1、 专题专题 17 17 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1如图，正方形的边长为2，将正方形绕原点 O 顺时针旋转 45 ，则点 B 的对应点1的坐标为（ ） A(2，0) B(2，0) C(0，2) D(0，2) 2如图，ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列说法正确的是（ ） A若 OBOD，则ABCD 是菱形 B若 ACBD，则ABCD 是菱形 C若 OAOD，则ABCD 是菱形 D若 ACBD，则ABCD 是菱形 3 （2022 恩施）如图，在四边形 ABCD 中，A=B=90 ，AD=10cm，BC=8cm，点 P 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度向点 A 运
2、动，点 M 从点 B 同时出发，以相同的速度向点 C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 t（单位：s） ，下列结论正确的是（ ） A当 = 4时，四边形 ABMP 为矩形 B当 = 5时，四边形 CDPM 为平行四边形 C当 = 时， = 4 D当 = 时， = 4或 6s 4 （2022 恩施）如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD，分别以 B、D 为圆心，大于12的长为半径画弧，两弧交于 P、 Q 两点， 作直线 PQ， 分别与 AD、 BC 交于点 M、 N， 连接 BM、 DN.若 = 4， = 2.则四边形 MBND 的周长为（ ） A52
3、 B5 C10 D20 5 （2022 仙桃）由 4 个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点 A，B，C 都在格点上，O=60 ，则 tanABC=（ ） A13 B12 C33 D32 6 （2022 鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为 90 ，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的 A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及 A、B、E 三点的截面示意图，已知O 的直径就是铁球的直径， AB是O的弦， CD切O于点E， ACCD、 BDCD， 若CD=16
4、cm， AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ） A10cm B15cm C20cm D24cm 7 （2022 黄冈模拟）如图，在矩形中， = 1， = 3，是对角线的交点，过作 于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点.给出下列四个结论： = ； = ； = ； = 3.其中正确结论有（ ）. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （2022 十堰）如图， 正方形 的顶点分别在反比例函数 =1(1 0) 和 =2(2 0) 的图象上.若 轴，点 的横坐标为 3，则 1+2= （ ） A36 B18 C12 D9 9 （2022 荆州）如图，已知矩形 ABCD 的边长分别为 a，
5、b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形 1111 ；第二次，顺次连接四边形 1111 各边的中点，得到四边形 2222 ； 如此反复操作下去， 则第 n 次操作后， 得到四边形 的面积是 （ ） A2 B21 C2+1 D22 10 （2022 黄冈）如图，在矩形中， ，连接，分别以点，为圆心，大于12的长为半径画弧，两弧交于点，直线分别交，于点，.下列结论： 四边形是菱形； = 2； = ； 若平分， 则 = 2. 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题二、填空题 11 （2022 黄石）如图，反比例函数 =的图象经过矩形对角线的交点
6、E 和点 A，点 B、C 在 x轴上， 的面积为 6，则 = 12 （2022 黄冈模拟）如图，正方形中，点、从点出发，以1/的速度分别沿 和 的路径匀速运动， 同时到达点时停止运动.连接， 设的长为， 运动时间为， 则()与（秒）的函数图象如图所示.当 = 2.5秒时，的长是 . 13 （2022 十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 = ，侧面四边形 为矩形，若测得 = 55 ，则 = . 14 （2022 宜昌）如图，在矩形 中， 是边 上一点， ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ，若 = 3 ， = 4
