1、2020-2021 学年江苏省扬州市高一下学年江苏省扬州市高一下期末数学试卷期末数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1sin22sin52+sin68sin38（ ） A B C D 2已知正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（ ） A B C4 D4 3已知复数 z 满足 z（1+2i）34i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A5 B C3 D 4设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为 0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 1 人需使用这种设备的
2、概率为（ ） A0.3 B0.5 C0.7 D0.9 5设 m、n 是两条不同的直线，、 是三个不同的平面下列命题中正确的命题是（ ） A若 ，m，n，则 mn B若 ，则 C若 m，n，则 mn D若 ，m，则 m 6在等边ABC 中，向量在向量上的投影向量为（ ） A B CAB DAB 7已知1，tan（），则 tan（ ） A1 B1 C7 D7 8已知ABC 中，AB2，其外接圆半径为 2，若4，则角 A 的最大值为（ ） A B C D 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
3、求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分) 9居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国 31 个省（区、市）的 1800 个县（市、区） 随机抽选 16 万个居民家庭作为调查户 国家统计局公布的我国 2019 年和 2020 年全国居民人均消费支出及构成，如图 1 和图 2 所示，则下列说法中正确
4、的有（ ） A2020 年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于 2019 年 B2020 年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于 2019 年 C2019 年和 2020 年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大 D2020 年全国居民人均消费支出低于 2019 年全国居民人均消费支出 10已知实数 x，a，b 和虚数单位 i，定义：复数 z0cosx+isinx 为单位复数，复数 z1a+bi 为伴随复数，复数 zz0z1f（x）+g（x）i 为目标复数，目标复数的实部 f（x）和虚部 g（x）分别为实部函数 f（x）和虚部函数 g（x），则正确的说法有（ ）
5、Af（x）acosxbsinx Bg（x）asinxbcosx C若，则 a，b1 D若 a，b1 且 g（x），则锐角 x 的正弦值 sinx 11 设 A， B， C， D 是两两不同的四个点， 若， 且 m+n2mn， 则下列说法正确的有 （ ） A点 C 可能是线段 AB 的中点 B点 B 可能是线段 AC 的中点 C点 C，D 不可能同时在线段 AB 上 D点 C，D 可能同时在线段 AB 的延长线上 12已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA11，P 是线段 BC1上的一动点，则下列说法正确的有（ ） A当 P 与 C1重合时，三棱锥 PACD 的外接球的表面积为
6、7 B三棱锥 APCD1的体积不变 C直线 AP 与平面 ACD1所成角不变 DAP+PC 的最小值为 3 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13数据 9，8，7，6，5，4，3，2，1 的 40 百分位数是 14 已知平行四边形ABCD中， AB6， AD4， BAD， M、 N分别为BC、 CD的中点， 则 15如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN45，C 点的仰角CAB30以及MAC75；从 C 点测得MCA60，已知山高 BC50m，则山高 MN m
7、 16甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班 50 人，乙班 40 人甲班的平均成绩为 76 分，方差为 96分2； 乙班的平均成绩为 85 分， 方差为 60 分2 那么甲、 乙两班全部 90 名学生的平均成绩是 分，方差是 分2 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinA+cosA2，a2 （1）求 A； （2）在acosBbsinA，b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求ABC 的面积 1
8、8正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 DD1中点 （1）求证：BD1平面 AEC； （2）求证：平面 B1AC平面 B1BDD1 19已知 z11+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n0 的一个复数根 （1）求实数 m，n 的值； （2）设方程的另一根为 z2，复数 z1，z2对应的向量分别是若向量 t与垂直，求实数 t的值 20某大型连锁超市随机抽取了 100 位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这 100 位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2，0.8内，按0.2，0.3，（0.3，0.4，（0.4，0.5，（0.5，0.6，（0.6，0.7，（
9、0.7，0.8分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）求该频率分布直方图中 a 的值，并求出这 100 位客户最近一年到该超市消费金额的平均数 x（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）； （2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间（0.3，0.4和（0.4，0.5内的客户中，采用分层抽样的方法抽取 5 人进行电话访谈，再从访谈的 5 人中随机选择 2 人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有 1人来自区间（0.3，0.4的概率 21如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，CD3AB3，BC，点 E 在 CD 上，且 CE1沿AE 将ADE 翻折到SAE 处，使得平面
10、SAE平面 ABCE （1）证明：SE平面 ABCE； （2）求二面角 SACE 的正切值 22在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a+cmb（mR） （1）若 m，求B 的最大值； （2）若B 为钝角，求： m 的取值范围； 的取值范围 （参考公式：sin+sin2sin） 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1sin22sin52+sin68sin38（ ） A B C D 解：sin52cos38，sin68cos22， sin22sin52+sin68sin38sin22cos
11、38+cos22sin38sin（22+38）sin60 故选：D 2已知正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（ ） A B C4 D4 解：如图， 连接 AC、BD，设 AC 与 BD 相交于 O，连接 SO，则 SO 为正四棱锥的高， 由正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2，得 OAAC， 又侧棱长 SA，高 SO， 该正四棱锥的体积等于， 故选：A 3已知复数 z 满足 z（1+2i）34i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A5 B C3 D 解：z（1+2i）34i， ， 故选：B 4设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为 0.4，0.
