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    7.1复数的概念 学案(教师版)

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    7.1复数的概念 学案(教师版)

    1、7.1复数的概念 【知识点梳理】知识点一:复数的基本概念1.虚数单位数叫做虚数单位,它的平方等于,即。知识点诠释:是1的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是;可与实数进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立。2.复数的概念形如()的数叫复数,记作:();其中:叫复数的实部,叫复数的虚部,是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母表示。知识点诠释:复数定义中,容易忽视,但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数()若b=0,则a+bi为实数,若b0,则a+bi为虚数,若a=0且b0,则a+bi为纯虚数。分类如下:()用集合表示如下图:4.复数集与其它数集之间

    2、的关系(其中为自然数集,为整数集,为有理数集,为实数集,为复数集。)5共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数的共轭复数为。知识点二:复数相等的充要条件两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即:如果,那么特别地:.知识点诠释:(1)一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之一样.根据复数a+bi与c+di相等的定义,可知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么就有a+bic+di(a,b,c,dR)(2)一般地,两个复数只能说相等或不相等,而

    3、不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小;也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.知识点三:复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴:如图所示,复数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.知识点诠释:实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法,每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义。3.复数集与复平面中的向量的对

    4、应关系在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的,所以,我们还可以用向量来表示复数。设复平面内的点表示复数(),向量由点唯一确定;反过来,点也可以由向量唯一确定。复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的,即复数平面向量这是复数的另一种几何意义。4.复数的模设(),则向量的长度叫做复数的模,记作.即.知识点诠释:两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小.复平面内,表示两个共轭复数的点关于x轴对称,并且他们的模相等。【典型例题】类型一、复数的基本概念例1(2022全国高一)若()为实数,()是纯虚数,则复数为( )ABCD【

    5、答案】C【详解】由题意,所以故选:C例2(2021全国高一课时练习)设集合,则,间的关系为( )ABCD【答案】B【详解】根据复数的定义,复数包含虚数和实数,虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数因此只有B正确故选:B例3(2021河北高三阶段练习)复数满足,则的虚部为( )ABCD【答案】D【详解】解:根据题意,设,(,为虚数单位),则,所以,所以,即所以,其虚部为.故选:D例4(2019贵州沿河民族中学高二开学考试(理)已知复数(i是虚数单位)(1)复数z是实数,求实数m的值;(2)复数z是虚数,求实数m的取值范围;(3)复数z是纯虚数,求实数m的值.【解析】(1)复数z是实数,则,解得或;(2)

    6、复数z是虚数,则,解得且且;(3)复数是纯虚数,则,解得.例5(2021重庆市江津第五中学校高一期中)当实数为何值时,复数为(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)若复数为实数,则 ,可得,所以当时,复数表示实数.(2)若复数为虚数,则,可得且,所以当且时,复数表示虚数.(3)若复数为纯虚数,则,解得:所以当时,复数为纯虚数.例6(2021全国高一课时练习)写出复数4, 23i,0,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.【详解】4,23i,0,6i的实部分别是4,2,0,2,0;虚部分别是0,0,3,0,6.4,0是实数;23i,6i是虚数,其中6i是纯虚数

    7、.类型二、复数相等例7(2021全国高一课时练习)当xy为何实数时,复数等于2?【详解】根据题意可知,实部等于2,虚部等于0,即,解方程得 , , 所以或或或.故答案为:或或或.例8(2021全国高一课时练习)求适合下列方程的实数x与y的值:(1);(2)【解析】(1)由题意,解得(2)由题意,解得例9(2021上海市宝山中学高二期中)已知复数,若,则_.【答案】【详解】解:因为所以,解得所以故答案为:例10(2021山东泰安一中模拟预测)设复数满足,且是纯虚数,试写出一个满足条件的复数:_.【答案】【详解】设,由,可得,解得,又是纯虚数,设且,则,则,解得,所以或.故答案为:类型三、复数的几

