1、二次函数中的几何存在性问题类型一、特殊三角形问题例1如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接(1)求线段AC的长；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标例3.如图，抛物线交x轴于，两点，交
2、y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由【变式训练1】如图，二次函数的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当SPCD=3时，求出点P的坐标；(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐
3、标，若不存在，请说明理由【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由类型二、特殊四边形问题例1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交
4、于点，且点的坐标为(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由例3如图1，在平面直角坐标
5、系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作轴，交BC于点Q，当时，求点P的坐标；(3)如图2，若点D坐标为，轴交直线BC于点E，将沿直线BC平移得到，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线yax2+2x+c经过点A(1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PEBC于点E，作PFAB交BC于点F(1)求抛物线和直线BC的
6、函数表达式，(2)当PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和PEF的周长(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式及D点坐标；(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【变式训练3】如图，已知抛物
7、线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方的一点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，过点作交于点，求长度的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移，使得新抛物线经过点，并记新抛物的顶点为，若点为新抛物线对称轴上的一动点，点为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来二次函数中的几何存在性问题类型一、特殊三角形问题例1如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴并交抛物线于点，当线段取得最大值时，在轴上是否存在这样的点
8、，使得以点、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)，或，或【解析】(1)解：抛物线经过点， ，解得 ，抛物线的解析式为(2)存在点P，以EB为腰的等腰三角形EBP，理由如下：当时，设直线AC的解析式为， ，解得 ， ；设 ，则 ， ，当 时，EF取得最大值，最大值为：，此时，又，当时，点在轴上，点P的坐标为或；当时，关于直线对称，点P的坐标为；综上所述，或，或例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接(1)求线段AC的长；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，
9、求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标【答案】(1)；(2)(3)或或或【解析】(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），AO=1,CO=3,;(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t）， t=-1，P（1，-1）；(3)设点M（m,m2-2m-3），,当时，解得，（舍），M（1，-4）；当时，解得，（舍），M（-2，5）；当时，解得，M或；综上所述：满足条件的M为或或或例3.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点(1)求抛物线
10、的解析式；(2)连接AC，BD，若，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或时，是等腰直角三角形【解析】(1)解：抛物线交x轴于，两点，抛物线的解析式为：；(2)解：当x0时，y3，ACO+DBA=90，ACO+CAB=90，ABDCAB，设点D的坐标为，如图，过点D作DEx轴于点E，则，解得x3(3)解：设直线AD的解析式为：ykx+n，把点A，D的坐标代入得，解得：，直线AD的解析式为：，MNAD5，
11、如图，若MNMP5，则PMN90，即如图，若NMNP5，则MNP90，即如图，若PMNP，则NPM90，过点P作PQAN于点Q，则，即综上所述，或或时，是等腰直角三角形【变式训练1】如图，二次函数的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当SPCD=3时，求出点P的坐标；(3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)P1（，），P2（2，3）；(3)存在点M其坐标为或【解析】(1)解：由题意，将
12、A（1，0），B（3，0）代入得：，解得，抛物线表达式为：；（2）如图1，连接OP，设，C在y轴上， =，当时，即解得， 当时，；当时，P1（，），P2（2，3）(3)存在设，如图2，当MCD=90时，过点M做MN轴于点N，则MNC=COD=90，MCN=CDO，MNCCOD，即，解得（舍），如图3，当MDC=90时，过点M做MN轴于点N，则MND=COD=90，MDN=DCO，MNDDOC，即，解得，综上所述，存在点M其坐标为：点或【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB
13、上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）【解析】(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得解得：抛物线的表达式为；(2)解：设直线AB的表达式为：，将点A、B的坐标代入得：解得： 故直线AB的表达式为： 过点C作轴的平行线交
14、AB于点H如图设点C（，），则H（，+1）四边形ACBP是平行四边形，-30，四边形ACBP的最大值为；(3)解：抛物线y=-（x-2）2+5，将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y=-x2+5，联立，解得，D（1，4），如图2，当DA=DE，EDA=90，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点，DAN+NDA=NDA+EDF=90，DAN=EDF，又DNA=EFD=90，DA=DE，DNAEFD（AAS），DN=EF=1，AN=DF=3，E（4，3），当DA=DE，EDA=90，E在AD左侧，同理可得，E（-2，5），当AD=AE，DAE=90，E在
