1、 专题专题 3 3 整式整式 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 = 2+ + 的图象交 x 轴于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，交 y 轴于点 C(0，3)，若 1+ 2= 4 ，且ABC 的面积为 3，则 a+b（ ） A3 B-5 C-3 D5 2若42 + 49是一个完全平方式，则 m 的值为（ ） A14 B 14 C28 D 28 3 （2022 七下 诏安月考）已知 2+ 2= 5 ， = 2 ，则 ( + )2 的值为（ ） A1 B9 C3 D1 4 （2022 七下 诏安期中）下列各式正确的是（ ） A( + )2= 2+ 2 B( + 6)( 6) = 2 6 C
2、( )2= ( )2 D( + 2)2= 2+ 2 + 4 5 （2022 七下 诏安月考）下列判断中正确的是（ ） A+2 是单项式 B 不是单项式 C-2 和 都是单项式 D3+ 222+ 1 是三次三项式 6 （2022 七下 福州期末）若( 2021)( 2022) = 6，则(2021 )2+ (2022 )2的值是（ ） A11 B12 C13 D14 7 （2022 七下 诏安月考）计算 (122)3 的结果正确的是（ ） A1442 B1863 C1853 D1863 8 （2022 七下 将乐期中）下列运算正确的是（ ） A2 3= 6 B3+ 2= 5 C(3)2= 5 D
3、3 2= 9 （2022 七下 诏安月考）下列各式成立的是（ ） A( + )2= 2+ 2 B( )2= 2 2 C2 2= ( + )( ) D以上各式都不成立 10 （2022 七下 华安月考）如果单项式222+2与322是同类项，那么 n 等于（ ）. A0 B-1 C-4 D2 二、填空题二、填空题 11 （2022 九上 福建竞赛）若素数 p，使得 42+ + 81 是一个完全平方数，则 p= .（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.） 12 （2022 七下 将乐期中）如果 ( 5)( + )的积中不含 x 的一次项，则 m 的值是 . 13 （2022
4、 七下 将乐期中）把式子(2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)(2128+ 1)化简的结果是 . 14 （2022 七下 诏安月考）单项式 22 的系数是 ，次数是 . 15 （2022 七下 福州期末）已知3= 2，9= 10，则332的值为 . 16 （2022 七下 诏安月考）0.0000125 102 用科学记数法表示为 . 17 （2022 七下 诏安月考）(182 952) (3) = . 18 （2022 七下 福州期末）在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的 3 个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”.在如图的九宫格中，已填写了一些数或
5、式子，为了完成“积的九宫归位”，则的值为 . 19（2022 七下 三元期中）已知2= 8， 2= 10， 2= 80， 那么 a、 b、 c 之间满足的等量关系是 . 20 （2022 七下 三元期中）若2 2= 18，且 = 3，则 + = . 三、计算题三、计算题 21 （2022 七下 诏安期中）计算下列各题： （1）(32)2 (63) (934) （2）23+ 3 (2016 )0 (13)2 （3）20152 2014 2016 22 （2022 七下 诏安月考）计算下列各题： （1）(143+ 82 6) ； （2）( + + 9)( + 9) ； （3）(22)2 (1443
6、) (72) ； （4）( + )( ) 2( )2 ； （5）(2003)0 2 12 (13)2 23 . 23 （2022 七下 将乐期中）计算： （1）3(2 3) （2） （a+b） （3a-2b） （3） （4a2-6ab+2a） 2a （4）20192-2017 2021（用乘法公式） 四、综合题四、综合题 24 （2022 七下 将乐期中）阅读学习：数学中有很多恒等式可以用面积来得到. 如图 1，可以求出阴影部分的面积是2 2； 如图 2，把图 1 中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 + ，宽是 ，比较图1、图 2 阴影部分的面积，可以得到恒等式( + )( )
7、 = 2 2. （1） 观察图 3， 请你写出( + )2， ( )2， ab 之间的一个恒等式： ( + )2= ； （2）根据（1）的结论，若( + )2= 10，( )2= 2，求下列各式的值； xy； 2+ 2. 25 （2022 七下 三元期中）两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图 1） ，其未叠合部分（阴影）面积为1；若再在图 1 中大正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形（如图 2） ，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2. （1）用含 a、b 的代数式分别表示1= ；2= . （2）若 + = 10， = 25，求1+ 2的值. （3）当1+2= 37时，求出
