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    2022届山东省高考数学模拟题分类汇编解析:数列

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    2022届山东省高考数学模拟题分类汇编解析:数列

    1、专题六 数列一、单项选择题1.(威海5月模拟3)3. 等差数列的前n项和为,若,则公差( )A. 1B. C. 2D. 2.(淄博二模3)已知an为等比数列,Sn为其前n项和若2S3a2+a3+a4,则公比q()ABC1D23.(菏泽二模7)已知数列中,且对任意的m,都有,则下列选项正确的是( )A. 的值随n的变化而变化B. C. 若,则D. 为递增数列4.(泰安三模7)已知数列满足:对任意的m,都有,且,则( )A. B. C. D. 5.(日照三模7)在公差不为0的等差数列中,成公比为3的等比数列,则( )A. 14B. 34C. 41D. 866.(济南二模8)已知数列,其中每一项的分

    2、子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数;接下来两项是分子与分母之和为3的有理数,并且从大到小排列;再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数,并且从大到小排列,依次类推.此数列第n项记为,则满足且的n的最小值为( )A. 47B. 48C. 57D. 587.(日照二模8)8. 设.若 ,则数列 .A. 递增B. 奇数项增,偶数项减C. 递减D. 偶数项增,奇数项减二、多项选择题8.(潍坊三模9)已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,则下列结论正确的是( )A. 数列为等差数列B. 对任意正整数,C. 数列一定是等差数列D. 数列一定是等比数列9.(烟台适应性练习一、枣庄

    3、三模12)给出构造数列一种方法:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现自1,1起进行构造,第1次得到数列1,2,1,第2次得到数列1,3,2,3,1,第次得到数列,记,数列的前n项和为,则( )A. B. C. D. 10.(烟台适应性练习二11)将正整数12分解成两个正整数的乘积有,三种,其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称为12的最佳分解当,是正整数的最佳分解时,定义,例如,则对于数列,以下结论正确的是ABC其前20项和为D其前20项和为11.(日照二模12)已知数列满足,则下列说法正确的有( )A. B. C. 若,则

    4、D. 12.(济宁三模12)已知正项数列的前项和为,若,数列的前项和为,则下列结论正确的是( )A. 是等差数列B. C. D. 满足的的最小正整数解为13.(潍坊二模12)已知数列,有,则A若存在,则B若,则存在大于2的正整数n,使得C若,且,则D若,则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列14.(淄博二模12)记x表示与实数x最接近的整数,数列an通项公式为an(nN*)其前n项和为Sn.设k,则下列结论正确的是()ABCnk2k+1DS202188三、填空题15.(泰安二模13)已知数列是公差大于0的等差数列,且,成等比数列,则_16.(德州三模14)设是等差数列的前项和,若,则_.1

    5、7.(青岛二模15)将等差数列中的项排成如下数阵,已知该数阵第行共有个数,若,且该数阵中第5行第6列的数为42,则18.(聊城三模15)某牧场2022年年初牛的存栏数为1200,计划以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出100头牛,按照该计划预计_年初的存栏量首次超过8900头.(参考数据:,) 19.(滨州二模16)某资料室在计算机使用中,出现如表所示的以一定规则排列的编码,表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的,此表中,主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,的通项公式为_,编码99共出现_次11111112345613579111471013161591317211

    6、61116212620.(聊城二模16)已知数列,当时,则数列的前项的和为_21.(济宁二模16)已知数列满足:,其中若,则使得成立的最小正整数为 四、解答题22.(枣庄二调17)已知是等比数列的前项和(1)求及;(2)设,求的前项和23.(潍坊三模17)在数列为等差数列,且,正项数列满足这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答问题:已知数列的前项和为,且_?(1)求数列通项公式;(2)若数列的前项和为,求注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分24.(淄博二模17)在S550,S1,S2,S4成等比数列,S63(a6+2)这三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答本题问题

    7、:已知等差数列an的公差为d(d0),前n项和为Sn,且满足 _(1)求an;(2)若bnbn12an(n2),且b1a11,求数列的前n项和Tn25.(日照二模17)已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.求的通项公式;从中依次取出第项,第项,第项,, 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项?并说明理由.26.(烟台适应性练习二18)已知数列的前项和为,满足,是以为首项且公差不为0的等差数列,成等比数列(1)求数列, 的通项公式;(2)令,求数列的前项和27.(临沂二模17)已知数列的前n项和为,(1)求的通项公式;(2)记,求数列的前n项和28.(烟台适应性练习一、