7、 ， = 5 ，矩形 的面积为 . 15 （2022 随州）如图 1，在矩形 ABCD 中， = 8， = 6，E，F 分别为 AB，AD 的中点，连接EF.如图 2， 将AEF 绕点 A 逆时针旋转角(0 0, 0) 图象上的四点 1 ， 2 ， 3 ， 4 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，再过 1 ， 2 ， 3 ， 4 分别作 y 轴， 11 ， 22 ， 33 的垂线，构造了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左到右依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1= 12= 23= 34 ，则 1 与 4 的数量关系为 . 19 （2021 十堰）如图，在 中
8、， = 90, = 8, = 6 ，点 P 是平面内一个动点，且 = 3 ，Q 为 的中点，在 P 点运动过程中，设线段 的长度为 m，则 m 的取值范围是 . 20 （2021 房县模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E.若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQPQ 的最小值是 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 襄阳）矩形 ABCD 中，2（k1） ，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE，过点 E 作 AE 的垂线 EF，与矩形的外角平分线 CF 交于点 F （1） 【特例证明】如图（1） ，当 k2 时，求证：AEEF；
9、小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整 证明：如图，在 BA 上截取 BHBE，连接 EH k2， ABBC B90 ，BHBE， 1245 ， AHE180 -1135 CF 平分DCG，DCG90 ， 312DCG45 ECF3+4135 （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） （2） 【类比探究】如图（2） ，当 k2 时，求的值（用含 k 的式子表示） ； （3）【拓展运用】 如图 （3） ， 当k3时， P为边CD上一点， 连接AP， PF， PAE45 ， = 5， 求BC的长 22（2022 仙桃）如图， 正方形内接于 ， 点 E 为的中点， 连接交于点 F， 延长交 于点
10、 G，连接. （1）求证：2= ； （2）若 = 6.求和的长. 23 （2022 鄂州）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且CDF=BDC、DCF=ACD. （1）求证：DF=CF； （2）若CDF=60 ，DF=6，求矩形 ABCD 的面积. 24 （2022 十堰）如图， 中， ， 相交于点 ， ， 分别是 ， 的中点. （1）求证： = ； （2）设 = ，当 为何值时，四边形 是矩形？请说明理由. 25 （2022 宜昌）已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点. （1）如图 1，连接 ， . ， . 求证： = ； 若 = 2 ，求 的长； （2）如
11、图 2，连接 ， .若 = 3 ， = 2 = 4 ，求 的长. 26 （2022 随州）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第 2 幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中. （1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式， （下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式：( + + ) = + + 公式：( + )( + ) = + + + 公式：( )2= 2 2 + 2 公式：( + )2= 2+ 2
