1、 专题专题 6 6 二元一次方程组二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1关于 x，y 的二元一次方程 3xay1 有一组解是 = 3 = 4，则 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 2玩具车间每天能生产甲种玩具零件 24 个或乙种玩具零件 12 个，若甲种玩具零件 1 个与乙种玩具零件 2 个能组成一个完整的玩具， 怎样安排生产才能在 60 天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（ ） A + = 6024 = 12 B + = 6012 = 24 C + = 602 24 = 12 D + = 6024 = 2 12 3为培养青少年的创新意识、动手实践能力、
2、现场应变能力和团队精神，长沙市举办了青少年机器人竞赛组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共 20 个，若桌子腿数与凳子腿数的和为 64 条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有 x 张桌子，有 y 条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ） A + = 644 + 3 = 20 B + = 204 + 3 = 64 C + = 643 + 4 = 20 D + = 203 + 4 = 64 4 （2022 七下 娄星期末）下列各方程是二元一次方程的是（ ） A23+ 2 = 4 B3 + 9 = 8 C3 +1= 1 D2= 5 + 1 5 （2022 七下 宁远期末）已知方
3、程组2 + = 7 + 2 = 8，则 的值是（ ） A5 B1 C0 D1 6 （2022 七下 雨花期末）已知 x， y 满足方程组 + = 4 5 = ， 则无论 m 取何值， x， y 恒有关系式 （ ） A + = 1 B + = 1 C + = 9 D = 9 7 （2022 七下 宁远期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A4 = 5 B3 = 2 C2= 3 D1+ 3 = 0 8 （2022 七下 通道期末）已知方程组2 3 + 4 = 11 + 3 + 7 = 20的解，使3 + 2 + 5 = 21成立，则的值是（ ） A0 B12 C1 D2 9 （2022 七
4、下 怀化期末）方程组3 + = 17 + = 7的解是（ ） A = 2 = 5 B = 5 = 2 C = 6 = 1 D = 8 = 1 10 （2022 七下 通道期末）以下是方程3 + 2 = 12的一个解的是（ ） A = 1 = 2 B = 2 = 1 C = 2 = 3 D = 3 = 2 二、填空题二、填空题 11 （2022 七上 安化期中）已知| 2| + ( + 3)2= 0 ，那么的值为 12 （2022 八上 长沙开学考）已知关于 x、y 的方程组 3 = 4 + = 3，其中3t1，给出下列结论： = 1 = 1是方程组的解；若 xy3，则 t1；若 M2xyt，则
5、 M 的最小值为3；其中正确的有 （填写正确答案的序号） 13 （2022 八上 雨花开学考）已知，满足方程组 + 5 = 63 = 2，则 + 的值为 14 （2022 七上 长沙开学考）若、满足3 + 7 + = 1和4 + 10 + = 2001，则分式+3的值为 15 （2022 七下 长沙期末）已知关于，的二元一次方程组2 = 3 + 2 + 2 = 4的解满足 + = 3，则实数的值为 16 （2022 七下 雨花期末）二元一次方程3 + 4 = 11的正整数解为 17 （2022 七下 娄星期末）如图，由八块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是 18 （2
6、022 七下 永定期末）已知 = 9 = 5是关于 x、 y 的方程2 = 3的一个解， 则的值是 19 （2022 七下 宁远期末）若实数 x，y 满足方程组 = 4， + = 2，则(2 + )2022= 20 （2022 七下 新晃期末）已知方程 2xy1，用含 x 的代数式表示 y，得 三、计算题三、计算题 21 （2022 七下 长沙期末）解方程组： （1） = 4 + = 6 （2）12 + = 2 + 3 = 5 22 （2022 七下 娄星期末）解下列方程组 （1） 2 = 33 + = 2 （2）2 + 3 = 14+13=+45 23 （2022 七下 怀化期末）解下列方程
7、组： （1） + = 73 = 5 （2）52= 22( 2) + 3 = 0 24 （2022 七下 攸县期末）解方程： （1）3 + 2 = 6 =12 + 2 （2） 2 = 12 + 3 = 16 四、综合题四、综合题 25 （2022 湘西）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品已知篮球的单价为每个 100 元，足球的单价为每个 80 元 （1）原计划募捐 5600 元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共 60 个，那么篮球和足球各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共