    8、何意义例11(2022山西怀仁高三期末(文)复数z满足,则对应复平面内的点的坐标为( )ABCD【答案】B【详解】不妨设复数,则有:则有:故有:解得:故选:B例12(2021贵州贵阳高三阶段练习(理)在复平面内,复数2,4对应的点分别为A,B.若C为线段AB上的点,且,则点C对应的共轭复数是( )ABCD【答案】C【详解】由题意知,复平面内点A和点B的坐标分别为,设点C的坐标为所以,根据得,计算得所以点C对应的复数为,其共轭复数为,选项C正确.故选:C.例13(2021广西模拟预测(文)若,则复数在复平面内对应的点在( )A直线上B直线上C直线上D直线上【答案】D【详解】解:,所以复数在复平面

    9、内对应的点为,显然点在直线上.故选:D例14(2022河南温县第一高级中学高三阶段练习(理)设是复数的共轭复数.在复平面内,复数与对应的点关于轴对称,则( )ABCD【答案】B【详解】解:设,则,依题意得,解得,.故选:B.例15(2022河北高三阶段练习)在复平面中,已知复数对应的点在第二象限,则实数的可能取值为( )ABCD【答案】CD【详解】因为复数在第二象限,所以故选:CD.例16(2022江西上饶高二期末(文)已知复数,其中i是虚数单位,m为实数(1)当复数z为纯虚数时,求m的值;(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时,求m的取值范围【解析】(1)因为为纯虚数,所以解得或,且且

    10、综上可得,当为纯虚数时;(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或,且即,故的取值范围为.类型四、复数的模例17(2022河南洛阳一模(理)已知复数,则( )A4B3C2D1【答案】D【详解】由题意,.故选:D.例18(2021湖北武汉高三阶段练习)复数z的虚部为,模为2,复数z对应的点位于复平面第二象限,则复数对应的点位于复平面内( )A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限【答案】B【详解】由题可设,则,解得,因为z对应的点位于复平面第二象限,所以,则,所以复数对应的点位于复平面内的第三象限.故选:B.例19(2021全国高一课时练习)已知复数z的模为10,虚部为6,则复数z为_【答

    11、案】【详解】设,则故答案为:类型五、复数的轨迹与最值问题例20(2021全国高一课时练习)设全集UC, Az|z|1|1|z|,zC,Bz|z|1,zC,若zA(UB),求复数z在复平面内对应的点的集合【详解】解因为zC,所以|z|R,所以1|z|R,由|z|1|1|z|,得1|z|0,即|z|1,所以Az|z|1,zC又因为Bz|z|1,zC,所以UBz|z|1, zC因为zA(UB)等价于zA且zUB,所以成立,则有|z|1,由复数模的几何意义可知,复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆例21(2021江苏金陵中学高三阶段练习)若复数满足,则的最大值是_.【答案】3【

    12、详解】设,则,根据复数几何意义知,表示在复平面内,到的距离,则最大值为,故答案为:3例22(2021重庆市实验中学高三阶段练习)设复数满足,则=_.【答案】0【详解】设复数,由,可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上,所以,由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上,所以,由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上,所以,又由,解得,所以.故答案为:.【同步练习】一、单选题1(2021浙江绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测)已知,若复数(是虚数单位)是纯虚数,则( )A0B1CD2【答案】C【解析】【分析】根据实部为零,虚部不为零得到方程(不等式)组,解得即可;【详解】

    13、解:是纯虚数,则,解得,故选:C.2(2021河南模拟预测(文)已知、,则( )ABCD【答案】A【解析】【分析】利用复数相等可得出关于、的方程组,解出这两个未知数的值,即可得解.【详解】因为,所以,解得,故.故选:A.3(2021上海市徐汇中学高二期末)下列命题中,正确的是( )A任意两个复数都能比较大小B任意两个复数都不能比较大小C设,如果,那么D设,如果,那么【答案】C【解析】【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误,即可得到结果【详解】当两个复数有虚数时,不可以比较大小,所以A错误;当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以B错误;因为,且,所以是实数,故,所以C正确;因为,若,则,但