    8、枣庄三模17)已知正项数列的前项和为,且、成等比数列,其中(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和29.(泰安三模18)已知数列的前n项和为,且满足(1)求数列的通项公式;(2)能否在数列中找到这样的三项,它们按原来的顺序构成等差数列?请说明理由30.(泰安二模18)已知数列单调递增,其前n项和为,且,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和为31.(德州二模17)已知数列的首项,且满足(1)证明是等比数列,并求数列的通项公式;(2)记,求的前n项和32.(山东省实验中学5月模拟17)设数列的前项和为,数列满足,点在直线上,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和

    9、.33.(聊城二模17)已知数列的前项和为,且()(1)求数列的通项公式:(2)若数列满足,求数列的前项和34.(菏泽二模19)已知数列中,它的前n项和满足(1)证明:数列为等比数列;(2)求35.(威海5月模拟17)已知等比数列的各项均为正值,是、的等差中项,记(1)求数列和的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:36.(济南三模18)已知数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,求证:37.(临沂三模18)已知数列的前n项和分别是,若(1)求的通项公式;(2)定义,记,求数列的前n项和38.(济宁三模18)已知等差数列前项和为,且,数列满足.(1)求数列和的通项公式;(

    10、2)记,求数列的前项和.39.(德州三模18)已知数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式和前项和;(2)设,数列的前项和记为,证明:.40.(潍坊二模19)已知正项数列的前项和为,且,数列满足(1)求数列的前项和,并证明是等差数列;(2)设,求数列的前项和41.(日照三模20)已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列,是数列的前n项和,(1)若,求;(2)已知,且对任意恒成立,求数列的前n项和42.(济宁二模20)已知数列满足,(1)设,证明:数列为等差数列;(2)求数列的前项和43.(聊城三模18)设数列的前n项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前1

    11、5项的和.44.(滨州二模19)已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中,(1)求数列和的通项公式;(2)令,抽去数列的第3项、第6项、第9项、第3n项、余下的项的顺序不变,构成一个新数列,求数列的前n项和45.(青岛二模18)已知等比数列为递增数列,是与的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)若项数为的数列满足:,2,3,我们称其为项的“对称数列”例如:数列1,2,2,1为4项的“对称数列”;数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”设数列为项的“对称数列”,其中,是公差为2的等差数列,数列的最大项等于记数列的前项和为,若,求46.(济南二模20)已知是递增的等差数列,分别为等比数列的前三项

    12、.(1)求数列和的通项公式;(2)删去数列中的第项(其中 ),将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前n项和.参考答案专题六 数列一、单项选择题1.【答案】B【解析】由题可知故选:B2.【答案】D【解析】因为an为等比数列,2S32(a1+a2+a3)a2+a3+a4,所以2a1+a2+a3a4,即2a1+qa1+q2a1q3a1,因为a10,所以q3q2q20,即(q2)(q2+q+1)0,所以q2故选:D3.【答案】D【解析】因为对任意的m,都有,所以令,得,故A不正确;所以,所以,所以B不正确;若,则,故C不正确;,所以为递增数列,故D正确.故选:D.4.【答案】C【解析】因为对

    13、任意的m,都有,所以,又,所以,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,所以,故选:C.5.【答案】C【解析】因为成公比为3的等比数列,可得,所以 又因为数列为等差数列,所以公差,所以,所以,解得. 故选:C.6.【答案】C【解析】将数列分组为(),(,),(,),(,),设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上,则 ,此时数列共有项数为 ,即得,解得 由于 ,而,故 ,又,故符合条件的m,的最小值为11,则满足且的n的最小值为 ,故选:C7.【答案】B【解析】(1) , ,因为,则 ,.(2),.而,则 .于是, ,依次类推得 .(3),则. 依此类推得.故数列奇数项增,偶数项减.

