1、2020-2021 学年江苏省盐城市高二下学年江苏省盐城市高二下期末数学试卷期末数学试卷 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1若椭圆 C：+1 的焦点在 x 轴上，则 m 的取值范围为（ ） A（0，5） B（0，5 C（5，+） D5，+） 2设 xR，则“x25x60”是“x6”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 3若等比数列an单调递减，且 a2+a430，a2a4144，则公比 q（ ） A B2 C D2 4（x2+2x）5的展开式中含 x9的系数为（ ） A80 B2 C16 D10 5
2、某校拟从 5 名班主任及 5 名班长（3 男 2 女）中选派 1 名班主任和 3 名班长去参加“党史主题活动”，若要求 2 名女班长中至少有 1 人参加，则不同的安排方案有（ ）种 A9 B15 C60 D45 6离散型随机变量 X 的取值为 0，1，2，若 P（X0），E（X）1，则 D（2X1）（ ） A B C1 D2 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AD1，AA12，若点 P 在线段 BD 上，则二面角 PBC1C的余弦值为（ ） A B C D 8已知 a+2a2，b+3b2，则 blga 与 algb 的大小关系是（ ） Ablgaalgb Bblgaalgb Cb
3、lgaalgb D不确定 二、多选题：（本大题共二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9由点列（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到线性回归方程 x+ ，对应的相关系数为 r，则下列 说法正确的是（ ） A若|r|越大，则 y 与 x 的线性相关性越强 B0r1 C若
4、0，则i随 xi的增大而增大 Dr 0 10已知 z，则下列说法中正确的是（ ） Az 的实部为 4 Bz 在复平面上对应的点在第三象限 Cz 25 D|z|25 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x28y，若过焦点 F 的直线 l 交抛物线于两点 A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（ ） Ax1x216 By1y216 C的最大值为16 D|12 12 已知红色箱子内有 6 个红球、 2 个黄球， 黄色箱子内有 2 个红球、 6 个黄球， 所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第 2 次
5、从“与第 1 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，第 n+1 次从“与第 n 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第 n 次摸出的球是黄球的概率为 Pn，则下列说法中正确的是（ ） AP2 BPn+1Pn+ CPn+1Pn+ DPn+ 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）置上） 13已知随机变量 XN（1，2），若 P（X0）0.75，则 P（X2） 14若 y2 且 x（y+2）1，则 x+y 的
6、最小值为 15已知 f（x）（x0），当 a1 时，f（x）的最小值是 ；若 f（x）1 恒成立，则实数 a的取值范围是 16设 A，B 分别为椭圆 C：+y21 的左、右顶点，动直线 l 经过 x 轴上一定点 H，交椭圆 C 于 M，N两点（M，N 分别在 x 轴上、下方），记直线 AM，BN 的斜率分别为 k1、k2，若 k24k1，则点 H 的坐标为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）在答题纸的指定区域内） 17设
7、 f（x）（2x1）4+（2x1）3 （1）求 f（x）的展开式中含 x2项的系数； （2）求函数 f（x）的单调递减区间 18设等差数列an的公差为 d（dN*），已知 anan+2an+122 （1）求 d； （2）若 a11，求证：1 192020 年 11 月 15 日，习近平总书记在南京市主持召开全面推动长江经济带发展座谈会，要求使长江经济带成为我国生态优先绿色发展主战场某研究所从长江上游区域和长江下游区域分别任意选取 100 个观测点进行水质检测，并将水质等级检测结果按5，6），6，7），（7，8），8，9），9，10分组进行统计，如果水质等级达到 7，就认为该检测点水质“达标”，
8、否则就认为“不达标”，已知上游区域被检测的观测点中，水质“达标”的有 75 个，不达标的有 25 个，对下游区域的检测结果统计得如下频率分布直方图，其中 a，b，c 成等差数列，且 2ab （1）请完成下面的 22 列联表，并判断：能否有 97.5%的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关？ 水质“达标”检测点数 水质“不达标”检测点数 总计 长江上游区域 75 25 100 长江下游区域 100 总计 200 （2）为进步调研长江下游区域的水质情况，若以样本频率估计总体概率，再从整个长江下游区域中随机抽取 3 个观测点，记其中水质“达标”的个数为随机变量 ，求 的概率分布和数学期望 参考
