1、江苏省苏州市姑苏区二校联考九年级上期中数学试题一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. +3x+y0B. x+y+10C. 0D. 502. 二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴为直线C. 顶点坐标为D. 当时，y随x增大而减小3. 在中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 抛物线与x轴交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. B. C. D. 6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度是，堤坝高cm，水平宽度的长度
2、（ ）A. 100cmB. cmC. 150cmD. cm7. 点，与为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. 且C. 且D. 9. 已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 10. 抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列五个结论：一元二次方程的两根为，；若点，在该抛物线上，则；对于任意实数t，总有；对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个其中正确的结论是（ ）A.
3、 B. C. D. 二、填空（本大题8个小题，每小题3分，共24分）11. 如果是锐角，且，那么_.12. 方程的解为_13. 已知二次函数最小值为1，则m的值是_14. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则x的取值范围是_15. 如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是_（结果保留根号）16. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函
4、数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是_17. 若二次函数与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的实数根是_18. 如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从B点出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/秒设P、Q同时出发t秒时，的面积为已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线一部分），则下列结论：；当时，；当秒时，；其中正确的结论是_三、解答（本大题10小题，共76分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解方程：（1）（2）（3）20. 计算：.21. （1）在中，已知，求，a，b；（2）如图，在中，D为AC上一点，求
5、AD的长22. 已知关于x的一元二次方程（1）若此方程的一个根是，求方程的另一根；（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值23. 东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2023年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次（1）求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；（2）景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，店家决定进行降价促销活动
6、，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元利润额？24. 如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟之内到达C处？（参考数据：）25. 抛物线过点，点，顶点为C（1）求抛物线的表达式及顶点C
7、的坐标；（2）如图1，点P在第一象限抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，AP若，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得四边形ADFE为菱形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由26. 任意球是足球比赛主要得分手段之一在某次足球赛中，甲球员站在点O处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式，已知防守队员组成的人墙与O点的水平距离为9m，防守队员跃起后的高度为2.1m，对方球门与O点的水平距离为18m，球门高是2.43m（假定甲球员的任意球恰好
8、能射正对方的球门）（1）当h3时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞（球从球门的上方飞过）？请说明理由（3）若甲球员发出的任意球直接射进对方球门得分，求h的取值范围27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点（1）求证：；（2）点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点求的最大值；点是中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标江苏省苏州市姑苏区二校联考九年级上期中数学试题一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. +3x+y0B. x+y
9、+10C. 0D. 50【答案】C【解析】【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答【详解】解：A含有两个未知数，不符合定义，故不是一元二次方程；B含有两个未知数，不符合定义，故不是一元二次方程；C符合定义，故是一元二次方程；D含有分式，不符合定义，故不是一元二次方程； 故选：C【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键2. 二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴为直线C. 顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小【答案】A【解析】【分析】根据二次函数和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答
10、本题【详解】解：二次函数，该函数的图象开口向下，故选项A正确；对称轴是直线，故选项B错误；顶点坐标为，故选项C错误；当时，随的增大而增大，故选项D错误；故选：A【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答3. 在中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可【详解】解：由勾股定理得：，所以，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是能熟记锐角三角函数的定义4. 抛物线与x轴交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析
11、】将二次函数解析式化为顶点式求解或根据判别式的符号求解【详解】解：，抛物线与轴有1个交点故选：B【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：故选：A【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律是解答此题的关键
12、6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡度是，堤坝高cm，水平宽度的长度（ ）A. 100cmB. cmC. 150cmD. cm【答案】D【解析】【分析】根据坡度的定义可得，即可得的长【详解】解：的坡度是，解得经检验，是原方程的解且符合题意，水平宽度的长度为故选：D【点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义7. 点，与为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出的大小关系【详解】抛物线，对称轴为，在的右边随的增大
13、而减小，点，与为二次函数图象上的三点，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数图象的性质8. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. 且C. 且D. 【答案】B【解析】【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k0；由方程有两个不相等的实数根，得出“0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围【详解】解：由题可得：，解得：且，故选：B【点睛】本题考查了考查了一元二次方程的定义与一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有
14、实数根一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程9. 已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】题干中二次函数的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数的图象与x轴正方向夹角小于90，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数的图象【详解】二次函数的图象开口向下，a0，c0，则0，可知二次函数开口方向向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，选项B图象符合，故选：B【点睛】本题考查了一次
15、函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系10. 抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列五个结论：一元二次方程的两根为，；若点，在该抛物线上，则；对于任意实数t，总有；对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交点坐标即可判断，根据对称性求得对称轴，进而根据开口向下的抛物线，离抛物线对称轴越远的点的函数值越小，即可判断，根据顶点位置的函数最大即可判断，根据过点，可得，结合对称轴，根据题意可知，进而判断；根据题意对称性可知方程的根为整数，存
16、在3对整数解，即可判断【详解】解：抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点一元二次方程的两根为，；故正确；，经过，两点则当时，对称轴为开口向下的抛物线，离抛物线对称轴越远的点的函数值越小，点，在该抛物线上，故不正确对称轴为，顶点坐标为，抛物线开口向下，存在最大值对于任意实数t，总有即故正确对称轴时，即即故正确对称性可知方程的根为整数，存在3对整数解，分别为或或，则的值有3个故不正确综上分析可得，正确的结论是：，故选：D【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，抛物线与坐标轴交点问题，二次函数图象的性质，根据二次函数图象的对称性求解是解题的关键二、填空（本大题8个小题，每小题3分，共24分）11.