12、 + 2 图1对应公式 ， 图2对应公式 ， 图3对应公式 ， 图4对应公式 ； （2） 几何原本中记载了一种利用几何图形证明平方差公式( + )( ) = 2 2的方法，如图 5，请写出证明过程； （已知图中各四边形均为矩形） （3）如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中， = 90，D 为 BC 的中点，E 为边 AC 上任意一点（不与端点重合） ，过点 E 作 于点 G，作 F 点 H 过点 B 作 BF/AC 交 EG 的延长线于点 F.记BFG 与CEG 的面积之和为1，ABD 与AEH 的面积之和为2. 若 E 为边 AC 的中点，则12的值为 ； 若 E 不为边 AC 的中点时，
13、试问中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：连接 OB， 正方形 ABCD 绕原点 O 顺时针旋转 45 ， 1= 45， = 45， 11= 45， 11为等腰直角三角形，点1在 y 轴上， 11 = 90，11= 1= 2， 1= 112+ 12= 2 + 2=2， 1（0，2）. 故答案为：D. 【分析】 连接 OB， 根据旋转的性质以及正方形的性质可得AOA1=45 ， AOB=45 ， 则A1OB1=45 ，推出A1OB1为等腰直角三角形，利用勾股定理可得 OB1，进而可得点 B1的坐标. 2 【
14、答案】D 【解析】【解答】解：A、四边形 ABCD 是平行四边形， OB=OD，故选项 A 不符合题意； B、四边形 ABCD 是平行四边形，AC=BD， ABCD 是矩形，故选项 B 不符合题意； C、四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC=12AC，OB=OD=12BD， OA=OD， AC=BD， ABCD 是矩形，故选项 C 不符合题意； D、四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD， ABCD 是菱形，故选项 D 符合题意. 故答案为：D 【分析】要判定一个平行四边形是菱形的方法，从对角线的角度：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得到正确结论的选项. 3 【答案】D 【解析】
15、【解答】解：由题意得 PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，A=B=90 ， A、当 = 4时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，APBM，则四边形 ABMP 不是矩形，该选项不符合题意； B、当 = 5时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PDCM，则四边形 CDPM 不是平行四边形，该选项不符合题意； 作 CEAD 于点 E，则CEA=A=B=90 ， 四边形 ABCE 是矩形， BC=AE=8 cm， DE=2 cm， PM=CD，且 PQ 与 CD 不平行，作 MFAD 于点 F，CEAD 于点 E， 四边形 CEFM 是矩形， FM=CE； Rt
16、PFMRtDEC（HL） ， PF=DE=2，EF=CM=8-t， AP=10-4-（8-t）=10-t， 解得 t=6 s； PM=CD，且 PMCD， 四边形 CDPM 是平行四边形， DP=CM， t=8-t， 解得 t=4 s； 综上，当 PM=CD 时，t=4s 或 6s；选项 C 不符合题意；选项 D 符合题意； 故答案为：D. 【分析】易得 PD=t，AP=10-t，BM=t，CM=8-t，A=B=90 ，当 t=4s 时，APBM，由矩形的判定定理可判断 A；当 t=5s 时，PDCM，由平行四边形判定定理判断 B；作 CEAD 于点 E，则四边形ABCE 是矩形，BC=AE=
17、8 cm，DE=2 cm，PM=CD，且 PQ 与 CD 不平行，作 MFAD 于点 F，CEAD于点E， 则四边形CEFM是矩形， 得到FM=CE， 证明RtPFMRtDEC， 得到PF=DE=2， EF=CM=8-t，则 AP=10-t，求解可得 t 的值；易得四边形 CDPM 是平行四边形，则 DP=CM，代入求解可得 t 的值，据此判断 C、D. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， = 90， ， = ， 由作图过程可知，PQ 垂直平分 BD， = ， = ， = ， = ， = ， ， 四边形 MBND 是平行四边形， 又 = ， 平行四边形 MBND 是