9、公式：独立性检验统计量 K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20如图所示，在三棱锥 PABC 中，APABAC2，BACBAP，平面 PAB平面 CAB （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值； （2）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0），B（1，0），点 M 满足 k1k2（其中 k1，k2分别表示直线 MA，MB 的斜率） （1）求点 M
10、的轨迹 C 的方程； （2）已知点 P（2，2），点 D，E 在曲线 C 上，直线 PD，PE 的斜率互为相反数，线段 DE 的中点为 Q，求直线 OQ 的斜率 22设函数 f（x）emx （1）当 m2 时，求 f（x）在 x0 处的切线方程； （2）若 f（x）在（1，1）上有且只有一个零点，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1若椭圆 C：+1 的焦点在 x 轴上，则 m 的取值范围为（ ） A（0，5） B（0，5 C（5，+） D5，+） 解：椭圆 C：+1 的焦点在 x 轴上，则
11、m5， 故选：C 2设 xR，则“x25x60”是“x6”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 解：x25x60，1x6， （1，6）（，6）， x25x60 是 x6 的充分不必要条件， 故选：A 3若等比数列an单调递减，且 a2+a430，a2a4144，则公比 q（ ） A B2 C D2 解：a2+a430，a2a4144， a2，a4是方程 x230 x+1440 的两个实数根（a2a4）， a224，a46， q2，解得 q或 q（舍去）， 故选：A 4（x2+2x）5的展开式中含 x9的系数为（ ） A80 B2 C16 D10 解：（x2+2x
12、）5的展开式中的通项 Tr+1x2（5r）（2x）r2rx10r， 令 10r9，则 r1， （x2+2x）5的展开式中含 x9的系数为 210， 故选：D 5某校拟从 5 名班主任及 5 名班长（3 男 2 女）中选派 1 名班主任和 3 名班长去参加“党史主题活动”，若要求 2 名女班长中至少有 1 人参加，则不同的安排方案有（ ）种 A9 B15 C60 D45 解：根据题意，从 5 名班主任及 5 名班长中选派 1 名班主任和 3 名班长，有50 种选法， 其中没有女班长的选法有5 种， 则有 50545 种不同的安排方案， 故选：D 6离散型随机变量 X 的取值为 0，1，2，若 P
13、（X0），E（X）1，则 D（2X1）（ ） A B C1 D2 解：设 P（X1）p，则 P（X2）p， E（X）1， ，解得 p， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 P 故 D（X）， D（2X1） 故选：D 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AD1，AA12，若点 P 在线段 BD 上，则二面角 PBC1C的余弦值为（ ） A B C D 解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，如下图， 则 B（1，2，0），C1（0，2，2），（1，2，0），（0，2，2）， 平面 BCC1的法向量 （0，1，0）， 设平面 PB
14、C1的法向量 （x，y，z）， 则，取 x2，得 （2，1，1）， 设二面角 PBC1C 的平面角为 ， 则 cos 二面角 PBC1C 的余弦值为 故选：C 8已知 a+2a2，b+3b2，则 blga 与 algb 的大小关系是（ ） Ablgaalgb Bblgaalgb Cblgaalgb D不确定 解：由条件易得 0a1，0b1 当 a0 时，a+2aa+3a，又 a+2a2b+3b，所以 b+3ba+3a， 因为函数 yx+3x在 R 上单调递增，所以 0ba1 设，则，所以 f（x）在（0，e）上单调递增， 所以 f（b）f（a），即，所以 alnbblna 又，所以 algbb
15、lga 故选：A 二、多选题：（本大题共二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9由点列（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）得到线性回归方程 x+ ，对应的相关系数为 r，则下列 说法正确的是（ ） A若|r|越大，则 y 与 x 的线性相关性越强 B0r1 C若 0，则i
16、随 xi的增大而增大 Dr 0 解：线性相关系数只能在1，1中取得，故 B 选项错误，相关系数绝对值越靠近于 1，线性相关系数越好，即 y 与 x 的线性相关性越强，故 A 选项正确， 若 0，函数随着自变量的增加而增加，故 C 选项正确， 由于相关系数与正比例系数同号，故 D 选项正确 故选：ACD 10已知 z，则下列说法中正确的是（ ） Az 的实部为 4 Bz 在复平面上对应的点在第三象限 Cz 25 D|z|25 解：z， z 的实部为4，故 A 选项错误，z 在复平面对应的点（4，3）对应的点在第三象限，故 B 选项正确， ，故 C 选项正确，|z|，故 D 选项错误 故选：BC
