1、13.3.1等腰三角形（二）等腰三角形的判定题型一：格点图中画等腰三角形【例题1】（2022陕西无八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A5B6C7D8变式训练【变式1-1】（2022河南安阳八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（）A7个B8个C9个D10个【变式1-2】（2022山东淄博七年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A，B是两个格点，如果点C也
2、是图形中的格点，且ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（）A3个B4个C5个D6个【变式1-3】（2022山东菏泽八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（）A个B个C个D个题型二：找出图中的等腰三角形【例题2】（2019内蒙古赤峰市八年级期中）如图，A=36，DBC=36，C=72图中的等腰三角形个数是（ ）A4个B3个C2个D1个变式训练【变式2-1】（2021湖北八年级期末）已知，如图，在ABC中，ABAC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BECD，连BD，CE（1）求证：DE；（2）若BAC
3、108，D36o，则图中共有 个等腰三角形【变式2-2】（2021吉林八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，1=2，DB=DC （1）求证：AB+BE=CD（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形【变式2-3】（2020南昌市心远中学八年级期中）在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有_个等腰三角形题型三：根据等角对等边证明等腰三角形【例题3】（2021广东深圳市龙岗区布吉街道可园学校八年级阶段练习）已知：如图，点D是ABC的BC边的中点，垂足分别为E、F，且DEDF求证：ABC是等腰三角形变式训练【变式3
4、-1】（2021云南红河八年级期末）如图，在中，点E在上，点D在上，、交于点F，且，试判断的形状，并说明理由【变式3-2】（2022河南南阳八年级期末）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=100，BD是ABC的平分线，BD=BE求证：(1)CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC【变式3-3】（2022浙江台州八年级期末）如图，D是RtABC斜边BC上的一点，连接AD，将ACD沿AD翻折得AFD，恰有AFBC，(1)若C35，BAF ；(2)试判断ABD的形状，并说明理由题型四：根据等角对等边求边长【例题4】（2019云南玉溪八年级期中）如图，AE=AD，ABC=ACB，BE=4，AD=
5、5，求AC的长度变式训练【变式4-1】（2022江苏八年级专题练习）如图，点，四点共线，且，（1）求证：；（2）若，求线段的长【变式4-2】（2020湖北恩施八年级阶段练习）如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点是灯塔，轮船在处测得灯塔在其北偏东42的方向上，轮船又从向北航行30海里到，测得灯塔在其北偏东84的方向上（1）求的度数：（2）轮船在处时，到灯塔的距离是多少？【变式4-3】（2021山东七年级期末）如图，在中，点，在上，（1）求证：（2）若，求的长【题型5】直线上与已知两点组成等腰三角形的点【例题5】（2021青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟）如图，直角坐标系中，点、，点P在x
6、轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点P共_个变式训练【变式5-1】（【新东方】初中数学1238初二上）如图，在中，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_个【变式5-2】（2021上海七年级期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形（1）在图中画出（2）已知，求【变式5-3】如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（ ）A1个B2个C3个D4个【题型6】作等腰三角形【例题6】（2021陕西九年级一模）如图，ABC中，ABAC，A36请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD
7、把ABC分成两个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）变式训练【变式6-1】（【新东方】初中数学20210625-003【初二上】）已知和线段（如图），用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，底边上的高线【变式6-2】如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）【变式6-3】（2021山东九年级一模）已知：如图，和线段h求作：等腰，使顶角，底边上的高为h【题型7】等腰三角形的性质与判定变式训练【变式7-1】（【新东方】初中数学1307【初二上】）在中，平分是上一点，交于F点，交的延长线于交的延长线于
8、点H（1）求证：是等腰三角形；（2）猜想与的大小有什么关系？证明你的猜想【变式7-2】（2021沈阳市第七中学八年级月考）如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC= 【变式7-3】（2019全国八年级专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.题型五：体验真题【真题1】（2022广东广州中考真题）如图，点D，E在ABC的边BC上，B = C，BD = CE，求证：ABDACE【真题2】（2021广西河池中考真题）如图，是的外角（1）尺规作图
