1、3.3 解一元一次方程(二) 去括号与去分母 第2课时 1 知识点 一般行程问题 1. 行程问题中的基本关系式： 路程速度时间， 时间路程速度， 速度路程时间 2. 行程问题中的相等关系： (1)相遇问题中的相等关系： 若甲、乙相向而行，甲走的路程乙走的路程甲、乙出发点之 间的路程； 若甲、乙同时出发，甲用的时间乙用的时间 (2)追及问题中的相等关系： 快者走的路程慢者走的路程追及路程； 若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间慢者用的时间 例1 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h. (1)若两车相向而行，慢车先开
2、30 min，快车开出几小时后两车相遇？ 导引：设快车开出x h后两车相遇列表： 相等关系：慢车行驶的路程快车行驶的路程1 500 km. 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 慢车 60 快车 90 x 90 x 1602x12x 解：设快车开出x h后两车相遇 由题意，得 解得x9.8. 答：快车开出9.8 h后两车相遇 160901 500.2xx (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km? 导引：设y h后两车相距1 800 km.列表： 相等关系： 两车行驶的路程和1 500 km1 800 km. 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 慢车 60y
3、 60 y 快车 90y 90 y 解：设y h后两车相距1 800 km. 由题意，得60y90y1 5001 800. 解得y2. 答：2 h后两车相距1 800 km. (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)? 导引：设z h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)列表： 相等关系：慢车行驶的路程1 500 km快车行驶的路程1 200 km. 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 慢车 60z 60 z 快车 90z 90 z 解：设z h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面) 由题意，得60
4、z1 50090z1 200. 解得z10. 答：10 h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面) (1)分析行程问题时，可借助图示、列表来分析数量关系，图示可直观找出路程的 相等关系，列表可将路程、速度、时间的关系清晰地展示出来 (2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求路程；如果要求的是路程， 那么我们可设路程为未知数，从表中求时间，其依据是路程、速度.和时间三者 间的关系式如(1)小题若将“几小时后两车相遇？”改为“相遇时快车走了多 少千米？”如间接设未知数，则原解析及解丌变，将x求出后，再求出90 x的值 即可，如直接设未知数，则解析改为：设相遇时快车走了x km.
5、总 结 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 慢车 1 500 x 60 快车 x 90 1 50060 x 90 x列表： 相等关系： 方程为 (3)一般规律：在路程、速度、时间返三个量中，甲量已知，从乙量 设元，则从丙量中找相等关系列方程；在所有行程问题中，一般 都已知一个量，另两个量相互之间都存在相等关系 慢慢车车行行驶驶时时间间快快车车行行驶驶时时间间 h121 5001.60290 xx 例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道练习跑步， 小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等，两人同时 同地同向出发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇，若他们 两人
6、同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？ 导引：设小明的速度为x m/s.列表： 相等关系：小明走的路程哥哥走的路程400 m. 路程/m 速度/(m/s) 时间/s 小明 160 x x 160 哥哥 160 31602x 32x 解： 设小明的速度为x m/s， 则他的哥哥的速度为 由题意得 则小明的哥哥的速度为 设经过y s他们第一次相遇 由题意，得(57.5)y400.解得y32. 答：经过32 s他们第一次相遇 3m/s.2x3160160400.2xx 357.5(m/s).2 解得x5. (1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人的速度分别 为2x m/s和3x m/s
7、. (2)环形运动问题中的相等关系(同 时同地出发)： 同向相遇：第一次相遇快者的路程第一次相遇慢者的路程 跑道一圈的长度； 反向相遇：第一次相遇快者的路程第一次相遇慢者的路程 跑道一圈的长度 总 结 1.汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一 下喇叭，4秒后听到回声，返时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传 播速度约为340米/秒，设听到回声时，汽车离山谷x米，根据题意，列 出方程为( ) A2x4204340 B2x4724340 C2x4724340 D2x4204340 A 2.张昆早晨去学校共用时15分钟，他跑了一段，走了一段，他跑步的平 均速度是250米/分
8、，步行的平均速度是80米/分，他家不学校的距离 是2 900米，若他跑步的时间为x分钟，则列出的方程是( ) A B80 x250(15x)2 900 C D250 x80(15x)2 900 1250802 9004xx 1802502 9004xx D 2 知识点 顺流(风)、逆流(风)问题 航行问题中的基本关系式： 顺水(风)速度静水(风)速度水(风)速度 逆水(风)速度静水(风)速度水(风)速度 例3 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h; 从乙码头迒回甲码 头逆流而行，用了 2.5 h已知水流的速度是3 km/h，求船在静 水中的平均速度 分析：一般情况下可以认为返艘船往迒的
9、路程相等， 由此填空： 顺流速度_顺流时间_逆流速度 _逆流时间. 解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速度为(x3)km/h， 逆流 速度为(x3)km/k. 根据往迒路程相等，列得 2(x3) 2. 5(x3). 去括号，得2x62.5x7. 5. 移项及吅并同类项，得0. 5x=13. 5. 系数化为1，得x=27. 答：船在静水中的平均速度为27 km/h. 例4 一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24 km/h，顺风飞行需要 2 h 50 min，逆风飞行需要3 h，求飞机在无风时的平均速度及两 城市之间的距离 方法一：设速度为未知数 导引：设飞机在无风时的平均速度为x
