1、第第 2 2 章有理数的运算章有理数的运算 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 3 分分 共共 3030 分）分） 1实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数 b满足0ab，则 b的值可以是（ ） A2 B1 C1 D2 2在九章算术注中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负） ，如图 1 表示的是21 3211的计算过程，则图 2 表示的过程是在计算（ ） A( 13)( 23)10 B( 31)( 32)1 C( 13)( 23)36 D( 13)( 23)10 3若4a ，2b，且ab的绝对值与它的相反数相等，则ab的值是（ ） A2
2、B6 C2或6 D2 或 6 4a与2 互为倒数，那么 a等于（ ） A2 B2 C12 D12 5如果20221，那么“”内应填的数是（ ） A12022 B2022 C12022 D2022 64 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439 000 米将 439 000 用科学记数法表示应为（ ） A0.439 106 B4.39 106 C4.39 105 D139 103 7计算2223 33mn 个个（ ） A2m+3n Bm2+3n C2m+n3 D2
3、m+3n 8如果0abcd ，0ab，0cd ，那么这四个数中负数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个或 3 个 9为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了 220000 包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据 220000 表示为（ ） A0.22 106 B2.2 106 C22 104 D2.2 105 10数轴上，把表示 2 的点向左平移 3 个单位长度得到的点所表示的数是（ ） A5 B1 C1 D5 二、填空题二、填空题（每小题（每小题 3 3 分分 共共 2828 分）分） 11已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，2
4、m ，则220212020abmcd_ 12比3小7的数是_ 13已知有理数 x、y 满足23240 xy，则代数式xy的值为_ 14若 a0，且a=4，则 a+1=_. 15下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点数） ： 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 13 8 +1 7 如果北京时间是下午 3 点，那么伦敦的当地时间是 _ 16a、b 互为有理数，且0 a b，0ab，则 a 是 _数（填“正”或“负”） 17东京与北京的时差为1h，伯伯在北京乘坐早晨9:00的航班飞行约3h到达东京，那么李伯伯到达东京的时间是_ （注：正数表示同一时刻比北京时间早的
5、时数） 三、解答题三、解答题（共（共 4242 分）分） 18周末，小亮一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆早上从家里出发，向南走了 2 千米到超市买东西，然后继续向南走了 5 千米到爷爷家下午从爷爷家出发向北走了 16 千米到达外公家，傍晚返回自己家中 (1)若以小亮家为原点，向南为正方向，用 1 个单位长度表示 2 千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家的位置在数轴上分别用 A，B，C 表示出来； (2)外公家与超市间的距离为多少千米？ (3)若轿车每千米耗油 0.1 升，求小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量 19计算 （1）411( 2)93 ； （2）133
6、 (23)3543 (3)3(5)2 20计算：已知|m|1，|n|4 （1）当 mn0 时，求 m+n 的值； （2）求 mn 的最大值 21求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方. 如：2 2 2，(-3) (-3) (-3 ) ( -3)等. 类比有理数的乘方，我们把 2 2 2 记作 2，读作“2 的圈 3 次方”. (-3) (-3) (-3 ) ( -3)记作(-3)，读作“-3 的圈 4 次方”. 一般地，把naaaaa个（a0）记作a，记作“a 的圈 n 次方”. (1)直接写出计算结果：2= ，(-3) = ， 1()2= (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加
7、法运算，除法运算可以转化为乘法运算， 请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于 . (3)计算 24 23+ (-8) 2. 参考答案参考答案 1D【分析】根据题意可得21a ，从而得到1a ，再由0ab，可得0b，且1ba，从而得到1ba ，即可求解 【详解】解根据题意得21a ， 1a ， 0ab， 0b，且1ba， 1ba ， b的值可以是 2 故选：D 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系解决本题的关键是根据加法的符号规律确定 b 的取值范围 2A【分析】根据图 1 可知，一横表示 10，一竖表示 1，白色为正，
8、黑色为负，由此即可得出答案 【详解】解：由图 1 可知，一横表示 10，一竖表示 1，白色为正，黑色为负， 则图 2 表示的过程是在计算 132310 ， 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的加减法，掌握理解每个算筹所表示的数是解题关键 3C【分析】由4a ，2b ，可确定两个 a 的值与两个 b的值，则可计算出 a+b的所有可能值，再由ab的绝对值与它的相反数相等，可判断出 a+b 的符号是非正数，从而最后可得到 a+b的值 【详解】4a ，2b a=4，b=2 a+b=6，2，6，2 ab的绝对值与它的相反数相等，即()abab a+b0 6ab或2 故选：C 【点睛】本题考查了绝对值的性
9、质，注意：a与 b的值均有两个，不要忽略负数；一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数必定是非正数 4C【分析】乘积是 1 的两数互为倒数据此判断即可 【详解】解：a 与2 互为倒数，那么 a等于12 故选：C 【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数解题关键是掌握倒数的定义 5C【分析】根据互为倒数的两数的乘积等于 1，即可求解 【详解】解：12022=12022 故选：C 【点睛】本题主要考查倒数的性质，熟练掌握互为倒数的两数的乘积等于 1 是解题的关键 6C【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值