9、：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若，求证：【真题3】（2020山东济宁中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42方向上，在海岛B的北偏西84方向上则海岛B到灯塔C的距离是（）A15海里B20海里C30海里D60海里13.3.1等腰三角形（二）等腰三角形的判定题型一：格点图中画等腰三角形【例题1】（2022陕西无八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A5B6C7D8【答案】D【分
10、析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰ABC底边；AB为等腰ABC其中的一条腰【详解】解：如图，C为格点，为等腰三角形，AB为等腰ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； AB为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个综上：这样的点C有8个，故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，分类讨论，数形结合的思想是解题的关键变式训练【变式1-1】（2022河南安阳八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为
11、（）A7个B8个C9个D10个【答案】D【分析】分两种情况：AB为等腰三角形的底边，连接AB，作AB的垂直平分线，得到的格点C有6个符合要求；AB为等腰三角形的一条腰，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，得到的格点C有4个；画出图形，即可得出结论【详解】解：如图所示：AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有6个；AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有4个所以符合条件的点C共有10个故选：D【点睛】此题考查了画等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，注意数形结合的解题思想【变式1-2】（2022山东淄博七年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A，B是两个格
12、点，如果点C也是图形中的格点，且ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（）A3个B4个C5个D6个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义即可求解【详解】解：如图所示：，故为等腰三角形，故为等腰三角形，故为等腰三角形，故为等腰三角形，故为等腰三角形，则一共有5个等腰三角形，故选：C【点睛】本题考查了作图与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题【变式1-3】（2022山东菏泽八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（）A个B个C个D个【答案】B【分析】根据网格结构，分别以A
13、、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个 故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解,数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想题型二：找出图中的等腰三角形【例题2】（2019内蒙古赤峰市八年级期中）如图，A=36，DBC=36，C=72图中的等腰三角形个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】先计算出BDC，再计算出ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断【详解】A=36，DBC=36，ABD为等腰三角形，BD
14、C=A+DBC=26+36=72，而C=72，BDC=C，BDC为等腰三角形，ABC=180-A-C=72，ABC=C，ABC为等腰三角形故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等变式训练【变式2-1】（2021湖北八年级期末）已知，如图，在ABC中，ABAC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BECD，连BD，CE（1）求证：DE；（2）若BAC108，D36o，则图中共有 个等腰三角形【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）证明EBCDCB（SAS），可得结论（2）根据等腰三角形的定义，判断即可【详解】（1）ABAC，ABCAC
15、B，在EBC和DCB中，EBCDCB（SAS），BECD（2）图中共有5个等腰三角形BAC108，ABAC，ABCACB36，DE36，DBCD，ECBE，DABEAC72，DBADAB72，EACECA72，DBDA，EAEC，ABD，AEC，BCD，BCE，ABC是等腰三角形故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找【变式2-2】（2021吉林八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，1=2，DB=DC （1）求证：AB+BE=CD（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形【答案】（1）见解析；（2）B
16、CD，BCE【分析】（1）由“ASA”可证ABDEDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得BD=CD，AD=EC=BC，可求解【详解】（1）证明：ABCD，ABD=EDC在ABD和EDC中，ABDEDC（ASA），AB=DE， DE+BE=BD，BD=CD，AB+BE=CD；（2）ABDEDC，AD=EC，AD=BC，BD=CD，AD=BC=EC，BCD是等腰三角形，BCE是等腰三角形【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键【变式2-3】（2020南昌市心远中学八年级期中）在下图中，将图1中的，沿翻折得到图