17、如果是锐角，且，那么_.【答案】60；【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答；【详解】是锐角，且，60；故答案为：60.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.12. 方程的解为_【答案】【解析】【分析】运用直接开方法解答即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能够熟练掌握一元二次方程的解法是关键13. 已知二次函数的最小值为1，则m的值是_【答案】2【解析】【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于的等式，解方程求出的值即可【详解】解：原式可化为：，函数的最小值是1，解得故答案为：2【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键
18、是会用配方法将原式化为顶点式14. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则x的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】结合函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围【详解】解：根据函数图象，当或时，所以的解集为：或故答案为：或【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解题的关键是利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，15. 如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是_（结果保留根号）【答案】#【解析】【分析】过点作于
19、点，根据，得出，即可得出，根据等腰三角形的判定，得出，在中，根据正切函数，得出，即可得出结果【详解】解：过点作于点，如图所示：，在中，故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，记住特殊角的三角函数值，是解题的关键16. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是_【答案】【解析】【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可【
20、详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，则，整理得：，解得：（舍去），该同学此次投掷实心球的成绩为，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题17. 若二次函数与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的实数根是_【答案】x1-1，x23【解析】【分析】将x3，y0代入抛物线的解析式可得到c3a，然后将c3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可【详解】解：将x3，y0代入得：9a-6ac0解得：c3a将c3a代入方程得：x1-1，x23故答案为：x1-1，x23【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，一元二次方程
21、的解法，求得a与c的关系是解题的关键18. 如图（1）所示，E为矩形边上一点，动点P，Q同时从B点出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/秒设P、Q同时出发t秒时，的面积为已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线一部分），则下列结论：；当时，；当秒时，；其中正确的结论是_【答案】【解析】【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可【详解】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到
22、达点，点、的运动的速度都是秒，故正确；从到的变化是2，在中，故错误；过点作于点，当时，故正确；当秒时，点在上，此时，又，故正确综上所述，正确的有故答案为：【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图（2）判断出点到达点时点到达点，也是本题的突破口三、解答（本大题10小题，共76分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 解方程：（1）（2）（3）【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程；（3）方程两边同时乘以，化为整式方程，然后再解整式方程即可求解，最后要检验【小问1详解】解：，解得：；【小问2详解】解：
23、，或解得；【小问3详解】解：方程两边同时乘以，得，整理得，解得，经检验时，是原方程的解【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键20. 计算：.【答案】【解析】【分析】分别得出各角的三角函数值，根据实数的运算法则即可得答案.【详解】原式=.【点睛】本题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.21. （1）在中，已知，求，a，b；（2）如图，在中，D为AC上一点，求AD的长【答案】（1），；（2）2【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，再利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答；（2）根据已知条件求出，再根据正弦的定义求
24、出，再根据勾股定理求出，最后根据求出的长【详解】解：（1），；（2），【点睛】本题考查了解直角三角形，正弦的定义、勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数的定义22. 已知关于x的一元二次方程（1）若此方程的一个根是，求方程的另一根；（2）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；（3）设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值【答案】（1）5；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得到，求出m值，可得另一个根；（2）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac0；（3）把
25、原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题【详解】解：（1）方程的一个根是，解得：m=2，；所以另一个根为5（2）b2-4ac=（m+5）2-20m=m2-10m+25=（m-5）20，这个一元二次方程一定有两个实数根；（3）原方程可变为（x-m）（x-5）=0，则方程的两根为x1=m，x2=5，直角三角形三边为2，5，m；m0，若m为直角三角形的斜边时，则：22+52=m2，解得：m=（负值舍去），若5为直角三角形的斜边时，则：22+m2=52，解得：m=（负值舍去）【点睛】此题考查了根与系数的关系，利用根的判别式b2-4ac探讨根的情况，以及用因式分解