18、菱形， 设 = = ( 0)，则 = = 4 ， 在 中，2+ 2= 2，即22+ (4 )2= 2， 解得 =52， 则四边形 MBND 的周长为4 = 4 = 4 52= 10 故答案为：C. 【分析】根据矩形的性质可得A=90 ，ADBC，根据平行线的性质可得MDB=NBD，由作图过程可知：PQ 垂直平分 BD，则 BM=DM，BN=DN，根据等腰三角形的性质可得MDB=MBD，NBD=NDB，推出 BMDN，结合 BM=DM 可得四边形 MBND 是菱形，设 BM=DM=x，则AM=AD-DM=4-x，利用勾股定理可得 x，进而不难求出四边形 MBND 的周长. 5 【答案】C 【解析
19、】【解答】解：连接 AD，如图： 网格是有一个角 60 为菱形， AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形， AD= BD= BC= AC， 四边形 ADBC 为菱形，且DBC=60 ， ABD=ABC=30 ， tanABC= tan30 =33. 故答案为：C. 【分析】连接 AD，易得AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形，则 AD= BD= BC= AC，推出四边形 ADBC 为菱形，且DBC=60 ，则ABD=ABC=30 ，然后根据特殊角的三角函数值进行解答. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，连接 OA，OE，设 OE 与 AB 交于点 P， = ， ，
20、 ， 四边形 ABDC 是矩形， CD 与 切于点 E，OE 为 的半径， ， ， = ， = ， AB=CD=16cm， = 8， = = = 4， 在 ，由勾股定理得， 2+ 2= 2 82+ ( 4)2= 2 解得， = 10， 则这种铁球的直径2 = 2 10 = 20. 故答案为：C. 【分析】连接 OA，OE，设 OE 与 AB 交于点 P，易得四边形 ABDC 是矩形，根据切线的性质可得 OECD，OEAB，根据垂径定理可得 PA=PB，PE=AC，易得 PA=8cm，AC=4cm，根据勾股定理可得OA，进而可得这种铁球的直径. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：ABCD 为矩
21、形， = 1， = 3， = 90， = 30， = 2， AF 平分， = = 45，即 = = 1， = 30， = 60， = ， 为等边三角形， = = 1， = ，故正确； 为等边三角形，且 = 45， = 15， 同理： 为等边三角形， ， = 30， = 15， = = 15，即 = ，故正确； = 30， = 30， = = 1， =12 =12， = 2， = 2 12=32， = 3，故正确； = ，但是无法证明 F 是 AH 中点，故错误； 综上所述：正确的有. 故答案为：C. 【分析】根据矩形的性质可得DAB=90 ，利用勾股定理可得 BD，根据锐角三角函数的定义及特殊
22、锐角三角函数值得ADB=30 ，由角平分线的概念可得FAB=AFB=45 ，则 BF=AB=1，易得AOB为等边三角形， 得到 BO=AB=1， 据此判断； 根据等边三角形的性质可得OAB=60 ， 则OAH=15 ，同理可得COD 为等边三角形，则ECO=30 ，CHA=15 ，据此判断；根据含 30 角的直角三角形的性质可得 DE，然后求出 BE，据此判断；根据 AC=CH 结合等腰三角形的性质可判断. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 AC，与 BD 相交于点 P， 设 PA=PB=PC=PD=t（t0）. 点 D 的坐标为（3， 23 ） ， 点 C 的坐标为（3-t， 23
23、+t）. 点 C 在反比例函数 y= 2 的图象上， （3-t） （ 23 +t）=k2，化简得：t=3- 23 ， 点 B 的纵坐标为 23 +2t= 23 +2（3- 23 ）=6- 23 ， 点 B 的坐标为（3，6- 23 ） ， 3 （6- 23 ）= 1 ，整理，得： 1 + 2 =18. 故答案为：B. 【分析】连接 AC，与 BD 相交于点 P，设 PA=PB=PC=PD=t（t0） ，可得点 D（3， 23 ） ，点 C（3-t， 23 +t） ， 将点C代入y= 2 中， 可得t=3- 23， 从而求出点B （3， 6- 23 ） ， 将点B坐标代入 =1(1 0)中，即可
24、求解. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接 AC，BD， A1C1 ， B1D1 . 四边形 ABCD 是矩形， = ， = ， = . 1 ， 1 ， 1 ， 1 分别是矩形四个边的中点， 11= 11=12，11= 11=12 ， 11= 11= 11= 11 ， 四边形 A1B1C1D1是菱形， 11= = ， 11= = ， 四边形 A1B1C1D1的面积为： 1211 11=12 =12 . 同理，由中位线的性质可知， 22= 22=12 =12 ， 22/22/ ， 22= 22=12 =12 ， 22/22/ ， 四边形 A2B2C2D2是平行四边形， ， 22 22