8、图 3 中阴影部分的面积3. 26 （2022 八上 晋江月考）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题代数式 63 5 1的值与 x 的取值无关，求 a 的值”，通常的解题方法是：把 x、y 看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与 x 的取值无关，所以含 x 项的系数为 0，即原式=( + 3) 6 + 5，所以 a3=0，则 = 3 （1）若关于 x 的多项式(2 3) + 2 3的值与 x 无关，求 m 的值 （2） 【能力提升】 7 张如图 1 的小长方形，长为 a，宽为 b，按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 ABCD 内，大长方形中 未被覆盖的两个部分 （
9、图中阴影部分） ， 设右上角的面积为1， 左下角的面积为2， 当 AB 的长变化时，12的值始终保持不变，求 a 与 b 的等量关系 27 （2022 九上 晋江月考）材料一：定义： =（x，y 为正整数） 材料二：观察、思考、解答：(2 1)2= (2)2 2 1 2 + 12= 2 22 + 1 = 3 22；反之322 = 2 22+ 1 = (2 1)2 322 = (2 1)2； 3 22 =2 1 （1）仿照材料二，化简：6 25； （2）结合两个材料，若 + 2 = +（a，b，m，n 均为正整数） ，用含 m、n 的代数式分别表示 a 和 b； （3）由上述 m、n 与 a、b
10、 的关系，当 a4，b3 时，求 m2n2的值 28 （2022 八上 永春期中）如图 1 是一个长为 2a，宽为 2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图 2 形状拼成一个正方形 （1）图 2 中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含 a，b 的式子表示） （2）已知 + = 10， = 3，求图 2 中空白部分的正方形的面积 （3）观察图 2，用一个等式表示下列三个整式：( + )2，( )2，ab 之间的数量关系 （4）拓展提升：当( 10)(20 ) = 8时，求(2 30)2 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：依题意 1，2 为方程
11、2+ + = 0 的两根，且 = 3 . 所以 1+ 2= = 4 ， 12=3 . 所以 = |1 2| = (1+ 2)2 412= 16 4 3= 24 3 ， 所以 面积 =12 3 =12 24 3 3 = 3 . 解得 = 1 ，经检验符合题意， = 4 = 4 . 因为函数 = 2 4 + 3 的图象与 x 轴有两个不同交点，因此 = 1 ， = 4 ， = 3 符合要求. 所以 + = 3 . 故答案为：C. 【分析】易得 x1+x2=4，x1x2=3，则 AB=|x1-x2|=(1+ 2)2 412= 243 ，根据三角形的面积公式可得 a 的值，然后求出 b 的值，据此计算
12、. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：42 + 49是一个完全平方式， = 2 2 7 = 28； 故答案为：D. 【分析】完全平方公式展开即是首平方 a2，尾平方 b2，加上或减去 2ab，可得 2 2x 7=-mx，据此即可求解. 3 【答案】A 【解析】【解答】解： 2+ 2= 5 ， = 2 ， ( + )2= 2+ 2+ 2 = 5 + 2 (2) = 1 ， 故答案为：A. 【分析】根据完全平方公式可得(a+b)2=a2+b2+2ab，然后将已知条件代入进行计算. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：A. ( + )2= 2+ 2 + 2，故该选项不正确，不符合题意； B. (
13、+ 6)( 6) = 2 36，故该选项不正确，不符合题意； C. ( )2= ( )2，故该选项正确，符合题意； D. ( + 2)2= 2+ 4 + 4，故该选项不正确，不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据完全平方公式、平方差公式分别计算，再判断即可. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：A、 +2 是多项式，故说法错误，不符合题意； B、 是单项式，故说法错误，不符合题意； C、 2 和 都是单项式，故正确，符合题意； D、 3+ 222+ 1 是 4 次三项式，故错误，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据数与字母的乘积为单项式，单独的数或字母也是单项式可判断 B、C；根据几个
