1、 浙江省金华市婺城区二校联考浙江省金华市婺城区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试卷学年九年级上期中数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1抛物线 y（x8）2+2 的顶点坐标是（ ） A （2，8） B （8，2） C （8，2） D （8，2） 2 “a 是实数，a20”这一事件是（ ） A必然事件 B不确定事件 C不可能事件 D随机事件 3将函数 y4x2的图象先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则所得函数图象表达式是（ ） Ay4（x+2）2+3 By4（x2）23 Cy4（x+
2、2）23 Dy4（x2）2+3 4四边形 ABCD 内接于O，A60，B80，则C 的度数是（ ） A60 B80 C100 D120 5在ABC 和DEF 中，AB3DE，AC3DF，AD如果ABC 的周长为 24，面积为 18，则DEF 的周长、面积分别是（ ） A8，6 B8，2 C，6 D，2 6如图，ABC 内接于O，A40，ABC70，BD 是O 的直径，BD 交 AC 于点 E，连接 CD，则AEB 等于（ ） A70 B90 C110 D120 7如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点 A，B，C，D 都在格点处，AB 与 CD相交于点 O，则 tanBOD
3、 的值是（ ） A B C D 8如图ABCD 中，Q 是 CD 上的点，AQ 交 BD 于点 P，交 BC 的延长线于点 R，若 DQ：CQ3：1，则AP：PR（ ） A4：3 B4：7 C3：4 D3：7 9过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA、PB，切点为 A 和 B，若 AB8，AB 的弦心距为 3，则 PA 的长为（ ） A5 B C D8 10如图，正方形 ABCD 边长为 4，E，F 分别为线段 AD，BC 上一点，且 AE1，CF1，AC 与 DF 相交于 H，I 为线段 AH 上一点（不与端点重合） ，J 为线段 DH 上一点（不与端点重合） ，则 EI+IJ 的最小值为
4、（ ） A B C D 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分，共分，共 24 分）分） 11如果 3a4b（a、b 都不等于零） ，那么 12在一个不透明的盒子中有 6 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 13如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，请你添加一个条件，使得ABPACB，这个条件可以是 14已知（1，y1） ， （3，y2）是函数 y2x2+6x+c 图象上的点，则 y1，y2的大小关系是 15 已知点 P 为平面内一点， 若点 P 到O 上的点的最长距离为 5， 最短距离为 1， 则O 的半径为 16图
5、 1 是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图 2 所示，由车架 ABCEEF 和两个 大小相同的车轮组成，已知 CD25cm，DE17cm，cosACD，当 A，E，F 在同一水平高度上时，CEF135， 则 AC cm； 为方便存放， 将车架前部分绕着点 D 旋转至 ABEF， 如图 3 所示，则 d1d2为 cm 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算：tan60（2021）0+2cos30+（）1 18 （6 分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入 1 个红球、2 个白球、1 个黑球，这些球除颜色
6、外都相同，将球摇匀 （1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是多少？ （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平 19 （6 分）如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离 （参考数据：2.449，结果保留整数） 20 （8 分）如图，在 66 的正方形网格中，部分网格线被擦去点 A，B，C 在格点上 （
7、1）请用无刻度的直尺在图 1 中找到三角形 ABC 的重心 P； （2）请用无刻度的直尺在图 2 中找到三角形 ABC 的外心 Q； （3）请用无刻度的直尺在图 3 中找到三角形 ABC 的内心 R （以上画图，要用虚线画出交点） 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CFAC； （3）若O 的半径为 2，CDF20，求阴影部分的面积 22 （10 分）正方形 ABCD 边长为 6，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点