17、11在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x28y，若过焦点 F 的直线 l 交抛物线于两点 A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正确的是（ ） Ax1x216 By1y216 C的最大值为16 D|12 解：由抛物线的方程可得：焦点 F（0，2），设直线 AB 的方程为：ykx+2， 联立，整理可得：x28kx160， 所以64k2+640，x1+x28k，x1x216， 所以 y1y24，y1+y2k（x1+x2）+48k+4， 故 A 正确，B 错误； 对于 C，（x1，y12），（x2，y22）， 所以x1x2+（y12）（y22） x1x2+y1y22（y1+y2
18、）+4 16+42（8k+4）+4 16k1616，当 k0 时等号成立， 所以的最大值为16，故 C 正确； 对于 D，| 2 42012，故 D 正确 故选：ACD 12 已知红色箱子内有 6 个红球、 2 个黄球， 黄色箱子内有 2 个红球、 6 个黄球， 所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第 2 次从“与第 1 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，第 n+1 次从“与第 n 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第 n 次摸出的球是黄球的概率为 Pn，则下列说法中正确的是（ ） A
19、P2 BPn+1Pn+ CPn+1Pn+ DPn+ 解：由题意可得， 第 n 次从黄箱取与红箱取是互斥事件，第 n 次摸出的球是黄球的概率为 Pn，则摸出的球是红球的概率为1Pn， 则 故选：AB 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）置上） 13已知随机变量 XN（1，2），若 P（X0）0.75，则 P（X2） 0.25 解：随机变量 XN（1，2）， 曲线关于 x1 对称， P（X2）P（X0）1P（X0）10.750.25 故答
20、案为：0.25 14若 y2 且 x（y+2）1，则 x+y 的最小值为 0 解：根据题意，若 x（y+2）1，则 x， 则 x+y+y+（y+2）2， 又由 y2，则 y+20，则+（y+2）22，当且仅当 y+21 时等号成立， 故 x+y+（y+2）20，即 x+y 的最小时为 0； 故答案为：0 15已知 f（x）（x0），当 a1 时，f（x）的最小值是 e ；若 f（x）1 恒成立，则实数 a的取值范围是 ，+） 解：当 a1 时，f（x）（x0）， f（x）， 所以在（1，+）上，f（x）0，f（x）单调递增， 在（0，1）上，f（x）0，f（x）单调递减， 所以 f（x）min
21、f（1）e， 若 f（x）1 恒成立， 则任意 x（0，+），1 恒成立， 所以任意 x（0，+），eaxx 恒成立， 所以任意 x（0，+），lneaxlnx 恒成立， 所以任意 x（0，+），axlnx 恒成立， 所以任意 x（0，+），a恒成立， 令 g（x）， g（x）， 所以在（0，e）上，g（x）0，g（x）单调递增， 在（e，+）上，g（x）0，g（x）单调递减， 所以 g（x）maxg（e）， 所以 a， 故答案为：e，+） 16设 A，B 分别为椭圆 C：+y21 的左、右顶点，动直线 l 经过 x 轴上一定点 H，交椭圆 C 于 M，N两点（M，N 分别在 x 轴上、下方）
22、，记直线 AM，BN 的斜率分别为 k1、k2，若 k24k1，则点 H 的坐标为 解：显然直线 MN 的斜率不为 0， 设直线 MN 的方程为 xky+m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由得（k2+4）y2+2kmy+m240， 则（2km）24（k2+4）（m24）0，即 k2m2+40， 由韦达定理可得， 由题意知 A（2，0），B（2，0）， 因为 k24k1，所以， 即 3ky1y2（m+2）y24（m2）y1（m+2）y24（m2）（y1+y2）y2， 即，所以或， 当时， 所以，又， 所以，即 m240，即 m2，显然不满足题意 所以故点 H 的坐标为 故答案为： 四、解
23、答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）在答题纸的指定区域内） 17设 f（x）（2x1）4+（2x1）3 （1）求 f（x）的展开式中含 x2项的系数； （2）求函数 f（x）的单调递减区间 解：（1）f（x）（2x1）4+（2x1）3， f（x）的展开式中含 x2项的系数为：22（1）2+22（1）241212； （2）f（x）42（2x1）3+32（2x1）22（2x1）2（8x1）， 令 f（x）0，得 x， 函数 f（x）
24、的单调递减区间为（，） 18设等差数列an的公差为 d（dN*），已知 anan+2an+122 （1）求 d； （2）若 a11，求证：1 解：（1）当 n1 时，有 a1a3a222，即 a1（a1+2d）（a1+d）22，化简并整理得 d22， 又 dN+，所以 d1； （2）证明：若 a11，则 ann，令 bn，则 bn， 所以数列bn的前 n 项和为 Tnb1+b2+bn1+1， 所以Tn1 192020 年 11 月 15 日，习近平总书记在南京市主持召开全面推动长江经济带发展座谈会，要求使长江经济带成为我国生态优先绿色发展主战场某研究所从长江上游区域和长江下游区域分别任意选取
