1、 2022-2023 学年北京课改版九年级上册数学期末复习试卷学年北京课改版九年级上册数学期末复习试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1比的后项一定，比的前项和比值（ ） A成反比例 B成正比例 C不成比例 2在平面直角坐标系中，二次函数 y（x1）2+3 的顶点坐标是（ ） A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3） 3在一个三角形中，已知 ABAC6cm，BC8cm，D 是 BC 的中点，以 D 为圆心作一个半径为 5cm 的圆，则下列说法正确的是（ ） A点 A 在D 外 B点 B 在D 上 C点 C 在D 内
2、D无法确定 4若 是锐角，sincosp，则 sin+cos 的值是（ ） A1+2p B C12p D 5如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点（A、B 除外），BOD44，则C 的度数是（ ） A44 B22 C46 D36 6将二次函数 yx22x+3 的图象向上平移 3 个单位长度，向左平移 2 个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（ ） Ay（x+2）22 By（x4）2+2 Cy（x1）21 Dy（x+1）2+5 7下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A（2，4） B（1，8） C（2，4） D（16，2） 8如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A，B 两点，P
3、是以点 C（0，3）为圆心，为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ、则线段 OQ 的最大值是（ ） A B3 C D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9已知，那么 10一个半径为 5cm 的圆内接正六边形的面积等于 11两个相似三角形周长的差是 4，对应中线的比是 4：5，那么较大三角形的周长是 12半径为 2 且圆心角为 45的扇形面积为 13把二次函数 y2x2+8x1 化成 ya（xh）2+k 的形式是 14已知反比例函数 y（x0），请你补充一个条件 ，使 y 的值随着 x 值的增大而减小 15 如图所示的
4、网格由边长为 1 个单位长度的小正方形组成， 点 A、 B、 C 在直角坐标系中的坐标分别为 （3，6），（3，3），（7，2），则ABC 内心的坐标为 16 关于 x 的二次函数 yx2+ （a3） x1 在 y 轴的左侧， y 随 x 的增大而增大， 且使得 x 的分式方程1有整数解的整数 a 值为 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17（5 分）计算： +（）0+sin45（2019）0 18（5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，CECD，点 P 在 BC 上，试给出点 P 满足什么条件时，ABP 与PCE 相似 19（5 分）
5、如图，已知O 求作：O 的内接等边ABC 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：作直径 AD； 作半径 OD 的垂直平分线，垂足为 E，交O 于 B、C 两点； 连接 AB，AC 所以ABC 即为O 的内接等边三角形 证明：连接 CO，CD 在O 中，BC 垂直平分 OD CDCO，BECE ODBC ABAC（） CDOCOD ODC 为等边三角形 ODC60 BODC60（） ABC 为O 的内接等边三角形 （1）在小丽同学的证明过程中，、两处的推理依据分别是 ； （2）请你再给出一种作图方法（尺规作图，保留作图痕迹） 20（5 分）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”已知抛物
6、线 C1：y1x2+ax+b 与抛物线 C2：y22x2+4x+6 为“友好抛物线”，抛物线 C1与 x 轴交于点 A、C，与 y 轴交于点 B （1）求抛物线 C1的表达式； （2）若 F（m，0）（3m0）是 x 轴上的一点，过点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P，交直线 AB 于点 E，过点 P 作 PDAB 于点 D是否存在点 F，使 PE+PD 的值最大？若存在，求出相应 m 值；若不存在，请说明理由 21（5 分）如图，已知：在 RtABC 中，ACB90，ACBC4，M 是边 AB 的中点，E、G 分别是边 AC、BC 上的一点，EMG45，AC 与 MG 的延长线相交于点
7、F （1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）连接 EG，当 AE3 时，求 EG 的长 22（5 分）如图，平面直角坐标系中，点 A 是反比例函数 y1（k0，x0）图象上一点，一次函数y2x+2 的图象经过点 A，交 y 轴于点 B，AOB 的面积是 3 （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当 y1y2时，请直接写出 x 的取值范围 23（6 分）如图，甲、乙两同学准备测量学校旗杆 BC 的高度，甲同学在旗杆左侧的教学楼 EF 的阳台 D处测得旗杆顶点 C 的仰角为 45，且阳台的高度 DF 为 4 米，乙同学在旗杆右侧的空地上 A 点处
8、测得旗杆顶点 C 的仰角为 22（点 A，B，F 在同一条直线上），已知 AF31 米，求旗杆 BC 的高（精确到 1米，参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，1.41） 24（6 分）已知绿茶每千克成本 50 元，经研究发现销量 y（kg）随销售单价 x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如表所示： 销售单价 x（元/kg） 70 75 80 85 90 月销售量 y（kg） 100 90 80 70 60 （1）请根据上表，写出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围）； （2）若该绿茶的月销售利润为 w（元），且销售单价得高于 80