14、单项式的和叫做多项式，可判断 A；多项式中的单项式叫做多项式的项，多项式中每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是多项式的次数，据此可判断 D. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：( 2021)( 2022) = 6 (2021 )2+ (2022 )2 = ( 2021)2+ (2022 )2 = ( 2021)2+ 2( 2021)(2022 ) + (2022 )2 2( 2021)(2022 ) = ( 2021) + (2022 )2+ 2( 2021)( 2022) = 12+ 2 6 = 13 故答案为：C. 【分析】待求式可变形为(x-2021)+(2022-x)2+2(
15、x-2021)(x-2022)，然后将已知条件代入进行计算. 7 【答案】D 【解析】【解答】解： (122)3= (12)3 (2)3 3= 1863 . 故答案为：D. 【分析】积的乘方：先将每一项分别乘方，再将结果相乘；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此计算. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：A、2 3= 5，故错误，不符合题意； B、3与2不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意； C、(3)2= 6，故错误，不符合题意； D、3 2= ，故正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断 A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断
16、 B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断 C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断 D. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：A 中 ( + )2= 2+ 2 + 2 2+ 2 ，错误，故不符合题意； B 中 ( )2= 2 2 + 2 2 2 ，错误，故不符合题意； C 中 2 2= ( + )( ) ，正确，故符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据完全平方公式的展开式是一个三项式可判断 A、B；根据平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差，可判断 C. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：单项式 2x2y2n+2与-3y2-nx2是同类项， 2n+2=2-
17、n，解得 n=0. 故答案为：A. 【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可得 2n+2=2-n，求解即可. 11 【答案】11 【解析】【解答】解：设 42+ + 81 = 2 ， 为正整数. 则 642+ 16 + 16 81 = 162 ，即 (8 + 1)2+ 1295 = 162 . (4 8 1)(4 + 8 + 1) = 1295 = 5 7 37 . 由 4 8 1 为整数， 4 + 8 + 1 为正整数，且 4 + 8 + 1 4 8 1 ，得 4 8 1 = 14 + 8 + 1 = 1295 ， 或 4 8 1 = 54+ 8 + 1 = 7 37 ， 或
18、 4 8 1 = 74 + 8 + 1 = 5 37 ， 或 4 8 1 = 354 + 8 + 1 = 37 . 解得 = 162 =3234 ，或 = 33 =634 ，或 = 24 = 11 ，或 = 9 = 0 . 又 为素数，所以 = 11 . 所以当素数 = 11 时， 42+ + 81 是一个完全平方数. 故答案为：11. 【分析】设 4p2+p+81=n2（n 为正整数） ，两边同时乘以 16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5 7 37，据此可得 n、p 的方程组，求出 n、p 的值，结
19、合 P 为素数就可得到 p 的值. 12 【答案】5 【解析】【解答】解： （x-5） （x+m）=x2+mx-5x-5m=x2+（m-5）x-5m， （x-5） （x+m）的积中不含 x 的一次项， m-5=0，解得 m=5. 故答案为：5. 【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x-5)(x+m)=x2+(m-5)x-5m，由积中不含 x 的一次项可得m-5=0，求解即可. 13 【答案】2256 1 【解析】【解答】解：原式（21） （21） （221） （241） （281）（21281） （221） （221） （241） （281）（21281） （241） （241） （28
