1、第一章勾股定理第一章勾股定理 一、单选题一、单选题 1下图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是( ) A黄金分割 B垂径定理 C勾股定理 D正弦定理 2在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A5 B6 C7 D8 3如图所示，将一根长为 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为 hcm，则 h的取值范围是（ ） A0h11 B11h12 Ch12 D0h12 4若一个直角三角形的两边长为 4 和 5，则第三边长为（ ） A3 B41 C8 D3 或41 5观察“赵爽弦图”（如图） ，若图中四
2、个全等的直角三角形的两直角边分别为 a，b，ab，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ） A2()a abaab B22()()ab abab C222( )2abaabb D222()2abaabb 6如图，将 ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 1） ，点 A，B，C 恰好在网格图中的格点上，那么 ABC 中 BC 边上的高是（ ） A102 B104 C105 D5 7 如图所示， 圆柱的高 AB=3， 底面直径 BC=3， 现在有一只蚂蚁想要从 A处沿圆柱表面爬到对角 C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ） A3 1 B3 2 C23 42 D23
3、 1 8在 ABC 中，A，B，C 的对边分别记为 a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A如果AB=C，那么 ABC 是直角三角形 B如果 a2=b2c2，那么 ABC 是直角三角形，且C=90 C如果ABC=132，那么 ABC 是直角三角形 D如果 a2b2c2=91625，那么 ABC是直角三角形 9如图，在ABC中，90ABC，10AC ，8AB，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1:3，则较大的正方形的面积是（ ） A36 B27 C18 D9 10 九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：
4、已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少（1 丈10 尺，1 尺10 寸）？若设门的宽为 x 寸，则下列方程中，符合题意的是（ ） Ax2+12（x+0.68）2 Bx2+（x+0.68）212 Cx2+1002（x+68）2 Dx2+（x+68）21002 二、填空题二、填空题 11如图，在矩形 ABCD中，AD6，AB4，BAD 的平分线交 BC 于点 E，则 DE_ 12如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为_长 13如图，铁路 MN 和公路 PQ 在 O
5、点处交汇，公路 PQ 上 A 处点距离 O 点 240 米，距离 MN 120 米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向，以 144 千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间是_s 14如图所示的网格是正方形网格，则PABPBA_ （点 A，B，P 是网格线交点）. 15 （2011 贵州安顺，16，4 分）如图，在 Rt ABC中，C=90 ，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将 BCD沿 BD折叠，使点 C落在 AB 边的 C点，那么 ADC的面积是 16如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使 C 点与 A点重合，若2,4
6、ABAD，则线段DF的长是_ 17 如图， ABCD于 B， ABD 和BCE 都是等腰直角三角形， 如果 CD=17， BE=5， 那么 AC 的长为_ 三、解答题三、解答题 18如图，由 ABC 中，90BAC，9AC ，15BC 按如图所示方式折叠，使点 B、C重合，折痕为 DE，求出 AE和 AD的长 , 19如图，在 ABC 中，CDAB于点 D，若 AC=34，CD=5，BC=13，求 ABC的面积 20在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ABAC，由于种种原因，由C 到 A 的路现在已经不通了， 某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H （
7、A， H， B 在一条直线上） ，并新修一条路 CH，测得 CB3 千米，CH2.4 千米，HB1.8 千米 （1）问 CH 是不是从村庄 C 到河边的最近路，请通过计算加以说明； （2）求原来的路线 AC 的长 21如图，高速公路上有 A，B 两点相距 10km，C，D为两村庄，已知 DA4km，CB6km，DAAB于点 A，CBAB 于 B，现要在 AB上建一个服务站 E，使得 C，D两村庄到 E 站的距离相等，求 BE的长 参考答案参考答案 1C 【解析】 【分析】 根据弦图,说明了直角三角形的三边之间的关系,解决的问题是:勾股定理即可得出 【详解】 解:弦图,说明了直角三角形的三边之间
8、的关系,解决的问题是:勾股定理. 故选 C 【点睛】 本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 2A 【解析】 【分析】 直接根据勾股定理求解即可 【详解】 解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4， 弦为223 +4 =5， 故选 A 【点睛】 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键 3B 【解析】 【分析】 根据题意画出图形，先找出 h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可 【详解】 解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大241212cm 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小， 如图所示： 此时，AB22ACBC2212513cm， h24