10、时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【详解】解：将 439000 用科学记数法表示为 4.39 105 故选 C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 7D【分析】由加法法则和乘法法则进行计算，即可得到答案 【详解】解：2223 33mn 个个2m+3n 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的加法、乘法和乘方，解题的关键是掌握运算法则进行计算 8D【分析】根据几个
11、不为零的有理数相乘，负因数的个数是奇数个时积是负数，可得答案 【详解】由 abcd0，得 a,b 一个正数，一个是负数， c,d 同正或同负，这四个数中的负因数有 1 个或三个， 故选 D. 【点睛】此题考查有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则 9D【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1a10，n 为正整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】220000 = 52.2 10 故选 D 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1a10，n 可以用整数位数减去 1 来确定，用科学计
12、数法表示数，一定要注意 a 的形式，以及指数 n 的确定方法 10B【分析】根据数轴上点的坐标特点及平移的性质解答即可 【详解】解：根据题意：数轴上 2 所对应的点为 A， 将 A 点左移 3 个单位长度，得到点的坐标为 2-3=-1， 故选：B 【点睛】本题考查了数轴上的点与实数对应关系及图形平移的性质等有关知识 111 或-3#-3 或 1【分析】根据 a、b 互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为 2，可以得到 a+b0，cd1，m2，然后代入所求式子计算即可 【详解】解：a、b 互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为 2， a+b0，cd1，m2， 当 m2 时，2202120 1
13、 12020abmcd ； 当 m2 时，2202120 132020abmcd ； 故答案为：1 或-3 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出 a+b0，cd1，m2 1210【分析】利用“比a小b的数表示为a b”，列式计算可得答案. 【详解】解：比3小7的数是：3 710. 故答案为：10. 【点睛】本题考查的是有理数的减法的应用，掌握有理数的减法法则与应用是解题的关键. 131【分析】利用绝对值及平方的非负性先求出 x、y 值，再代入即可 【详解】解：30 x，2240y 且23240 xy， 3 =0 x，224=0y ， 即：3=0 x，24=0y ， 解得：=3
14、x，=-2y， =32 =1xy ， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查的是绝对值及平方的非负性求值，属于初中常考题型，掌握其解题步骤是解题的关键 14-3【分析】由题意易得4a ，根据 a0 可得2a ，然后代入求值即可 【详解】解：|a|=4， 4a ， 又a0， 4a ， +14+13a 故答案为：-3 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义及有理数的加法法则是解题的关键 15上午 7 时【分析】根据带正号的数表示同一时刻比北京早的点数可得正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数 【详解】解：12+387，
15、故如果北京时间是下午 3 点，那么伦敦的当地时间是上午 7 时 故答案为：上午 7 时 【点睛】主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的加减法计算这是一个典型的正数与负数的实际运用问题，我们应联系现实生活认清正数与负数所代表的实际意义 16负【分析】根据有理数的乘法运算法则即可求解 【详解】0 a b a,b 同号 又0ab a,b 均为负数 故答案为：负 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的乘法运算法则 1713时【分析】根据题意，9 点先加上 3 个小时，再加上时差的 1 个小时，得到达到东京的时间 【详解】由题意得9 3 1 13 ， 李伯伯到达东京是下午13时
16、 故答案是：13 时 【点睛】本题考查有理数加法的实际应用，解题的关键是掌握有理数加法运算法则 18(1)见解析 (2)11 千米 (3)3.2 升 【分析】 （1）根据题意，在数轴上表示出 A、B、C的位置即可； （2）点 A 表示的数减去点 C 表示的数就得 AC表示的单位长度，然后再乘以 2 即可； （3）根据“总耗油量路程 小轿车每千米耗油量”计算即可 (1) 解：点 A、B、C 如图所示： (2) 解：1-（-4.5）=5.5，5.5 2=11（千米） 答：外公家与超市间的距离为 11 千米 (3) 解：小亮一家走的路程为 1+2.5+|-8|+4.5=16，16 2=32（千米）
17、， 共耗油：0.1 32=3.2（升） 答：小亮一家从早上出发到傍晚返回家中轿车所行路程的耗油量为 3.2 升 【点睛】 本题主要考查了正数和负数的应用、数轴及其应用，理解数轴和正负数的意义是解答本题的关键 19 （1）2； （2）137【分析】 （1）先计算乘方，去绝对值把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先把除法变为乘法，再算乘方，最后计算除法，即可求解 【详解】解： （1）原式=-1+（-2） 3+9=2； （2）原式=1033()325 43 (3)3(5)2 =81+81-25=137. 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键
18、 20 （1） 3； （2）mn 的最大值是 5 【分析】由已知分别求出 m= 1，n= 4； （1）由已知可得 m=1，n=4 或 m=1，n=4，再求 m+n即可； （2）分四种情况分别计算即可 【详解】|m|=1，|n|=4， m= 1，n= 4； （1）mn0， m=1，n=4 或 m=1，n=4， m+n= 3； （2）分四种情况讨论： m=1，n=4 时，mn=3； m=1，n=4 时，mn=3； m=1，n=4 时，mn=5； m=1，n=4 时，mn=5； 综上所述：mn的最大值是 5 【点睛】本题考查了有理数的运算，绝对值的运算；掌握有理数和绝对值的运算法则，能够正确分类是解
19、题的关键 21 （1）12，127，-8； （2）它的倒数的 n-2 次方； （3）1.【分析】 （1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果 【详解】 （1）2=2 2 2=12， (-3) =(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)=127， 1()2=1()21()21()21()21()2=-8， 故答案为12，127，8； （2）a=naaaaa个=11 11naaa aa个=2211nnaa， 故答案为这个数倒数的（n2）次方； （3）24 23+（8） 2 =24 8+（8）12 =3+（4） =1 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键
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