8、在 BC 上运动时，保持AM 和 MN 垂直 （1）设 BMx，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （2）当 M 点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，求此时 x 的值 23 （10 分）定义：若抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴两交点间的距离为 4，称此抛物线为定弦抛物线 （1）判断抛物线 yx2+2x3 是否是定弦抛物线，请说明理由； （2）当一定弦抛物线的对称轴为直线 x1，且它的图象与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式； （3）若定弦抛物线 yx2
9、+bx+c（b0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，当 2x4 时，该抛物线的最大值与最小值之差等于 OB 之间的距离，求 b 的值 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，AB4，点 P 是直线 CD 上（不与点 C 重合）的动点，连结 BP，过点 B 作 BP 的垂线分别交直线 AD、直线 CD 于点 E、F，连结 PE （1）如图，当 AD4，点 P 是 CD 的中点时，求 tanEBA 的值； （2）当 AD2 时， 若DPE 与BPE 相似，求 DP 的长 若PEF 是等腰三角形，求 DE 的长 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 1
10、0 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1抛物线 y（x8）2+2 的顶点坐标是（ ） A （2，8） B （8，2） C （8，2） D （8，2） 【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标 【解答】解：因为 y（x8）2+2 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（8，2） 故选：B 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法 2 “a 是实数，a20”这一事件是（ ） A必然事件 B不确定事件 C不可能事件 D随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别根据实际情况即可解答 【解答】解：a 为实数，
11、a20，是一定成立的问题，是必然事件 故选：A 【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3将函数 y4x2的图象先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则所得函数图象表达式是（ ） Ay4（x+2）2+3 By4（x2）23 Cy4（x+2）23 Dy4（x2）2+3 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可 【解答】解：把抛物线 y4x2向左平移 2 个单位得到抛
12、物线 y4（x+2）2的图象，再向下平移 3 个单位得到抛物线 y4（x+2）23 的图象， 故选：C 【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 4四边形 ABCD 内接于O，A60，B80，则C 的度数是（ ） A60 B80 C100 D120 【分析】根据圆内接四边形的性质得出A+C180，再求出答案即可 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， A+C180， A60， C120， 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补 5在ABC 和DEF 中，AB3DE，AC3DF，A
13、D如果ABC 的周长为 24，面积为 18，则DEF 的周长、面积分别是（ ） A8，6 B8，2 C，6 D，2 【分析】由 AB3DE，AC3DF，可得3，3，可得，由AD，可证明ABCDEF，再根据相似三角形性质即可求得结论 【解答】解：在ABC 和DEF 中， AB3DE， 3， AC3DF， 3， ， AD， ABCDEF， 3， ABC 的周长为 24， DEF 的周长248， 329 SABC18， SDEFSABC2 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，是一道基础题，熟练掌握和灵活运用相似三角形性质是解答本题的关键 6如图，ABC 内接于O，A40，ABC70，
14、BD 是O 的直径，BD 交 AC 于点 E，连接 CD，则AEB 等于（ ） A70 B90 C110 D120 【分析】先利用圆周角定理得到BCD90，DA40，则利用互余计算出DBC50，再计算出ABE，然后根据三角形内角和可计算出AEB 的度数 【解答】解：A40， DA40， BD 是O 的直径， BCD90， DBC90D50， ABC70， ABEABCDBC20， AEB180（A+ABE）180（40+20）120， 故选：D 【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等 7如图，在正方形方格纸中，每个小的四边
15、形都是相同的正方形，点 A，B，C，D 都在格点处，AB 与 CD相交于点 O，则 tanBOD 的值是（ ） A B C D 【分析】 连接格点 CE， 得到 ABCE 和 RtDCE 先利用直角三角形的边角间关系求出DCE 的正切，再得到BOD 的正切值 【解答】解：如图，连接格点 CE，则DCE 是直角三角形 ABCE， DCEDOB 在 RtDCE 中， DE3，CE4， tanDOBtanDCE 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形，连接格点 C、E，利用平行线的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键 8如图ABCD 中，Q 是 CD 上的点，AQ 交 BD 于点 P，交
