1、 1.21.2 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A对边相等 B对角相等 C对角线相等 D对角线互相平分 2 如图， 矩形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 交于点 O， AOB120， AD2， 则矩形 ABCD 的面积是 （ ） A2 B23 C43 D8 3如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，过对角线交点 O 作 EFAC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则DE 的长是（ ） A1 B74 C2 D125 4如图，四边形 ABCD 是矩形，BDC 的平分
2、线交 AB 的延长线于点 E，若 AD4，AE10，则 AB 的长为（ ） A4.2 B4.5 C5.2 D5.5 5在四边形 ABCD 中，ADBC，下列选项中，不能判定四边形 ABCD 为矩形的是（ ） AADBC 且 ACBD BADBC 且AB CABCD 且AC DABCD 且 ACBD 6如图，在矩形 ABCD 中，F 是 BC 中点，E 是 AD 上一点，且ECD30，BEC90，EF4cm，则矩形的面积为（ ） A16cm2 B83cm2 C163cm2 D32cm2 7如图，点 M 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 M 作 EFAB，分别交 AD，BC 于点 E
3、，F，连接MD，MB若 DE2，EM5，则阴影部分的面积为（ ） A5 B10 C12 D14 8如图，点 E 为矩形 ABCD 的边 BC 上的点，作 DFAE 于点 F，且满足 DFAB下面结论：DE 平分AEC；ADE 为等腰三角形；AFAB； AEBE+EF其中正确的结论有多少个（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 9 如图， 在矩形ABCD中， AB3， 对角线AC， BD相交于点O， AE垂直平分OB于点E， 则AD的长为 10 如图， 延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E， 使 CEBD， 连接 A
4、E， 如果ADB30， 则E 度 11如图，四边形 ABDE 是长方形，ACDC 于点 C，交 BD 于点 F，AEAC，ADE62，则BAF 的度数为 12如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEAC 交 AB 于 E，若 AC4，BAC30，那么 AE 13矩形 ABCD 与矩形 CEFG 如图放置，点 B、C、E 共线，点 C、D、G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH若 BCEF3，CDCE1，则 GH 14如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD的中点，连
5、接 GH，若 AB4，BC6，则 GH 的长度为 15如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点若 AB5，AD12，则四边形 ABOM的周长为 16如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD6，E 是 AD 上一点，AE1，P 是 BC 上一动点，连接 AP，取AP 的中点 F，连接 EF，当线段 EF 取得最小值时，线段 PD 的长度是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 40 分）分） 17如图，在平行四边形 ABCD 中，CEAD 于点 E，延长 DA 至点 F，使得 EFDA，连接 BF，CF （1）求证：四边形 BCEF 是矩形； （2）
6、若 AB3，CF4，DF5，求 EF 的长 18如图，已知平行四边形 ABCD 中，M，N 是 BD 上两点，且 BMDN，AC2OM （1）求证：四边形 AMCN 是矩形； （2）若BAD135，CD2，ABAC，求对角线 MN 的长 19如图，ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的高，点 O 是 AC 中点，延长 DO 到 E，使 OEOD，连接AE，CE （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）若 OE2，求 AB 的长 20如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCADC，对角线 AC、BD 交于点 O，AOBO，DE 平分ADC 交 BC 于点 E，连接 OE （1）
7、求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB1，求OEC 的面积 21已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOBOCO，BACACD （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）如果点 E 在边 AB 上，DE 平分ADB，BD= 2AB，求证：BDAD+AE 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等 故选：C 2解：四边形 ABCD 是矩形， ACBD，AOBOOD， AOB120， OABOBA30， BD2AD4， AB= 2 2= 16 4 =23，
8、矩形 ABCD 的面积ABAD43， 故选：C 3解：连接 CE，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， ADC90，CDAB6，ADBC8，OAOC， EFAC， AECE， 设 DEx，则 CEAE8x， 在 RtCDE 中，由勾股定理得：x2+62（8x）2， 解得：x=74， 即 DE=74； 故选：B 4解：如图，四边形 ABCD 是矩形， CDAB， 1E 又BDC 的平分线交 AB 的延长线于点 E， 12， 2E BEBD AE10， BDBE10AB 在直角ABD 中，AD4，BD10AB，则由勾股定理知：AB= 2 2= (10 )2 42 AB4.2 故选：A 5解：AA
9、DBC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形，故选项 A 不符合题意； BADBC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， A+B180， AB， AB90， 平行四边形 ABCD 是矩形，故选项 B 不符合题意； CADBC， A+BC+D180， AC， BD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， 不能判定四边形 ABCD 为矩形，故选项 C 符合题意； D、ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形，故选项 D 不符合题意； 故选：C 6解：F 是 BC 中点，BEC90，
10、 EFBFFC，BC2EF248cm， ECD30， BCE90EBC903060， CEF 是等边三角形， 过点 E 作 EGCF 于 G， 则 EG=32EF=32423cm， 矩形的面积823 =163cm2 故选：C 7解：作 PMAB 于 P，交 DC 于 Q 则有四边形 DEMQ，四边形 QMFC，四边形 AEMP，四边形 MPBF 都是矩形， SDEMSDQM，SQCMSMFC，SAEMSAPM，SMPBSMFB，SABCSADC， SABCSAMPSMCFSADCSAEMSMQC， S四边形DEMQS四边形MPBF， DECF2， SDEMSMFB=12255， S阴5+510