8、 6890 元，若购买篮球和足球共80 个，且支出不超过 6890 元，那么篮球最多能买多少个？ 26 （2022 郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地.最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥.已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多 100 元，购买 2 吨甲种有机肥和 1 吨乙种有机肥共需 1700 元. （1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？ （2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共 10 吨，且总费用不能超过 5600 元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 27（2022 岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会
9、在岳阳举行， 某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买 A， 两种跳绳若干.若购买 3 根 A 种跳绳和 1 根种跳绳共需 140 元； 若购买 5 根 A 种跳绳和 3根种跳绳共需 300 元. （1）求，两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买，两种跳绳共 46 根，总费用不超过 1780 元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 28 （2022 邵阳）2022 年 2 月 4 日至 20 日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩” 摆件和挂件共 180 个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为 80 元/个，“冰墩墩”挂件的进价为 50 元/个. （1）若购进“冰墩
10、墩”摆件和挂件共花费了 11400 元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量. （2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为 100 元/个，“冰墩墩”挂件售价定为 60 元/个，若购进的180 个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利 2900 元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 29 （2022 衡阳）冰墩墩（Bing Dwen Dwen） 、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是 2022 年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用 1400 元购进了冰墩墩玩偶 15 个和雪
11、容融玩偶 5 个，已知购进 1个冰墩墩玩偶和 1 个雪容融玩偶共需 136 元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利 28 元，每个雪容融玩偶可获利 20 元. （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？ （2） 第二次小雅进货时， 网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的 1.5 倍.小雅计划购进两种玩偶共 40 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：把 = 3 = 4代入方程 3xay1 得，94a1， 解得 a2. 故答案为：B. 【分析】将 x=3、y=4 代入二元一次方程中可得关于 a 的方程，求解即可
12、. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得 + = 602 24 = 12 故答案为：C. 【分析】根据总天数是 60 天可得 x+y=60 ；根据乙种零件应是甲种零件的 2 倍，可得 2 24x=12y，联立可得方程组. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意可列方程组， + = 204 + 3 = 64 故答案为：B. 【分析】根据桌子与凳子共 20 个可得 x+y=20；根据桌子腿数与凳子腿数的和为 64 条可得 4x+3y=64，联立可得方程组. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：A、方程是二元一次方程，符合题意； B、方程含未知数的项是 2 次的，不是二元一次方程，不
