1、 专题专题 18 18 四边形四边形 一、单选题一、单选题 1 （2022 日照）如图，矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与 CD 的交点为 E，当水杯底面 BC 与水平面的夹角为 27 时，AED 的大小为（ ） A27 B53 C57 D63 2 （2022 枣庄）如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 在 y 轴上，若反比例函数 y（k0）的图像过点 C，则 k 的值为（ ） A4 B4 C3 D3 3 （2022 菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿 AB 折叠，已知 = 36，则1 =（ ） A48 B66 C72 D78 4 （20
2、22 济南）如图，矩形 ABCD 中，分别以 A，C 为圆心，以大于12的长为半径作弧，两弧相交 于 M，N 两点，作直线 MN 分别交 AD，BC 于点 E，F，连接 AF，若 BF3，AE5，以下结论错误的是（ ） AAFCF BFACEAC CAB4 DAC2AB 5（2022 菏泽）如图， 在菱形ABCD中， = 2， = 60， M是对角线BD上的一个动点， = ，则 + 的最小值为（ ） A1 B2 C3 D2 6 （2022 聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A测量两条对角线是否相等 B度量两个角是否是 90 C测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是
3、否相等 D测量两组对边是否分别相等 7（2022 东营）如图， 已知菱形的边长为2， 对角线、相交于点O， 点M， N分别是边、上的动点， = = 60，连接、.以下四个结论正确的是（ ） 是等边三角形；的最小值是3；当最小时=18菱形；当 时，2= . A B C D 8 （2022 滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C对角线互相平分的四边形是菱形 D对角线互相垂直的矩形是正方形 9 （2022 商河模拟）如图，已知平行四边形 AOBC 的顶点 O(0，0)，A(1，2)；点 B 在 x 轴正半轴上，按以下步骤作图：
4、 以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA，OB 于点 D，E；分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 F；作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G的坐标为（ ） A(5 1，2) B(5，2) C(3 5，2) D(5 2，2) 10 （2022 槐荫模拟）如图，菱形 ABCD 中对角线 AC 与 BD 相交于点 F，且 = 8， = 83，若点P 是对角线 BD 上一动点，连接 AP，将 AP 绕点 A 逆时针旋转使得 = ，连接 PE，取 AD的中点 O，连接 OE，则在点 P 的运动过程中，线段 OE 的最小值为（ ） A2 B4
5、C43 D42 二、填空题二、填空题 11 （2022 菏泽）如果正 n 边形的一个内角与一个外角的比是 3：2，则 = 12 （2022 济南）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法如图 1， BD 是矩形 ABCD 的对角线，将BCD 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图 2 重新摆放，观察两图，若 a4，b2，则矩形 ABCD 的面积是 13（2022 潍坊）如图， 在直角坐标系中， 边长为 2 个单位长度的正方形绕原点 O 逆时针旋转75， 再沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度，则点的坐标为 14 （2022 滨州）如图，在矩形中， = 5，
6、 = 10若点 E 是边 AD 上的一个动点，过点 E作 且分别交对角线 AC，直线 BC 于点 O、F，则在点 E 移动的过程中， + + 的最小值为 15 （2022 天桥模拟）图，在菱形中，已知 = 4， = 60， = 60，点 E 在的延长线上，点 F 在的延长线上，有下列结论： = ； = ； ；若 = 15，则点 F 到的距离为3 3则其中正确的结论的序号是 16 （2022 济南模拟）如图 1，有一张矩形纸片，已知 = 10， = 12，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点 A 落在边上的点 E 处，点 F 在上（如图 2） ；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠， 使
7、点 C 落在第一次的折痕上的点 G 处， 点 H 在上 （如图 3） ， 则的长是 17 （2022 临沭模拟）如图，点、分别在正方形的边、上， 若 = 6， = = 1，则 = 18（2022 滕州模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 正方形的边、 分别在轴和轴上， = 5，点是边上靠近点的三等分点， 将 沿直线折叠后得到 ， 若反比例函数 =（ 0）的图象经过点，则的值为 19（2022 东昌府模拟）如图， 在矩形中， M为边上一点， 连接， 将 沿翻折使得 C 点恰好落在上的点处，若 = 1，= 2，则的长为 20 （2022 高唐模拟）如图，四边形 ABCO 为平行四边形，A，C 两点的
