1、山东省烟台市莱州市山东省烟台市莱州市 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题）个小题） 1. 下列四个式子中，x 的取值范围为 x2 的是 A. x2x2 B. 1x2 C. x2 D. 2x 2. 下列根式中，可以与3合并的是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 3. 下列各组线段（单位：cm）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，5，7，9 B. 2，5，6，8 C. 1，3，4，7 D. 3，6，9，18 4. 下列计算正确是（ ） A. 633 26 B. 352 2 C
2、. 3 535 D. 2 3530 5. 把一元二次方程280 xxc配方，得2()11xm，则 c和 m的值分别是（ ） A. c5，m4 B. c10，m6 C. c5，m4 D. c3，m8 6. 在下列四个三角形中，以O为位似中心且与ABC位似图形序号是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程22019202020210 xx的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 如图， 点 D， E分别在ABC的,AB AC边上， 增加下列哪个条件不能使ADE与ABC相似？ （ ） A. AEDEABBC B. ADA
3、EACAB C. AEDB D. AEDC 9. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至 2020 年我国快递业务收入由 5000亿元增加到 7500 亿元， 设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 根据题意可列出方程为 （ ） A. 5000(12 )7500 x B. 5000(1)7500 x C. 25000(1)7500 x D. 25000(1)5000(1)7500 xx 10. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角
4、形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A 处 B. 处 C. 处 D. 处 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 10 个小题）个小题） 11. 请列举一个 a的值，使2aa不成立，举例：_ 12. 已知：432xyz，则3xyzx=_ 13. 若点 C是线段AB的一个黄金分割点，8AB，且ACBC，则AC _（结果保留根号） 14. 若22214xy，则22xy_ 15. 正方形是轴对称图形，它共有_条对称轴 16. 关于 x 的一元二次方程2360 xxc的一个根为 3，则 c 的值为_ 17. 如图， 在四边形ABCD中，/ /,5ADBC AB 以 A 为圆心
5、， 以适当的长为半径作弧， 分别交,AB AD于 M，N；分别以 M，N为圆心，以大于12MN长为半径作弧，两弧相交于点 G；作射线AG交BC于 E；作/EFAB交AD于 F若6AE ，则四边形ABEF的面积等于_ 18. 如图，在矩形ABCD中，6cm,8cmABBC点 P 在CD上，AP与BD交于点 Q如果49DPQABQSS，则BQ长为_ 19. 如图，在Rt ABC中，90 ,4,3CACBC在其内并排放入（不重叠）n个相同小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点 D，E 分别在,AC BC上，则小正方形的边长为_（用含 n 的代数式表示） 20. 如图，正
6、方形ABCD的边长为 4，点E在AB上且1BE ，F为对角线AC上一动点，则BFE周长的最小值为_ 三、完成下列各题（本大题共三、完成下列各题（本大题共 9 小题）小题） 21. 计算：2123( 23)3 22. 先阅读，再解决问题： 【阅读材料】通过解一元二次方程2320 xx，可得根是121,2xx由于一个根比另一个根大 1，所以我们称一元二次方程2320 xx为邻根方程 其实， 不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程方法如下： 若一元二次方程20(a0)axbxc有两个不相等的实数根，设这两个根是和() ，则,bcaa ，0 22222224()224()4bcaa 显然，
7、当1时，原方程即为邻根方程 【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程 （1）20 xx； （2）2416150 xx 23. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数上方箭头共同指向的数 示例：即437 （1）用含 x 的式子表示m_，n_； （2）当3y 时，求 x 的值 24. 我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？” 其大意是： 如图， 一座正方形城池， 在各边的中点开门 A为北门的中点， 出北门往正北方向走 30步 （“步”为古代的长度单位） ，有一棵树木（点 B）
8、C为西门的中点，出西门往正西方向走 750步到 D处正好看到 B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？ 请你用所学知识解决这个问题 25. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，过点 D作 DEAC，且 DE12AC，连接 CE、OE，连接 AE 交 OD于点 F （1）求证：OECD； （2）若菱形 ABCD 的边长为 8，ABC60，求 AE 的长 26. 如图，在正方形ABCD中，点 E 在边AD上，点 F 在边CD上，且AEDF线段BE与AF相交于点 G，GH是BFG的中线判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由 27. 列方程解应用题： 一个容器盛满了酒精溶液1