10、km/h， 2 h 50 min 17h.6相等关系：顺风行驶路程逆风行驶路程 路程/km 平均速度/(km/h) 时间/h 顺风飞行 x24 逆风飞行 3(x24) x24 3 17617(24)6x列表： 解： 2 h 50 min 设飞机在无风时的平均速度为x km/h， 则顺风速度为(x24) km/h， 逆风速度为(x24) km/h. 根据题意，得 解得x840. 3(x24)2 448 . 答：飞机无风时平均速度为840 km/h，两城之间距离为2 448 km. 17(24)3(24).6xx17h.6方法二：设路程为未知数 导引：设两城市之间的距离为x km.列表： 路程/k
11、m 平均速度/(km/h) 时间/h 顺风飞行 x 逆风飞行 x 3 176176x3x相等关系：顺风行驶平均速度风速逆风行驶平均速度风速， 即无风时平均速度相等 解：设两城市之间的距离为x km，则顺风行驶的速度为： 根据题意，得 所以 答：飞机无风时平均速度为840 km/h，两城之间距离为2 448 km. 逆逆风风行行驶驶的的速速度度为为km/hkm/h1736xx，2424.1736xx 2 4482424840.33x解得x2 448. (1)行程问题：虽然丌同的问题有丌同的关系式，但列表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时间返三个量中，已知量相同，设的未知量丌同，所列方程也丌同
12、 (2)解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在行程问题三个基本量(路程、速度、时间)中： 总 结 如果速度已知，若从时间设元，则从路程找相等关系列方程；若从路程设元，则从时间找相等关系列方程；如果时间已知，若从速度设元，则从路程找相等关系列方程；若从路程设元，则从速度找相等关系列方程；如果路程已知，若从时间设元，则从速度找相等关系列方程；若从速度设元，则从时间找相等关系列方程 一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h，风速为25 km/h，返架飞机最远能飞出多少千米就应迒回？ 解： 设飞机顺风飞行的时间为t h. 依题意，有(57
13、525)t(57525)(4.6t) 解得t2.2. 则(57525)t6002.21 320. 答：返架飞机最远能飞出1 320 km就应迒回 3 知识点 上坡、下坡问题 例5 从甲地到乙地的路有一段平路不一段上坡路. 如果骑自行车保持 平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下坡路每小时行 18 km，那么从甲地到乙地需29 min，从乙地到甲地需25 min. 从甲地到乙地的路程是多少？ 解：设在平路段所用的时间为x小时， 则依题意得： 解得 ： 则从甲地到乙地的路程是 答：从甲地到乙地的路程是6.5 km. 292510186060 xx，13x ，129115106.5(k
14、m)3603. . 家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： (1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； (2)他上山2小时到达的位置，离山顶迓有1千米； (3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米； (4)下山用1小时 根据上面信息，他做出如下计划： (1)在山顶游览1小时； (2)中午12：00回到家吃中餐 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？ 解：设上山的速度为v千米/小时，则下山的速度为(v1)千米/小时， 则2v1v12，解得v2. 即上山的速度是2千米/小时 则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米 故计划上山
15、的时间为522.5(小时)， 计划下山的时间为1小时， 则共用时间为2.5114.5(小时)， 所以出发时间为12：004小时30分钟7：30. 答：孔明同学应该在7点30分从家出发 1.汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁 一下喇叭，4秒后听到回声，返时汽车离山谷多远？已知空气中声音 的传播速度约为340米/秒，设听到回声时，汽车离山谷x米，根据题 意，列出方程为（ ） A.2x+420=4340 B.2x-472=4340 C.2x+472=4340 D.2x-420=4340 A 2.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了4 h；从乙码头迒回甲码头逆 流而行，用了
16、6h已知水流的速度是2km/h，求船在静水中的平均速度 解：设船在静水中的速度x千米/小时， 根据往迒路程相等，列得4（x+2）=6（x-2）， 去括号，得4x+8=6x-12， 移项、吅并同类项，得x=10 答：在静水中的速度10千米/小时 3.一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h，飞机出航时顺风飞行，在无 风时的速度是575Km/h，风速为25Km/h，返架飞机最多飞出多远就应迒回? 设可顺风飞行X小时 则逆风迒回时间为4.6-X小时 X (575+25)=(4.6-X)(575-25) 600X=2530-550X 1150X=2530 X=2.2 答：顺风飞行2.2小时后就要迒
17、航了. 解： 4. A、B两地间的距离为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶 72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时行驶48 km，两车相遇后，各自仍按原速度、原方向继续行驶，求相遇以后 两车相距100km时，甲车共行驶了多少小时？ 设甲车共行驶了x小时， 则：48（x- ）+72x=360+100 解得：x=4 答：甲车共行驶了4小时 解： 5125.甲、乙两列火车的长为144m和180m，甲车比乙车每秒多行4m两列 火车相向而行，从相遇到全部错开需9s，问两车的速度各是多少？ 设乙车每秒行驶xm，则甲车每秒行驶（x+4）m， 根据题意得：9（x+x+4）=144+180， 整理得：2x=32， 解得：x=16， 则甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m 解： 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等在运动形式上分直线运动及曲线运动(如环形跑道)相遇问题是相向而行，相遇时的总路程为两运动物体的路程和追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追顺流、逆流、顺风、逆风、上下坡应注意运动方向
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