13、符合题意； C、方程不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意； D、方程未知数 x 的次数是 2 次的，不是二元一次方程，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，据此判断. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：2 + = 7 + 2 = 8， -得 x-y=-1. 故答案为：D. 【分析】将方程组中的两个方程相减可得 x-y 的值. 6 【答案】C 【解析】【解答】解： + 4 5， +得：x+y+m-5=4+m， 即 x+y=9. 故答案为：C. 【分析】将方程组中的两个方程相加并化简可得 x+y 的值. 7 【
14、答案】A 【解析】【解答】解：A、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含 3 个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意 故答案为：A. 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，据此判 断. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知，2 3 = 11 4， + 3 = 20 7， 由+并化简，可得 =31113， 由 2-并化简，可得 =29109， 将，的值代入3 + 2 + 5 = 21，可
15、解得 = 2. 故答案为：D. 【分析】将两个方程相加并化简可得 x，利用第二个方程的 2 倍减去第一个方程可得 y，然后将 x、y代入 3x+2y+5m=21 中进行计算可得 m 的值. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：3 + = 17 + = 7 用-得：2 = 10，解得 = 5， 把 = 5代入得：15 + = 17，解得 = 2， 方程组的解为： = 5 = 2， 故答案为：B. 【分析】将方程组中的两个方程相减可得 x 的值，将 x 的值代入第一个方程中求出 y 的值，据此可得方程组的解. 10 【答案】C 【解析】【解答】A、当 x=-1，y=2 时，方程左边=-3+4=11
16、2，故 = 1 = 2不是方程的解； B、当 x=2，y=-1 时，方程左边=6-4=212，故 = 2 = 1不是方程的解； C、当 x=2，y=3 时，方程左边=6+6=12，故 = 2 = 3是方程的解； D、当 x=3，y=2 时，方程左边=9+4=1312，故 = 3 = 2不是方程的解； 故答案为：C. 【分析】分别将各个选项中给出的 x、y 的值代入 3x+2y 中求出结果，然后与 12 进行比较即可. 11 【答案】9 【解析】【解答】解：| 2| + ( + 3)2= 0 2 = 0 ， + 3 = 0 解得： = 2 ， = 3 = (3)2= 9 故答案为：9. 【分析】
17、根据绝对值以及偶次幂的非负性可得 x-2=0、y+3=0，求出 x、y 的值，然后根据有理数的乘方法则进行计算. 12 【答案】 【解析】【解答】解： 3 = 4 (1) + = 3(2)， （2）（1）得：4y4t4， yt1， 把 yt1 代入（2）得 x2t+1， = 2 + 1 = 1， 当 t0 时， = 1 = 1， = 1 = 1是方程组的解，故正确； 若 xy3，则 2t+1（t1）3， t1，故正确； M2xyt2（2t+1）（t1）t2t+3，3t1， 3M5， M 的最小值为3，故正确； 正确的有. 故答案为：. 【分析】将方程组中的两个方程相减可得 y，将 y 代入第二
18、个方程中表示出 x，据此可得方程组的解，令 t=0，求出 x、y 的值，据此判断；根据 x-y3 可得关于 t 的方程，求出 t 的值，进而判断；根据 x、y 可得 M2x-y-t2t+3，结合 t 的范围可得 M 的范围，据此判断. 13 【答案】2 【解析】【解答】解： + 5 = 63 = 2， + 得4 + 4 = 8， + = 2； 故答案为：2. 【分析】将两个方程相加并化简可得 x+y 的值. 14 【答案】39992000 【解析】【解答】解： 3 + 7 + = 1 ， 4 + 10 + = 2001 ， 3 + = 1 74 + = 2001 10 解得： = 2000 3
19、 = 5999+ 2 + + = 3999 ， + 3 = 2000 ， +3= 39992000 故答案为：39992000. 【分析】根据已知条件表示出 a、c，然后求出 a+b+c、a+3b 的值，再代入计算即可. 15 【答案】-1 【解析】【解答】解：2 = 3 + 2 + 2 = 4得： = 2 +83 = +103， x+y=3， 2 +83+ +103= 3， 解得：k=-1. 故答案为：-1. 【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组的解，结合 x+y=3 可得关于 k 的方程，求解即可. 16 【答案】 = 1 = 2 【解析】【解答】 解： 二元一次方程3 + 4 = 1