20、1）（21281） （281） （281）（21281） （2161）（21281） 22561 故答案为：22561. 【分析】原式可变形为(2-1)(21)(221)(241)(281)(21281)，然后利用平方差公式进行计算. 14 【答案】-2；3 【解析】【解答】解：单项式 22 的系数是-2，次数是 3. 故答案为：-2，3. 【分析】单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此即可得出答案. 15 【答案】45 【解析】【解答】解： 3= 2，9= 10， 332= 33 32 = (3)3 (32)
21、= (3)3 9 = 23 10 =45. 故答案为：45. 【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则可将待求式变形为(3a)3(32)b=(3a)39b，然后将已知条件代入进行计算. 16 【答案】1.25 103 【解析】【解答】解：将 0.0000125 102 用科学记数法表示为：1.25 105 102 =1.25 10-3. 故答案为：1.25 103 . 【分析】用科学记数法表示一个绝对值较小的数，一般表示为 a 10-n的形式，其中 1a10，n 等 于原数从左至右第一个非 0 数字前面所有 0 的个数(包括小数点前面的 0 的)， 据此先把第一个因数表示出来，进而根据同
22、底数幂的乘法，底数不变，指数相加得出答案. 17 【答案】6 + 34 【解析】【解答】解：原式 = 182 (3) 952 (3) ， = 6 + 34 故答案为： 6 + 34 . 【分析】根据多项式与单项式的除法法则，用多项式的每一项分别取除以单项式，然后根据单项式与单项式的除法法则进行计算. 18 【答案】-1 【解析】【解答】解：由题意可得：2+2 (116)= 4 8， 2+2 24= 25， 即223= 25， 2 3 = 5， 3 = 3， 解得： = 1. 故答案为：-1. 【分析】 由题意可得： 2x+2 (116)x=4 8， 结合幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则可得2
23、2-3x=25， 则2-3x=5，求解可得 x 的值. 19 【答案】 + = 【解析】【解答】解：8 10 = 80， 2 2= 2， 2+= 2， + = . 故答案为： + = . 【分析】根据已知条件结合同底数幂的乘法法则可得 2a 2b=2a+b=80=2c，据此不难得到 a、b、c 的数量关系. 20 【答案】6 【解析】【解答】解：2 2= ( + )( ) = 18， = 3 + =18 3=6 故答案为：6. 【分析】根据平方差公式可得 m2-n2=(m+n)(m-n)，然后将已知条件代入进行计算. 21 【答案】（1）解：原式= 942 (63) (934) = 5455
24、(934) = 62； （2）解：原式= 8 + 3 1 1(13)2 = 8 + 3 9 = 14 （3）解：原式= 20152 (2015 1)(2015 + 1) = 20152 (20152 1) = 20152 20152+ 1 = 1. 【解析】【分析】 （1）先计算积的乘方，再利用单项式的乘法和除法法则计算即可； （2）根据乘方、零指数幂及负整数指数幂的性质先进行计算，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）先将原式变形为20152 (2015 1)(2015 + 1) ，再利用平方差公式计算即可. 22 【答案】（1）解： (143+ 82 6) ， = 142+ 8 6 ； （
25、2）解： ( + + 9)( + 9) ， = ( + )2 92 ， = 2+ 2 + 2 81 ； （3）解： (22)2 (1443) (72) ， = 442 1443 (72) ， =271 (72) ， = 2 ； （4）解： ( + )( ) 2( )2 ， = 2 2 22+ 4 22 ， = 2 32+ 4 ； （5）解： (2003)0 2 12 (13)2 23 ， = 1 2 12 19 8 ， = 4 172 ， =118 . 【解析】【分析】 （1）根据多项式与单项式的除法法则用多项式的每一项分别取除以单项式，然后根据单项式与单项式的除法法则进行计算； （2）先平方
26、差公式化简，再根据完全平方公式计算即可； （3）根据积的乘方以及幂的乘方法则将第一项化简，然后根据单项式与单项式的乘除法法则从左至右依次进行计算； （4）根据平方差公式、完全平方公式分别取括号，然后合并同类项化简即可； （5） 根据 0 次幂的运算性质以及有理数的乘方法则分别化简， 然后根据有理数的乘除法法则进行计算. 23 【答案】（1）解：3(2 3)， 解：原式=62 9； （2）解： （a+b） （3a-2b） ， 原式=32+ 3 2 22， =32+ 22； （3）解： （4a2-6ab+2a） 2a， 原式=2 3 + 1； （4）解：20192-2017 2021（用乘法公式）
