1、专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念真题试练1（2022全国甲卷）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， “会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： 当 时， （） ABCD2（2018全国卷文）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2= ，则|a-b|=（）ABCD1基础梳理1角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形(2)分类(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互
2、为相反角角的相反角记为.(4)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan
3、 (x0)(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图考点一角及其表示【方法技巧】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置1(多选)下列命题正确的是()A终边落在x轴的非负半轴的角的集合为|2k，kZB终边落在y轴上的角的集合为|90k，kZC第三象限角的集合为D在7200范围内所有与45角终边相同的角为675和3152下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()
4、A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)考点二弧度制及其应用【方法技巧】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形3若扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，则弧长l等于()A. cm B. cmC4 cm D8 cm考点三三角函数的概念【方法技巧】(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置(2)判断三角函数值的符号，关键是确
5、定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况4若sin cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角5已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，则cos _，tan _.一、单选题1（2022朝阳模拟）已知角的终边经过点，则（）ABCD2（2022湖北模拟）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（）A4B8C10D163（2022湖南模拟）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（）ABCD4（202
6、2苏州模拟）已知扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为（）A3B2CD5（2022广东模拟）已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（）A-2B2CD6（2022房山模拟）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则()ABCD7（2022辽宁模拟）已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（）ABCD8（2022西安模拟）短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该
7、扇形的圆心角为（参考数据：取）（）ABC2D9（2022济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， 和 所在圆的圆心都在线段AB上，若 ， ，则 的长度为（） ABCD10（2022广东模拟）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记
8、点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（）（参考数值：）A20.10mB19.94mC19.63mD19.47m二、填空题11（2022永州模拟）已知角的终边经过点，则 .12（2022德州二模）已知角的终边过点 ，且 ，则tan= 13已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 .14（2022湖州模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有
9、一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方？”该问题的答案是 平方步.15（2022朝阳模拟）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，垂足为，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 .三、解答题16（2020高三上四川月考）已知角 的终边经过点 . （1）求 ， ； （2）求 的值. 17（2020高三上福州期中） （1）已知角 的终边上有一点 ，求 的值. （2）已知 ，求 的值. 18已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆
10、上一点 . （1）求 的值； （2）若角 满足 ，求 的值 19（2022上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切. （1）若ADE ，求EF的长；（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m）20（2019高三上吴中月考）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过
11、24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当 和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念真题试练1（2022全国甲卷）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， “会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： 当 时， （） ABCD【答案】B【解析】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OCAB，又CDAB，所以O，C，D三点共线，即OD=OA
12、=OB=2 ，又AOB=60 ，所以AB=OA=OB=2，则 ，故 ，所以 .故选：B.2（2018全国卷文）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2= ，则|a-b|=（）ABCD1【答案】B【解析】解： ， 又 ， ，又 ，故答案为：B.基础梳理1角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形(2)分类(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角角的相反角记为.(4)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定
13、义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图考点一角及其表示【方法技巧】(1)利用终边相同的角的集合可
14、以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置1(多选)下列命题正确的是()A终边落在x轴的非负半轴的角的集合为|2k，kZB终边落在y轴上的角的集合为|90k，kZC第三象限角的集合为D在7200范围内所有与45角终边相同的角为675和315【答案】AD【解析】B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为，故错误；D项，所有与45角终边相同的角可表示为45k360，kZ，令7204
15、5k3600(kZ)，解得k(kZ)，从而当k2时，675；当k1时，315，故正确2下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)【答案】C【解析】与的终边相同的角可以写成2k(kZ)或k36045(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确考点二弧度制及其应用【方法技巧】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形3若扇形的圆心角是