16、BC 的延长线于点 R，若 DQ：CQ3：1，则AP：PR（ ） A4：3 B4：7 C3：4 D3：7 【分析】利用“平行线法”证得ADQRCD，则对应边成比例：；同理，证得ADPRBP，则，即 【解答】解：如图，在ABCD 中，ADBC，且 ADBC， ADQRCD， ，即3， RCAD， 同理，ADPRBP，则，即， ，即 AP：PR3：4 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边相等 角：平行四边形的对角相等 对角线：平行四边形的对角线互相平分 9过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA、PB，切点为 A 和 B，若
17、AB8，AB 的弦心距为 3，则 PA 的长为（ ） A5 B C D8 【分析】如图：连接 OA，OB，利用切线长定理和勾股定理可证明 RtAOCRtPOA 后求解 【解答】解： 如图：连接 OA，OB， PA、PB 为O 的切线， OAAP，OBBP，PAPB， 故 PCAB，且 ACBCAB84cm，OC3cm， 由勾股定理得 OA5cm， 1+290，2+OAB90， OAB1， 在 RtAOC 与 RtPOA 中， OAB1，22， RtAOCRtPOA， 故，即 PA 故选：B 【点评】本题考查的是垂径定理，切线的性质，相似三角形的性质，有一定的综合性 10如图，正方形 ABCD
18、边长为 4，E，F 分别为线段 AD，BC 上一点，且 AE1，CF1，AC 与 DF 相交于 H，I 为线段 AH 上一点（不与端点重合） ，J 为线段 DH 上一点（不与端点重合） ，则 EI+IJ 的最小值为（ ） A B C D 【分析】如图，在 AB 上截取 AT，使得 ATAE1，过点 T 作 THDF 于 H，连接 DT，TF，IT利用面积法求出 TH，根据垂线段最短解决问题即可 【解答】解：如图，在 AB 上截取 AT，使得 ATAE1，过点 T 作 THDF 于 H，连接 DT，TF，IT 四边形 ABCD 是正方形， AE，AT 关于 AC 对称，DABBDCB90， IE
19、IT， THDF， IE+IJIT+IJTH， 在 RtCDF 中，DF， SDFT44411433， 又SDTFDFHT， HT， EI+IJ， EI+IJ 的最小值为 故选：C 【点评】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分，共分，共 24 分）分） 11如果 3a4b（a、b 都不等于零） ，那么 【分析】直接利用已知把 a，b 用同一未知数表示，进而计算得出答案 【解答】解：3a4b（a、b 都不等于零） ， 设 a4x，则 b3x， 那么 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质
20、，正确表示出 a，b 的值是解题关键 12在一个不透明的盒子中有 6 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 12 【分析】首先设黄球的个数为 x 个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案 【解答】解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得：， 解得：x12， 经检验：x12 是原分式方程的解； 黄球的个数为 12 故答案为 12 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 13如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，请你添加一个条件，使得ABPACB，这个条件可以是 ABPC（答案不唯一） 【分析】
21、由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中A 为公共角，再有一对应角相等即可 【解答】解：在ABP 与ACB 中，A 为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即ABPC， 故答案为：ABPC（答案不唯一） 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键 14已知（1，y1） ， （3，y2）是函数 y2x2+6x+c 图象上的点，则 y1，y2的大小关系是 y1y2 【分析】先求出抛物线对称轴，由图象可知抛物线开口向下，再根据两个点与对称轴距离的大小及抛物线的增减性即可判断纵坐标的大小 【解答】解：y2x2+6x+c， 抛物线的对称轴是
22、直线 x，开口向下， 13， y1y2 故答案为：y1y2 【点评】本题主要考查了抛物线上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键 15已知点 P 为平面内一点，若点 P 到O 上的点的最长距离为 5，最短距离为 1，则O 的半径为 2 或3 【分析】解答此题应进行分类讨论，点 P 可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部 【解答】解：当点 P 在圆内时，则直径5+16，因而半径是 3； 当点 P 在圆外时，直径514，因而半径是 2 所以O 的半径为 2 或 3 故答案为：2 或 3 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意进行分类讨论 16图 1 是一种儿童可折叠