27、 ， 原式=20192 (2019 2)(2019 + 2)， =20192 (20192 22)， =20192 20192+ 22， =4 【解析】【分析】 （1）直接根据单项式与多项式的乘法法则进行计算； （2）根据多项式与多项式的乘法法则可得原式=a(3a-2b)+b(3a-2b)，然后结合单项式与多项式的乘法法则进行计算； （3）直接根据多项式与单项式的除法法则进行计算； （4）原式可变形为 20192-(2019-2) (2019+2)，然后结合平方差公式进行计算. 24 【答案】（1） （a-b）2+4ab （2）解：根据（1）的结论，得（xy） 2=（x+y）24xy， （x+
28、y） 2=10， （xy） 2=2， 2=104xy， xy=2； （x+y） 2=x2+2xy+y2， （x+y） 2=10， （xy） 2=2，xy=2， 10=x2+2 2+y2， x2+y2=104， x2+y2=6. 【解析】【分析】 （1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4 个小矩形的面积就可得到等式； （2）根据（1）的结论得(x-y) 2=(x+y)24xy，代入计算即可； 根据(x+y)2=x2+2xy+y2结合的结论进行计算. 25 【答案】（1）2 2；22 （2）解：由（1）中的结果可知： 1+2= 2 2+ 22 = 2+ 2 ， a+b=10，ab=25， 1+
29、 2= 2+ 2 =（ + ）2 3 = 102 3 25 = 25； （3）解：由图可得3= 2+ 212（+ ）122=12（2+ 2 ）， 1+ 2= 37， 1+ 2= 2+ 2 = 37， 3=12（2+ 2 ）=12（1+ 2）=372. 【解析】【解答】解： （1）由图可得：1= 2 2，2= (2 ) = 22 ， 故答案为：2 2，22 ； 【分析】 （1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积可得 S1，根据图形可得 S2部分的长为 b，宽为(2b-a)，根据长方形的面积=长 宽可得 S2； （2）由（1）可得 S1+S2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，据此计算；
30、（3）利用两个正方形的面积和减去两个三角形的面积可得 S3，然后将 S1+S2=37 代入进行计算. 26 【答案】（1）解：(2 3) + 2 3 = 2 3 + 2 3 = (2 3) 3 + 2， 关于的多项式(2 3) + 2 3的值与的取值无关， 2 3 = 0， 解得 =32 （2）解：设 = ， 由图可知，1= ( 3) = 3，2= 2( 2) = 2 4， 则1 2= 3 (2 4) = 3 2 + 4 = ( 2) + ， 当的长变化时，1 2的值始终保持不变， 1 2的值与 x 的值无关， 2 = 0， = 2 【解析】【分析】 （1）由题可知代数式的值与 x 的取值无关
31、，所以含 x 项的系数为 0，故将多项式整理为（2m-3）x-3m+m2，令 x 系数为 0，即可求出 m； （2） 设 AB=x，由图可知 S1=a（x-3b） ，S2=2b（x-2a） ，即可得到 S1-S2关于 x 的代数式，根据取值与 x 无关可得 a=2b. 27 【答案】（1）解：6 25 =12 25+ (5)2=(1 5)2 6 25 =(1 5)2 6 25 =5 1 （2）解： + 2 = + + 2 = + 2 + = + ， = （3）解： = + ， = ，a4，b3 + =4， = 3 22= ( + )2 2 = 42 2 3 = 10 【解析】【分析】 （1）把
32、 6 拆成 5+1，利用题目的材料可得结论； （2）观察上面的两个材料，结合完全平方公式“（ ）2= 2 2 + 2”可得结论； （3）根据（2）先得到 m，n 与 a，b 的关系，再利用完全平方公式“（ ）2= 2 2 + 2”的变形得到结论. 28 【答案】（1）解：图 2 中的空白部分的正方形的边长ab （2）解：图 2 中空白部分的正方形的面积大正方形的面积4 个小长方形的面积 （ab）24ab 1024 3 10012 88 （3）解：图 2 中大正方形的面积（ab）2， 空白部分的正方形面积（ab）2， 阴影的面积4ab， 图 2 中大正方形的面积空白部分的正方形面积阴影的面积，
33、（ab）2（ab）24ab （4）解：（x10）（20 x）x1020 x10， （x10）（20 x）2100， 由（3）的结论可知， （x10）（20 x）2（x10）（20 x）24（x10） （20 x） ， 把（x10）（20 x）2100， （x10） （20 x）8 代入， 得 100（x10）（20 x）24 8， 100（x1020 x）232， 68（2x30）2， 即（2x30）268 【解析】【分析】 （1）由图可知， 图 2 中的空白部分的正方形的边长 等于小矩形的长与宽的差； （2） 图 2 中空白部分的正方形的面积大正方形的面积4 个小长方形的面积 ，据此列出式子，再整体代入计算即可； （3）根据正方形的面积公式分别表示出图 2 中大小两个小正方形的面积，根据矩形的面积公式表示出图 2 中四个小阴影矩形的面积，由图 2 中大正方形的面积空白部分的正方形面积阴影的面积，即可得出答案； （4）首先求出（x-10）与（20-x）的和，然后利用（3）的结论即可得出答案
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