    14、是此时与不能比较大小,所以D错误.故选:C.4(2021河南高三开学考试(文)设复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )ABCD【答案】C【解析】【分析】设,结合,根据复数相等的条件列出方程组,求得的值,即可求解.【详解】设,则,因为,可得,即,所以,解得,所以,所以的虚部为.故选:C.5(2021浙江高三开学考试)复数的虚部是( )AiBC1D-1【答案】C【解析】【分析】利用复数的的性质进行运算求解即可【详解】,所以虚部为1故答案选:C6(2021云南高三期中(文)已知复数满足(为虚数单位),则在复平面上对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】【分析】根据

    15、复数的模化简求出,即可判断对应的点所在象限.【详解】,对应点在第四象限,故选:D7(2021新疆昌吉模拟预测(文)若复数是纯虚数(为虚数单位,),则( )A2B4CD【答案】C【解析】【分析】利用纯虚数的概念可得,再利用复数的模的概念即得.【详解】因为复数是纯虚数,所以,.故选:C.8(2022浙江高三专题练习)已知复数,并且,则的取值范围是( ).ABCD【答案】A【解析】【分析】根据复数相等的充要条件消去可将用表示,根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果.【详解】,化为,当时,取得最小值;当时,取得最大值7,的取值范围是,故选:A.二、多选题9(2021山东莱西高一期末)设复

    16、数,为虚数单位,则下列结论正确的为( )A当时,则复数在复平面上对应的点位于第四象限B若复数在复平面上对应的点位于直线上,则C若复数是纯虚数,则D在复平面上,复数对应的点为,为原点,若,则【答案】AC【解析】【分析】由,得,然后逐个分析判断即可【详解】由,得,对于A,当时,所以复数在复平面上对应的点位于第四象限,所以A正确,对于B,若复数在复平面上对应的点位于直线上,则,解得,所以B错误,对于C,若复数是纯虚数,则且,解得,所以C正确,对于D,由,得,则,由,得,得或,所以D错误,故选:AC10(2021广东白云高一期末)已知复数(为虚数单位),下列说法正确的有( )A当时,复平面内表示复数的

    17、点位于第二象限B当时,为纯虚数C最大值为D的共轭复数为【答案】BC【解析】【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A,当时,复平面内表示复数的点位于第四象限,故A错误;对于B,当时,为纯虚数,故B正确;对于C,最大值为,故C正确;对于D,的共轭复数为,故D错误.故选:BC.11(2021全国高一期中)下列说法正确的有( )A任意两个复数都不能比大小B若,则当且仅当时, C若,且,则D若复数z满足,则的最大值为3【答案】BD【解析】【分析】通过复数的基本性质,结合反例,以及复数的模,判断命题的真假即可.【详解】解:对于A选项,当两个复数都是实数时,可以比较大小,所以

    18、A不正确;对于B选项,复数的实部与虚部都是0时,复数是0,所以B正确;对于C选项,当,满足,但,所以C不正确;对于D选项,复数z满足,则复数z在复平面内的轨迹为单位圆,则的几何意义,是单位圆上的点到的距离,它的最大值为3,所以D正确;故选:BD.12(2021江苏南京市第二十九中学高二期中)“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数,也不能解决代数方程的求解问题,像这样最简单的二次方程,在实数范围内没有解.引进虚数概念以后,代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根,则( )ABC是该方程的根D是该方程的根【答案】AB

