1、广东省河源市九年级上数学期中模拟试卷广东省河源市九年级上数学期中模拟试卷 一、单选题（共一、单选题（共 10 题；共题；共 30 分）分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 21xy B. 56xy C. 213xx D. 2230 xx 2. 在下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 3. 将 4 个数 a，b，c，d 排成 2行，2列，两边各加一条竖线，记成 abcd，并规定 abadbccd，例如2 42 34 121 3 ，则 33
2、 1xxx 的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为 30%”是指明天下雨的可能性是 30%； B. 连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数一定是 25 次； C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数； D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率1%，买这种彩票 100 张一定会中奖. 5. 一元二次方程2640 xx配方为（ ） A. 2313x B. 239x C. 2313x D. 239x 6. 如图，正方形 ABCD的边长为2，对角线
3、 AC，BD交于点 O，E是 AC延长线上一点，且 CE=CO.则BE 的长度为（ ） A. 3 B. 102 C. 5 D. 2 5 7. 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛一枚硬币 n次，当 n越来越大时，出现正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5 B. 连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数是 25 次 C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100张一定会中奖 8. 一同学将方程2430 xx化成了2()xmn的形式，则 m、n的值应为（ ） A. m=2n=7 B. m=2，n=7 C. m=2
4、，n=1 D. m=2，n=7 9. 如图，在半径为 1 的O中，将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，使折叠后的AB恰好与 OB、OA相切，则劣弧AB 的长为（ ） A 12 B. 13 C. 14 D. 16 10. 如图，点 E 在DBC的边 DB 上，点 A在DBC内部，DAE=BAC=90 ，AD=AE，AB=AC给出下列结论： BD=CE；ABD+ECB=45 ；BDCE；BE2=2（AD2+AB2）CD2其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 7 题；共题；共 28 分）分） 11. 如图，在菱形ABCD中，连接BD若110A ，则CBD的度数为_ 1
5、2. 某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”情况进行抽查若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率_ 13. 关于 x 的一元二次方程（a1）2x+x+|a|10 的一个根是 0，则实数 a 的值是_ 14. 如图，在菱形 ABCD中，AB1，ADC120 ，以 AC 为边作菱形 ACC1D1，且AD1C1120 ；再以AC1为边作菱形 AC1C2D2，且AD2C2120；按此规律，菱形 AC2020C2021D2021的面积为_ 15. 已知，是一元二次方程220 xx的两个实数根，则的值是_. 16. 已知 AD
6、是ABC的中线，ABC30 ，ADC45 ，则ACB_度 17. 规定一种新运算:1a ba bab , 如3 43 4 3 4 1 , 则（-2）5=_ 三、解答题（共三、解答题（共 8 题；共题；共 62 分）分） 18. 解一元二次方程：2310 xx 19. 如图，菱形 ABCD对角线 AC、BD交于点 O，其中 AC=6，BD=8，AEBC 于点 E，求 AE 的长度 20. 如图，小华要为一个长 3分米，宽 2分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等，小华添加的边框的宽度应是多少分米？ 21. 有两个不透明的袋子分
7、别装有红、白两种颜色的球（除颜色不同外其余均相同） ，甲袋中有 2个红球和1 个白球，乙袋中有 1个红球和 3 个白球. （1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是_. （2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是_. （3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明） 22. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 （1）若 b2m1，m+c6，判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，且 b2c240，求此时方程的根 23. 如图，O是矩形 ABCD对角线的交点，DEAC，
8、CEBD （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若120AOD，3DE ，求菱形OCED的面积 24. 超市销售某种儿童玩具， 如果每件利润40元 （市场管理部门规定， 该种玩具每件利润不能超过60元） ，每天可售出 50 件 根据市场调查发现， 销售单价每增加 2元， 每天销售量会减少 1件 设销售单价增加x元，每天售出y件 （1）请写出y与x之间的函数表达式； （2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 25. 正方形 ABCD 中， 点 O是对角线 DB的中点， 点 P 是 DB所在直线上