25、 ， 四边形 A2B2C2D2是矩形， 四边形 A2B2C2D2的面积为： 22 22=12 12 =14=12菱形1111 . 每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半， 四边形 AnBnCnDn的面积是 2 . 故答案为：A. 【分析】连接 AC，BD，A1C1 ， B1D1 ，易证四边形 A1B1C1D1是菱形，可得四边形 A1B1C1D1 的面积为矩形 ABCD 面积的一半，则四边形 A1B1C1D1 的面积=12ab，易证四边形 A2B2C2D2是矩形，可得矩形 A2B2C2D2的面积=12 12 =14，从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，据此即可求解
26、. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意知，BF 垂直平分 AC， AO=CO，AOE=COF=90 ，AE=CE，AF=CF， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， EAO=FCO 在 和 中， = = = 90 = ， AOECOF（AAS） ， AE=CF， = = = ， 即四边形 AECF 是菱形， 故结论正确； = ， = ， = + = 2， 故结论正确； 四边形= =12 2 =12 ， 故结论不正确； 若 AF 平分BAC，则 = = =13 90 = 30， = 2， = ， = 2， 故结论正确； 故答案为：B. 【分析】根据题意知：EF 垂直平分 AC，根据
27、矩形以及平行线的性质可得 AO=CO，EAO=FCO，易证AOECOF，得到 OE=OF，推出 AE=AF=CF=CE，然后结合菱形的判定定理可判断；根据外角的性质可得AFB=FAO+ACB，根据垂直平分线的性质可得 AF=FC，由等腰三角形的性质可得FAO=ACB，据此判断；根据 S四边形AECF=CF CD=12AC OE 2=12AC EF 可判断；根据角平分线的概念可得BAF=FAC=CAD=30 ，则 AF=2BF，然后结合 CF=AF 可判断. 11 【答案】8 【解析】【解答】解：如图作 EFBC，则 =12， 设 E 点坐标为（a，b） ，则 A 点的纵坐标为 2b， 则可设
28、A 点坐标为坐标为（c，2b） ， 点 A，E 在反比例函数 =上， ab=k=2bc，解得：a=2c，故 BF=FC=2c-c=c， OC=3c， 故=12 =12 3 = 6，解得：bc=4， k=2bc=8， 故答案为：8 【分析】过点 E 作 EFBC，利用矩形的性质和三角形的中位线定理可证得 =12；设 A 点坐标为坐标为（c，2b） ，利用点 A，E 在反比例函数图象上，可得方程，解方程可得到 a=2c，由此可表示出BF，FC，OC 的长；然后利用三角形的面积公式建立关于 bc 的方程，解方程求出 bc 的长，即可得到 k的值. 12 【答案】322 【解析】【解答】解：根据题意得
29、：AB=AD=2cm，C=90 ， 当 = 2.5秒时，点 P 在 BC 边上，点 Q 在 CD 边上，且 PB=DQ=0.5cm， = = 2 0.5 =32， =(32)2+ (32)2=322. 故答案为：322. 【分析】根据题意得 AB=AD=2cm，C=90 ，当 x=2.5 秒时，点 P 在 BC 边上，点 Q 在 CD 边上，且PB=DQ=0.5cm，由 CP=CQ=BC-BP 可得 CP，然后利用勾股定理可得 PQ. 13 【答案】110 【解析】【解答】 解： 四边形 BDEC 为矩形 = 90 = 55 ， = 90 55 = 35 = = = 35 = 180 = 11
30、0 故答案为：110. 【分析】由矩形的性质可得DBC=90 ，利用平角的定义可求出ABC=35 ，由 AB=AC 可得ACB= ABC=35 ，利用三角形的内角和即可求出A 的度数. 14 【答案】48 【解析】【解答】解：在矩形 ABCD 中， = 90， = 90 ， F、G 分别是 BE，CE 的中点， FG=5 ， 是BCE 的中位线，即 = 2 = 10 ， 在ABE 中，F 是的中点，AF=3 ， = = =12 = 3， = 6 ， 同理 CE=8 在EFG 中， = 3 ， = 4 ， = 5 ，即 2= 25 = 9 + 16 = 2+ 2 EFG 是直角三角形，且 = 9