17、2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有_个等腰三角形【答案】3【分析】先标出图三交点的字母,然后根据对称的性质便可求解【详解】解：图三标上字母如图所示根据对称性，是等腰三角形的有：三个故答案为：3【点睛】本题考查等腰三角形的判断，以及对称平移变换，属于基础题题型三：根据等角对等边证明等腰三角形【例题3】（2021广东深圳市龙岗区布吉街道可园学校八年级阶段练习）已知：如图，点D是ABC的BC边的中点，垂足分别为E、F，且DEDF求证：ABC是等腰三角形【答案】见解析【分析】HL证明RtBDFRtCDE，可得BC，根据等角对等边即可得证【详解】证明：DEAC，DFAB，BFDCED90，
18、D是BC的中点，BDCD，在RtBDF与RtCDE中，RtBDFRtCDE（HL），BC，ABAC，ABC是等腰三角形【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键变式训练【变式3-1】（2021云南红河八年级期末）如图，在中，点E在上，点D在上，、交于点F，且，试判断的形状，并说明理由【答案】为等腰三角形，证明见解析【分析】先利用AAS证明，可得AB=CB，可得，再证明，从而可得答案【详解】解：为等腰三角形理由如下：在和中，（AAS），即，为等腰三角形【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，等腰三角形的判定，证明是解本题的关键【变式3-2】（20
19、22河南南阳八年级期末）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=100，BD是ABC的平分线，BD=BE求证：(1)CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AB=AC，A=100求出ABC=C=40，再由BD是ABC的平分线求出DBC=ABC=20，根据BD=BE求出BED=BDE=80，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得EDC=40，则EDC=C，从而证明ED=EC，即CED是等腰三角形；（2）在BE上截取BF=BA，连结DF，先证明FBDABD，则FD=AD，BFD=A=100，可证明EFD=FED=80，则AD=FD=ED
20、=EC，即可证明BD+AD=BE+EC=BC(1)AB=AC，A=100，ABC=C=（180-100）=40，BD是ABC的平分线，DBC=ABC=20，BD=BE，BED=BDE=（180-20）=80，EDC=BED-C=80-40=40，EDC=C，ED=EC，CED是等腰三角形(2)如图，在边上取点，使，在和中，【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键【变式3-3】（2022浙江台州八年级期末）如图，D是RtABC斜边BC上的一点，连接AD，将ACD沿AD翻折得AFD，恰有AFBC，(1)若C
21、35，BAF ；(2)试判断ABD的形状，并说明理由【答案】(1)35(2)ABD是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）由直角三角形的性质即可得出答案；（2）由折叠的性质得出CAD=FAD，证出ADB=BAD，由等腰三角形的判定可得出结论(1)解：BAC=90，CAF+BAF=90，AFBC，C+CAF=90，BAF=C=35；故答案为：35；(2)ABD是等腰三角形理由：由（1）可知C=BAF，将ACD沿AD翻折得AFD，CAD=FAD，ADB=C+CAD，DAB=DAF+BAF，ADB=BAD，AB=BD，ABD是等腰三角形【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，
22、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键题型四：根据等角对等边求边长【例题4】（2019云南玉溪八年级期中）如图，AE=AD，ABC=ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度【答案】9【分析】首先利用等角对等边得出，然后通过等量代换得出，然后利用求解即可【详解】， ， ， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是关键变式训练【变式4-1】（2022江苏八年级专题练习）如图，点，四点共线，且，（1）求证：；（2）若，求线段的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据AC=BD可得AD=BC，然后利用已知条件根据ASA即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得
23、ADE=BCF，再结合等角对等边可得，最后利用线段的和差即可求得EG的长度【详解】解：（1）证明：AC=BD，AC+CD=BD+CD，AD=BC，在ADE和BCF中，ADEBCF（ASA）；（2）ADEBCF，ADE=BCF，【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键【变式4-2】（2020湖北恩施八年级阶段练习）如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点是灯塔，轮船在处测得灯塔在其北偏东42的方向上，轮船又从向北航行30海里到，测得灯塔在其北偏东84的方向上（1）求的度数：（2）轮船在处时，到灯塔的距离
24、是多少？【答案】（1）；（2）轮船在处时，到灯塔的距离是30海里【分析】（1）根据方位角的概念和三角形的外角性质即可求解；（2）根据等腰三角形的等角对等边得到BC=AB即可求解【详解】解：（1）由题意知，（2），海里海里答：（1）；（2）轮船在处时，到灯塔的距离是30海里【点睛】本题考查了方位角的定义、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，理解方位角的定义，熟练掌握三角形的外角性质和等腰三角形的判定是解答的关键【变式4-3】（2021山东七年级期末）如图，在中，点，在上，（1）求证：（2）若，求的长【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得B=C，再由已知即可证明；（2