9、0L，此酒精溶液含纯酒精为 80%第一次倒出若干升后，用水加满；充分混合后第二次又倒出同样体积的酒精溶液，这时容器里纯酒精剩下2L每次倒出的酒精溶液是多少升？ 28. 如图，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点 A，连接,DG BE AC CF （1）求证：DGBE； （2）求CFBE的值 山东省烟台市莱州市山东省烟台市莱州市 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题）个小题） 1. 下列四个式子中，x 的取值范围为 x2 的是 A. x2x2 B. 1x2 C. x2 D. 2x 【1
10、题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，对各选项进行判断： A、x20，且 x20，解得：x2，故此选项错误； B、x20，解得：x2，故此选项错误； C、x20，解得 x2，故此选项正确； D、2x0，解得 x2，故此选项错误 故选 C 2. 下列根式中，可以与3合并的是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐项分析即可 【详解】A. 6与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B. 82 2与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
11、 C. 122 3与3是同类二次根式，能合并，符合题意； D. 164与3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选 C 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式 3. 下列各组线段（单位：cm）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，5，7，9 B. 2，5，6，8 C. 1，3，4，7 D. 3，6，9，18 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先把各组线段从小到大排序，然后看看第一个数和第四个数的积是否等于第二个数和第三个数的积，若相等，则
12、可成比例，否则不可成比例 【详解】解：3 95 7，A 不符合题意； 2 85 6，B 符合题意； 1 73 4，C 符合题意； 3 18=6 9=54，D 符合题意， 故选 D 【点睛】 本题考查线段成比例的应用， 正确理解线段成比例的意义并灵活运用比例的基本性质是解题关键 4. 下列计算正确的是（ ） A. 633 26 B. 352 2 C. 3 535 D. 2 3530 【4 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算可直接进行排除选项 【详解】解：A、1633 23 1686，正确，故符合题意； B、3和5不是同类二次根式，所以不能运算，故错误，不符合题意； C、
13、3 5和3不是同类二次根式，所以不能运算，故错误，不符合题意； D、2 352 15，故错误，不符合题意； 故选 A 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键 5. 把一元二次方程280 xxc配方，得2()11xm，则 c和 m的值分别是（ ） A. c5，m4 B. c10，m6 C. c5，m4 D. c3，m8 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】将280 xxc配方，即可求出 m和 c的值 【详解】280 xxc，配方得： 2(4)16xc， 41611mc ，即45mc 故选 A 【点睛】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的步骤是解
14、答本题的关键 6. 在下列四个三角形中，以O为位似中心且与ABC位似的图形序号是（ ） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】B 【解析】 分析】根据位似图形的概念判断即可 【详解】解：与ABC相似，对应点的连线相交于点 O，对应边互相平行， 与ABC是位似图形且 O 为位似中心， 故选：B 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 7. 一元二次方程22019202020210 xx的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C
15、. 无实数根 D. 无法确定 【7 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据根的判别式列式求解即可 【详解】解：一元二次方程22019202020210 xx中， 2019,2020,2021abc， 224( 2020)4201920210bac ， 方程没有实数根 故选：C 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a0)axbxc的根与24bac有如下关系：240bac ，方程有两个不相等的实数根；240bac ，方程有两个相等的实数根； 240bac，方程无实数根 8. 如图， 点 D， E分别在ABC的,AB AC边上， 增加下列哪个条件不能使ADE与ABC相似？ （
16、） A. AEDEABBC B. ADAEACAB C. AEDB D. AEDC 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断即可解答 【详解】解：由题意得，A=A， A、当AEDEABBC时，不能推断ADE 与ABC相似；故选项符合题意； B、当ADAEACAB时，ADEACB；故本选项不符合题意 C、当ADE=B时，ADEABC；故本选项不符合题意； D、当ADE=C时，ADEACB；故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】 本题考查了直角三角形相似的判定：有两个对应角相等的三角形相； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角