23、滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图 2 所示，由车架 ABCEEF 和两个 大小相同的车轮组成，已知 CD25cm，DE17cm，cosACD，当 A，E，F 在同一水平高度上时，CEF135， 则 AC 30 cm； 为方便存放， 将车架前部分绕着点 D 旋转至 ABEF， 如图 3 所示，则 d1d2为 （10） cm 【分析】 （1）根据题意作出辅助线构造 RtAHC，再根据 cosACD按比例设出AHC 中 CH4x，AC5x，AH3x，最后根据DAE 为等腰直角三角形及线段之间的等量关系列出等式 424x3x，求解即可， （2） 根据题意过点 A 作 AMEF 交其延长线于点 M，
24、 过点 D 作 DNEF 交其延长线于点 N， 并延长 ND，交 AB 于点 P，得出四边形 AMNP 是矩形，再结合折叠的性质 CD25cm，DE17cm，cosACD，DEN45，AC30cm 以及直角三角形的边角关系 PCCDcosACD，ENDEcosDEN 求得相关线段的长度，设半径为 r，则目标线段 d12r+AE+EF，d22r+EM+EF，两式相减即可 【解答】解：如图 2 所示， 过点 A 作 AHCE， cosACD， 可设 CH4xcm，AC5xcm，AH3xcm， DEA180DEF45， DAE 为等腰直角三角形， AHHE， CECD+DE25+1742cm， AH
25、CECH（424x）cm， 424x3x，解得 x6， AC5630cm 故答案为：30 （2）如图 3 所示， 过点 A 作 AMEF 交其延长线于点 M，过点 D 作 DNEF 交其延长线于点 N，并延长 ND，交 AB 于点P， ABEF， MPNMNPA90， 四边形 AMNP 是矩形， APMN， CD25cm，DE17cm，cosACD，DEN45，AC30cm， PCCDcosACD20cm，ENDEcosDENcm， MNAPACPC302010cm， MEMN+EN（10+）cm， 由（1）可知 AHHE18cm， AE18cm， 设车轮半径为 rcm，则有： d1（2r+A
26、E+EF）cm，d2（2r+EM+EF）cm， d1d2（2r+AE+EF）（2r+EM+EF）AEEM18（10+）（10）cm， 故答案为： （10） 【点评】本题考查解直角三角形的应用和翻折变换，解直角三角形的应用通常要数形结合根据题意画出平面图形， 构造出直角三角形将其转化为解直角三角形问题， 选用适当锐角三角函数或边角关系去求解；翻折问题关键是要根据折叠的性质，找到相等的角和相等的边 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算：tan60（2021）0+2cos30+（）1 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数
27、指数幂法则计算即可求出值 【解答】解：原式1+2+4 1+4 2+3 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （6 分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入 1 个红球、2 个白球、1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀 （1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是多少？ （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树
28、状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出小李和小王获胜的概率，从而得出游戏规则是否公平 【解答】解： （1）共有 4 个球，其中有 1 个红球、2 个白球、1 个黑球， 摸到红球的概率是 （2）根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有 2 种，两个球都是白色的有 2 种， 则小李获胜的概率是，小王获胜的概率是， 所以游戏规则是公平的 【点评】 本题考查的是游戏公平性的判断 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率， 概率相等就公平， 否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 19 （6 分）如图，一艘轮船位于灯塔 P
29、 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离 （参考数据：2.449，结果保留整数） 【分析】过点 P 作 PCAB，则在 RtAPC 中易得 PC 的长，再在直角BPC 中求出 PB 【解答】解：作 PCAB 于 C 点， APC30，BPC45 AP80（海里） 在 RtAPC 中，cosAPC， PCPAcosAPC40（海里） 在 RtPCB 中，cosBPC， PB4098（海里） 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是 98 海里 【点