20、1的解有很多， 先保证为正整数， 代入方程中求出值，观察，从中找出正整数解只有 = 1 = 2. 故答案为： = 1 = 2 【分析】令 x=1，求出 y 的值，据此可得二元一次方程的正整数解. 17 【答案】675cm2 【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为 acm、bcm 由题意可列方程组： + = 60 = 3， 解得： = 45 = 15， 每块小长方形地砖的面积：45 15675（cm2）. 故答案为：675cm2. 【分析】设小长方形的长、宽分别为 acm、bcm，根据大长方形的宽为 60cm 可得 a+b=60；根据长与宽之间的关系可得 2a=a+3b，联立求出 a、b
21、的值，然后根据矩形的面积公式可得每块小长方形的面积. 18 【答案】3 【解析】【解答】解：把 = 9 = 5代入方程得：18 5 = 3， 移项得：5 = 3 18， 合并得：5 = 15， 解得： = 3 故答案为：3. 【分析】将 x、y 的值代入方程中可得关于 a 的方程，求解即可. 19 【答案】1 【解析】【解答】解： = 4 + = 2 +得： = 1， = 3， (2 + )2022= (2 + 3)2022= 1， 故答案为：1. 【分析】将方程组中的两个方程相加可得 x 的值，然后代入第二个方程中求出 y 的值，接下来根据有理数的混合运算法则进行计算. 20 【答案】y2x
22、1 【解析】【解答】解：2xy1 移项得y12x， 系数化 1 得 y2x1 故答案为：y2x1 【分析】将含 x 的项移到方程的右边，进而再将 y 的系数化为 1 即可. 21 【答案】（1）解： = 4 + = 6， 将代入得： + 4 = 6， 解得 = 5， 将 = 5代入得： = 5 4 = 1， 则方程组的解为 = 5 = 1； （2）解：12 + = 2 +3 = 5， 由 2得：3 2 = 5 4， 解得 = 1， 将 = 1代入得： + 3 = 5， 解得 = 2， 则方程组的解为 = 2 = 1 【解析】【分析】 （1）将第一个方程代入第二个方程中可得 x 的值，将 x 的
23、值代入第一个方程中可得 y的值，据此可得方程组的解； （2）利用第二个方程减去第一个方程的 2 倍可得 y 的值，将 y 的值代入第二个方程中可得 x 的值，进而可得方程组的解. 22 【答案】（1）解：+ 2 得：7 = 7， 解得： = 1， 把 = 1代入得：3 + = 2， 得： = 1， 原方程组的解是： = 1 = 1； （2）解： 15 得：( + 1) 5 = ( + 4) 3， 化简整理得：5 3 = 7， +得：7 = 7， = 1， 把 = 1代入得： = 4， 原方程组的解是： = 1 = 4 【解析】【分析】 （1）利用第一个方程加上第二个方程的 2 倍可得 x 的值
24、，将 x 的值代入第二个方程中求出 y 的值，据此可得方程组的解； （2）将第二个方程整理成一般形式后，加上第一个方程可得 x 的值，将 x 的值代入第一个方程中求出y 的值，据此可得方程组的解. 23 【答案】（1）解： + = 73 = 5 +得：4 = 12，解得： = 3， 把 = 3代入得： = 4， 原方程组的解为 = 3 = 4； （2）解：52= 22( 2) + 3 = 0 整理得：2 5 = 202 + 3 = 4 -得：8 = 16，解得： = 2， 把 = 2代入得：2 + 10 = 20，解得： = 5， 原方程组的解为 = 5 = 2 【解析】【分析】 （1）观察方
25、程组中未知数 y 的系数互为相反数，所以用方程+可消去未知数 y，求得未知数 x 的值，把 x 的值代入方程可求得 y 的值，再写出结论可求解； （2） 由题意先将原方程组去分母、 去括号化简， 观察方程组中未知数 x 的系数相同， 所以用方程-可消去未知数 x，求得未知数 y 的值，把 y 的值代入方程可求得 x 的值，再写出结论可求解. 24 【答案】（1）解：3 + 2 = 6 =12 + 2 把代入得：3 + 2(12 + 2) = 6， 解得： =12， 把 =12代入得： =1212+ 2 =94， 方程组的解为 =12 =94 （2）解： 2 = 12 + 3 = 16 2得：7
26、 = 14，解得： = 2， 把 = 2代入得： 2 2 = 1，解得： = 5， 方程组的解为 = 5 = 2 【解析】【分析】 （1）由题意可将方程代入方程可消未知数 y，得到关于 x 的一元一次方程，解方程求得 x 的值，再把 x 的值代入方程求得 y 的值，然后写出结论即可； （2）观察方程组中未知数 x 的系数的最小公倍数是 2，所以用方程- 2 可消去未知数 x，求得未知数 y 的值，把 y 的值代入方程可求得 x 的值，再写出结论可求解. 25 【答案】（1）解：设原计划篮球买 x 个，则足球买 y 个，根据题意得： + = 60100 + 80 = 5600，解得： = 40