12、5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 1 人需使用这种设备的概率为（ ） A0.3 B0.5 C0.7 D0.9 解：根据题意，设甲使用设备为事件 A，乙使用设备为事件 B， 则 P（A）0.4，P（B）0.5，则有 P（ ）10.40.6，P（ ）10.50.5， 甲乙都没有使用设备的概率 p（）0.60.50.3， 则同一工作日至少 1 人需使用这种设备的概率 P1p（）10.30.7； 故选：C 5设 m、n 是两条不同的直线，、 是三个不同的平面下列命题中正确的命题是（ ） A若 ，m，n，则 mn B若 ，则 C若 m，n，则 mn D若 ，m，则 m 解：若 ，m，n，
13、则 mn 或 m 与 n 异面，故 A 错误； 若 ，则 或 与 相交，故 B 错误； 若 m，n，则 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 C 错误； 若 ，m，则 m，又 ，则 m，故 D 正确 故选：D 6在等边ABC 中，向量在向量上的投影向量为（ ） A B CAB DAB 解：因为，所以，则+， 设该等边三角形的边长为 a， 所以（+）+a+acos120a，|a， 则向量在向量上的投影为， 故向量在向量上的投影向量为， 故选：B 7已知1，tan（），则 tan（ ） A1 B1 C7 D7 解：1，cos22cos21， sincos2cos2， 又1， sinc
14、os0， tan2， tan（）， ，解得 tan1 故选：A 8已知ABC 中，AB2，其外接圆半径为 2，若4，则角 A 的最大值为（ ） A B C D 解：如图，设ABC 的外接圆圆心为 O， 因为ABC 的边 AB2，其外接圆半径为 2， 所以AOB 为正三角形， 又因为4，所以点 C 与点 O 在 AB 同侧，则有ACB30， 根据正弦定理，即 AC4sinABC， 则2ACcosBAC8sinABCcosBAC， 设BAC， 则8sin（+）cos 8（+）cos 8（+cos2） 4sin（2+）+24， 即 sin（2+）， 因为 0，所以2+， 则2+， 所以 0， 则BA
15、C 的最大值为 故选：C 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分) 9居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国 31 个省（区、市）的 1800 个县
16、（市、区） 随机抽选 16 万个居民家庭作为调查户 国家统计局公布的我国 2019 年和 2020 年全国居民人均消费支出及构成，如图 1 和图 2 所示，则下列说法中正确的有（ ） A2020 年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于 2019 年 B2020 年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于 2019 年 C2019 年和 2020 年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大 D2020 年全国居民人均消费支出低于 2019 年全国居民人均消费支出 解：对于选项 A，2020 年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为 2032 元， 2019 年全国居民
17、人均消费支出中教育文化娱乐的支出为 2513 元，故 A 错， 对于选项 B，2020 年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为 8.69%， 2019 年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为 8.82%，故 B 对， 对于选项 C，2019 年和 2020 年全国居民人均食品烟酒消费在八大类中所占比重最大，故 C 错， 对于选项 D，2020 年全国居民人均消费支出约为 4620.021821193， 2019 年全国居民人均消费支出约为 5240.024321564，故 D 正确， 故选：BD 10已知实数 x，a，b 和虚数单位 i，定义：复数 z0cosx+isinx
18、 为单位复数，复数 z1a+bi 为伴随复数，复数 zz0z1f（x）+g（x）i 为目标复数，目标复数的实部 f（x）和虚部 g（x）分别为实部函数 f（x）和虚部函数 g（x），则正确的说法有（ ） Af（x）acosxbsinx Bg（x）asinxbcosx C若，则 a，b1 D若 a，b1 且 g（x），则锐角 x 的正弦值 sinx 解：因为 zz0z1f（x）+g（x）i（acosxbsinx）+（asinx+bcosx）i， 所以 f（x）acosxbsinx，g（x）asinx+bcosx， 故选项 A 正确，选项 B 错误； 因为 f（x）， 所以 a，b1， 故选项 C
19、 错误； 因为 g（x）asinx+bcosx， 所以， 又因为 x 为锐角，则， 所以， 故 sinxsin（x）+sin（x）cos+cos（x）sin， 故选项 D 正确 故选：AD 11 设 A， B， C， D 是两两不同的四个点， 若， 且 m+n2mn， 则下列说法正确的有 （ ） A点 C 可能是线段 AB 的中点 B点 B 可能是线段 AC 的中点 C点 C，D 不可能同时在线段 AB 上 D点 C，D 可能同时在线段 AB 的延长线上 解：若点 C 可能是线段 AB 的中点，则 m，代入 m+n2mn 得+n2n，无解，A 错； 若点 B 是线段 AC 的中点，m2，代入