9、1311cm h的取值范围是 11cmh12cm 故选：B 【点睛】 本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时 h 有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度 4D 【解析】 【分析】 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分 5 是直角边或 5 是斜边两种情况进行讨论 【详解】 当 5 是直角边时，则第三边=224541； 当 5 是斜边时，则第三边=22543 综上所述，第三边的长是41或 3 故选 D 【点睛】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 5C 【解析】 【分析】
10、根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积可得问题的答案 【详解】 标记如下： 4RtABNPQMNABCDSSS正方形正方形， （ab）2a2+b2412ab a22ab+b2 故选：C 【点睛】 此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键 6A 【解析】 【详解】 先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形，最后设 BC 边上的高为 h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案. 解：由勾股定理得： 22125AC ，22125AB ，221310BC=+=， 222( 5)( 5)( 10
11、) ，即222ABACBC ABC是直角三角形， 设 BC边上的高为 h， 则1122ABCSAB ACh BC， 5510210AB AChBC. 故选 A. 点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键. 7C 【解析】 【分析】 要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解 【详解】 解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 A、C之间的最短距离为线段 AC的长 在 Rt ADC 中，ADC=90 ，CD=AB=3， AD 为底面半圆弧长，AD=32， AC=2233 4
12、+3() =22， 故选 C 【点睛】 本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答 8B 【解析】 【分析】 根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可 【详解】 解：A、A-B=C， ABC， ABC=180 ， A=90 ， ABC是直角三角形，此选项正确； B、如果 a2=b2-c2， a2+c2=b2， ABC是直角三角形且B=90 ，此选项不正确； C、如果A：B：C=1：3：2， 设A=x，则B=3x，C=2x，则 x+3x+2x=180 ， 解得：x=30 ，则 3x=90 ， ABC是直角三角形，此选项正确； D、如果
13、a2：b2：c2=9：16：25，则 a2+b2=c2， ABC是直角三角形，此选项正确； 故选：B 【点睛】 本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 9B 【解析】 【分析】 设两个正方形的面积分别为 a和 3a，先根据勾股定理求出 BC，再选用勾股定理得222BDCDBC，由正方形的面积公式可得236aa，即可求得结果 【详解】 解：设两个正方形的面积分别为 a和 3a， 90ABC，10AC ，8AB， 2222210836BCACAB 222BDCDBC， 336aa 解得9a 327a 则较大的正
14、方形的面积是 27 故选：B 【点睛】 此题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键 10D 【解析】 【分析】 1 丈100 寸，6 尺 8 寸68 寸，设门的宽为 x 寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长 1 丈（100 寸） ，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解. 【详解】 解：1 丈100 寸，6 尺 8 寸68 寸. 设门的宽为 x寸，则门的高度为（x+68）寸， 依题意得：x2+（x+68）21002. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键 1125 【解析】 【
15、分析】 由矩形的性质及角平分线的性质解得45BAE，45AEB，即可证明BAE是等腰直角三角形，从而解得4,2BEABCE，最后在Rt DCE中利用勾股定理解题即可 【详解】 在矩形 ABCD中， / /,4,6ADBC ABCDADBC 90BADB AE平分BAD 45BAEDAE 45AEB BAE是等腰直角三角形 4BEAB 642CE Rt DCE中 2222242 5DEECDC 故答案为：25 【点睛】 本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 1220m 【解析】 【分析】 试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧
16、面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理 【详解】 将圆柱表面按一周半开展开呈长方形， 圆柱高 16m，底面周长 8m，设螺旋形登梯长为 xm， x2=（1 8+4）2+162=400， 登梯至少400=20m 故答案为：20m 【点睛】 本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理， 掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键 138 【解析】 【分析】 过点 A 作 ACON，根据题意可知 AC 的长与 200 米相比较，发现受到影响，然后过点 A 作 AD=AB=200米，求出 BD 的长即可得出居