    19、D【解析】【分析】根据每个选项的描述进行判断,即可得出结果.【详解】解:对于A选项,由于是方程的根,则,而,故,选项A正确;对于B选项,由虚根成对定理可知,也是方程的根,故,选项B正确;对于C,且,故不是该方程的根,选项C错误;对于D,而,代入方程得,是该方程的根,即是该方程的根,选项D正确.故选:ABD.三、双空题13(2019浙江台州模拟预测)已知是复数,是虚数单位,且,则_,复数在复平面内对应的点位于第_象限【答案】 二【解析】【分析】利用共轭复数的定义求出,然后根据复数相等求出参数的值,即得复数,进而可得及复数在复平面内对应的点所在的象限【详解】因为,所以,所以,所以,解得,所以,所以

    20、,复数在复平面内对应的点为,位于第二象限故答案为:;二【点睛】本题主要考查共轭复数的定义、复数相等、复数的模、复数的几何意义、复数的运算等,考查考生的运算求解能力四、填空题14(2021湖北高一期末)已知,复平面内表示复数的点在虚轴上,则m=_【答案】或6【解析】【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上,解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为,若点在虚轴上,则,解得或故答案为:或6.15(2021福建福州高三期中)已知i为虚数单位,复数,在复平面中将绕着原点逆时针旋转165得到,则_.【答案】【解析】【分析】结合复数的几何意义,特殊角的三角函数值,即可得解【详解】解:在复平面内对应

    21、的点为,所以,且与轴正方向的夹角为,将其逆时针旋转后落在第三象限,且与轴负半轴的夹角为,所以对应的点为,所以故答案为:16(2022上海高三专题练习)已知是实系数一元二次方程的一个虚数根,且,若向量,则向量的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据已知条件一元二次方程根的特征可知,也是的虚数根,结合已知条件,利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围,然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.【详解】不妨设,因为是实系数一元二次方程的一个虚数根,所以也是的一个虚数根,从而 ,又因为无实根,所以 ,由可得,因为,所以,由一元二次函数性质易知,当时,有最小值5;当时,;当时,故当时,即

    22、,故向量的取值范围为:.故答案为:.五、解答题17(2022江西上饶高二期末(文)已知复数,其中i是虚数单位,m为实数(1)当复数z为纯虚数时,求m的值;(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时,求m的取值范围【解析】(1)因为为纯虚数,所以解得或,且且综上可得,当为纯虚数时;(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或,且即,故的取值范围为.18(2021广东高州高一期末)已知,是复平面上的四个点,其中,且向量,对应的复数分别为,(1)若,求,;(2)若,对应的点在复平面内的第二象限,求【解析】解:(1)由题意可知,所以,所以又,所以所以所以,(2)由已知可得,所以,又,所以,解得或

    23、(舍),又对应的点在第二象限,所以,可得,可得19(2021安徽合肥一六八中学高一期中)如图,已知复平面内平行四边形中,点A对应的复数为,对应的复数为对应的复数z,且(1)求D点对应的复数;(2)求平行四边形的面积.【解析】解:(1)依题意,点对应的复数为,对应的复数为,所以,可得又对应的复数,且,所以,所以,可得设点对应的复数为,所以,为平行四边形,即解得,故点对应的复数为(2)由(1)可知,可得:,又,故平行四边形的面积20(2021重庆高二期末)已知复数满足,的实部与虚部的积为.(1)求;(2)设, ,求的值.从;为纯虚数;在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个,将问题(2)补充完整,并作答.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)【解析】(1)解:由,解得,所以.(2)若选,由,则,解得若选,由题意,解得若选,由题意,解得.21(2021全国高一专题练习)已知为虚数单位,关于的方程的两根分别为,(1)若,求实数的值;(2)若,求实数的值【解析】解:(1)为方程的根,所以,整理得到:,由可得.(2)由方程可得,若即或,则,则,即,解得,若即,则,即,解得,综上所述,实数的值为或22(2021上海市实验学校高一期末)已知复数(其中、),存在实数,使成立(1)求证:;(2)求的取值范围【解析】(1)证明:(其中、,存在实数,使,则,可得,消去可得;(2)解:,


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