    14、 故答案为B二、多项选择题8.【答案】ABC【解析】设等差数列的公差为,则,所以,.对于A选项,所以,为等差数列,A对;对于B选项,对任意的,由等比中项的性质可得,由基本不等式可得,B对;对于C选项,令,所以,故数列一定是等差数列,C对;对于D选项,设等比数列的公比为,当时,此时,数列不是等比数列,D错.故选:ABC.9.【答案】CD【解析】由题意得:,所以有,因此选项AB不正确;,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,因此有,因此选项C正确;,所以选项D正确。故选:CD10.【答案】BD【解析】根据题意,;当为奇数时,当为偶数时,;,故错误;,故正确;其前20项中奇数项和为:,其前20项中奇

    15、数项和为:,其前20项和为:,故错误,正确故选:11.【答案】BCD【解析】,则,又,所以,A不正确.令函数,则,则在上单调递减,在上单调递增,即,又易得是递增数列,故,所以,B正确.易知是递增数列,所以,则,则,即,所以,即,所以,所以,而当时,则有,C正确.令函数,则,所以在上单调递减,所以当时,则,所以,所以,D正确. 故选:BCD.12.【答案】ACD【解析】因为,当时,解得,当时,即,整理得,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以,又正项数列的前项和为,所以,故A正确;当时,解得,当时,即,又,所以,因为,所以,即,故B不正确;因为,即,令,所以原不等式为:,即,令,所以,当时,恒

    16、成立,所以在单调递增,所以,所以成立,故C正确;因为,所以,所以,所以,因为,即,化简整理得:,当时,当时,所以满足的的最小正整数解为,故D正确. 故选:ACD.13.【答案】A,C,D【解析】因为,an+1=an-bn,bn+1=bn-an,nN*,所以,an+1+bn+1=0,即an+1=-bn+1,所以,n2(nN*),必有an=-bn,得到an+1=2an;对于A,若存在m1,取m=2,有a2=b2,则a2=-b2=b2=0,所以,必有b2=b1+1=b1-a1=0,则有a1=b1,同理,若m2,由am=bm可得am-1=bm-1,am-2=bm-2a2=b2,a1=b1A符合题意;对

    17、于B,若a1b1,则a2=a1-b10,b20,又因为n2(nN*),必有an=-bn,得到an+1=2an,所以当n2时,因为a20,必有an0,B不符合题意;对于C,若a1=a,a2=b,且ab,则bn=an-an+1,则b1=a1-a2=a-b,又bn+1=-an+1,所以,bn+1-bn=-an,根据递推公式,可得bn-bn-1=-an-1,b2-b1=-a1;利用累加法,bn-b1=-(a1+a2+an-1),整理得,bn=b1-(a1+a2+an-1)=b1-(a1+a2)-(a3+an-1)=-a2-(a2+a3+an-1)又因为n2(nN*),必有an=-bn,得到an+1=2

    18、an,所以,bn=-b-b(1+2+22+2n-3)=-b-b1-2n-21-2=-b-b(2n-2-1)=-b2n-2,所以,b2022=-b22020,所以,C符合题意;对于D,若a1=-1,a2=-3,n2(nN*),得到an+1=2an,所以,a3=2a2=-6,则关于x的方程2a3+(2a3+1)cosx+2cos2x+cos3x=0可以化为,-12+(-11)cosx+2cos2x+cos3x=0,化简得,2cos2x-7=7cosx-2cos3x,设t=cosx,可得2t2-7=7t-2t3,化简得,(t+1)(2t2-7)=0,所以,t=-1或t2=72(舍去),cosx=-1

    19、,得x=2k+,写成数列形式,即所有实数根可构成一个等差数列,其通项公式为:xk=2k+,D符合题意;故答案为:ACD14.【答案】BC【解析】由题意设k,当n1时,1,1,故A错误;由|,即|k|,解得k,可得k+,故B正确;由k,可得kk+,两边平方可得k2k+nk2+k+,因为n为自然数,且k2k+不是整数,其中k2k+1是k2k+右侧的最接近的整数,所以nk2k+1成立,故C正确;当n1,2时,1,此时a1a21;当n3,4,5,6时,2,此时,a3a4a5a6;当n7,8,9,10,11,12时,3,此时,a7a8.a12;n13,14,.,20时,4,此时,a13a14.a20;.

