1、2020-2021 学年北京市海淀区学年北京市海淀区二二校校联考高二联考高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题一、选择题(共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分). 1若集合 Ax|1x3，Bx|1x2，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 2下列函数中，值域为0，+）的是（ ） Ay2x B Cytanx Dycosx 3实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） Aa+cb+c Bacbc Cacbc D 4已知 a32，blog0.42，clog23，则（ ） Aabc Bacb Cbca D
2、cab 5已知 f（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）logx，则 f（x）0 的解集是（ ） A（1，0） B（0，1） C（，1）（0，1） D（1，0）（0，1） 6某学习小组有 3 名男生和 2 名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第 1个同学是男生的条件下，抽到第 2 个同学也是男生的概率为（ ） A B C D 7“lnalnb”是“3a3b”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知曲线：y2xx2+y21yx3x2y21上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切
3、”的曲线条数是（ ） A1 B2 C3 D4 9已知函数 f（x）给出下列三个结论： 当 a2 时，函数 f（x）的单调递减区间为（，1）； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+）； 若 a1 且 a0，则bR，使得函数 yf（x）b 恰有 3 个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x31 其中，所有正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 10已知函数 f（x）在定义域（0+）上是单调函数，若对于任意 x（0，+），都有 f（f（x）2，则 f（）的值是（ ） A5 B6 C7 D8 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分
4、，共 20 分分. 11已知函数 f（x），那么 f（f（2） 12（2x+）4的展开式中的常数项为 13小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为 0.8则小明能准时到达的概率为 ； 若小明当天准时到达， 则他是乘火车去的概率为 （结果保留两位小数） 14不等式的解集为 15已知集合 Aa1，a2，an，nN*且 n2，令 TAx|xai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合 TA中元素的个数 若 A2，4，8，16，则 card（TA） ； 若 a
5、i+1aic（1in1，c 为非零常数），则 card（TA） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为， 乙每次投篮投中的概率为， 且各次投篮互不影响 （）求甲获胜的概率； （）求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望 17已知函数 f（x）x33x2，g（x）ax24 （1）求函数 f（x）的极值； （2）若对任意的 x0，+），都有 f
6、（x）g（x），求实数 a 的取值范围 18某社区超市购进了 A，B，C，D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了 15 位顾客（记为 ai，i1，2，3，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）： 顾 客 产 品 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 A 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D 1 1 1 1 1 1 （）若该超市每天的客流量约为 300 人次，一个月按 30 天计算，试估计产品 A 的月销售量（单位：件）； （）为推广新产品，超市向购
7、买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送 2 元电子红包现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）若某顾客已选中产品 B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明） 19已知函数 f（x）x2alnxx，其中常数 a0 （）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值； （）如果函数 f（x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 1若集合 Ax|1x3，Bx|1x2，则 AB（ ） Ax
8、|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 解：集合 Ax|1x3，Bx|1x2， ABx|1x2 故选：C 2下列函数中，值域为0，+）的是（ ） Ay2x B Cytanx Dycosx 解：A，y2x的值域为（0，+），故 A 错 B，y的定义域为0，+），值域也是0，+），故 B 正确 C，ytanx 的值域为（，+），故 C 错 D，ycosx 的值域为1，+1，故 D 错 故选：B 3实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） Aa+cb+c Bacbc Cacbc D 解：由数轴可以看出 ab0c 对于 A，ab，a+cb+c，故 A 正确；