17、形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似 9. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至 2020 年我国快递业务收入由 5000亿元增加到 7500 亿元， 设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 根据题意可列出方程为 （ ） A. 5000(12 )7500 x B. 5000(1)7500 x C. 25000(1)7500 x D. 25000(1)5000(1)7500 xx 【9 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】设我国 2018年至 2020年快递业务收入的年平均增长率为 x，根据题意列一元二次方程即可 【详解】设我国
18、2018年至 2020年快递业务收入的年平均增长率为 x，依题意得，25000(1)7500 x 故选 C 【点睛】本题考查了一元二次方程增长率问题的应用，理解题意列出方程是解题的关键 10. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第
19、三个顶点的位置即可 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2,2 5,4 2； “车”、“炮”之间的距离为 1，“炮”之间的距离为5，“车”之间的距离为 2 2， 52 2122 54 2 马应该落在的位置， 故选 B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 10 个小题）个小题） 11. 请列举一个 a的值，使2aa不成立，举例：_ 【11 题答案】 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，结合题意，举一个反例，满足0a 的数即符合题意 【详解】依
20、题意使2aa不成立， 2aa， 当0a 时，aa， 当1a时，2aa不成立 故答案为：1（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键 12. 已知：432xyz，则3xyzx=_ 【12 题答案】 【答案】74 【解析】 【分析】直接利用已知用同一未知数表示出 x，y，z 的值，进而代入化简即可 【详解】432xyz，设 x=4a，则 y=3a，z=2a，则原式4364aaaa=74aa=74 故答案为74 【点睛】本题考查了比例的性质，正确用一个未知数表示出各数是解题的关键 13. 若点 C是线段AB的一个黄金分割点，8AB，且ACBC，则AC _（结果保
21、留根号） 【13 题答案】 【答案】45-4 【解析】 【分析】根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512”结合题意 ACBC，且 AB=8，即可列出关于线段 AC长的等式，解出 AC即可 【详解】点 C是线段 AB 的一个黄金分割点，且 ACBC 512ACAB， 5182AC， 4 54AC 故答案为：4 54 【点睛】本题考查黄金分割熟记黄金分割比例是“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，且其比值为512”是解答本题的关键 14. 若22214xy，则22xy_ 【14 题答案】 【答案】3 【解
22、析】 【分析】根据题意将22214xy两边开方，即可分情况得出22xy的值 【详解】解：两边开方得2212xy ， 223xy或221xy ， 220 xy， 223xy 故答案为：3 【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键 15. 正方形是轴对称图形，它共有_条对称轴 【15 题答案】 【答案】四 【解析】 【详解】试题分析：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可 解：如图所示，正方形是轴对称图形，它共有 4 条对称轴 故答案为 4 考点：轴对称图形 16. 关于 x 的一元二次方程2360 xxc的一个根为 3，则 c 的值为_ 【16 题答案】 【答案
23、】189 3 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将3x 代入原方程即可求得c的值 【详解】关于 x 的一元二次方程2360 xxc的一个根为 3， 9 3 180c 18 9 3c 故答案为：189 3 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 17. 如图， 在四边形ABCD中，/ /,5ADBC AB 以 A 为圆心， 以适当的长为半径作弧， 分别交,AB AD于 M，N；分别以 M，N为圆心，以大于12MN长为半径作弧，两弧相交于点 G；作射线AG交BC于
24、 E；作/EFAB交AD于 F若6AE ，则四边形ABEF的面积等于_ 【17 题答案】 【答案】24 【解析】 【分析】连接 BF与 AE交于 O，由作图方法可知，AE 是BAD 的角平分线，则BAE=DAE，然后证明四边形 ABEF是菱形，得到 AEBF，132AOOEAE，BF=2OB，再利用菱形的面积公式和勾股定理求解即可 【详解】解：如图所示，连接 BF 与 AE 交于 O， 由作图方法可知，AE是BAD 的角平分线， BAE=DAE， ADBC，EFAB 四边形 ABEF 是平行四边形，FAE=AEB， BAE=AEB， AB=BE， 四边形 ABEF 是菱形， AEBF，132A