    20、,归纳可得,an中,有2个1,4个,6个,8个,.,又由2,4,6,8,.,构成首项为2,公差为2的等差数列,可得Sn(2+2n)n2+n,令n2+n2021,解得n的最大值为44,则S202112+4+6+8+.+44+4144+,故D错误故选:BC三、填空题15.【答案】20【解析】设公差为,则,即,化简得,解得或,又,故,则. 故答案为:20.16.【答案】7【解析】设等差数列的公差为d, , , , ,故答案为:7.17.【答案】【解析】由图可知第5行第6列数为所以故答案为:18.【答案】2036【解析】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为,其中,由题意得,并且, 设,则,则

    21、0.2x100,则x500,即数列是首项为,公比为1.2的等比数列,则,则,令,则,即,即,所以,因此.2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900,故答案为:203619.【答案】 . . 6【解析】设主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,为,因为,将以上个式子相加,可得;由编码观察可得,第行是首项为1,公差为的等差数列,则第行的第个数为,令,则,所以,或,或,或,或,或,所以99共出现6次故答案为:;6.20.【答案】【解析】当时,共项,当时,共项,当时,共项,当时,共项,又因为,所以,数列的前项的和为,记,则,上述两个等式作差可得,所以,因此,数列的前项的和为.故答案

    22、为:.21.【答案】121【解析】因为,所以,因为,所以,即,所以是以1为首项,以1为公差的等差数列,所以,则,所以,则,因为,所以,解得,所以使得成立的最小正整数为121,故答案为:121四、解答题22.【解析】(1)当时,当时,由题意得,故,(2),则,得23.【解析】(1)若选,因为为等差数列,令,则,所以公差,所以等差数列的通项公式为若选,当时,因此,即,所以为常数列,因此,所以若选,当时,即,又因为,所以.当时,有,所以,即.又因为,所以,所以为公差是2的等差数列,所以(2)若选,由(1)可知,若选,由(1)可知,若选,由(1)可知,24.【解析】(1)S5505a1+10d50a1

    23、+2d10,S1,S2,S4成等比数列S22S1S4(2a1+d)2a1(4a1+6d)d2a1,S63(a6+2)6a1+15d3(a1+5d+2),选,解得a12,d4,an2+4(n1)4n2;选,解得a12,d4,an2+4(n1)4n2;选,解得a12,d4,an2+4(n1)4n2;(2)由b1a11,a12,可得b13,由bnbn12an8n4,n2,可得bnb1+(b2b1)+(b3b2)+.+(bnbn1)3+12+20+28+.+(8n4)n(4+8n4)14n21,上式对n1也成立,所以(),则Tn(1+.+)(1)25.【解析】设等差数列的公差为,根据等差中项的性质可得

    24、与的等差中项为,所以,又因为,即.所以,因为公差为正数,所以.则,则.的通项公式.结合可知,.令,即,符合题意,即.所以是数列中的项.26.【解析】(1)当时,则,当时,由,得,两式相减得,即,所以是以为首项,为公比的等不数列,所以;设等比数列的公差为,则,又,成等比数列,得,所以,解得,所以;(2)由(1)可知,所以,则,两式相减得,所以27.【解析】(1)由得,.又,整理得.数列是首项为1,公比为2的等比数列,数列的通项公式为:.(2)由(1)得,.,即,两式相减,得,.28.【解析】(1)对任意的,由题意可得.当时,则,解得,当时,由可得,上述两个等式作差得,即,因为,所以,所以,数列为

    25、等差数列,且首项为,公差为,则.(2),则,因此,.29.【解析】(1),n1时,;当时,所以,即()数列是以2为首项,3为公比的等比数列,(2)若,有,成等差数列,则即,整理得,又k,m,且,所以,与矛盾,所以数列中找不到三项,它们按原来的顺序构成等差数列30.【解析】(1)因为,所以当时,所以当时,整理得,因为数列单调递增,且,所以当时,所以当时,即所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列所以(2),所以设,则,所以所以所以31.【解析】(1)由题意得,所以,即是等比数列,则的首项为,公比为3,所以,所以(2)由(1)得:,所以,得,所以.32.【解析】(1)由可得,两式相减得,.又,所以