11、， 故选：B 8解：四边形 ABCD 是矩形， CABE90，ADBC，ABCD， DFAB， DFCD， DFAE， DFADFE90， 在 RtDEF 和 RtDEC 中， = = ， RtDEFRtDEC（HL） ， FEDCED， DE 平分AEC； 故正确； ADBC， AEBDAF， 在ABE 和DFA 中， = = = ， ABEDFA（AAS） ， AEAD， ADE 为等腰三角形； 故正确； ABEDFA， 不存在 AFAB， 故错误； ABEDFA， BEFA， AEAF+EFBE+EF 故正确 故正确的结论有，三个 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，
12、满分 40 分）分） 9解：四边形 ABCD 是矩形， OBOD，OAOC，ACBD， OAOB， AE 垂直平分 OB， ABAO， OAABOB3， BD2OB6， AD= 2 2= 62 32=33； 故答案为：33 10解：连接 AC， 四边形 ABCD 是矩形， ADBE，ACBD，且ADBCAD30， EDAE， 又BDCE， CECA， ECAE， CADCAE+DAE， E+E30，即E15， 故答案为：15 11解：四边形 ABDE 是矩形， BAEE90， ADE62， EAD28， ACCD， CE90 AEAC，ADAD， RtACDRtAED（HL） EADCAD28
13、， BAF90282834， 故答案为：34 12解：四边形 ABCD 是矩形， AOCO2， BAC30，OEAC， AE2OE， AE2OE2AO24， OE=233， AE2OE=433， 故答案为：433 13解：延长 GH 交 AD 于 M 点，如图所示： 四边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是矩形， CDCEFG1，BCEFCG3，BEADFG， DGCGCD312，HAMHFG， AF 的中点 H， AHFH， 在AMH 和FGH 中， = = = ， AMHFGH（ASA） AMFG1，MHGH， MDADAM312， 在 RtMDG 中，GM= 2+ 2= 22+ 22=
14、22， GH=12GM= 2， 故答案为：2 14解：连接 CH 并延长交 AD 于 P，连接 PE， 四边形 ABCD 是矩形， A90，ADBC， E，F 分别是边 AB，BC 的中点，AB4，BC6， AE=12AB=1242，CF=12BC=1263， ADBC， DPHFCH， 在PDH 与CFH 中， = = = ， PDHCFH（AAS） ， PDCF3，CHPH， APADPD3， PE= 2+ 2= 32+ 22= 13， 点 G 是 EC 的中点， GH=12EP=132 故答案为：132 15解：O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点， OM=
15、12CD=12AB2.5， AB5，AD12， AC= 52+ 122=13， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， BO=12AC6.5， 四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM5+6+6.5+2.520， 故答案为：20 16解：过点 P 作 PMFE 交 AD 于 M，如图， F 为 AP 的中点，PMFE， FE 为APM 的中位线， AM2AE2，PM2EF， 当 EF 取最小值时，即 PM 最短， 当 PMAD 时，PM 最短， 此时 PMAB3， MDADAM4， 在 RtPMD 中，PD= 2+ 2= 5， 当线段 EF 取得最小值时，线段 PD 的长度是
16、 5， 故答案为：5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 40 分）分） 17 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， EFDA， EFBC，EFBC， 四边形 BCEF 是平行四边形， 又CEAD， CEF90， 平行四边形 BCEF 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB3， CF4，DF5， CD2+CF2DF2， CDF 是直角三角形，DCF90， CDF 的面积=12DFCE=12CFCD， CE=435=125， 由（1）得：EFBC，四边形 BCEF 是矩形， FBC90，BFCE=125， BC= 2 2=42
17、 (125)2=165， EF=165 18 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD， 对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BMDN， OBBMODDN，即 OMON， 四边形 AMCN 是平行四边形， AC2OM， MNAC， 平行四边形 AMCN 是矩形； （2）解：由（1）得：MNAC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD2，ADBC， ABC+BAD180， ABC45， ABAC， BAC90， ABC 是等腰直角三角形， ACAB2， MN2 19 （1）证明：点 O 是 AC 中点， AOCO， 又OEOD， 四边形 ADCE 为平行四边形，
18、AD 是 BC 边上的高， ADDC， ADC90， 四边形 ADCE 为矩形； （2）解：四边形 ADCE 为矩形， OEAO2， 点 O 是 AC 中点， AO2，AC4， 又ABAC， AB4 20 （1）证明：ADBC， ABC+BAD180，ADC+BCD180， ABCADC， BADBCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC=12AC，OBOD=12BD， OAOB， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形 （2）解：作 OFBC 于 F，如图所示 四边形 ABCD 是矩形， CDAB1，BCD90，AOCO，BODO，ACBD， AOBOCODO， BFFC， OF=1
19、2CD=12， DE 平分ADC，ADC90， EDC45， 在 RtEDC 中，ECCD1， OEC 的面积=12ECOF=14 21证明： （1）在AOB 和COD 中， = = = ， AOBCOD（ASA） ， BODO， AOCO， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOBOCO，BODO， AOBOCODO， ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形； （2）过点 E 作 EFBD 于 F，如图所示： 由（1）得：四边形 ABCD 是矩形， BAD90， BD= 2AB， ABD 是等腰直角三角形， ABD45， EFBD， EFBEFD90， BEF 是等腰直角三角形， FEFB， DE 平分ADB， ADEFDE， 在ADE 和FDE 中， = = 90 = = ， ADEFDE（AAS） ， ADFD，AEFE， AEFB， BDFD+FB， BDAD+AE
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