1、2022年北京市石景山区高一下期末数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知正方体的棱长为，其八个顶点都在一个球面上，则这个球的半径是（ ）A. B. C. D. 4. 在中，点为中点，记，则（ ）A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（ ）A. 是奇函数，最小正周期为B. 是偶函数，最小正周期为C. 是奇函数，最小正周期为D. 是偶函数，最小正周期为6. 在锐角中，则下列等式中成立的是（
2、）A B. C. D. 7 设向量，如果，那么（ ）A. B. C. D. 8. 设是两条不同直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且9. 记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人
3、进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米二填空题共5小题，每小题4分，共20分.11 计算_.12. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为_.13. 如果，那么_.14. 已知向量满足，则_.15. 在正方体中，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论：；三棱锥的体积不变；平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.其中，所有正确结论的序号为_.三解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 在中，.（1）如果，求的值；（2）如果锐角的面积为，求的长度.17.
4、 已知函数.（1）请用五点法做出一个周期内的图像；（2）若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.18. 如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：三棱柱为直三棱柱.19. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.20. 在中，为内部（包含边界）的动点，且.（1）求；（2）求取值范围.2022年北京市石景山区高一下期末数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在平面直角坐标系中，
5、角以为始边，它的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数定义即可求出.【详解】根据正弦函数的定义可得.故选：D.2. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案.【详解】因为，所以，解得.故选：D.3. 已知正方体的棱长为，其八个顶点都在一个球面上，则这个球的半径是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据外接球的直径为正方体的体对角线可求.【详解】由题可得外接球的直径为正方体的体对角线，设半径为，所以，所以.故选：B.4. 在中，点为中点，记，则（ ）A. B. C.
6、D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量线性运算的几何表示即得.【详解】因为点为中点，所以.故选：C.5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（ ）A. 奇函数，最小正周期为B. 是偶函数，最小正周期为C. 是奇函数，最小正周期为D. 是偶函数，最小正周期为【答案】A【解析】【分析】根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.【详解】向左平移个单位后得，所以为奇函数，最小正周期为.故选：A6. 在锐角中，则下列等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】A.根据正弦定理直接判断；B.根据余弦定理直接判断；C.根据正弦定理和二倍角公式直接判断；D.由
7、正弦定理边角互化直接判断.【详解】解：对于A.由正弦定理可得，所以必成立，故A正确；对于B.由余弦定理可知，所以，所以不正确；对于C.由正弦定理可知，若满足，即 ,即，则，所以只有时，才成立，所以不正确；对于D.根据正弦定理（其中R为的外接圆的半径），则，故不正确.故选：A.7. 设向量，如果，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为，再将，分别用坐标表示出来，最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以故选：C8. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，
8、一定能推出的是（ ）A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【答案】B【解析】【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可【详解】对于A：，且，则，故A错误；对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确；对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误；对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误；故选：B9. 记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的最小值，从而得的最大值；【详解】因为所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得
9、，因为，所以当时，所以的最大值为，故选：B10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为，进而甲乙在摩天轮上游玩的
10、过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可【详解】因为角速度为，所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为，由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，因为，所以，所以，所以，所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，故选：C二填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 计算_.【答案】#【解析】【分析】逆用正弦的和角公式进行计算.【详解】故答案为：12. 函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据正切函数的单调性求出的取值范围，再写出一个正确答案即可.【详解】解：因为正切函数的单调递增区间为，又函数
11、在区间上为增函数，所以.故答案为：（答案不唯一）13. 如果，那么_.【答案】1【解析】分析】根据题意，分式分子分母同除以由已知化弦为切求解【详解】由，得故答案为：114. 已知向量满足，则_.【答案】#【解析】【分析】由平方结合数量积的定义即可求出.【详解】因为，所以，所以，因为，所以.故答案为：.15. 在正方体中，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论：；三棱锥的体积不变；平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.其中，所有正确结论的序号为_.【答案】【解析】【分析】对于，连接，由线面垂直的性质和判定可证得平面，由此可判断；对于，由，点F到平面ABC距离是正方体的棱长的一
12、半，是定值可判断；对于，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，则四边形就是面截正方体所得的截面图形，由此可判断；【详解】解：对于，连接，因为平面，所以，又，所以平面，所以，同理可证，又，所以平面，故平面，所以，故正确；对于，因为，而为线段的中点，所以点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是个定值，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故正确；对于，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，则四边形就是面截正方体所得的截面图形，而平面，又平面，所以，又，所以，又，所以四边形一定是矩形.同理可得延长BE交AD于点G时的情形如下图所示，仍得四边形一定是矩形.故正确；所以正确的命题为：，故
13、答案为：. 三解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 在中，.（1）如果，求的值；（2）如果锐角的面积为，求的长度.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理可得【小问1详解】由正弦定理，可得.因为，所以，所以，所以.【小问2详解】由题意知，可得.在锐角中，.由余弦定理，.所以.17. 已知函数.（1）请用五点法做出一个周期内的图像；（2）若函数在区间上有两个零点，请写出的取值范围，无需说明理由.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据五点法列表描点连线即可求解；（2）结合图象求解直
14、接写出结果即可【小问1详解】列表00100【小问2详解】的取值范围是.18. 如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：三棱柱为直三棱柱.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点为，连接，由三角形中位线的性质，平行的传递性，线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理证明平面即可得证小问1详解】取中点为，连接.在中，因为点为的中点，所以，且.在三棱柱中，且，又因为点为的中点，所以.所以，且.所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面平面，所以平面.【小问2详解】因为侧面和是矩形，所以.又因为，平面，平面，所以平面.所以
15、三棱柱为直三棱柱.19. 如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为棱的中点【解析】【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直即可.（2）先假设存在.连接BD，由中位线证得线线平行，故而得到线面平行.【小问1详解】因为平面底面，平面底面，平面，所以平面.又因为平面，所以.【小问2详解】解：存在，点为棱的中点.连接，交于点，连接，如图所示：因为底面为平行四边形，所以点为的中点.在中，因为点分别为的中点.所以，且.又因为平面平面，所以平面.20. 在中，为内部（包含边界）的动点，且.（1）求；（2）求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求得，再由平方即可求出；（2）以A为原点建立直角坐标系，设，则可得，即可求出范围.【小问1详解】在中，由余弦定理，即，解得或（舍），所以.所以.【小问2详解】以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.设，则点坐标为.由（1）知，所以点坐标为，点坐标为.所以.所以.因为，所以.所以，所以.所以的取值范围是所以.
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