27、= 20答：原计划篮球买 40 个，则足球买 20 个 （2）解：设篮球能买 a 个，则足球（80a）个，根据题意得：100a+80（80a）6890，解得：a24.5，答：篮球最多能买 24 个 【解析】【分析】 （1）此题的等量关系为：购买篮球的数量+购买足球的数量=60；购买篮球的数量 其单价+购买足球的数量 其单价=5600；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解. （2）购买篮球的数量+购买足球的数量=80；不等关系为：购买篮球的数量 其单价+购买足球的数量其单价6890，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解. 26 【答案】（1）解：设甲种有机肥每吨 x 元，乙种有机肥
28、每吨 y 元， 根据题意，得 = 1002 + = 1700， 解得： = 600 = 500. 答：甲种有机肥每吨 600 元，乙种有机肥每吨 500 元. （2）解：设沟买甲种有机肥 m 呠，则购实乙种有机肥 (10 ) 吨， 根据题意，得 600 + 500(10 ) 5600 ，解得 6 . 答：小姣最多能购买甲种有机用 6 吨. 【解析】【分析】 （1）设甲种有机肥每吨 x 元，乙种有机肥每吨 y 元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多 100 元可得 x-y=100；根据购买 2 吨甲种有机肥和 1 吨乙种有机肥共需 1700 元可得 2x+y=1700，联立求解即可
29、； （2）设沟买甲种有机肥 m 吨，则购实乙种有机肥 (10-m)吨，根据总费用=甲种有机肥的吨数 每吨的价格+乙种有机肥的吨数 每吨的价格结合总费用不超过 5600 元可得关于 m 的不等式，求解即可. 27 【答案】（1）解：设 A 种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元. 根据题意得：3 + = 1405 + 3 = 300， 解得： = 30 = 50， 答：A 种跳绳的单价为 30 元，种跳绳的单价为 50 元. （2）解：设购买种跳绳根，则购买 A 种跳绳(46 )根， 由题意得：30(46 ) + 50 1780， 解得： 20， 答：至多可以购买种跳绳 20 根. 【解析】【分析】
30、 （1）设 A 种跳绳的单价为 x 元，B 种跳绳的单价为 y 元，根据购买 3 根 A 种跳绳和 1根 B 种跳绳共需 140 元可得 3x+y=140；根据购买 5 根 A 种跳绳和 3 根 B 种跳绳共需 300 元可得5x+3y=300，联立求解即可； （2）设购买 B 种跳绳 a 根，则购买 A 种跳绳(46-a)根，根据根数 单价=总价结合总费用不超过 1780元列出关于 a 的不等式，求解即可. 28 【答案】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件 x 件，“冰墩墩”挂件的 y 件， 依题意得： + = 18080 + 50 = 11400， 解得： = 80 = 100， 答：购进“冰
31、墩墩”摆件 80 件，“冰墩墩”挂件的 100 件； （2）解：设购买“冰墩墩”挂件 m 个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个， 依题意得： （100-80） （180-m）+（60-50）m2900， 解得：m70， 答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过 70 个. 【解析】【分析】 （1）设购进“冰墩墩”摆件 x 件，“冰墩墩”挂件的 y 件，根据共 180 个可得 x+y=180；根据共花费 11400 元可得 80 x+50y=11400，联立求解即可； （2）设购买“冰墩墩”挂件 m 个，则购买“冰墩墩”摆件(180m)个，根据(售价进价) 数量=利润可得关于 m 的不等式，求解即可
32、. 29 【答案】（1）解：设冰墩墩进价为 元，雪容融进价为 元. 得 + = 13615 + 5 = 1400 ，解得 = 72 = 64 ， 冰墩墩进价为 72 元，雪容融进价为 64 元. （2）解：设冰墩墩进货 个，雪容融进货 (40 ) 个，设利润为 ， 得关于利润解析式 = 28 + 20(40 ) = 8 + 800 ， 0 ，所以利润随 增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的 1.5 倍， 得 32(40 ) ，解得 24 . 当 取 24 时利润取得最大值为 992. 【解析】【分析】 （1）抓住关键已知条件：第一次小雅用 1400 元购进了冰墩墩玩偶 15 个和雪容融玩偶5 个，已知购进 1 个冰墩墩玩偶和 1 个雪容融玩偶共需 136 元，这里包含两个等量关系；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解. （2）利用总利润=每一个冰墩墩的利润 其数量+每一个雪容融的利润 其数量，可得到 W 与 a 之间的函数解析式，再利用二次函数的性质及 a 的取值范围，可得到进货方案及最大利润
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