8、坐标分别是（3，0） ， （1，2） ，则平行四边形 ABCO 的周长等于 三、综合题三、综合题 21 （2022 济宁）如图，在矩形 ABCD 中，以 AB 的中点 O 为圆心，以 OA 为半径作半圆，连接 OD 交半圆于点 E，在上取点 F，使= ，连接 BF，DF （1）求证：DF 与半圆相切； （2）如果 AB10，BF6，求矩形 ABCD 的面积 22 （2022 聊城）如图， 中，点 D 是 AB 上一点，点 E 是 AC 的中点，过点 C 作 ，交 DE的延长线于点 F （1）求证： = ； （2）连接 AF，CD如果点 D 是 AB 的中点，那么当 AC 与 BC 满足什么条件
9、时，四边形 ADCF是菱形，证明你的结论 23 （2022 威海）如图： （1）将两张长为 8，宽为 4 的矩形纸片如图 1 叠放 判断四边形 AGCH 的形状，并说明理由； 求四边形 AGCH 的面积 （2）如图 2，在矩形 ABCD 和矩形 AFCE 中，AB25，BC7，CF5，求四边形 AGCH 的面积 24 （2022 滨州）如图，菱形的边长为 10， = 60，对角线，相交于点 O，点 E 在对角线 BD 上，连接 AE，作 = 120且边 EF 与直线 DC 相交于点 F （1）求菱形的面积； （2）求证 = 25（2022 泰安）正方形中， P为边上任一点， 于E， 点F在的延
10、长线上， 且 = ， 连接、，的平分线交于 G，连接 （1）求证： 是等腰直角三角形； （2）求证： + = 2； （3）若 = 2，P 为的中点，求的长 26（2022 诸城模拟）如图， 四边形的顶点坐标分别为(0，3)，(12，32)， (1，0)， (1，3)，抛物线经过，三点 （1）求证：四边形是矩形； （2）求抛物线的解析式； （3） 绕平面内一点顺时针旋转90得到 111， 即点， ， 的对应点分别为1， 1， 1， 若 111恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出1的坐标 27 （2022 李沧模拟）已知：线段和矩形如图摆放（点与点重合） ，点在边上， = 1， = 4， = 8
11、如图， 从图的位置出发， 沿方向运动， 速度为1/； 动点同时从点出发， 沿方向运动， 速度为1/ 点为的中点， 连接，与相交于点，设运动时间为()(0 7)解答下列问题： （1）当 时，求的值； （2）设五边形的面积为(2)，求与的关系式； （3）当 时，求线段的长； （4）当为何值时，五边形的周长最小，最小是多少？（直接写出答案即可） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示： AEBF， EAB=ABF， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABC=90 ， ABF+27 =90 ， ABF=63 ， EAB=63 ， ABCD， AED=EAB=63 故
12、答案为：D 【分析】先求出EAB=ABF，再求出ABF=63 ，最后求解即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CEy 轴于 E，在正方形 ABCD 中，ABBC，ABC90 ， ABO+CBE90 ， OAB+ABO90 ， OABCBE， 点 A 的坐标为（4，0） ， OA4， AB5， OB52 423， 在ABO 和BCE 中， = = = ， ABOBCE（AAS） ， OABE4，CEOB3， OEBEOB431， 点 C 的坐标为（3，1） ， 反比例函数 y（k0）的图像过点 C， kxy3 13， 故答案为：C 【分析】利用勾股定理先求出 OB=3，
13、再求出ABOBCE，最后求解即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】将一矩形纸片沿 AB 折叠， ， = 1， + = 180， = 36， = 144 = 1， 1 = 360 144 144 = 72， 故答案为：C 【分析】先求出 + = 180，再求出 = 144 = 1，最后计算求解即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线， = ， 故此选项不符合题意 B，如图， 由矩形的性质可以证明 ， = ， = ， = ， 是的垂直平分线， ， 故此选项不符合题意 C， 5， = 5， 在 中 = 3， = 2 2= 52 32= 4， 故此选项不符合题
14、意 D， = + = 3 + 5 = 8， = 2+ 2= 42+ 82= 45， = 4， 2. 故此选项符合题意 故答案为：D 【分析】利用矩形的性质，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：连接 AF，则 AF 的长就是 AM+FM 的最小值 四边形 ABCD 是菱形， ABBC， 又ABC60 ， ABC 是等边三角形， = F 是 BC 的中点， AFBC 则 AFABsin60232= 3 即 + 的最小值是3 故答案为：C 【分析】先求出ABC 是等边三角形，再求出 AFBC最后利用锐角三角函数计算求解即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：