9、 元，求 w 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 为何值时，w 的值最大？ （3）已知商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资 3000 元，在第一个月，按使 w 获得最大值的销售单价进行销售后；在第二个月受物价部门干预，销售单价不得高于 78 元，要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到 1722 元，求第二个月的销售单价的取值范围？ 25（6 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC，BD8，求 CD 的长 26（6 分）若抛物线 yax2+
10、bx+2 经过点（2，6），（2，2） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）求 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围 27（7 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4） （1）如图 1，若点 B 的坐标为（3，0），ABC 是等腰直角三角形，BABC，ABC90，求 C 点坐标 （2）如图 2，若点 E 是 AB 的中点，求证：AB2OE； （3）如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BABC，ABC90，ACD 是等边三角形，连接 OD，若AOD30，求 B 点坐标 28（7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 r（r0）给出如下定义：若平面上一点 P 到圆心O
11、 的距离 d，满足rdr，则称点 P 为O 的“随心点” （1）当O 的半径 r2 时，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，O 的“随心点”是 ； （2）若点 E（4，3）是O 的“随心点”，求O 的半径 r 的取值范围； （3）当O 的半径 r2 时，直线 yx+b（b0）与轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在O 的“随心点”，直接写出 b 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1解：因为比的前项比值比的后项（一定），是比值一定，所以比的前项和比值成正
12、比例 故选：B 2解：y（x1）2+3， 该函数的顶点坐标是（1，3）， 故选：D 3解：BC8cm，D 是 BC 的中点， CDBC4， D 的半径 r5cm，且 54， 点 C 在D 内 故选：C 4解：sin+cos ， 故选：B 5解，BOD44， CBOD22， 故选：B 6解：yx22x+3（x1）2+2， 该抛物线的顶点坐标是（1，2）， 将二次函数 yx22x+3 的图象向上平移 3 个单位长度，向左平移 2 个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为：y（x1+2）2+2+3（x+1）2+5 故选：D 7解：， xy8， A、248， 点（2，4）在反比例函数图象上，故本选项符
13、合题意； B、1888， 点（1，8）不在反比例函数图象上，故本选项不合题意； C、2（4）88， 点（2，4）不在反比例函数图象上，故本选项不合题意； D、16（2）328， 点（16，2）不在反比例函数图象上，故本选项不合题意 故选：A 8解：连接 BP，如图， 当 y0 时， x240，解得 x14，x24，则 A（4，0），B（4，0）， Q 是线段 PA 的中点， OQ 为ABP 的中位线， OQBP， 当 BP 最大时，OQ 最大， 而 BP 过圆心 C 时，PB 最大，如图， BC5， BP 的最大值5+， 线段 OQ 的最大值是 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满
14、分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9解：， nm， ； 故答案为： 10解：连接正六边形的中心与各个顶点， 得到六个等边三角形， 等边三角形的边长是 5， 因而面积是5cm2， 因而正六边形的面积cm2 故答案为cm2 11解：令较大的三角形的周长为 x 小三角形的周长为 x4， 由两个相似三角形对应中线的比为 4：5 得， 4：5（x4）：x， 解之得 x20 故答案为 20 12解：由题意得，R2，n45， 则 S扇形 故答案为 13解：y2x2+8x1 2（x2+4x+4）241 2（x+2）29， 所以 y2（x+2）29 故答案为：y2（x+2）29 14解：由
15、于 x0， 根据反比例函数的性质，y 的值随着 x 值的增大而减小时，k0， 可取 k1，k2，k3 等 15解：如图，点 I 即为ABC 的内心 所以ABC 内心 I 的坐标为（2，3） 故答案为：（2，3） 16解：二次函数 yx2+（a3）x1， 该函数的对称轴是直线 x， 二次函数 yx2+（a3）x1 在 y 轴的左侧，y 随 x 的增大而增大， 0， 解得 a3， 由1，得 x， x是整数，a3 且为整数， a3， 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17解：原式3+1+1 4+11 4 18解：设正方形的边长为 4a，则 CEa，
16、BC， 当时，ABPECP，即，解得 4aPC4CP，解得 CPa； 或当时，ABPPCE，即，整理为 PC24aPC+4a20，解得 PC2a， 当点 P 满足 CPCB 或 CPCB 时，ABP 与PCE 相似 19解：（1）处的推理依据为垂直平分线的性质； 处的推理依据为同弧所对圆周角相等； 故答案为垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等； （2）如图，ABC 即为所求 20解：（1）y22x2+4x+6 的顶点坐标是（1，4）， a2，b3， y1x22x+3； （2）由题意可知 A（3，0），B（0，3），C（1，0）， OAOB， AOB 是等腰直角三角形， BAO45， PFx 轴