30、评】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 20 （8 分）如图，在 66 的正方形网格中，部分网格线被擦去点 A，B，C 在格点上 （1）请用无刻度的直尺在图 1 中找到三角形 ABC 的重心 P； （2）请用无刻度的直尺在图 2 中找到三角形 ABC 的外心 Q； （3）请用无刻度的直尺在图 3 中找到三角形 ABC 的内心 R （以上画图，要用虚线画出交点） 【分析】 （1）作出 BC，AC 边上的中线交于点 P，点 P 即为所求； （2）作出 AC 的中点 Q 即可； （3）作BAC，ABC 的角平分线交于
31、点 R，点 R 即为所求 【解答】解： （1）如图 1 中，点 P 即为所求； （2）如图 2 中，点 Q 即为所求； （3）如图 3 中，点 R 即为所求 【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的重心，外心，内心等知识，解题的关键是连接重心，外心，内心的定义，属于中考常考题型 21 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作DFAC，垂足为点 F （1）求证：直线 DF 是O 的切线； （2）求证：BC24CFAC； （3）若O 的半径为 2，CDF20，求阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OD，根据等腰三角形的性质
32、可得ODBABCC，由 DFAC，得CDF+C90，等量代换可证ODF90，从而证明结论； （2）连接 AD，根据圆周角定理知ADB90，从而证明CFDCDA，得 CD2CFAC，而 CDBC，代入即可； （3）连接 OE，AD，OD，过点 O 作 OHAC 于 H，分别求出扇形 AOE 和AOE 的面积，即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD， ABAC， ABCC， OBOD， ODBABCC， DFAC， CDF+C90， CDF+ODB90， ODF90， 直线 DF 是O 的切线； （2）证明：如图，连接 AD， AB 是O 的直径， ADBC， ABAC， DBDC，
33、 CDF+C90，C+DAC90， CDFDAC， DFCADC90， CFDCDA， CD2CFAC， 即 BC24CFAC； （3）解：连接 OE，AD，OD，过点 O 作 OHAC 于 H， CDF20， C70， OAE40OEA， AOE100， AHcos40OA2cos40，OH2sin40， AE2AH4cos40， S阴影4cos402sin404sin40cos40 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积的计算等知识，证明CFDCDA 是解题的关键 22 （10 分）正方形 ABCD 边长为 6，M、N
34、分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直 （1）设 BMx，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （2）当 M 点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，求此时 x 的值 【分析】 （1） 先证明 RtABMRtMCN， 可求 CN， 由梯形的面积公式可求 y （x3）2+（0 x6） ，由二次函数的性质可求解； （2）由相似三角形的性质求出 AM，MN 的长，则可证 RtABMRtAMN 【解答】解： （1）在正方形 ABCD 中，ABBCCD
35、4，BC90， AMMN， AMN90， CMN+AMB90， 又MAB+AMB90， MABCMN， RtABMRtMCN； ，即， CN， yS梯形ABCN（CN+AB）BC（+6）6x2+3x+18（x3）2+（0 x6） ， 当 x3 时，y 取最大值，最大值为， 即点 M 运动到 BC 的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为； （2）当 M 点运动到 BC 为中点位置时，RtABMRtAMN 理由如下：四边形 ABCD 为正方形， ABBC6，BMMC3， AM3， RtABMRtMCN， 2， MNAM， ， ， 而ABMAMN90， RtABMRtAMN， 当 x3
36、时，RtABMRtAMN， 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的面积公式，二次函数的性质等知识，证明 RtABMRtMCN 是解本题的关键 23 （10 分）定义：若抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴两交点间的距离为 4，称此抛物线为定弦抛物线 （1）判断抛物线 yx2+2x3 是否是定弦抛物线，请说明理由； （2）当一定弦抛物线的对称轴为直线 x1，且它的图象与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式； （3）若定弦抛物线 yx2+bx+c（b0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，当 2x4 时，该抛物线的最大值与最小值