25、OOEAE，BF=2OB， 224BOABAO， BF=8， 四边形 ABEF 的面积1242AE BF， 故答案为：24 【点睛】本题主要考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 18. 如图，在矩形ABCD中，6cm,8cmABBC点 P 在CD上，AP与BD交于点 Q如果49DPQABQSS，则BQ长为_ 【18 题答案】 【答案】6cm 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得 BD的长，然后证明DPQBAQ，可得2DPQBAQSDPSAB，由49DPQABQSS，得23DPAB，进而可得 BQ的
26、长 【详解】解：在矩形 ABCD中，AB=6cm，BC=AD=8cm 则 BD=2210ABAD cm AB/ /CD， DPQBAQ， 2DPQBAQSDPSAB 49DPQABQSS 23DPAB 23DQDPBQAB DQ+BQ=10cm， BQ=6cm 故答案为：6cm 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方 19. 如图，在Rt ABC中，90 ,4,3CACBC在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点 D，E 分别在,AC BC上，则小正方形的边长为_（
27、用含 n 的代数式表示） 【19 题答案】 【答案】601225n 【解析】 【分析】作 CFAB，交 DE 于点 H，利用面积法求出 CF 的长，证明DECABC，则 CH:CF=DE:AB，进而即可求得 【详解】作 CFAB，交 DE 于点 H，连接DE 依题意，CHDE 90 ,4,3CACBC 2222435ABACBC 1122ABCSAB CFAC BD CF=125 CHDE，CFAB /DE AB CDECAB CH:CF=DE:AB 设小正方形的边长为x,则,CHCFx DEnx （125-x） ：125=nx：5 解得 x=6025 12n 故答案为：602512n 【点睛
28、】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键 20. 如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在AB上且1BE ，F为对角线AC上一动点，则BFE周长的最小值为_ 【20 题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】连接 ED交 AC于一点 F，连接 BF，根据正方形的对称性得到此时BFE 的周长最小，利用勾股定理求出 DE即可得到答案 【详解】解：连接 ED 交 AC于一点 F，连接 BF， 四边形 ABCD是正方形， 点 B与点 D关于 AC对称， BF=DF， BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小， 正方形ABCD的边长为 4， AD=AB=4，DA
29、B=90 ， 点E在AB上且1BE ， AE=3， DE=225ADAE， BFE的周长=5+1=6， 故答案为：6 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，依据正方形的对称性，连接 DE 交 AC于点 F时BFE的周长有最小值是解题的关键 三、完成下列各题（本大题共三、完成下列各题（本大题共 9 小题）小题） 21. 计算：2123( 23)3 【21 题答案】 【答案】167-633 【解析】 【分析】根据二次根式的除法运算，完全平方公式进行计算即可 【详解】解：原式=21-39-（2-2 6+3） =61-33-5+2 6 =167-633. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根
30、式的运算法则是解题的关键 22. 先阅读，再解决问题： 【阅读材料】通过解一元二次方程2320 xx，可得根是121,2xx由于一个根比另一个根大 1，所以我们称一元二次方程2320 xx为邻根方程 其实， 不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程方法如下： 若一元二次方程20(a0)axbxc有两个不相等的实数根，设这两个根是和() ，则,bcaa ，0 22222224()224()4bcaa 显然，当1时，原方程即为邻根方程 【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断否为邻根方程 （1）20 xx； （2）2416150 xx 【22 题答案】 【答案】 （1
31、）是； （2）是 【解析】 【分析】根据题意中的两根之差的公式计算即可 【详解】解： （1）x2+x=0， 这里 a=1，b=1，c=0， 22414 0-111bcaa， x2+x=0 是邻根方程 （2）4x2+16x+15=0， 这里 a=4，b=16，c=15， 224164 15-144bcaa， 4x2+16x+15=0 是邻根方程 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意根据公式计算是解题的关键 23. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数上方箭头共同指向的数 示例：即437 （1）用含 x 的式子表示m_，n_； （2）当3y 时，求 x 的值 【23 题答案】
32、【答案】 （1）2x2+x， 2x2+3； （2）x1=0，x2=-14 【解析】 【分析】 （1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，直接写出 m，n 即可； （2）先转换成加法形式，表示出 m，n，y，再把 y=3 代入解方程求出 x 【详解】解： （1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数， 则 m=x+2x2，n=2x2+3； 故答案为：2x2+x， 2x2+3； （2）由(1)知 m=2x2+x，n=2x2+3，由题意得 y=m+n， 则 y=2x2+x+2x2+3=4x2+x+3， 把 y=3 代入得方程，3=4x2+x+3， 整理得 x（4x+1）=
