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽若从这五个音阶中任取三个音阶，排成含有三个音阶的一个音序，则这个音序中不含“商”这个音阶的概率为()ABCD【答案】A【解析】【分析】采用列举法即可求该古典概型概率问题.【详解】从这五个音阶中任取三个音阶，有：(宫商角)，(宫商徵)，(宫商羽)；(宫角徵)，(宫角羽)；(宫徵羽
24、)；(商角徵)，(商角羽)；(商徵羽)；(角徵羽)；共10个基本事件；其中不含“商”的基本事件有(宫角徵)，(宫角羽)，(宫徵羽)，(角徵羽)共4个；这个音序中不含“商”这个音阶的概率为.故选：A.解题技巧（求古典概型的一般步骤）(1)明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）；(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；(3)计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率.例14（2022贵州高三期末（文）已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（）ABCD【
25、答案】B【解析】【分析】根据列举法先求出从这5名学生中任选2人的所有情况和恰有1名女生被选到的情况，进而得出结果.【详解】记这3名男生分别为a，b，c，这2名女生分别为D，E，则从这5名学生中任选2人的情况有，共10种，其中恰有1名女生被选到的情况有，共6种，则所求概率.故选：B.例15（2021湖南常德市第二中学高二期中）易经是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾坤巽震坎离艮兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（）ABCD【答案】D【解析】【分析】从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中至少有2根阳线
26、包含的基本事件个数，然后求出概率【详解】从八卦中任取一卦，基本事件总数，这一卦的三根线中至少有2根阳线包含的基本事件个数，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率为，故选：D题型六 较复杂的古典概型的计算例16（2021河北省博野中学高一开学考试）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心为原点，构建一个平面直角坐标系.现做如下实验:连续抛掷一枚质地均匀的正方体的骰子(六个面分别标有1至6这六个点数中的一个)两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标).(1)请用画树状图或列表的方法，表示出点P的坐标的所有可能的结果;求点P在正方形ABCD中(含正
27、方形内部和边界)的概率.(2)试将正方形ABCD平移整数个单位长度，则是否存在一种平移，使点P在正方形ABCD中的概率为?若存在，请写出平移方式;若不存在，请说明理由.【答案】(1)答案见解析，；(2)存在，答案见解析.【解析】【分析】（1）由题列表表示所有的结果，然后利用古典概型概率公式即得；（2）由题可得需使点P在正方形中的情况有12种，结合条件可得.(1)设，则点P的坐标的所有可能为：123456123456构成的点P的坐标共有36种等可能的情况，其中在正方形ABCD中有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)这四种情况，所以点P在正方形ABCD中的概率为=.(2)要使点P在正方形
28、ABCD中的概率为=，只能将正方形ABCD向上或向右平移整数个单位长度，且使点P在正方形中的情况有12种，存在满足要求的平移方式有两种，分别是：将正方形ABCD先向上移2个单位长度，再向右移1个单位长度(先向右再向上亦可)；或将正方形ABCD先向上移1个单位长度，再向右移2个单位长度(先向右再向上亦可).解题技巧 (“有放回”与“无放回”的区别)“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽
29、取的物体总数少1.这两种情况下基本事件总数是不同的例17（2022江西临川一中高二期末（文）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：(1)在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？(2)根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自
30、初中年级，1人来自高中年级的概率是多少【答案】(1)初中、高中年级所抽取人数分别为45、55(2)2.375小时，2.4小时(3)【解析】【分析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.(1)设初中、高中年级所抽取人数分别为 x、 y ，由已知可得，解得；(2)的频率为，的频率为，的频率为 因为，所以中位数在区间上，设为x，则，解得， 所以学生做作业时间的中位数为 2.375小时；平均时长为小时.故估计学生做作业时间的中位数为 2.375小时，平均时长为2.
31、4小时(3)2 人来自初中年级，记为，3 人来自高中年级，记为，则从中任选 2人，所有可能结果有：，共 10 种，其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为例18（2021河北秦皇岛一中高二阶段练习）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年
32、龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中3545岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从
33、左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为，则，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方
34、差为.则，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在3545岁的所有人的年龄方差约为10.题型七 概率的基本性质例19（2022湖南高一课时练习）一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？【答案】.【解析】【分析】根据给定条件利用概率的加法公式直接计算作答.【详解】设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔断”，则有，“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件，有，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件，于是得，所以甲、乙至少有一根熔断的概率是.解题技巧（概率性质公
35、式）(1)运用概率加法公式解题的步骤确定诸事件彼此互斥；先求诸事件分别发生的概率，再求其和(2)求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率例20（2021全国高一课时练习）掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：(1)AB，BC及相应的概率(2)AB，B+C及相应的概率；(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.【答案】(1)AB=，BC=2，概率为0，(2)AB=1，2，3，4，5，6，B+C=1，2，4，6，概率为1，(3)=1
36、，2；=BC=2；=AC=1，2，3，5；=1，2，4，5.所求概率为【解析】【分析】（1）AB表示同时发生，BC表示同时发生，利用古典概型公式即求；（2）AB表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求；（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求.(1)由题可知，AB=，BC=2，所求概率为， .(2)AB=1，2，3，4，5，6，B+C=1，2，4，6，所求概率为， .(3)=1，2；=BC=2；=AC=1，2，3，5；=1，2，4，5.所求概率为；.例21（2021全国高一课
37、时练习）在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.成绩/分概率0.080.150.550.12【答案】答案见解析【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式计算【详解】由已知取得80分以上成绩的概率为，考试不及格（低于60分）的概率为题型八 概率的基本性质的应用例22（2021全国高一课时练习）已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从
38、由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由【答案】(1)答案见解析(2)对甲、乙两名同学不公平，理由见解析【解析】【详解】（1）树状图法：画出树状图，如图所示：从上面的树状图，知由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”；列举法：由题意，知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，1
39、56，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个，故由1，2，3，4，5，6可组成20个“三位递增数”（2）不公平理由如下：由（1），知由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个记“甲参加数学竞赛”为事件，事件包含的样本点有124，126，134，136，146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13个所以记“乙参加数学竞赛”为事件，则事件包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个所以因为，所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平解题技巧 (概率性质的应用)1对于一个较复杂的事
40、件，一般将其分解为几个简单的事件当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式2运用事件的概率加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和例23（2020全国高一课时练习）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有
41、1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出.详解：全体基本事件共有25种情形，（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形，故概率.（2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球，即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，即.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法例24（2019陕西渭南高一
42、期末）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为（1）求1张奖券中奖的概率；（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,设
43、“1张奖券中奖”为事件,则,因为、两两互斥,所以故1张奖券中奖的概率为（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以,故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率【同步练习】一、单选题1（2022安徽蒙城县第六中学高三开学考试（文）空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法不正确的是（）A这14天中
44、空气质量指数为“优良”的频率为B这14天中空气质量指数的中位数是103C从11日到14日空气质量越来越好D连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日【答案】B【解析】【分析】结合连续14天的空气质量指数趋势图，逐项判断，即可得到结果.【详解】14天中有：1-3日，7日，12-14日共7天空气质量指数为优成良，所以这14天中空气质量指数为“优良”的频率为，故A正确；14天中的中位数为，故B错误；从11日到14日空气质量指数越来越低，故空气质量越来越好，故C正确；观察折线图可知D正确故选：B2（2022河南模拟预测（理）某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺
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