9、的一个动点， PEBC于 E， PFDC于 F （1）当点 P 与点 O重合时（如图） ，猜测 AP 与 EF的数量关系，并证明你的结论； （2）当点 P 在线段 DB 上（不与点 D、O、B 重合）时（如图） ，探究（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当点 P 在 DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论 广东省河源市九年级上数学期中模拟试卷广东省河源市九年级上数学期中模拟试卷 一、单选题（共一、单选题（共 10 题；共题；共 30 分）分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
10、 A. 21xy B. 56xy C. 213xx D. 2230 xx 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是二次的方程，对各项进行判断即可 【详解】解：A21xy是二元二次方程，不合题意； B56xy是二元一次方程，不合题意， C213xx不是整式方程，不合题意； D2230 xx是一元二次方程，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键 2. 在下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
11、 D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项 【详解】A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不是真命题，不符合题意； B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该选项不是真命题，不符合题意； C. 两条对角线相等平行四边形是矩形，故该选项是真命题，符合题意； D. 两条对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故该选项不是真命题，不符合题意； 故选 C 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的性质 3. 将 4 个数 a，b，c，d 排成 2行，
12、2列，两边各加一条竖线，记成 abcd，并规定 abadbccd，例如2 42 34 121 3 ，则 33 1xxx 的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】据题意，可以将方程 33 1xxx 转化为一元二次方程，然后根据 的值，即可判断根的情况 【详解】解：方程 33 1xxx ， x24x3， x24x+30， （4）2431=40， 方程 33 1xxx 两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况 4. 下列说法正
13、确的是（ ） A. “明天的降水概率为 30%”是指明天下雨的可能性是 30%； B. 连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数一定是 25 次； C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数； D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100 张一定会中奖. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：A“明天的降水概率为 30%”是指明天下雨的可能性是 30%，该选项正确； B连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数不一定是 25 次，该选项不正确； C 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数， 则第四次出现的数不一定是偶数， 也可能出现奇数， 该选项不正确
14、； D某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100 张有可能会中奖，也可能不中奖，该选项不正确； 故选 A. 考点：概率统计 5. 一元二次方程2640 xx配方为（ ） A. 2313x B. 239x C. 2313x D. 239x 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断 【详解】解：x2-6x-4=0， x2-6x=4， x2-6x+32=4+32， （x-3）2=13， 故选：A 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时
15、加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数 6. 如图，正方形 ABCD的边长为2，对角线 AC，BD交于点 O，E是 AC延长线上一点，且 CE=CO.则BE 的长度为（ ） A. 3 B. 102 C. 5 D. 2 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方形的性质得到 OB=OC=22BC=1， OBOC， 则 OE=2， 然后根据勾股定理计算 BE的长 【详解】正方形 ABCD的边长为2， OB=OC=22BC=222=1，OBOC， CE=OC， OE=2， 在 RtOBE中，BE=22152 = 故选 C 【点
16、睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质 7. 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛一枚硬币 n次，当 n越来越大时，出现正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5 B. 连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数是 25 次 C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数 D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为 1%，买这种彩票 100张一定会中奖 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率和概率的意义及用频率估计概率依次判断即可 【详解】解