17、民楼受噪音影响的时间 【详解】 解：如图：过点 A 作 ACON，AB=AD=200 米， 公路 PQ 上 A 处点距离 O 点 240 米，距离 MN 120 米， AC=120 米， 当火车到 B 点时对 A 处产生噪音影响，此时 AB=200 米， AB=200 米，AC=120 米， 由勾股定理得：BC=160 米，CD=160 米，即 BD=320 米， 144 千米/小时=40 米/秒， 影响时间应是：320 40=8 秒 故答案为：8 【点睛】 本题考查勾股定理的应用根据题意构建直角三角形是解题关键 1445 【解析】 【分析】 延长 AP 交格点于 D， 连接 BD， 根据勾股
18、定理得到 PD2=BD2=1+22=5， PB2=12+32=10， 求得 PD2+DB2=PB2，于是得到PDB=90 ，根据三角形外角的性质即可得到结论 【详解】 解：延长 AP 交格点于 D，连接 BD， 则 PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， PD2+DB2=PB2， PDB=90 ， 即PBD 为等腰直角三角形， DPB=PAB+PBA=45 ， 故答案为：45 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 156cm2 【解析】 【分析】 先根据勾股定理得到 AB=10cm， 再根
19、据折叠的性质得到 DC=DC， BC=BC=6cm， 则 AC=4cm， 设 DC=xcm，在 RtADC中根据勾股定理列方程求得 x 的值，然后根据三角形的面积公式计算即可 【详解】 C=90 ，BC=6cm，AC=8cm， AB=10cm， 将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在 AB 边的 C点， BCDBCD， C=BCD=90，DC=DC，BC=BC=6cm， AC=AB-BC=4cm， 设 DC=xcm，则 AD=（8-x）cm， 在 RtADC中，AD2=AC2+CD2， 即（8-x）2=x2+42，解得 x=3， ACD=90， ADC的面积12ACCD=12 4 3=6（c
20、m2） 考点：折叠的性质，勾股定理 点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分 1632 【解析】 【分析】 根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF 【详解】 解：长方形纸片ABCD， 2CDAB，90C， 根据折叠的性质可得2ADCDAB，90ADFC，D FDF， 设DFDFx，4AFADDFx ， 根据勾股定理 D FADAF，即2224xx， 解得32x ， 故答案为：32 【点睛】 本题考查折叠与勾股定理能正确表示直角三角形的三边是解题关键 1713 【解析】 【分析】 先根据 BCE等腰直角三角形得出 BC 的长，进而可得出 BD的
21、长，根据 ABD 是等腰直角三角形可知AB=BD在 Rt ABC中利用勾股定理即可求出 AC的长 【详解】 BCE等腰直角三角形，BE=5，BC=5 CD=17，DB=CDBE=175=12 ABD是等腰直角三角形，AB=BD=12 在 Rt ABC 中，AB=12，BC=5，AC2222125ABBC13 故答案为 13 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键 18152 ；218 【解析】 【分析】 在Rt ABC中由于90BAC，9AC ，15BC ，所以根据勾股定理可求出AB的长，由折叠可知，ED垂直平分 BC，E为 BC中点，
22、BDCD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出 AE的长，设BDCDx，则 AD12x在Rt ADC中，由222 ADACCD 即可求出 x的值，故可得出结论 【详解】 解：在Rt ABC中由于90BAC，9AC ，15BC ， 由勾股定理得：22222159144 ABBCAC， BC12， 由折叠可知，ED垂直平分 BC， E为 BC 中点，BDCD， AE12BC152（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 设 BDCDx，则 AD12x 在Rt ADC中，222 ADACCD， 即 92(12x)2x2，解得758x ， 7521121288ADx 【点睛】 本题考查的是图
23、形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键 19752 【解析】 【分析】 由于 CDAB，CD为 RtADC和 RtBCD的公共边，在这两个三角形中利用勾股定理可求出 AD和 BD的长，然后根据三角形面积公式求得即可 【详解】 解：CDAB， CDA=BDC=90 在 RtADC 中，AD2=AC2CD2，在 RtBCD中，BD2=BC2CD2， AC=34 ，CD=5，BC=13， AD=3425=3，BD=22135=12， AB=15， SABC=12ABCD=752. 【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理求得 AB的长是解题的关键 20 （1）是，理
24、由见解析； （2）2.5 米 【解析】 【分析】 （1）先根据勾股定理逆定理证得 Rt CHB 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设 ACABx，则 AHx1.8，在 Rt ACH 中，根据勾股定理列方程求得 x 即可 【详解】 （1）2221.82.43，即222BHCHBC， Rt CHB 是直角三角形，即 CHBH， CH 是从村庄 C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短） ； （2）设 ACABx，则 AHx1.8， 在 Rt ACH， 222CHAHAC，即 2222.41.8)xx+(，解得 x2.5， 原来的路线 AC 的长为 2.5 米 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键 214km 【解析】 【分析】 根据题意设出 BE 的长为 xkm，再由勾股定理列出方程求解即可 【详解】 解：设 BExkm，则 AE（10 x）km， 由勾股定理得： 在 Rt ADE 中， DE2AD2+AE242+（10 x）2， 在 Rt BCE中， CE2BC2+BE262+x2， 由题意可知：DECE， 所以：62+x242+（10 x）2， 解得：x4 所以，EB 的长是 4km 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键
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