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    江苏省苏州市张家港市2021年高二上期中数学试卷(含答案解析)

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    江苏省苏州市张家港市2021年高二上期中数学试卷(含答案解析)

    1、江苏省苏州市张家港市2021年高二上期中数学试卷一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 若数列1,a,b,c,9是等比数列,则实数b的值为( )A. 5B. C. 3D. 3或2. 两条平行线与的距离为( )A. B. C. D. 3 已知数列中,(),则( )A. B. C. D. 24. 经过点,并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列的前n项和为,且,则的值为( )A. B. C. D. 26. 若直线l的方向向量是,则直线l的倾斜角的范围是( )A. B. C. D. 7. 1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子

    2、算经中“物不知数”问题解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理“讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到200这200个数中,能被4除余2,且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则这个新数列各项之和为( )A. 1666B. 1676C. 1757D. 26468. 在平面直角坐标系中,已知定点,若在圆上存在点P,使得为直角,则实数m的最大值是( )A. 15B. 25C. 35D. 45二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中

    3、,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知数列的前4项依次为2,0,2,0,则数列的通项公式可能是( )A. B. C. D. 10. 设直线l过点,点和到l的距离相等,则直线l的方程可以为( )A. B. C. D. 11. 等差数列的首项为正数,其前n项和为.现有下列命题,其中是真命题的有( )A. 若有最大值,则数列的公差小于0B. 若,则使的最大的n为18C. 若,则中最大D. 若,则数列中的最小项是第9项12. 已知圆,点P在直线上,过P作圆O的两条切线,A,B是切点,下列命题中正确的结论有( )A. 圆O上不存在到直线l的距离为1的点B.

    4、切线长PA的最小值为C. 直线l上存在点P,使D. 四边形PAOB面积最小值为三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 设数列的前n项和为,且满足,则_.14. 在直线上一点P到点,两点距离之和最小,则点P的坐标为_.15. 在平面直角坐标系xOy中,动点P到两个定点,距离之比为,设点P的轨迹为C,则轨迹C的方程为_;若轨迹C上有且只有四个点到直线的距离为1,则实数m的取值范围是_.16. 数列满足,若对任意,所有的正整数n都有成立,则实数k的取值范围是_.四解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知的顶点,边AB上的中线为,边AC上的高BH

    5、所在直线为.(1)求点B,C的坐标;(2)求的面积.18. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列.(1)求数列和数列的通项公式;(2)为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).(参考数据,)19. 已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)当时

    6、,记,求数列的前n项和.20 已知直线.(1)求证:直线经过定点,并求出定点P;(2)经过点P有一条直线l,它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分,求直线l的方程.21. 已知数列的首项为2,前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求证:.22. 如图,已知圆与x轴交于A,B两点(A在B的左方),直线.(1)若直线l与圆O相切,求直线l的方程;(2)若,点C为直线l上一动点(不在x轴上),直线CA,CB与圆的另一交点分别为P,Q.证明:直线PQ经过定点,并求出定点坐标.江苏省苏州市张家港市2021年高二上期中数学试卷一选择题:本题共8小

    7、题,每小题5分,共40分.1. 若数列1,a,b,c,9是等比数列,则实数b的值为( )A. 5B. C. 3D. 3或【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义,利用等比数列的通项公式求解【详解】解:设该等比数列公比为q,数列1,a,b,c,9是等比数列,故,解得,故选:C2. 两条平行线与的距离为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线间距离公式求解即可.【详解】解:将直线化为,所以两条平行直线间的距离为,故选:D.3. 已知数列中,(),则( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由递推关系确定数列的周期,运算即可得解.【详解】因为,(),所以

    8、,所以数列的周期为3,又,所以.故选:A.4. 经过点,并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分两种情况:过原点和不过原点进行讨论,结合直线的截距式方程解题【详解】直线经过原点时满足条件,此时直线方程为,即;若直线不经过原点时满足条件,设直线方程为:,把点代入可得:,解得直线方程为:,即综上可得满足条件的直线的条数为2故选:B5. 若等差数列的前n项和为,且,则的值为( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的求和公式即可得出.【详解】设等差数列的公差为,化为:,故选:C6. 若直线l的方向向量

    9、是,则直线l的倾斜角的范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率,求出k的取值范围,求出的取值范围即可.【详解】解:若直线l的方向向量是,则直线l的斜率,所以,则或.故选:D.7. 1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理“讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到200这200个数中,能被4除余2,且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则这个新数列各项之和为