31、0 ， 过 E 作 EHBC 于 H ，如图所示： 矩形= = 2= 2 12 = 6 8 = 48 ， 故答案为：48. 【分析】根据矩形的性质可得BAE=90 ，CDE=90 ，由题意可得 FG 为BCE 的中位线，则BC=2FG=10，根据直角三角形斜边上中线的性质可得 AF=EF=BF=12BE=3，DG=EG=CG=12CE=4，则BE=6，CE=8，利用勾股定理求出 FG2，EF2、EG2，结合勾股定理逆定理知EFG 是直角三角形，且FEG=90 ，过 E 作 EHBC 于 H，则 S矩形ABCD=2SBEC，然后结合三角形的面积公式进行计算. 15 【答案】90 ；455 【解析
32、】【解答】解：如图，设 EF 交 AD 于点 M，BH 交 AD 于点 N， 根据题意得：BAE=DAF，EAF=90 ， =12 = 3， =12 = 4， =34， 在矩形 ABCD 中， = 8， = 6，BAD=90 ， =34， ADFABE， ADF=ABE， ANB=DNH， BHD=BAD=90 ； 如图，过点 E 作 EGAB 于点 G， AGE=AME=BAD=90 ， 四边形 AMEG 是矩形， EG=AM，AG=ME，MEAB， ABE=MEN， 在 中， = 2+ 2= 5， tan =34， =12 =12 ， = =125， = =tan=165， = = 8 1
33、65=245， tan = tan =12， =12，即 =85， = = 2， ADF=ABE， tan = tan =12， 即 DH=2HN， 2+ 2= 2+ (12)2= 2= 4， 解得： =455或455（舍去）. 故答案为：90 ，455 【分析】设 EF 交 AD 于点 M，BH 交 AD 于点 N，利用旋转的性质及线段中点的定义可证得BAE=DAF，EAF=90 ，同时可求出 AF，AE 的长，即可求出 AE 与 AF 的比值；同时可得到 AD 与 AB的比值； 利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得ADFABE， 利用相似三角形的性质可证得ADF=ABE，可推出
34、BHD=BAD=90 ；过点 E 作 EGAB 于点 G，易证四边形 AMEG是矩形，利用矩形的性质可证得 EG=AM，AG=ME，MEAB，利用平行线的在可知ABE=MEN，利用勾股定理求出 EF 的长，利用锐角三角函数的定义及三角形的面积公式可求出 AG 的长，即可求出BG 的长； 再利用解直角三角形求出 MN 的长， 根据 DN=AD-AM 可求出 DN 的长； 利用ADF=ABE及解直角三角形可得到 DH=2HN；然后利用勾股定理可求出 DH 的长. 16 【答案】25 【解析】【解答】解：如图，在 CD 上取点 H，使 DH=BF=2，连接 EH、AH， 四边形 ABCD 是正方形，
35、 ADH=ABC=ABF=90 ，AD=AB，BAC=DAC=45 ， ADH ABF(SAS)， DAH=BAF，AH=AF， EAF=45 ，即BAF+EAB=45 ， DAH+EAB=45 ，则EAH=45 ， EAF=EAH=45 ， EAF EAH (SAS)，EAFEAH， EF=EH， tan =12 ， 设 BE=a，则 AB=2a，EC=a，CH=2a-2，EF=EH=a+2， 在 RtCEH 中， 2+ 2= 2 ，即 2+ (2 2)2= ( + 2)2 ， 解得： = 3 ， 则 AB=AD=6，BE=EC=3， 在 RtABE 中， 2+ 2= 2 ， AE=3 5
36、， 同理 AF=2 10 ， AO=AB sin45 =3 2 ， BEAD， =12 ， AG=2 5 ， =3225=31010 ， =6210=31010 ， = ， EAF=BAC=45 ， BAF=OAG， BAF OAG， ： = ： = 1：2 ， GAF=OAB=45 ， GAF 是等腰直角三角形， FG= AG=2 5 ， 故答案为：2 5 . 【分析】在 CD 上取点 H，使 DH=BF=2，连接 EH、AH，利用正方形的性质可证得ADH=ABC=ABF=90 ，AD=AB，BAC=DAC=45 ，利用 SAS 证明 ADH ABF，利用全等三角形的性质可证得DAH=BAF
37、，AH=AF；再利用 SAS 证明利用全等三角形的性质可证得 EF=EH，利用锐角三角函数的定义可得到 BE 与 AB 的比值，设 BE=a，可表示出 AB，EC，CH，EF，利用勾股定理建立关于 a 的方程，解方程求出 a 的值，可得到 AB，BE 的长；利用勾股定理求出 AE 的长；利用平行线分线段成比列定理可求出 AG 的长； 然后证明BAFOAG， 利用相似三角形的性质可得对应边成比例，同时可证得GAF 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出 FG 的长. 17 【答案】（1）4 （2） 【解析】【解答】解：(1)将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90 ，F 点落在 G 点处，