15、A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，A不符合题意； B、度量两个角是否是 90 ，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，B 不符合题意； C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，C 符合题意； D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：如图：在菱形 ABCD 中，AB=BC=AD=CD， ，OA=OC， = = 60， = = 60， 与 为等边三角形， 又 = = 60 ， = = 60 ， = ， 在 与 中 = = =
16、 ()， AM=AN， 即 为等边三角形， 故符合题意； ， 当 MN 最小值时，即 AM 为最小值，当 时，AM 值最小， = 2， =12 = 1， = 2 2= 22 12= 3 即 = 3， 故符合题意； 当 MN 最小时，点 M、N 分别为 BC、CD 中点， ， ， 在 中， = 2 2=12 (32)2=12， =12123 =34， 而菱形 ABCD 的面积为：2 3 = 23， 1823 =34， 故符合题意， 当 时， = = 90 = = 2= 2= 故符合题意； 故答案为：D 【分析】利用菱形的性质，等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质逐项判
17、断即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 A 不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故 B 不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故 C 不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。 9 【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示： AOBC 的顶点 O（0，0） ，A（-1，2） ， AH=1，HO=2， RtAOH 中，AO=5， 由题可得，OF 平分AOB， AOG=EOG， 又AGOE， AGO=EOG， AGO=AOG， AG=
18、AO=5， HG=5-1， G（5-1，2） ； 故答案为：A 【分析】 根据勾股定理得出 AO=5， 依据AGO=AOG， 即可得出 AG=AO=5， 进而得出 HG 的值，即可得出答案。 10 【答案】A 【解析】【解答】如图所示，连接 DE 四边形 ABCD 是菱形，且 = 8， = 83， AF=4，DF=43， AD=8， ADB=ABD=30 ， 根据旋转的性质，AP=AE，BAD=PAE， BAP=DAE， 在ABP 和ADE 中， = = = ABPADE， ABP=ADE=30 ， DE 是满足ADE=30 的线段， OE 的最小值为过点 O 作 DE 的垂线， O 是 AD
19、 的中点， 所以 OD=4， 此时的 OE 值为12OD=12 4=2； 故答案为：A 【分析】连接 DE，先利用“SAS”证明ABPADE，可得ABP=ADE=30 ，再利用含 30 角的直角三角形的性质可得 OE=12OD=12 4=2。 11 【答案】5 【解析】【解答】解：正边形的一个内角度数与其外角度数的比是 3：2， 设多边形的一个内角为 3x 度，一个外角则为 2x 度， 3x+2x180 ， 解得 x36 ， 一个外角为 2x72 ， 360 72 5， n5， 故答案为：5 【分析】根据题意先求出 3x+2x180 ，再求出一个外角为 2x72 ，最后求解即可。 12 【答案
20、】16 【解析】【解答】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为( + ) ，宽为( + ) ， 由图 1 可得：12( + )( + ) =12 2 +12 2 + 2， 整理得：2+ + = 0， = 4， = 2， 2+ 6 8 = 0， 2+ 6 = 8， 矩形的面积为( + )( + ) = ( + 4)( + 2) = 2+ 6 + 8 = 8 + 8 = 16 故答案为：16 【分析】先求出2+ + = 0，再求出2+ 6 = 8，最后利用矩形的面积公式计算求解即可。 13 【答案】(2，6 + 1) 【解析】【解答】解：如图：连接 OB，作y 轴 是正方形，OA=2 COB=45
21、，OB=22 绕原点 O 逆时针旋转75 =75 =30 =OB=22 = 2， = 6 (2，6) 沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度 (2，6+ 1) 故答案为：(2，6 + 1) 【分析】 连接 OB， ， 作y 轴， 由绕原点 O 逆时针旋转75， 得出=75 、 =30 ，=OB=22，沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度，即可得解。 14 【答案】25+552 【解析】【解答】解： 过点 D 作 交 BC 于 M，过点 A 作 ，使 = ，连接 NE， 四边形 ANEF 是平行四边形， = ， = ， 当 N、E、C 三点共线时， + 最小， 四边形 ABCD 是矩形， =