25、）由及，可得，从而可得AD=BD=2，再由（1）的结论可得AE的长度【详解】（1），（2），【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，关键是得出BD=AD【题型5】直线上与已知两点组成等腰三角形的点【例题5】（2021青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟）如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点P共_个【答案】4【分析】分AB=AP、BA=BP、PA=PB三种情况，画出图形即可得答案【详解】AB=AP：以A为圆心，AB长为半径画弧，与x轴有2个交点P1、P2，P1、P2，符号条件，BA=BP：以B为圆心，BA长为半径画弧，与x轴有2个交
26、点P3、点(2，0)，点(2，0)与AB不能构成三角形，P3符合条件，PA=PB：作线段AB的垂直平分线，与x轴有1个交点P4，P4A=P4B，P4符合条件，综上所述，符合条件的点共有4个故答案为：4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想，分别画出图形是解题关键变式训练【变式5-1】（【新东方】初中数学1238初二上）如图，在中，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_个【答案】8【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可【详解】解：如图，以A为圆心，AB为半径
27、画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB=AM）；以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM=BA）AB的垂直平分线交AC一点M7（MA=MB），交直线BC于点M8；符合条件的点有8个故答案为：8【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏【变式5-2】（2021上海七年级期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形（1）在图中画出（2）已知，求【答案】（1）见解析；（2）70或20【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意
28、有两种情形）（2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可【详解】解：（1）如图，ABC，ABC即可所求（2）在ABC中，CAB=40，AB=AC，ACB=ABC=（180-40）=70在ABC中，BAC=180-40=140，AB=AC，ACB=ABC=（180-140）=20综上所述，ACB=70或20【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型【变式5-3】（【新东方】初中数学1276-初二上）如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（ ）A1个
29、B2个C3个D4个【答案】D【分析】分别以A、B、C为顶角进行讨论即可求得答案【详解】解：ABC为等腰三角形，分三种情况：当以C为顶角时，则有BC=AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；当以A为顶角时，则有AC=AB，由两直线夹角为50，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；当以B为顶角时，则有AB=CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线n的上方，有两个点，综上可知满足条件的C点有4个，故选：D【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点C的位置是解题的关键，注意分类讨论【题型6】作等腰三角形【例题6】（2021陕西九年级一模）如图，ABC中，ABAC，A36
30、请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把ABC分成两个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作ABC的角平分线BD交AC于点D，线段BD即为所求作【详解】解：如图，线段BD即为所求作【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形掌握角平分线的定义以及尺规作角平分线是解答本题的关键变式训练【变式6-1】（【新东方】初中数学20210625-003【初二上】）已知和线段（如图），用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，底边上的高线【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质即可画图【详解】解：如图所示，ABC即为所求作的图形【点睛】本题考查了作图-复杂作图、等腰三角形的判定，解决本题的关键
31、是准确画图【变式6-2】（5.尺规作图（题型篇）如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）【答案】图见解析【分析】作线段的垂直平分线，交于点，连接即可得【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求，如图所示：【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键【变式6-3】（2021山东九年级一模）已知：如图，和线段h求作：等腰，使顶角，底边上的高为h【答案】见解析【分析】作；作平分线；截；过D作垂线与角的两边分别交于B、CABC就
32、是所求的等腰三角形【详解】解：如图，即为所求. 【点睛】本题主要考查了利用尺规作等腰三角形熟练掌握尺规作等腰三角形的方法是解答此题的关键【题型7】等腰三角形的性质与判定变式训练【变式7-1】（【新东方】初中数学1307【初二上】）在中，平分是上一点，交于F点，交的延长线于交的延长线于点H（1）求证：是等腰三角形；（2）猜想与的大小有什么关系？证明你的猜想【答案】（1）见解析；（2）AB=PC，证明见解析【分析】（1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证；（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然
33、后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，整理即可得解【详解】解：（1）证明：，平分，即是等腰三角形；（2）理由如下：证明：，在和中，平分，【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观【变式7-2】（2021沈阳市第七中学八年级月考）如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC= 【答案】（1）证明见解析；（2）75【分析】（1）根据等边对等角可得B=ACF，然后利用SA