17、， AEF45， PDAB， PED 是等腰直角三角形， PD 越大，PE+PD 越大， 直线 AB 的解析式为 yx+3， 设与 AB 平行的直线为 yx+t， ， x2+3x+t30， 94t+120， t， 当 t时，直线 yx+t 与抛物线有一个交点时，PD 最长； x，y， P（，）， m； 21解：（1）一定相似的三角形：AEMBMG，FEMFMA， 以下证明AEMBMG RtABC 中，ACB90，ACBC， AB45（1 分） EMBEMG+GMBA+AEM， EMG45， AEMBMG（1 分） AEMBMG （2）在 RtABC 中，ACB90，ACBC4， AB（1 分）
18、 M 为 AB 的中点， AMBM AMEBGM， ，CE431 （1 分） 22解：（1）一次函数 y2x+2 的图象交 y 轴于点 B，则点 B（0，2），则 OB2， AOB 的面积OBxA3，则 xA3， 把 xA代入 y2x+2 得：yA3+21， 即点 A（3，1）， 故 k3； （2）点 A 右侧时，y1y2， 即 x3 时，当 y1y2 23解：过点 D 作 DHBC 于 H，如图所示： 则四边形 BHDF 是矩形， DFBH4 米，BFDH， 由题意得：CDH45，CAB22， CDH 是等腰直角三角形， DHCH， BFCH， 设 BFCHx 米， 则 ABAFBF（31x
19、）（米），BCBH+CH（4+x）（米）， 在 RtABC 中，tanCAB， 0.40， 解得：x6， 经检验，x6 是原方程的解， BCCH+BH6+410（米）， 答：旗杆 BC 的高约为 10 米 24解：（1）根据表格数据可知： 设 ykx+b， 将（70，100），（75，90）代入上式， 得 解得 所以 y2x+240； 答：y 与 x 之间的函数关系式为 y2x+240 （2）根据题意，得 w（x50）y （x50）（2x+240） 2x2+340 x12000 2（x85）2+2450 当 x85 时，w 的值最大， 答：销售单价为 85 元时，w 的值最大 （3）由（2）可
20、知：第一个月还有 30002450550 元的投资成本没有收回， 则要想在全部收回装修投资的基础上使这两个月的总利润至少达到 1722 元， 即 w1722+5502272 才可以 可得方程：2（x85）2+24502272 解得 x175.5，x294.5（不符合题意，舍去） 20， 当 x85 时，w 随 x 的增大而增大， 销售单价不得高于 78 元， 75.5x78 答：第二个月的销售单价的取值范围是 75.5x78 元 25（1）证明：连接 OD， OFAD， AOF+DAO90， CD 是O 的切线，D 为切点， CDO90， ADC+ADO90， OAOD， DAOADO， AD
21、CAOF； （2）解：OFAD， AEDE， AOOB， OFBD， OEBD84， sinC，CDO90， 设 ODx，OC3x， OBx， CB4x， OFBD， COFCBD， ， ， OF6， EFOFOE642， ODFDEODEF90， DOE+ODEODE+EDF90， DOEEDF， ODEDFE， ， DE2， AD2DE4， AB4， OD2， OC6， CD8 26解：（1）将点（2，6），（2，2）代入 yax2+bx+2 中， 得， a，b1， yx2x+2； （2）抛物线 yx2x+2 对称轴为直线 x1， a0，则抛物线开口向上， y 随 x 的增大而减小时 x1
22、 27（1）解：过点 C 作 CDx 轴于 D，如图 1 所示： ABC90， ABO+CBD90， AOB90， ABO+BAO90， CBDBAO， CDx 轴， BDC90AOB， 在BDC 和AOB 中， AOBBDC（AAS）， OADB，OBDC， 点 A （0，4），点 B （3，0）， DB4，DC3， OD4+37， C 点坐标为（7，3）； （2）证明：延长 OE 至 F 点，使得 EOEF，连接 FB，如图 2 所示： 点 E 为 AB 的中点， EAEB， 在AOE 和BFE 中， AOEBFE（SAS）， OAFB，AOEF， OABF， AOB+FBO180， AO
23、B90， FBO90， AOBFBO， 在AOB 和FBO 中， AOBFBO（SAS）， ABOF， EAEB，EOEF， OEAEEB， AB2OE； （3）解：过点 D 作 DMy 轴于 M，CNOD 于 N，CHy 轴于 H，CGx 轴于 G，如图 3 所示： 则四边形 OHCG 是矩形， OHCG， AOD30， ODM903060，OD2DM， ADC 为等边三角形， ADCDAC，ADC60， ADM+ADO60，CDN+ADO60， ADMCDN， 在DMA 和DNC 中， DMADNC（AAS）， DMDN， OD2MD2DN， DNON， CDCOAC， HAHOCG2，
24、由（1）得 CGOB OB2， B 点坐标为（2，0） 28解：（1）O 的半径 r2， r3， r1， 1d3， A（3，0）， OA3，在范围内， 点 A 是O 的“随心点”， B（0，4）， OB4，而 43，不在范围内， B 不是O 的“随心点”， C（，2）， OC，在范围内， 点 C 是O 的“随心点”， D（，）， OD1，不在范围内， 点 D 不是O 的“随心点”， 故答案为：A，C； （2）点 E（4，3）是O 的“随心点” 而 OE5，即 d5 若r5， r10， 若r5， r， r10； （3）r2， r1， r3， 直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N， M（b，0），N（0，b）， 过点 O 且与直线 yx+b 垂直的直线解析式为 yx， 联立方程组：，解得：， 直线 yx+b 与直线 yx 交点坐标为 P（，）， OP， 线段 MN 上存在O 的随心点， ， 解得 1b3或3b1， 故答案为：1b3或3b1
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