16、120，弦长AB12 cm，则弧长l等于()A. cm B. cmC4 cm D8 cm【答案】B【解析】设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4 cm，l|r4(cm)考点三三角函数的概念【方法技巧】(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况4若sin cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【答案】D【解析】由0，得0，所以
17、cos 0.又sin cos 0，所以sin 0，所以为第四象限角5已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，则cos _，tan _.【答案】【解析】由sin ，解得m，r2，当m时，cos ，tan ；当m时，cos ，tan .一、单选题1（2022朝阳模拟）已知角的终边经过点，则（）ABCD【答案】A【解析】由题设，而.故答案为：A2（2022湖北模拟）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（）A4B8C10D16【答案】A【解析】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，则母线.故答案为：A.3（2022湖南模拟）已知圆锥
18、的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（）ABCD【答案】C【解析】由题设，底面周长，而母线长为，根据扇形周长公式知：圆心角.故答案为：C.4（2022苏州模拟）已知扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为（）A3B2CD【答案】A【解析】由扇形面积公式可得这个扇形的面积为 故答案为：A5（2022广东模拟）已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（）A-2B2CD【答案】A【解析】因为为角终边上一点，所以，当时，所以.故答案为：A.6（2022房山模拟）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则()ABCD【答案】D【解析】是第一象限角， 角的终边关于y轴对称，故
19、答案为：D7（2022辽宁模拟）已知圆台形的木桶的上、下底面的半径分别为4和2，木桶的高为，则该木桶的侧面展开成的扇环所对的圆心角为（）ABCD【答案】A【解析】如图，将圆台补成圆锥 CO，则，所以 ， ，由圆锥的结构特征可知 ，所以该木桶的侧面展开成的扇环的外圆的周长为 ，而扇形所对外圆弧的长为 ，所以侧面展开成的扇环所对的圆心角为 。故答案为：A8（2022西安模拟）短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据
20、：取）（）ABC2D【答案】C【解析】由题意得跑道内圈的周长为，所以该扇形的圆心角为故答案为：C9（2022济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2， 和 所在圆的圆心都在线段AB上，若 ， ，则 的长度为（） ABCD【答案】A【解析】过 作 ， 设圆弧AC的圆心为O，半径为 ，则 ，在 中， ，所以 ， ，所以在直角三角形 中， ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ，所以 .故答案为：A.10（2022广东模拟）为解决皮尺长度不够的问题，实验
21、小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（）（参考数值：）A20.10mB19.94mC19.63mD19.47m【答案】D【解析】解：由题意，前轮转动了圈，所以A，B两点之间的距离约为，故答案为：D.二、填空题11（2022永州模拟）已知角的终
22、边经过点，则 .【答案】（或者-0.5）【解析】已知角的终边经过点，则根据三角函数的定义可得：，根据余弦的二倍角公式可得：。故答案为：（或者-0.5）。12（2022德州二模）已知角的终边过点 ，且 ，则tan= 【答案】【解析】 角的终边过点 ， 即 点 在第四象限， 解得： （舍去）或 .故答案为： .13已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为 .【答案】1【解析】因为圆锥的母线长为3，所以侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为，所以有 ，故答案为：114（2022湖州模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛
23、田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方？”该问题的答案是 平方步.【答案】120【解析】 解：由题意得，扇形的弧长为30，半径为8,所以扇形的面积为： ,故答案为：120.15（2022朝阳模拟）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，垂足为，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 .【答案】米；平方米.【解析】在中，AP=60米， （米），在中，可得，由题可知，的面积为：，又，当，即时，的面积有最大值
24、平方米，即三角形绿地的最大面积是平方米.故答案为：米；平方米.三、解答题16（2020高三上四川月考）已知角 的终边经过点 . （1）求 ， ； （2）求 的值. 【答案】（1）解：由题意可得： ， 由角的终边上的点的性质可得 ， （2）解：由（1）可知 ， ，再结合诱导公式得： ，所以 【解析】（1）先求出 ，再由三角函数定义可得 ， ；（2）由（1）可知 ， ，再结合诱导公式求得 .17（2020高三上福州期中） （1）已知角 的终边上有一点 ，求 的值. （2）已知 ，求 的值. 【答案】（1）解：原式 因为知角 的终边上有一点 ，根据任意角三角函数的定义可知： ，故原式 .（2）解：由
25、 ，可得 ， ，又 .【解析】（1）根据题意先确定角 的三角函数值，然后利用诱导公式将原式化简，然后求值；（2）将 化为 ，根据题目条件可求得 ，再利用 可求得 ，然后求解 的值.18已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点 . （1）求 的值； （2）若角 满足 ，求 的值 【答案】（1）解：根据三角函数的定义可知 ，所以 . （2）解：由于 ，所以 . 当 时， .当 时， .【解析】（1）根据三角函数的定义求得 的值，利用诱导公式求得 的值.（2）先求得 的值，由此求得 的值.19（2022上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，
26、以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切. （1）若ADE ，求EF的长；（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m）【答案】（1）如图，作DHEF,则EF=EH+HF=15tan20+15tan5023.3m；（2）设ADE=，AE=15tan,FH=15tan(90-2)， 则 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，最大面积为【解析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.20（
27、2019高三上吴中月考）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当 和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 【答案】（1）解：由题意，弧长 为 ，扇形面积为 ， 由题意 40012r2+1000(2r+r)24104 ，即 ，即 ，所以 ，所以 ， ，则 ，所以当 时，面积 的最大值为400.（2）解：即 ， 代入可得 (105-2r)r+510512002r2-105r+6750r152 或 ，又 ，当 与 不符， 在 上单调，当 时， 最大 平方米，此时 .【解析】（1）步道长为扇形周长 ，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式 40012r2+1000(2r+r)24104 ，利用基本不等式将不等式转化为关于 的一元不等式，解得 的范围，确定最大值为400.（2）由条件得 ，消 得 ，由 及 40012r2+1000(2r+r)24104 ，解出 ，根据二次函数最值取法得到当 时， 最大 学科网（北京）股份有限公司
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