17、：A、连续抛一枚硬币 n次，当 n 越来越大时，出现正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5，正确； B、连续抛一枚硬币 50 次，出现正面朝上的次数不一定是 25 次，错误； C、这是一个随机事件，掷一颗骰子，出现奇数或者偶数都有可能，但事先无法预料，错误； D、这是一个随机事件，买这种彩票 100 张，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，错误 故选：A 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确理解概率的意义是解答本题的关键注意概率是反映事件发生机会的大小的概念，只表示发生机会的大小，机会大不一定发生，机会小也可能发生 8. 一同学将方程2430 xx化成了2()xmn的形式，则 m、n的值
18、应为（ ） A. m=2n=7 B. m=2，n=7 C. m=2，n=1 D. m=2，n=7 【答案】B 【解析】 【分析】先把（x+m）2=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程 x2-4x-3=0 的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可 【详解】解：（x+m）2=n可化为：x2+2mx+m2-n=0， 2243mmn ，解得：27mn 故选 B 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可 9. 如图，在半径为 1 的O中，将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折，使折叠后的AB恰好与 OB、OA相切，则劣弧AB 的长为（ ）
19、A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】如图画出折叠后AB所在的O ，连 OB，OA，根据题意可得 OBOB、OAOA，且OB=OA=OB=OA,得到四边形 OBOA是正方形，即O=90 ，最后根据弧长公式计算即可 【详解】解：如图：画出折叠后AB所在的O ，连 OB，OA AB恰好与OA、OB相切 OBOB、OAOA OB=OA=OB=OA, 四边形 OBOA是正方形 O=90 劣弧AB的长为9011801802n r 故选择：A 【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键 10. 如
20、图，点 E 在DBC的边 DB 上，点 A在DBC内部，DAE=BAC=90 ，AD=AE，AB=AC给出下列结论： BD=CE；ABD+ECB=45 ；BDCE；BE2=2（AD2+AB2）CD2其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：只要证明DABEAC，利用全等三角形的性质即可一一判断； 详解：DAE=BAC=90 ， DAB=EAC AD=AE，AB=AC， DABEAC， BD=CE，ABD=ECA，故正确， ABD+ECB=ECA+ECB=ACB=45 ，故正确， ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=45 +45 =90 ， CEB=90
21、 ，即 CEBD，故正确， BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2故正确， 故选 A 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（共二、填空题（共 7 题；共题；共 28 分）分） 11. 如图，在菱形ABCD中，连接BD若110A ，则CBD的度数为_ 【答案】35 【解析】 【分析】根据菱形的性质得ABDCBD，/AD BC，则12CBDABC，根据平行线的性质得+180AABC，进行计算即可得 【详解】解：
22、四边形 ABCD 是菱形， ABDCBD，/AD BC， 12CBDABC，+180AABC， =110A， =18018011070ABCA ， 11=70 =3522CBDA ， 故答案为：35 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点 12. 某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率_ 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意及概率的求法可直接进行求解 【详解】解：由题意得： 由树状图可知，一共有 9 种等可能的结果，其中抽到同一
23、小区的有 3 种，所以两个检查组在辖区内抽到同一个小区的概率为：3193P ， 故答案为：13 【点睛】本题主要考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握用树状图求解概率是解题的关键 13. 关于 x 的一元二次方程（a1）2x+x+|a|10 的一个根是 0，则实数 a 的值是_ 【答案】1 【解析】 【分析】 把 x0代入已知方程， 得到关于 a 的方程， 通过解新方程求得 a 的值 注意二次项系数不等于零 【详解】解：依题意得，|a|10 且 a10， 解得 a1 故答案是：1 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键 1
24、4. 如图，在菱形 ABCD中，AB1，ADC120 ，以 AC 为边作菱形 ACC1D1，且AD1C1120 ；再以AC1为边作菱形 AC1C2D2，且AD2C2120；按此规律，菱形 AC2020C2021D2021的面积为_ 【答案】4043( 3)2 【解析】 【分析】根据题意，可以求得菱形 ABCD的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积 【详解】解：作 CEAB交 AB的延长线于点 E，如右图所示， 由已知可得， ABC120 ，BC1，CAB30 ， CBE60 ， BCE30 ， CE32， AC3， 菱形 ABCD的面积是
25、 13232， ACAB31，图中的菱形都是相似的， 菱形 AC2020C2021D2021的面积为：32 （31）2202132 （3）40424043( 3)2， 故答案为：4043( 3)2 【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答 15. 已知，是一元二次方程220 xx的两个实数根，则的值是_. 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答. 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数关系可得： 111ba ，221ca 所以可得1 ( 2)1 故答案为 1. 【点睛】本题主要考查一元