9、对于 B，ab，acbc，故 B 错误； 对于 C，ab，c0，acbc，故 C 错误； 对于 D，ab0c，0，故 D 错误 故选：A 4已知 a32，blog0.42，clog23，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 解：0321，log0.42log0.410，log23log221， cab 故选：D 5已知 f（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）logx，则 f（x）0 的解集是（ ） A（1，0） B（0，1） C（，1）（0，1） D（1，0）（0，1） 解：因为 f（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）logx， 当 x0 时，x0，则 f（
10、x）f（x）log（x）， 所以 f（x）log（x）， 又 f（0）0， 则由 f（x）0 可得，或， 解可得 0 x1 或 x1 故选：C 6某学习小组有 3 名男生和 2 名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第 1个同学是男生的条件下，抽到第 2 个同学也是男生的概率为（ ） A B C D 解：某学习小组有 3 名男生和 2 名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示， 设事件 A 表示“抽到的第 1 个同学是男生”，事件 B 表示“抽到的第 2 个同学也是男生”， 则 P（A），P（AB）， 则在抽到第 1 个同学是男生的条件下，抽到第 2 个同学
11、也是男生的概率： P（B|A） 故选：C 7“lnalnb”是“3a3b”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：“3a3b”“ab”， “lnalnb”“ab0”， “ab0”是“ab”的充分而不必要条件， 故“lnalnb”是“3a3b”的充分而不必要条件， 故选：A 8已知曲线：y2xx2+y21yx3x2y21上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（ ） A1 B2 C3 D4 解：当直线和抛物线 y2x 对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点， 但此时直线不是切线，故错误， 当直线和
12、圆 x2+y21 只有一个公共点时，直线与圆相切，故正确， 当直线和 x 轴平行时，直线和 yx3只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故错误， 当直线和双曲线 x2y21 的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点， 但此时直线和双曲线不相切，故错误， 故正确的只有， 故选：A 9已知函数 f（x）给出下列三个结论： 当 a2 时，函数 f（x）的单调递减区间为（，1）； 若函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+）； 若 a1 且 a0，则bR，使得函数 yf（x）b 恰有 3 个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x31 其中，所有正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3
13、解：对于：当 a2 时，由 0e21，f（0）1f（e2）|lne2|2，所以函数 f（x）在区间（，1）上不单调递减，故错误； 对于：若函数可转换为，画出函数的图象， 如图所示： 所以函数 f（x）无最小值，则 a 的取值范围为（0，+）故正确 对于令 yf（x）b0，结合函数我的图象，不妨设 x10 x21x3， 则 ax1+1lnx2lnx3b，所以，所以， 令1，即 ba+1， 当 a0 时，ba+11，故 yf（x）b0 有三个零点，且 x1x2x31，符合题意， 当 0a1 时，0ba+11，故 yf（x）b0 有三个零点，且 x1x2x31，符合题意，故正确 故正确答案为：， 故
14、选：C 10已知函数 f（x）在定义域（0+）上是单调函数，若对于任意 x（0，+），都有 f（f（x）2，则 f（）的值是（ ） A5 B6 C7 D8 解：函数 f（x）在定义域（0，+）上是单调函数， 且 f（f（x）2， f（x）为一个常数， 令这个常数为 n，则有 f（x）n， f（n）2， 由得 f（x）n+， 代入，得2， 解得 n1， 因此 f（x）1+， 所以 f（）6 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分. 11已知函数 f（x），那么 f（f（2） 8 解：根据题意，函数 f（x），则 f（2）2，
15、 则 f（f（2）f（2）22248， 故答案为：8 12（2x+）4的展开式中的常数项为 24 解：由通项公式得：Tr+1C （2x）4r（）r24rC x42r， 令 r2，得展开式的常数项为：242C 24， 故答案为：24 13小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为 0.8则小明能准时到达的概率为 0.92 ；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为 0.17 （结果保留两位小数） 解：记“小明能准时到达”为事件 A，“小明乘坐火车去”为事件 B， 则小明能
16、准时到达的概率为 P（A）0.80.95+0.20.80.92， P（AB）0.20.80.16， 若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为： P（B|A）0.17 故答案为：0.92，0.17 14不等式的解集为 （1，+） 解：不等式， 当 x1 时，原不等式等价为 x1lnx， 由 f（x）lnxx+1 的导数为 f（x）1， 当 x1 时，f（x）0，f（x）递减； 可得 f（x）f（1）0，即有 lnxx1； 当 0 x1 时，f（x）0，f（x）递增， 可得 f（x）f（1），即为 lnxx1； 这与 0 x1 时，原不等式等价为 x1lnx，矛盾， 综上可得，原不等式的解集为（
17、1，+）， 故答案为：（1，+） 15已知集合 Aa1，a2，an，nN*且 n2，令 TAx|xai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合 TA中元素的个数 若 A2，4，8，16，则 card（TA） 6 ； 若 ai+1aic（1in1，c 为非零常数），则 card（TA） 2n3 解：若 A2，4，8，16， 则 TA6，10，18，12，20，24， card（TA）6； 若 ai+1aic（ 1in1，c 为非零常数），说明数列 a1，a2，an，构成等差数列， 取特殊的等差数列进行计算， 取 A1，2，3，n，则 TA3，4，5，2n1， 由于（2n1）3+