15、AD左侧时，同理可得，E（-3，2），当AD=AE，DAE=90，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）类型二、特殊四边形问题例1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)最大为；(3)存在，的坐标为或（3，-16）或【解析】(1)（1）
16、点在抛物线的图象上，点的坐标为；(2)过作于点，过点作轴交于点，如图：，是等腰直角三角形，轴，是等腰直角三角形，当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，直线解析式为，设，则，当时，最大为，此时最大为，即点到直线的距离值最大；(3)存在 ，抛物线的对称轴为直线，设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）分三种情况：当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，A（-5，0），C（0，5），即 ，解得，x=3.点M的坐标为（3，-16）当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同可得，点M的坐标为（-7，-16）；当AC为对角线时，如图，A（-5，0），C（0，5），线段AC的中点H的坐标为
17、，即H（），解得，。点M的坐标为（-3，8）综上，点的坐标为：或（3，-16）或例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的解析式为：yx2+2x+3，对称轴为直线：；(2)P（1，1）或（1，2）(3)存在，N（1，-4）【解析】(1)解：把A（1，0），点C（0，3）的坐标代入yx2+bx+c，得，
18、解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3，对称轴为直线x1(2)解：如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），D（2，3），B（3，0），T（，），BD，BPD90，DTTB，PTBD，（1）2+（m）2（）2，解得m1或2，P（1，1）或（1，2）(3)解：存在，理由如下，抛物线的解析式为yx2+2x+3，顶点坐标为，对称轴为当为对角线时，设交于点，如图，则，四边形是菱形，当为边时，如图，四边形是菱形，设，在抛物线上，则，解得，或，解得，是菱形，即，解得与矛盾，故不存在此情形，综上所述，当A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，例3如图1，
19、在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在直线BC上方的抛物线上有动点P，过点P作轴，交BC于点Q，当时，求点P的坐标；(3)如图2，若点D坐标为，轴交直线BC于点E，将沿直线BC平移得到，移动过程中，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，C，P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】（1）将代入，；(2)设直线BC的解析式为，将代入得，解得，设，则，过点Q作轴交于点E，如图：，（舍），；(3)存在，；理由分析: 点D坐标为，B(3,0) ，DB=1,将直线B
20、C向左平移1个单位即可得到D点运动轨迹所在的直线，由平移得D点在平移过程中所在直线的解析式为；当时，AC的中点坐标为M，当AC为对角线时，如图1和图2，设D（n，-n+2），D（1，1）或D（-1，3），由矩形的性质可知，PD经过点M且被M点平分，当D（1，1）时，即，当D（-1，3）时，即；当AC为边时，有如下两种情况，如图3和图4，设D（n，-n+2），（图3），（图4），（图3），（图4），（图3），（图4），图3中，图4中，图3中，CD的中点，图4中，AD的中点；所以图3中，图4中，图3中，即，图4中，即；综上可得：存在，【变式训练1】如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线yax2+2x
21、+c经过点A(1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PEBC于点E，作PFAB交BC于点F(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，(2)当PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和PEF的周长(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为(2)点P的坐标为 (,)，PEF的周长为(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【解析】(1)解：将点A(-1,0)，B(3,
22、0)代入，得： ，解得 ，所以抛物线解析式为，C(0，3)设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得： ，解得 ，所以直线BC的函数表达式为(2)解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得： 整理得 ，解得 ，将代入，解得，将代入得，即PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,)将代入得，则此时， 因为PEF为等腰直角三角形， 则PEF的周长最大为(3)答：存在已知B(3，0)，C(0，3)，设点(， )，N(1，n)，当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，则G点坐标为(2，3)；当BC为平行四边形对角线时，同样利用中点坐标公式得： 或
23、，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5)故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式及D点坐标；(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值；(3)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【答案】(1)解析式为 ；D（2，）；(2)SBCE 有最大值为(3)（）或（3，4）或（7，4）或 （）【解析】(1)解：，又对称轴为，将A，B代入解析式
24、得：，解得；把x=2代入二次函数解析式，得，(2)解：，直线BC的解析式为：设，则0x0，由抛物线经过点，即 ，解得t=2，点D的坐标为（4，-2），如图3-2，当DM，AN为以A、D、M、N为顶点的菱形的对角线时，设AN与DM交于点Q，则点Q的坐标为（4，0），ANMD，且AQ=NQ=6，此时N点的坐标为（10，0）；如图3-3，设点M的坐标为（4，m），当DM和MA为以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，则有ANMD，MA=MD，点N在直线x=-2上，由题可得，MD=m-(-2)=m+2，MA= ，解得m=8，MD=10，AN=MD=10，点N的坐标为（-2，-10）；如图3-4，当AD和MD为以A、D、M、N为顶点的菱形的邻边时，同理可得点N在直线x=-2上，AN=AD=，点N的坐标为（-2， ）或（-2，- ）综上所述，当点N的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2， ）或（-2，- ）时，以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形
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