37、之差等于 OB 之间的距离，求 b 的值 【分析】 （1）令 y0，求出与 x 轴的交点坐标，可判断； （2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与 x 轴交点坐标，用相似求出与 y 轴交点坐标，代入可得答案； （3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可 【解答】 （1）当 y0 时，x2+2x30， 解得：x11，x23， 则|x1 x2|4， 即该抛物线是定弦抛物线； （2）当该抛物线开口向下时，如图所示 该定弦抛物线的对称轴为直线 x1， C（1，0） ，D（3，0） ， CED 为直角三角形 由题意可得CED90， EOCD， CEOEDO， OE2OCOD3， E （
38、，0） ， 该定弦抛物线表达式为 y（x+1） （x3） ， 当该抛物线开口向上时， 同理可得该定弦抛物线表达式为 y（x+1） （x3） ， 综上所述，该定弦抛物线表达式为 y（x+1） （x3）或 y（x+1） （x3） ； （3）若2，则在 2x4 中， 当 x4 时该定弦抛物线的取最大值，当 x2 时该定弦抛物线的取最小值 16+4b+c（4+2b+c）+2，解得：b4， 2， b4，即 b4， 若3，则在 2x4 中， 当 x4 时该定弦抛物线的取最大值，当 x 时该定弦抛物线的取最小值 16+4b+c+2，解得：b14，b214， 23， 6b4， b14，b214（舍去） ， 若
39、4，则在 2x4 中， 当 x2 时该定弦抛物线的取最大值，当 x 时该定弦抛物线的取最小值 4+2b+c+2，解得：b5， 4， 8b6， b5不合题意，舍去， 若4，则在 2x4 中， 当 x2 时该定弦抛物线的取最大值，当 x4 时该定弦抛物线的取最小值 4+2b+c（16+4b+c）+2，解得：b， 4， b8，b， 综上所述 b4 或 【点评】本题考查了二次函数的综合性质，包括与 x 轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，AB4，点 P 是直线 CD 上（不与点 C 重合）的动点，连结
40、BP，过点 B 作BP 的垂线分别交直线 AD、直线 CD 于点 E、F，连结 PE （1）如图，当 AD4，点 P 是 CD 的中点时，求 tanEBA 的值； （2）当 AD2 时， 若DPE 与BPE 相似，求 DP 的长 若PEF 是等腰三角形，求 DE 的长 【分析】 （1）根据矩形的性质及同角的余角相等可得ABEPBC，再运用三角函数定义即可求得答案； （2）根据DPE 与BPE 相似，PE 是公共斜边，可得DPEBPE 或DPE 与BEP，分两种情况讨论即可； 由PEF 是等腰三角形，可得 PEPF 或 PEEF 或 PFEF，分三种情况进行讨论 【解答】解： （1）四边形 AB
41、CD 是矩形， ABCD4，BCAD4，ABCBADBCD90， ABP+PBC90， 点 P 是 CD 的中点， CPCD2， BPEF， ABE+ABP90， ABEPBC， tanEBAtanPBC （2）DPE 与BPE 相似，PE 是公共斜边， DPEBPE 或DPEBEP， 当DPEBPE 时， PBPD， 设 PDx，则 PBx，PC4x， 在 RtBPC 中，BC2+PC2PB2， 22+（4x）2x2， 解得：x， PD 当DPEBEP 时，如图 2， DPBEAB， 点 P 在 DC 的延长线上， DPE 与BEP， DPBE，DEBP， 在DEF 和BPF 中， ， DE
42、FBPF（AAS） ， DFBF， 设 DFBFm，则 CF4m， 在 RtBFC 中，BC2+CF2FB2， 22+（4m）2m2， 解得：m， DFBF，CF， FBC+PBC90，PBC+BPC90， FBCBPC， BCFBCP， FBCBPC， ，即， CP， DPDC+CP4+， 综上所述，PD或 PEF 是等腰三角形， PEPF 或 PEEF 或 PFEF， 当 PEPF 时，如图 3， BPEF， EBBF， EF2FB， BCAD， FBCFED， ， DE2BC224； 当 PEEF，点 P 在 CD 的延长线上时，如图 4， 设 CFm，则 DFm+4， PEEF，EDP
43、F， DPDFm+4， CPDP+DCm+8， PBFPCBBCF90， PBC+BPC90，PBC+FBC90， BPCFBC， PBCBFC， ，即， m0， m24， CF24，DF2， BCAD， FBCFED， ，即， DE10+4； 当 PEEF，点 P 在 DC 的延长线上时，如图 5， 设 CPt，则 DPt+4， PEEF，EDPF， DPDFt+4， CFDF+DCt+8， PBFPCBBCF90， PBC+BPC90，PBC+FBC90， BPCFBC， PBCBFC， ，即， t0， t24， CP24，DF2，CF2+4， BCAD， FBCFED， ，即， DE10
44、4； 当 PFEF 时，如图 5， PFEF， BEPDPE， EBPPDE90， BEPDPE（AAS） ， BPDE， 设 CPn，则 DP4+n， DE2BP2BC2+CP24+n2， FBPBCFBCP90， BFC+FBC90，FBC+PBC90， BFCPBC， BFCPBC， ，即， CF， DF4，EFPFn+， DE2+DF2EF2， 4+n2+（4）2（n+）2， 解得：n， DE； 综上所述，DE 的长为 4 或 10+4或 104或 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角函数定义等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键
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