18、12n3， TA中共 2n3 个元素， 利用类比推理可得 若 ai+1aic（ 1in1，c 为非零常数），则 card（TA）2n3 故答案为：6；2n3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为， 乙每次投篮投中的概率为， 且各次投篮互不影响 （）求甲获胜的概率； （）求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望 解：（1）设 Ak，Bk分别
19、表示甲、乙在第 k 次投篮投中， 则 P（Ak），P（Bk），k（1，2，3） 记“甲获胜”为事件 C， 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知： P（C）P（A1）+P（）+P（） + （2） 的所有可能为：1，2，3， 由独立性知：P（1）P（A1）+P（）， P（2）P（）+P（）+（）2（）2， P（3）P（）（）2（）2， 综上知， 的分布列为： 1 2 3 P E（次） 甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次 17已知函数 f（x）x33x2，g（x）ax24 （1）求函数 f（x）的极值； （2）若对任意的 x0，+），都有 f（x）g（x），求实数 a
20、 的取值范围 解：（1）f（x）3x26x， 令 f（x）0，得 x0 或 x2， f（x），f（x）随 x 变化情况如下表： x （，0） 0 （0，2） 2 （2，+） f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 所以，当 x0 时，f（x）有极大值 0， 当 x2 时，f（x）有极小值4 （2）令 F（x）f（x）g（x）x3（3+a）x2+4， F（x）3x22（3+a）x，由 F（x）0，得：x0 或 x， 当0 时，即 a3 时 F（x）0 在（0，+）上恒成立， 所以此时 F（0）4 为最小值， 所以 F（x）0 恒成立，即 f（x）g（x） 当0，即 a3 时， x 0
21、 （0，） （， +） f（x） 0 0 + f（x） 极小值 所以当 x时，F（x）取得最小值，若要满足 f（x）g（x），则 F（）0，即3（3+a）2+4（3+a）3+40， 解得 a0， 所以3a0， 综上所述，a 的取值范围是 a0 18某社区超市购进了 A，B，C，D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了 15 位顾客（记为 ai，i1，2，3，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）： 顾 客 产 品 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 A 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1
22、1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D 1 1 1 1 1 1 （）若该超市每天的客流量约为 300 人次，一个月按 30 天计算，试估计产品 A 的月销售量（单位：件）； （）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送 2 元电子红包现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）若某顾客已选中产品 B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明） 解：（I）由题意可得：5303000（件）因此产品 A 的月销售量约为 3000（件） （II）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率 现有甲
23、、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为 ，则 B（3，）P（k） 随机变量 X2 的分布列为： X 0 2 4 6 P EX （III）某顾客已选中产品 B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐 D 种新产品 19已知函数 f（x）x2alnxx，其中常数 a0 （）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值； （）如果函数 f（x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围 解：（）根据题意，函数 f（x）x2alnxx， 因为，其中 x0 因为 f（x）是单调函数，所以 f（x）0 或 f（x）0 对 x0 成立 当 f（x）0 对 x0 成立时， 即 2x2xa0 对 x0
24、成立 所以 2x2xa，根据二次函数的性质得到， 当 f（x）0 对 x0 成立时， 即 2x2xa0 对 x0 成立 所以 2x2xa，根据二次函数的性质这种情形不成立； 综上，所以实数 a 的最大值为 （）根据题意，由（），当时，函数 f（x）是单调递增函数， 而 f（1）0，则函数 f（x）只有一个零点， 当时， 令，得， 当时，0 x1x2 所以 x，f（x），f（x）的变化情况如下表 x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+） f（x） + 0 0 + f（x） 极大 极小 因为 而， 所以 注意到 x1x21 所以， 所以 所以在 x（0，x2）时，f（x）f（x1
25、）0， 所以函数 f（x）在区间（0，x2）上没有零点， 而当 x+时，f（x）+， 所以函数 f（x）在区间（x2，+）上有一个零点， 当 a0， 其中（舍） 所以 x，f（x），f（x）的变化情况如下表 x （0，x2） x2 （x2，+） f（x） 0 + f（x） 极小 当时，即 a1 时，f（x2）0 函数 f（x）的唯一的一个极小值，即最小值为 f（1）0，符合题意， 当时，即 a1 时， 则 f（x2）f（1）0，而当 x+时，f（x）+， 所以函数 f（x）在区间（x2，+）上还有一个零点，矛盾 当，即 a1 时 则 f（x2）f（1）0，而此时 x0 时，f（x）+， 所以函数 f（x）在区间（0，x2）上还有一个零点，矛盾， 综上，实数 a 的取值范围是a|a0 或 a1
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