38、如下图所示： = 45 ，且 = 90 = 45 ， 在 和 中： = = = 45 = ， () ， = ， 又1+2=45 ，3+2=45 ， 1=3， ABCD 为正方形， AD=AB， 在 和 中： = 1 = 3 = ， () ， = = 90 + = 90+ 90= 180 ， 、 、 三点共线， = = + = + ， = + + = ( + ) + + = ( +) + ( + ) = + = 4 ， 故答案为： 4 ； (2)对于：将 AM 绕点 A 逆时针旋转 90 ，M 点落在 H 点处，如下图所示： 1+2=45 ，1+4=EAH-EAF=45 ， 2=4， 在 和 中
39、： = 2 = 4 = ， () ， = = 45 ， = ， = + = 45+ 45= 90 ， 在 中，由勾股定理得： 2= 2+ 2= 2+ 2 ， 在 和 中： = = = 45 = ， () ， = ， 2= 2= 2+ 2 ，故正确； 对于：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为 2，当 F 为 CD 中点时， GB=DF=1，CF=1，设 BE=x，则 EF=x+1，CE=2-x， 在 RtEFC 中，由勾股定理： 2= 2+ 2 ， ( + 1)2= 12+ (2 )2 ，解得 =23 ，即 =23 ， tan = tan = 2 32= 3 ，故错误； 对于：如下
40、图所示： EAF=BDC=45 ， A、M、F、D 四点共圆， AFM=ADM=45 ， AMF 为等腰直角三角形，故正确； 故答案为：. 【分析】 (1)将 AF 绕点 A 顺时针旋转 90 ，F 点落在 G 点处，利用 SAS 可证得EAFEAG，利用全等三角形的性质可证得 EF=GE；再证明1=3，利用正方形的性质可知 AD=AB；利用 SAS 证明FADGAB， 由此可推出ABG=90 ， 可证得ABG+ABE=180 ， 可推出点 G， B， E 三点共线，同时可证得 EF=DF+BE，即可求出CEF 的周长. (2)对于：将 AM 绕点 A 逆时针旋转 90 ，M 点落在 H 点处
41、，可证得2=4，利用 SAS 证明BAMDAH，利用全等三角形的性质可证得ADH=ABM=45 ，BM=DH，由此可推出NDH=90 ，利用 SAS 证明MANHAN，可推出 MN=NH，利用勾股定理可证得结论，可对作出判断；由(1)中可知： EF=BE+DF， 设正方形边长为 2， 当 F 为 CD 中点时， GB=DF=1， CF=1， 设 BE=x， 则 EF=x+1，CE=2-x，在 RtEFC 中，利用勾股定理可建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，可得到 BE 的长；再利用锐角三角函数的定义去除 tanAEF 的值，可对作出判断；利用EAF=BDC=45 ，利用圆周角定理可证
42、得 A、M、F、D 四点共圆，再利用圆周角定理可证得AFM=45 ，可证得AMF 为等腰直角三角形，可对作出判断；综上所述可得到正确结论的序号. 18 【答案】1= 44 【解析】【解答】解：设 1= 12= 23= 34 =m，则 O 2 =2m，O 3 =3m，O 4 =4m， 点 1 ， 2 ， 3 ， 4 都在反比例函数 =( 0, 0) 图象上， 11= ， 22=2 ， 33=3 ， 44=4 ， 1= 1 11= = ， 2= 12 22= 2=2 ， 3= 23 33= 3=3 ， 4= 34 44= 4=4 ， 1= 44 . 故答案为： 1= 44 . 【分析】 设 1 =
43、m， 则可把 OA2、 OA3、 OA4的长度表示出来， 然后将其代入反比例函数中， 求出1 ， 2 ， 3 ， 4的纵坐标，然后分别根据矩形的面积公式把1 ， 2 ， 3 ， 4 表示出来，然后比较即可得出结果. 19 【答案】72 m 132 【解析】【解答】解：作 AB 的中点 M，连接 CM、QM. = 3, 在以 为圆心， 3 为半径的圆上运动， 在直角ABC 中，AB 22=82+ 62= 10 ， M 是直角ABC 斜边 AB 上的中点， CM 12 AB5. Q 是 BP 的中点，M 是 AB 的中点， MQ 12 AP 32 . 在CMQ 中，5 32 CQ 32 5，即 7
44、2 m 132 . 故答案是： 72 m 132 . 【分析】作 AB 的中点 M，连接 CM、QM，在直角ABC 中，利用勾股定理求出 AB=10，利用直角三角形斜边中线的性质得出 CM 12 AB5，根据三角形中位线的定理可得 MQ 12 AP 32，在CMQ 中，CM MQCQ MQCM，据此即可求出结论. 20 【答案】22 【解析】【解答】解：如图，过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F，交 AC 于 D，再过 D作 DPAD 于 P， DDAE， AFDAFD， AFAF，DAECAE， ADFADF， ADAD4， D与 D 关于 AE 对称， QDQD， DQPQQDPQPD