26、法解一元二次方程，勾股定理等知识点；注意分类讨论思想的渗透23. 东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2023年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次（1）求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；（2）景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【答案】（1）年平均增长率为20% （2）当每杯售价定
27、为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可【小问1详解】设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为x，由题意得：，解得：（舍）答：年平均增长率为20%；【小问2详解】设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ，整理得：，解得：要让顾客获得最大优惠，y=20答
28、：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键24. 如图，在一笔直海岸线上有，两个观测站，在的正东方向有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟
29、之内到达C处？（参考数据：）【答案】（1）观测站A，B之间的距离为（+）海里 （2）可以在82分钟内到达C处【解析】【分析】（1）过点P作PDAB于点D，先解RtPBD，得到BD和PD的长，再解RtPAD，得到AD和AP的长，然后根据BDADAB，即可求解；（2）过点作于点先解RtABF，得出BF的长，再解RtBCF，得出BC的长，从而求解【小问1详解】如图，过点作于点，在RtPBD中，PD=海里BPD=90-PBD=45BD=PD=海里在RtADP中，海里AB=AD+BD=（+）海里答：观测站A，B之间距离为（+）海里；【小问2详解】如图，过点作于点BFC=BFA=90在RtABF中，BAF
30、=30，BF=AB=（）海里由题意，C=180-ABC-BAC=45在RtBCF中，BC=BF=（）海里补给船从B到C的航行时间为：分钟可以在82分钟内到达C处.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键25. 抛物线过点，点，顶点为C（1）求抛物线的表达式及顶点C的坐标；（2）如图1，点P在第一象限抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，AP若，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得四边形ADFE为菱形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请
31、说明理由【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）存在，或【解析】【分析】（1）用待定系数法求出二次函数关系式即可；（2）过点C作轴于M，轴于N，根据面积法求得，设，列出关于t的方程求解即可；（3）先求出直线CD的函数关系式，再求出点D坐标，设，根据菱形的性质列出关于h的方程并求解，最后求出点F的坐标【小问1详解】把、代入，得到，解得，抛物线的解析式为顶点C坐标【小问2详解】如图1，过点C作轴于M，轴于N，设，其中，则解得：（舍），【小问3详解】设直线CD的函数关系式为：y=mx+n，直线CD过，解得：可求得直线，将y=0代入中，得：x=4 ，由题知抛物线的对称轴为直线，设，若四边形ADFE是
32、菱形，则，点E坐标为或由平移性质可得点F坐标分别为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，菱形的性质等知识，理解二次函数的性质是解题的关键26. 任意球是足球比赛的主要得分手段之一在某次足球赛中，甲球员站在点O处发出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式，已知防守队员组成的人墙与O点的水平距离为9m，防守队员跃起后的高度为2.1m，对方球门与O点的水平距离为18m，球门高是2.43m（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）（1）当h3时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当h3时，足球能否越过人
33、墙？足球会不会踢飞（球从球门的上方飞过）？请说明理由（3）若甲球员发出的任意球直接射进对方球门得分，求h的取值范围【答案】（1）y与x的关系式；（2）足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由见解析；（3）2.24h3.24【解析】【分析】（1）当h3时，根据函数图象过原点，求出a的值即可；（2）当h3时，由（1）中解析式，分别把x9和x18代入函数解析式求出y的值与2.1和2.43比较即可；（3）由抛物线过原点得到144a+h0，由足球能越过人墙，得9a+h2.1，由足球能直接射进球门，得036a+h2.43，然后解组成的不等式组即可【详解】解：（1）当h3时，抛物线经过点（0，0），0a（012）
34、2+3，解得：，y与x的关系式；（2）当h3时，足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由如下：当h3时，由（1）得，当x9时，足球能过人墙，当x18时，足球不会踢飞；（3）由题设知，函数图象过点，得，即144a+h0，足球能越过人墙，即时，9a+h2.1，足球能直接射进球门，当时，得036a+h2.43，由得，把代入得，解得h2.24，把代入得02.43，解得0h3.24，h的取值范围是2.24h3.24【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数解决实际问题是解题关键27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点（1）求证：；（2）点是第一象限
35、内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点求的最大值；点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标【答案】（1）见解析 （2）；或【解析】【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；（2）先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可【小问1详解】解：令，得，令得，【小问2详解】设直线的解析式为：，代入，得，设，即的最大值为9；点是的中点，在中，即为等腰三角形，若以点为顶点三角形与相似，则，又，或，经检验：不符合题意，舍去，又，整理得，或，同理：不合题意，舍去，综上所述，或【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键
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