33、0 解得：x1=0，x2=-14 【点睛】本题考查的是新定义，熟练理解题上新定义内容和一元二次方程是解决本题的关键 24. 我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？” 其大意是： 如图， 一座正方形城池， 在各边的中点开门 A为北门的中点， 出北门往正北方向走 30步 （“步”为古代的长度单位） ，有一棵树木（点 B） C为西门的中点，出西门往正西方向走 750步到 D处正好看到 B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？ 请你用所学知识解决这个问题 【24 题答案】 【答案】正方形城池的边长为 300步 【
34、解析】 【分析】根据题意可得BAE=ECD=90 ，BA/EC，则可证明BAEECD， 得到 AECD=BAEC，设正方形城池的边长为 x步，则7503022xx，解方程即可 【详解】解：由题意知：BAE=ECD=90 ， BA/EC, B=DEC， BAEECD， AECD=BAEC， 设正方形城池的边长为 x步，则 7503022xx， 解得，x1=300，x2=-300（舍去） ， 所以正方形城池的边长为 300步， 答：正方形城池的边长为 300步 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 25. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于
35、点 O，过点 D作 DEAC，且 DE12AC，连接 CE、OE，连接 AE 交 OD于点 F （1）求证：OECD； （2）若菱形 ABCD 的边长为 8，ABC60，求 AE 的长 【25 题答案】 【答案】 （1）详见解析； （2）47 【解析】 【分析】 （1）先求出四边形 OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出COD90，证明OCED 是矩形，可得 OECD； （2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出 AC与 CE的长，再根据勾股定理得出 AE的长度即可 【详解】解： （1）在菱形 ABCD 中，OC12AC，ACBD 又DE12AC， DEOC DEAC， 四边形 O
36、CED是平行四边形 COD90， 平行四边形 OCED 是矩形 OECD （2）在菱形 ABCD 中，ABBC，ABC60， ABC是等边三角形， ACAB8，AO4 在矩形 OCED中，CEOD224 3ADAO， 又矩形 DOCE中，OCE90， 在 RtACE中，AE2222+84 3ACCE 47 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质，矩形的判定与性质是解题的关键. 26. 如图，在正方形ABCD中，点 E 在边AD上，点 F 在边CD上，且AEDF线段BE与AF相交于点 G，GH是BFG中线判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由 【26 题答案】
37、【答案】BF=2GH，理由见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质，以及已知条件AEDF，证明ABEDAF，进而证明90BGF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求证 BF=2GH 【详解】BF=2GH，理由如下： 四边形 ABCD是正方形， BAD=D=90 ，AB=DA, AE=DF, ABEDAF. ABE=DAF. DAF+BAG=BAD=90 ， ABE+BAG=90 , BGF=180 -（ABE+BAG）=90 . 在 RtBFG 中，GH 是斜边 BF的中线， BF=2GH 【点睛】 本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 三角形全等的性质
38、与判定，证明90BGF是解题的关键 27. 列方程解应用题： 一个容器盛满了酒精溶液10L，此酒精溶液含纯酒精为 80%第一次倒出若干升后，用水加满；充分混合后第二次又倒出同样体积的酒精溶液，这时容器里纯酒精剩下2L每次倒出的酒精溶液是多少升？ 【27 题答案】 【答案】每次倒出的酒精溶液为 5L 【解析】 【分析】设每次倒出的酒精溶液为 xL，然后根据第一次倒出若干升后，用水加满；充分混合后第二次又倒出同样体积的酒精溶液，这时容器里纯酒精剩下 2L列出方程求解即可 【详解】解：设每次倒出的酒精溶液为 xL， 根据题意，得（10-x）80%-10-80%10 xx=2， 解这个方程，得 x1=
39、5，x2=15（不合题意，舍去） ， 每次倒出的酒精溶液为 5L， 答每次倒出的酒精溶液为 5L 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解 28. 如图，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点 A，连接,DG BE AC CF （1）求证：DGBE； （2）求CFBE的值 【28 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）2 【解析】 【分析】 （1）通过证明DAGBAE，得到 DGBE （2）通过证明CAFBAE，得到 CF 和 BE 的比值 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD和四边形 AEFG是正方形， AD=AB,AG=AE，DAB=GAE=90 ， DAG+GAB=BAE+GAB， DAG=BAE. DAGBAE. DG=BE； （2）解：连接 AF， 四边形 ABCD是正方形， AB=BC ABC=90 ， BAC=45 ， AC=22222ABBCABABAB. 22ACABABAB. 同理，2AFAE. ACAB=AFAE. CAF=CAB-FAB=45 -FAB, 同理可得BAE=45 -FAB, CAF=BAE. CAFBAE. 2CFACBEAB. 【点睛】此题考查了正方形背景下的全等三角形的判定和相似三角形的判定及性质应用，找到相似三角形列出比例关系以及借助特殊角度为解题关键
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