26、二次方程的根与系数关系，这是一元二次方程的重点知识，必须熟练掌握. 16. 已知 AD 是ABC的中线，ABC30 ，ADC45 ，则ACB_度 【答案】105 【解析】 【分析】在 AB上取一点 E，使得 DBDE，连接 EC，根据等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质可得答案 【详解】在 AB上取一点 E，使得 DBDE，连接 EC DBDE， DBEDEB30 ， EDCBDEB60 ， DBDCDE， DEC是等边三角形， ECDCED60 ， CEBCEA90 ， ADC45 ， EDAEDCADC15 ， DEBEDAAED， EDAEAD15 ， EDEAEC， CEA90
27、， ECA45 ， ACBACEECB45 60 105 ， 故答案为：105 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等比三角形的判定与性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键 17. 规定一种新运算:1a ba bab , 如3 43 4 3 4 1 , 则（-2）5=_ 【答案】-12 【解析】 【详解】解：根据题中的新定义得： （2）5=10+25+1=12 故答案12 三、解答题（共三、解答题（共 8 题；共题；共 62 分）分） 18. 解一元二次方程：2310 xx 【答案】123535,22xx. 【解析】 【分析】找出 a，b，c的值，计算出根的判别式的值
28、，代入求根公式即可求出解 【详解】1,3,1abc 22434 1 150bac 23543522 12bbacxa 原方程的解为113535,22xx 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键 19. 如图，菱形 ABCD对角线 AC、BD交于点 O，其中 AC=6，BD=8，AEBC 于点 E，求 AE 的长度 【答案】AE=245 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得 CO=12AC=3，BO=12BD=4，AOBO，然后根据勾股定理可得 BC=5，进而根据等积法可进行求解 【详解】四边形 ABCD是菱形， CO=12AC=3，BO=12BD=4，AOBO
29、， BC=22COBO=5， ABCDS菱形=12AC BD=12 6 8=24， ABCDS菱形=BC AE， BC AE=24， AE=245 【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键 20. 如图，小华要为一个长 3分米，宽 2分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等，小华添加的边框的宽度应是多少分米？ 【答案】小华添加的边框的宽度应是12分米 【解析】 【分析】设小华添加的边框的宽度应是 x 分米，根据边框面积=电子小报内容所占面积，得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即
30、可得出结论 【详解】解：设小华添加的边框的宽度应是 x 分米， 依题意，得： （3+2x） （2+2x）-32=32， 整理，得：2x2+5x-3=0， 解得：11132xx ，（不合题意，舍去） 答：小华添加的边框的宽度应是12分米 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 21. 有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球（除颜色不同外其余均相同） ，甲袋中有 2个红球和1 个白球，乙袋中有 1个红球和 3 个白球. （1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是_. （2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是_
31、. （3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明） 【答案】 （1）23； （2）12； （3）摸到的两球颜色相同的概率512P 【解析】 【分析】 （1）直接利用概率公式计算； （2）利用完全列举法展示 6种等可能的结果数，然后根据概率公式求解； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出摸到两球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解 【详解】 （1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是23 （2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，则有红白、红白、红白、白白、白白、白白共 6种等可能的结果数，其中摸到两球颜
32、色相同的概率=3162 （3）画树状图为： 共有 12种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的结果数为 5， 所以摸到两球颜色相同的概率512P 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A或 B的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图 22. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c0 （1）若 b2m1，m+c6，判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，且 b2c240，求此时方程的根 【答案】 （1）有两个不相等的实数根； （2）x1x22或 x1x22 【解析】 【分析】