    10、( )A. 1666B. 1676C. 1757D. 2646【答案】A【解析】【分析】将问题转化为既是4的倍数,也是6的倍数,也即是12的倍数,从而得到的表达式,利用等差数列前n项和公式即可求解.【详解】解:由题意可知数列即是4的倍数,又是6的倍数,因此数列是以2为首项,以12为公差等差数列,因此,设新数列前n项和,则.故选:A.8. 在平面直角坐标系中,已知定点,若在圆上存在点P,使得为直角,则实数m的最大值是( )A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】D【解析】【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以,两点为直径的圆的方程为,设圆心为N,所以,半径为,

    11、若在圆上存在点P,使得为直角,则圆M与圆N有公共点,又圆,所以,半径为,所以,故,解得,所以m的最大值为45.故选:D二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知数列的前4项依次为2,0,2,0,则数列的通项公式可能是( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可.【详解】对于A,故A正确;对于B,故B正确;对于C,故C正确;对于D,故D错误故选:ABC10. 设直线l过点,点和到l的距离相等,则直线l的方程可以为( )A. B. C.

    12、D. 【答案】BD【解析】【分析】可知当直线平行于直线MN时,或过MN的中点时满足题意,分别求其斜率可得方程.【详解】解:当直线平行于直线MN时,或过MN的中点时满足题意,当直线平行于直线MN时,所求直线的斜率为,故直线方程为,即;当直线过MN的中点时,斜率为,故直线方程为,即;所求的直线方程为:或.故选:BD.11. 等差数列的首项为正数,其前n项和为.现有下列命题,其中是真命题的有( )A. 若有最大值,则数列的公差小于0B. 若,则使的最大的n为18C 若,则中最大D. 若,则数列中的最小项是第9项【答案】ACD【解析】【分析】由等差数列的性质对4个选项依次判断即可.【详解】对于选项A,

    13、有最大值, 等差数列一定有负数项,等差数列为递减数列,故公差小于0,故选项A正确;对于选项B,且,则使的最大的n为17,故选项B错误;对于选项C,故中最大,故选项C正确;对于选项D,故数列中的最小项是第9项,故选项D正确.故选:ACD12. 已知圆,点P在直线上,过P作圆O的两条切线,A,B是切点,下列命题中正确的结论有( )A. 圆O上不存在到直线l的距离为1的点B. 切线长PA的最小值为C. 直线l上存在点P,使D. 四边形PAOB面积的最小值为【答案】BC【解析】【分析】求出点O到直线l的距离与比较大小,即可判断选项A;求出PO的最小值,然后由勾股定理即可求出PA的最小值,即可判断选项B

    14、;当时,取得最大值,求出此时是否大于60,即可判断选项C;当PA最小时,四边形PAOB的面积最小,求解即可判断选项D.【详解】对于A,圆,则圆心,半径,所以点O到直线的距离为,则圆O上存在到直线l的距离为1的点,故选项A错误;对于B,切线长,所以当PO最小时,切线长PA最小,因为PO的最小值为,所以PA的最小值为,故选项B正确;对于C,为锐角,故当最小时,取得最大值,即当时,取得最大值,在中,所以,则,所以直线l上存在点P,使,故选项C正确;对于D,当PA最小时,的面积最小,则四边形PAOB的面积最小,所以四边形PAOB面积的最小值为,故选项D错误.故选:BC.三填空题:本题共4小题,每小题5

    15、分,共20分.13. 设数列的前n项和为,且满足,则_.【答案】46【解析】【分析】利用累加法求得数列的通项公式,将代入,即可求得.【详解】由,则,以上各式相加,得,故,.故答案为:46.14. 在直线上一点P到点,两点距离之和最小,则点P的坐标为_.【答案】【解析】【分析】求出A关于直线的对称点为C,则P为直线BC与直线l的交点时,满足条件,进而得到答案.【详解】易知:,在直线同侧,若上一点P到,两点距离之和最小,设关于直线的对称点为,解得,即,直线BC为,故直线BC与直线l的交点为,P的坐标为.故答案为:.15. 在平面直角坐标系xOy中,动点P到两个定点,的距离之比为,设点P的轨迹为C,

    16、则轨迹C的方程为_;若轨迹C上有且只有四个点到直线的距离为1,则实数m的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】设动点,利用两点间距离公式结合题意,列式化简即可得到轨迹方程;确定轨迹C圆心和半径,求出圆心到直线的距离d,分析可得时符合题意,列式求解即可.【详解】设动点,由P到,的距离之比为,则,整理得:,故轨迹C的方程为;轨迹C是以为圆心,半径的圆,则C到的距离为,当时,圆上恰有3个点到直线的距离为1,若圆C上有且只有四个点到直线的距离为1,则,解得,实数m的取值范围为.故答案为:;.16. 数列满足,若对任意,所有的正整数n都有成立,则实数k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先