22、5， = 10， = = 10， = = 5， ， = 90， = 2+ 2= 55， 四边形 EFMD 是平行四边形， = ， = = ， ， ， ， = 90， + = 90 = + ， = ， tan = tan，即=， =52， 在 中，由勾股定理得 = 2+ 2=552= ， 在 中，由勾股定理得 = 2+ 2=252， + + + ， + + 25+552， + + 的最小值为25+552， 故答案为：25+552 【分析】过点 D 作 交 BC 于 M，过点 A 作 ，使 = ，连接 NE，当 N、E、C 三点共线时， + 最小， 利用勾股定理求出 = 2+ 2=552= ， =
23、 2+ 2=252再根据 + + + 可得 + + 25+552，从而得到 + + 的最小值为25+552。 15 【答案】 【解析】【解答】四边形是菱形，连 AC = ， = ， ABC=60 ， 是等边三角形， ACD=ACB=60 ，AB=AC， ABE=ACF=120 ， = = 60， BAE+BAF=CAF+BAF=60 ， = ， = ， 在和中， = = = ， ()， = ， = 故符合题意； = 60， 是等边三角形， = 60， + = + = 60， = ，故符合题意； = = 60， = 60， ， 则1(，2332+233 +3)， 11= | | = ，即 = 3
24、， 11= (2332+233 +3) (2332+233 +3) = 2332+233 + 3 +2332233 3 = 2332+233 +2332233 = 233(2 2+ ) = 233(2 2) ( ) = 233( + )( ) ( ) = 233( )( + 1)， 即233( )( + 1) = 1 = 3 233 3( + 1) = 1 整理得： + =12， +得：2 =12+ 3， 解得： =1+234， 当 =1+234时， 2332+233 + 3 = 233 (1+234)2+2331+234+ 3 =4+538， 1(1+234，4+538)； 当点 D1落在抛
25、物线上时，点 A1不可能落在抛物线上， 如图 3， 当点 C1，D1落在抛物线上时，A1D1/y 轴，C1D1/z 轴， 如图 4， 此时 C1、D1关于抛物线的对称轴对称， 抛物线 = 2332+233 + 3的对称轴为直线 = 2332(233)=12， 设1(， 2332+233 +3)，1(，)，则：1(1 ， 2332+233 +3)， 11= (1 ) = 2 1， 11= (2332+233 +3) = +2332233 3， 又11=3， 2 1 = 3， 解得： =1+32， A1D1 = 1， +2332233 3 = 1， 把 =1+32代入 +2332233 3 = 1
26、得： +233 (1+32)22331+32 3 = 1， 解得： =3+233， 1(1+32，3+233)， 综上所述，若A1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，此时 A1的坐标为(1+234，4+538)或(1+32，3+233) 【分析】 （1）先证明四边形 AOCD 是平行四边形，再结合AOC= 90 ，可得四边形 AOCD 是矩形； （2）将点 A、B、D 的坐标代入 = 2+ + ( 0)求出 a、b、c 的值即可； （3）分三种情况讨论：当点 A1，C1落在抛物线上时，A1D1/y 轴，C1D1/z 轴，当点 D1落在抛物线上时，点 A1不可能落在抛物线上，当点 C1，D1落在抛
27、物线上时，A1D1/y 轴，C1D1/z 轴，再分别求解即可。 27 【答案】（1）解： = 4， = 8，点为的中点 AM=2， AP=8-t ， = = = 90， + = 90， + = 90， = ， ， =， 84=28 解得： = 7， 当 时， = 7 （2）解： = 12 12 12 = 4 8 12 2(8 ) 12 2 12 (7 )4 = 2 + 10 （3）解：延长，相交于点， ， =，24=8， 解得： = 4， 当 = 4时， ， = = 2， = 6， ， =， =13 =14 =142+ 2=1416 + 64 = 5 （4）解：11 + 85 【解析】【解答】
28、 (4)如图所示， 作 M 关于 BE 的对称点， 当，在同一直线上时五边形的周长最小， 由题意可得：= 7，= 6，= 2 = 26=7 解得： = =73 当 =73时，五边形的周长最小，最小是11 + 85 【分析】 （1）证明 可得=，再将数据代入可得84=28，求出 t 的值即可； （2） 利用割补法可得 = 12 12 12 ， 再将数据代入可得 = 2 + 10； （3）延长，相交于点，证明 可得=，求出 =13，再利用勾股定理求出 =14 =142+ 2=1416 + 64 = 5即可； （4）作 M 关于 BE 的对称点，当，在同一直线上时五边形的周长最小，证明 可得=，将数据代入可得26=7，再求出 = =73即可
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