33、 （1）由 m+c6，可得出 cm6，根据方程的系数结合根的判别式，可得出4m2+25，结合 m20 可得出0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根； （2）根据根的判别式0，即可得出 b24c，结合 b2c240可得出 b，c的值，再解一元二次方程即可得出结论 【详解】解： （1）m+c6， cm6， （2m1）24 （m6）4m2+25 m20， 4m2+250，即0， 该方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根， b24c0， b24c b2c240， b 22，c2， 当 b22，c2 时，原方程为 x222x+20， 解得：x1x22； 当 b22，c2时，原方程为 x
34、2+22x+20， 解得：x1x22 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决此类题目时要认真审题，根据根的判别式列出式子 23. 如图，O是矩形 ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若120AOD，3DE ，求菱形OCED的面积 【答案】 （1）见解析； （2）菱形 OCED 的面积932 【解析】 【分析】 （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）先证明COD 是等边三角形，求出 CD及 AC，利用勾股定理求出 AD，在根据菱形OCED的面积2OCDACDSS求出答案 详解】（1）证明：DEAC，CEBD， 四边形 OCE
35、D是平行四边形 O 是矩形 ABCD的对角线的交点， OD=OC， 平行四边形 OCED 是菱形； （2）四边形 ABCD是矩形， OA=OD=OC， OAD=ODA， 120AOD， 30 ,60OADCOD ， COD是等边三角形， CD=OD=DE=3，AC=2OD=6， 90ADC， 2222633 3ADACCD， 菱形OCED的面积=1123 3 322OCDACDSSAD CD 932 【点睛】此题考查菱形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的性质，熟记各定理知识并实际应用是解题的关键 24. 超市销售某种儿童玩具， 如果每件利润为40元 （市场管理部门规定， 该
36、种玩具每件利润不能超过60元） ，每天可售出 50 件 根据市场调查发现， 销售单价每增加 2元， 每天销售量会减少 1件 设销售单价增加x元，每天售出y件 （1）请写出y与x之间的函数表达式； （2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 【答案】 （1）1502yx （2）当x为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250元（3）当x为 20时w最大，最大值是 2400元 【解析】 【分析】 （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到213024
37、502wx ，根据二次函数的性质得到当30 x 时，w随x的增大而增大，于是得到结论 【详解】 （1）根据题意得，1502yx ； （2）根据题意得，1405022502xx， 解得：150 x ，210 x ， 每件利润不能超过 60 元， 10 x ， 答：当x为 10时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得，211405030200022wxxxx 213024502x ， 102a ， 当30 x 时，w随x的增大而增大， 当20 x=时，2400w增大， 答：当x为 20时w最大，最大值是 2400 元 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中
38、包含的数量关系是解题关键 25. 正方形 ABCD 中， 点 O是对角线 DB的中点， 点 P 是 DB所在直线上的一个动点， PEBC于 E， PFDC于 F （1）当点 P 与点 O重合时（如图） ，猜测 AP 与 EF的数量关系，并证明你的结论； （2）当点 P 在线段 DB 上（不与点 D、O、B 重合）时（如图） ，探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当点 P 在 DB的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论 【答案】 （1）AP=EF，证明见解析； （2）成立，证明见解
39、析； （3）成立，AP=EF，画图和证明见解析 【解析】 【分析】（1） 连接 AC， 则 AC必过 O点， 延长 FO交 AB于 M， 由于 O是 BD中点， 易证得AOMFOE，则 AO=EF，且AOM=FOC=OFE=45 ，由此可证得 APEF （2）延长 FP 交 AB于 M，延长 AP 交 BC于 N，易证得四边形 MBEP 是正方形，可证得APMFEP，则 AP=EF，APM=FEP；而APM=FPN=PEF，且PEF与PFE 互余，故PFE+FPN=90 ，由此可证得 APEF，所以（1）题结论仍然成立 （3）延长 AB交 PF于 H，证明四边形 HBEP 是正方形，从而得到
40、AH=FP，证明APHFEP，即可得到结论 【详解】解： （1）AP=EF，APEF，理由如下： 连接 AC，则 AC必过点 O，延长 FO 交 AB 于 M； OFCD，OEBC，且四边形 ABCD 是正方形， 四边形 OECF是正方形， OM=OF=OE=AM， MAO=OFE=45 ，AMO=EOF=90 ， AMOFOE（AAS） ， AO=EF，故 AP=EF （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长 AP 交 BC于 N，延长 FP 交 AB于 M； PMAB，PEBC，MBE=90 ，且MBP=EBP=45 ， 四边形 MBEP 是正方形， MP=PE，AMP=FPE=90 ； 又AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且 AB=BC，BM=BE， AM=PF， AMPFPE（SAS） ， AP=EF （3）结论仍然成立； 如图，延长 AB交 PF于 H， PEBC，PFCD，EBH=ABC=90 ， 四边形 EBHP 是矩形， EBP=HBP=45 ， PE=PH， 四边形 HBEP 是正方形， BH=PH， AH=FP，又AHP=FPE=90 ，PH=EP， APHFEP（SAS） ， AP=EF 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键
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