    17、由题设求得,然后利用数列的单调性求得其最大值,把对任意,所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立,再利用基本不等式求得的最小值,即可得到答案.【详解】由,当时,两式相减可得:,由,显然成立,设,当时,当时,因此,数列单调递增,当时,数列单调递减,由,故当或时,数列取最大值,且最大值为,对任意,所有的正整数n都有成立,可得,因此,即对任意恒成立,由,当且仅当,即时取最小值,则,实数k的取值范围是.故答案为:.四解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知的顶点,边AB上的中线为,边AC上的高BH所在直线为.(1)求点B,C的坐标;(2)求的面积.【答案】(1

    18、), (2)7【解析】【分析】(1)设出B点的坐标,及A,B中点坐标,再联立BH的方程即可求出B点,先求出AC的方程,再联立AB边上的中线方程,即可求出C点,(2)由两点间的距离公式和点到直线的距离公式即可求面积.【小问1详解】设,且B在直线BH上,代入得:,由题设,A,B的中点为,且D在AB中线上,即,联立得:,即,由题意,故,AC所在的直线方程为,又C在,联立得:,即.【小问2详解】由题设,B到直线AC的距离为,故的面积为7.18. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年

    19、增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列.(1)求数列和数列的通项公式;(2)为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).(参考数据,)【答案】(1), (2),今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨【解析】【分析】(1)由题意,分析得到数列是以20(1+5%)为首项,1+5%为公比的等比数列,由此求解即可;(2)利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可.【小问1详解】由题意,从今年起每年生

    20、活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列,是以20(1+5%)为首项,1+5%为公比的等比数列;是以为首项,1.5为公差的等差数列,.【小问2详解】设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为,当时,.今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.19. 已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;(2)当时,记,求数列的前n项和.【答案】(1) (2)前n项和为【解析】【分析】(1)由已知递推式构造,分类讨论,结合等比数列的通项即可得解; (2)求出,利用裂项求和法即可求数列的前n项和.【小问1详解】由,可得,又,当时,;当时,数列是首项为,

    21、公比为3的等比数列,则,;综上,;【小问2详解】当时,的前n项和:.20. 已知直线.(1)求证:直线经过定点,并求出定点P;(2)经过点P有一条直线l,它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分,求直线l的方程.【答案】(1)证明见解析,定点 (2)【解析】【分析】(1)将直线l的方程改写为,令,且,解方程组即可.(2)设出A与B两点的坐标,因为P为线段AB的中点,利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式,然后把A的坐标代入直线,把B的坐标代入直线,又得到两点坐标的两个关系式,把四个关系式联立即可求出A的坐标,然后由A和P的坐标,利用两点式即可写出直线的方程.【小问1详解】证明:将直线l的方程

    22、改写为,令,且,两式联立,解得,所以直线过定点.【小问2详解】如图,设直线l夹在直线,之间的部分是AB,且AB被平分,设点A,B的坐标分别是,则有,又A,B两点分别在直线,上,所以,由以上四个式子解得,即,所以直线AB的方程为.21. 已知数列的首项为2,前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求证:.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用及等比数列的定义即可得出;(2)利用等差数列的通项公式求出;再由“错位相减法”和等比数列的前n项和公式证明结论.【小问1详解】时,由,得,两式相减可得:,时,数列是首项为2,公比

    23、为2的等比数列,则.【小问2详解】由(1)可知,故.令,则,即.22. 如图,已知圆与x轴交于A,B两点(A在B的左方),直线.(1)若直线l与圆O相切,求直线l的方程;(2)若,点C为直线l上一动点(不在x轴上),直线CA,CB与圆的另一交点分别为P,Q.证明:直线PQ经过定点,并求出定点坐标.【答案】(1) (2)证明见解析,定点【解析】【分析】(1)由条件求出A,B坐标,由相切关系列出方程,求m可得直线方程;(2)分别将直线CA,CB与圆的方程进行联立,求出P,Q坐标,表示出直线PQ,可确定直线所过的定点.【小问1详解】因为已知圆与x轴交于A,B两点(A在B的左方),令得,所以,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d等于半径,即,解得,所以直线l的方程为.【小问2详解】,则直线,设,所以直线AC方程:,直线BC的方程:,设AC与圆交于联立直线AC与圆的方程得,解得(负值舍去),所以,设直线BC与圆交于,同理可得,所以,所以,直线PQ的斜率,代入P,Q两点坐标,整理得,代入P点到直线,解得,所以直线l的方程为,所以直线恒过定点.


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