25、100 个观测点进行水质检测，并将水质等级检测结果按5，6），6，7），（7，8），8，9），9，10分组进行统计，如果水质等级达到 7，就认为该检测点水质“达标”，否则就认为“不达标”，已知上游区域被检测的观测点中，水质“达标”的有 75 个，不达标的有 25 个，对下游区域的检测结果统计得如下频率分布直方图，其中 a，b，c 成等差数列，且 2ab （1）请完成下面的 22 列联表，并判断：能否有 97.5%的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关？ 水质“达标”检测点数 水质“不达标”检测点数 总计 长江上游区域 75 25 100 长江下游区域 100 总计 200 （2）为进步调
26、研长江下游区域的水质情况，若以样本频率估计总体概率，再从整个长江下游区域中随机抽取 3 个观测点，记其中水质“达标”的个数为随机变量 ，求 的概率分布和数学期望 参考公式：独立性检验统计量 K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：（1）由频率分布图的性质可得，0.05+a+b+c+0.351，即 a+b+c0.6， a，b，c 成等差数列， 2ba+c，即 b0.2， 2ab， b0.1，c0.3， 下游区域水质“达
27、标”的有 100（0.35+0.02+0.05）60 个，下游区域水质“达标”的有 1006040 个， 水质“达标”检测点数 水质“不达标”检测点数 总计 长江上游区域 75 25 100 长江下游区域 60 40 100 总计 135 65 200 5.1285.024， 有 97.5%的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关 （2）由题意可得，从长江下游区域随机选取一个观测点，其中水质“达标”的概率为， 的所有可能的值为 0，1，2，3， P（0），P（1）， P（2），P（3）， 故 的分布列为： 0 1 2 3 P E（）3 20如图所示，在三棱锥 PABC 中，APABAC2，
28、BACBAP，平面 PAB平面 CAB （1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值； （2）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 解：（1）以 A 为原点，在平面 ABC 中过 A 作 AB 的垂线为 x 轴，AB 为 y 轴， 在平面 PAB 内，过 A 作 AB 的垂线 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（0，1，），A（0，0，0），B（ 0，2，0），C（，1，0）， （0，1，），（，3，0）， 设异面直线 PA 与 BC 所成角为 ， 则异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为： cos （2）（0，3，），（0，1，），（，1，0）， 设平面 PAC 的法向量
29、（x，y，z）， 则，取 x1，得 （1，1）， 设直线 PB 与平面 PAC 所成角为 ， 则 sin 直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0），B（1，0），点 M 满足 k1k2（其中 k1，k2分别表示直线 MA，MB 的斜率） （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）已知点 P（2，2），点 D，E 在曲线 C 上，直线 PD，PE 的斜率互为相反数，线段 DE 的中点为 Q，求直线 OQ 的斜率 解：（1）设 M 点坐标为（x，y），x1， 因为，所以， 整理得，故点 M 的轨迹 C 的方程为 （2）设直线 DE 的方
30、程为 ykx+m，与曲线 C 联立得， 因为直线 DE 与曲线 C 有两个交点， 所以， 设 D（x1，y1），E（x2，y2），则， 因为直线 PD，PE 的斜率互为相反数，所以 kPD+kPE0， 所以， 即（kx1+m2）（x22）+（kx2+m2）（x12）0， 即 2kx1x2+（m22k）（x1+x2）4（m2）0， 即， 即，则或 22km0， 当 22km0 时，直线 DE 过点 P（2，2），显然不满足题意，所以， 因为， 作差可得，所以， 因为线段 DE 的中点为 Q， 所以 22设函数 f（x）emx （1）当 m2 时，求 f（x）在 x0 处的切线方程； （2）若 f
31、（x）在（1，1）上有且只有一个零点，求实数 m 的取值范围 解：（1）当 m2 时， 所以 f（0）220，又 f（0）110， 故 f（x）在 x0 处的切线方程为 y0 （2）题意转化为方程 f（x）0 在（1，1）上只有一个解， 即方程 ln（1+x）ln（1x）mx0 在（1，1）上只有一个解， 令 g（x）ln（1+x）ln（1x）mx，x（1，1）， 则函数 g（x）在（1，1）上只有一个零点， ， 当 m2 时，g（x）0 在（1，1）上恒成立，则 g（x）在（1，1）上单调递增， 函数 g（x）至多一个零点，又因为 g（0）0， 所以 g（x）有且只有一个零点，满足题意； 当 m2 时，令 g（x）0，解得，且 x1，x2（2，2）， 当1xx1或 x2x1 时，g（x）0，则函数 g（x）在（1，x1）和（x2，1）上单调递增， 当 x1xx2时，g（x）0，则函数 g（x）在（x1，x2）上单调递减， 当 x（1）+时，g（x），g（x1）g（0）0， 所以函数 g（x）在（1，x1）上存在唯一零点，又因为 g（0）0， 所以函数 g（x）在（1，1）上至少存在两个零点，不满足题意 综上所述，m 的取值范围为（，2
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