45、， DP 即为 DQPQ 的最小值， 四边形 ABCD 是正方形， DAD45 ， APPD， 在 RtAPD中，PD2AP2AD2，即 2DP216， PD2 2 ，即 DQPQ 的最小值为 2 2 . 故答案为： 22. 【分析】过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F，交 AC 于 D，过 D作 DPAD 于 P，易证ADFADF，得到 ADAD4，由轴对称的性质可得 QDQD，推出 DP 即为 DQPQ 的最小值，由正方形的性质可得DAD45 ，则 APPD，在 RtAPD中，应用勾股定理可得 2DP216，据此求解. 21 【答案】（1）证明：如图，在 BA 上截取 BH=BE，连接
46、 EH k=2， AB=BC B=90 ，BH=BE， 1=2=45 ， AHE=180 -1=135 ， CF 平分DCG，DCG=90 ， 3=12DCG=45 ， ECF=3+4=135 ， AEEF， 6+AEB=90 ， 5+AEB=90 ， 5=6， AB=BC，BH=BE， AH=EC， AHEECF（ASA） ， AE=EF； （2）解：在 BA 上截取 BH=BE，连接 EH B=90 ，BH=BE， BHE=BEH=45 ， AHE=135 ， CF 平分DCG，DCG=90 ， DCF=12DCG=45 ECF=135 ， AEEF， FEC+AEB=90 ， BAE+A
47、EB=90 ， BAE=FEC， AHEECF， =， =2，E 是 BC 边的中点， EC=HB=12BC， AH=AB-12BC=12( 1)BC， = 1； （3）解：以 A 为旋转中心，ADP 绕 A 点旋转 90 到APH， k=3， =32， 设 AB=3a，则 BC=2a， PAE=45 ， PAP=90 ， 连接 PE，HE，延长 PH 交 CD 于点 G，连接 EG， AH=AD=2a， BH=a， E 是 BC 的中点， BE=a， HE=2a，BHE=45 ， PHE=135 ， CG=EC=a， GEC=45 ， PGE=135 ， AP=AP，PAE=PAE，AE=A
48、E， AEPAEP（SAS） ， PE=PE， PEGPEH（AAS） ， PEG=PEH， HEG=EGH=45 ， HEG=90 ， PEP=90 ， AEP=AEP=45 ， APE=APE=90 ， 四边形 APEP是正方形， AP=PE， DAP+APD=90 ，APD+EPC=90 ， DAP=EPC， AP=PE， APDPEC（AAS） ， AD=PC=2a，PD=ED=a， PE=5a， 由（2）得AHEECF， =2= 2， = 10 =102， HEG=AEF=90 ， HEA=GEF， PEG=PEH， PEF=PEH=45 ， 过点 P 作 PKAE 交于 K， EF
49、AE， PKEF， =1210， PK=EF， 四边形 PKEF 是矩形， PF=KE， = 5， 1210 =5， = 2， = 22 【解析】【分析】 （1）在 BA 上截取 BH=BE，连接 EH，利用 k 的值可证得四边形 ABCD 是正方形，易得BHE 是等腰直角三角形，则1=2=45 ，利用邻补角的定义求出AHE=135 ，利用角平分线的定义可求出3=45 ， 从而可求出ECF=AHE=135 ， 根据同角的余角相等得5=6， 再证明 AH=CE，利用 ASA 证明AHEECF，利用全等三角形的性质可证得结论； （2）在 BA 上截取 BH=BE，连接 EH，易证BHE=BEH=4
50、5 ，利用邻补角得AHE=135 ，利用角平分线的定义可求出DCE=45 ， 即可求出ECF=AHE=135 ， 根据同角的余角相等得BAE=FEC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似， 可证得AHEECF， 利用相似三角形的对应边成比例，可得=，利用线段中点的定义可得到 EC 和 BC 的数量关系；再用含 BC 的代数式表示出 AH 的长；然后求出 AE 与 EF 的比值； （3） 以A为旋转中心， ADP绕A点旋转90 到APH， 利用k的值可得到AB与BC的比值； 设AB=3a，则 BC=2a，可得到PAP=90，连接 PE，HE，延长 PH 交 CD 于点 G，连接 EG，则 BH
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