    26、.故是首项为1,公比为3的等比数列.所以.由点在直线上,所以.则数列是首项为1,公差为2的等差数列.则.(2)因为,所以.则,两式相减得:33.【解析】(1)当时,当时,又,数列为首项为1,公比为3的等比数列,;(2)由及,可得,.34.【解析】(1)由,得,由,得,得,又当时,由得,所以对任意的,都有,故是以为首项,为公比的等比数列(2)由(1)知,所以,代入,得,所以35.【解析】(1)设数列的公比为,则,由题意知,可得,解得,所以,(2)证明:因为,所以36.【解析】(1)因,所以;又因为,则,所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以,则;(2)因为,所以得证37.【解析】(1)由,可得

    27、所以是以为首项,以为公比的等比数列所以,即又,所以所以满足上式,所以(2)由当时,;当时,所以,所以当时,当时,综上,38.【解析】(1)解:设等差数列的公差为,则,解得,所以,当时,当时,可得,上述两个等式作差可得,也满足,故对任意的,.(2)解:由(1)可得,设,所以,所以,数列是等比数列,且首项为,公比为,因此,数列的前项和为.39.【解析】(1)由,得两式相减可得,因为,得数列为3,3,3,3,即,当为偶数时,;当为奇数时,;(2)由则有所以,40.【解析】(1)解:an2+2an=4Sn,an0,当n=1时,a12+2a1=4a1,a1=2或a1=0(舍),当n2时,an-12+2a

    28、n-1=4Sn-1,:an2-an-12+2an-2an-1=4an,(an-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1),an0,an-an-1=2(n2),an是以2为首项,2为公差的等差数列,an=2n,bn=(-2)n,数列bn是首项为2,公比为2的等比数列,Bn=-21-(-2)n1-(-2)=-23+(-1)n2n+13Bn+2+Bn+1=-43+(-1)n+22n+33+(-1)n+12n+23=-43+(-1)n+12n+2(-2+1)3=-43+2(-1)n2n+13=2Bn,Bn+1,Bn,Bn+2成等差数列(2)解:cn=(-1)n2n+(-2)n=(-2)n+2(

    29、-1)nn,当n为偶数时,Tn=(-2)1+(-2)2+(-2)n+2-1+2-3+4+-(n-1)+n=-21-(-2)n1-(-2)+2(-1+2)+(-3+4)+(-n+1+n)=-2+2n+13+2n2=2n+13+n-23当n为奇数时,Tn=(-2)1+(-2)2+(-2)n+2-1+2-3+4+(n-1)-n=-21-(-2)n1-(-2)+2-1+(2-3)+(4-5)+(n-1-n)=-2-(-2)n+13+2-1+(-1)n-12=-2-2n+13-n-1=-2n+13-n-53综上可知Tn=2n+13+n-23,n为偶数-2n+13-n-53,n为奇数41.【解析】(1)由

    30、题意得,当n为奇数时,当n为偶数时,由,得,解得,所以(2)当n为偶数时,由恒成立,得,即恒成立,所以且d11,当n为奇数时,由,恒成立,得,即恒成立,所以,因此,又由,得,即,解得,所以,即数列是等差数列,所以42.【解析】证明:(1)由题意,当时,所以,则是以1为公差,为首项的等差数列;解:(2)由题设,由(1)知:,则,其中,即,所以,两式相减得,所以,综上,43.【解析】(1)由得,当n=1时,解得.当n2时,从而,即,因此数列是等比数列,其首项和公比都等于2,所以.(2)当n为奇数时,当n为偶数时,所以数列的前15项和为.44.【解析】(1)由题意,整理得,解得或,因为公比,所以,则,所以,;(2)由(1)可得,当时,当时,综上,.45.【解析】(1)设等比数列的公比为,则,因为是与的等差中项,所以,所以,解得或(舍,所以(2)由题意知,所以,是以8为末项,2为公差的等差数列,由,得,所以,因为,所以,即,解得或546.【解析】(1)设数列的公差为,数列的公比为q,由已知得,解得, ,所以;所以,所以.(2)由题意可知新数列为:,则当n为偶数时,则当n为奇数时,,综上: .


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