34、S证明ABEACF即可；（2）根据ABEACF，可得CAF=BAE=30，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得ADC的度数.【详解】（1）AB=AC，B=ACF，在ABE和ACF中，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30，CAF=BAE=30，AD=AC，ADC=ACD，ADC=75，故答案为75【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.【变式7-3】（2019全国八年级专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.【答案】见解析【分析】延长FE，截取EH=EG，连接C
35、H，可证BEGCEH，即可求得F=FGA，即可求得CAD=BAD，即可解题【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，E是BC中点，BE=CE，BEG=CEH，在BEG和CEH中，BEGCEH（SAS），BGE=H，BGE=FGA=H，BG=CH，CF=BG，CH=CF，F=H=FGA，EFAD，F=CAD，BAD=FGA，CAD=BAD，AD平分BAC【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证BEGCEH是解题的关键题型五：体验真题【真题1】（2022广东广州中考真题）如图，点D，E在ABC的边BC上，B = C，BD = CE，求证：ABDACE
36、【答案】证明见解析【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论【详解】证明：B=C，AC=AB，在ABD和ACE中，AB=AC，B=C，BD=CE，ABDACE（SAS）【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键【真题2】（2021广西河池中考真题）如图，是的外角（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若，求证：【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）正确地利用尺规作出AE即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.【详解】解：（1）如图所示
37、，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；（2）AEBC，C=CAE，B=EAD，AE是CAD的角平分线，CAE=EAD，B=C，AB=AC.【点睛】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【真题3】（2020山东济宁中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42方向上，在海岛B的北偏西84方向上则海岛B到灯塔C的距离是（）A15海里B
38、20海里C30海里D60海里【答案】C【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出C=CAB=42，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可【详解】解：根据题意得：CBD=84，CAB=42，C=CBD-CAB=42=CAB，BC=AB，AB=15海里/时2时=30海里，BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出C=CAB，题目比较典型，难度不大满分冲刺能力提升，突破自我【拓展1】（2020全国七年级单元测试）如图，ABC中，AB=AC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F.(1)
39、图中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图,若ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）AEF、OEB、OFC、OBC、ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，EOB、FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC【分析】（1）由AB=AC，可得ABC=ACB；又已知OB、OC分别平分ABC、ACB；故EBO=
40、OBC=FCO=OCB；根据EFBC，可得：OEB=OBC=EBO，FOC=FCO=BCO；由此可得出的等腰三角形有：AEF、OEB、OFC、OBC、ABC；已知了EOB和FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC（2）由（1）的证明过程可知：在证OEB、OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：AEF、OEB、OFC、OBC、ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC理由如下：AB=AC
41、，ACB=ABC，ABC是等腰三角形；BO、CO分别平分ABC和ACB，ABO=OBC=ABC，OCB=ACO=ACB，EFBC，EOB=OBC，FOC=OCB，ABO=OBC=EOB=OCB=FOC=FCO，EOB、OBC、FOC都是等腰三角形，EFBC，AEF=ABC，AFE=ACB，AEF=AFE，AEF是等腰三角形，OB、OC平分ABC、ACB，ABO=OBC，ACO=OCB；EFBC，EOB=OBC=EBO，FOC=OCB=FCO； 即EO=EB，FO=FC；EF=EO+OF=BE+CF；（2）当ABAC时，EOB、FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立OB、OC平分ABC、ACB，ABO=OBC，ACO=OCB；EFBC，EOB=OBC=EBO，FOC=OCB=FC
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