20、m+n2mn 得 2+n22n，解得 n，有解，B 对 当 mn1 时满足 m+n2mn，此时 C，D 都与 B 重合，与已知矛盾，C 对； 若点 C，D 同时在线段 AB 延长线上，则 m1，n1，则+2，这与2 矛盾，D 错 故选：BC 12已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA11，P 是线段 BC1上的一动点，则下列说法正确的有（ ） A当 P 与 C1重合时，三棱锥 PACD 的外接球的表面积为 7 B三棱锥 APCD1的体积不变 C直线 AP 与平面 ACD1所成角不变 DAP+PC 的最小值为 3 解：对于 A，当点 P 与 C1重合时，三棱锥 PACD 即为三棱
21、锥 C1ACD， 又因为三棱锥 C1ACD 与长方体 ABCDA1B1C1D1有相同的外接球， 所以外接球的直径 2RAC1， 故外接球的表面积为 S4R27， 故选项 A 正确； 因为 BC1AD1，又 AD1平面 ACD1，BC1平面 ACD1， 所以 BC1平面 ACD1， 由等体积法可得， 所以三棱锥 APCD1的体积不变， 故选项 B 正确； 对于 C，因为 BC1平面 ACD1， 所以点 P 到平面 ACD1的距离不变， 但 AP 的长度由 AB 的长增加到 AC1的长度， 即 AP 的长度是变化的， 所以直线 AP 与平面 ACD1所成的角是变化的， 故选项 C 错误； 对于 D
22、，把矩形 ABC1D1和 RtBC1C 放置在同一平面内，如图所示， 其中 AB，BC，AA11，则 BC12， 连接 AC 交 BC1于点 P， 当点 A，P，C 三点共线时，AP+PC 最小， 则 sinC1BC， 故C1BC30，所以ABC120， 由余弦定理可得，AC2AB2+BC22ABBCcos1209， 所以 AC3，即 AP+PC 的最小值为 3， 故选项 D 正确 故选：ABD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13数据 9，8，7，6，5，4，3，2，1 的 40 百分位数是 4 解：940%3.6，可
23、知 3.6 的比邻整数是 4， 数据 9，8，7，6，5，4，3，2，1 从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 可知其 40 百分位数是 4 故答案为：4 14已知平行四边形 ABCD 中，AB6，AD4，BAD，M、N 分别为 BC、CD 的中点，则 41 解：如图， 四边形 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 BC，CD 的中点， +，+， 则（+）（+）+ + + 15+18+8 41 故答案为：41 15如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN45，C 点的仰角CAB30以及MAC75；从 C 点测得MC
24、A60，已知山高 BC50m，则山高 MN 50 m 解：在 RTABC 中，CAB30，BC50m，所以 AC100m 在AMC 中，MAC75，MCA60，从而AMC45， 由正弦定理得，因此 AM50m 在 RTMNA 中，AM50m，MAN45，得 MN50m 故答案为：50 16甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班 50 人，乙班 40 人甲班的平均成绩为 76 分，方差为 96分2； 乙班的平均成绩为 85 分， 方差为 60 分2 那么甲、 乙两班全部 90 名学生的平均成绩是 80 分，方差是 100 分2 解：甲、乙两班全部 90 名学生的平均成绩是76+8580（分）；
25、 甲、乙两班全部 90 名学生的方差是5096+（7680）2+4060+（8580）2100（分2） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sinA+cosA2，a2 （1）求 A； （2）在acosBbsinA，b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求ABC 的面积 解：（1）sinA+cosA2， ， ， A（0，）， ， ， A （2）选acosBbsinA， acosBbsinA， 由正弦定
26、理，可得 sinAcosBsinBsinA， sinA0， sinBcosB，即 tanB1， 又B（0，）， B， A，B，a2， 由正弦定理， ， ， sinC， ， 选b2+， b2+， 由余弦定理可得， B（0，）， ， A，B，a2， 由正弦定理， ， ， sinC， 18正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 DD1中点 （1）求证：BD1平面 AEC； （2）求证：平面 B1AC平面 B1BDD1 【解答】（1）证明：设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 OE，则 O 为 BD 的中点， E 为 DD1的中点，OEBD1， 又 OE平面 AEC，BD1平面 AEC， BD
27、1平面 AEC （2）证明：正方形 ABCD，ACBD， 由正方体的性质知，DD1平面 ABCD， DD1AC， 又 BDDD1D，BD、DD1平面 B1BDD1， AC平面 B1BDD1， AC平面 B1AC， 平面 B1AC平面 B1BDD1 19已知 z11+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n0 的一个复数根 （1）求实数 m，n 的值； （2）设方程的另一根为 z2，复数 z1，z2对应的向量分别是若向量 t与垂直，求实数 t的值 解：（1）z11+i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n0 的一个复数根， z21i 是关于 x 的实系数方程 x2+mx+n0 的另一个复
28、数根， 由根与系数的关系可得m1+1，即 m2； n（1+）（1）11+23 m2，n3； （2）由（1）知， 则 t（t1，），（1+t，）， 由 t与垂直，可得 t21+22t20， 解得 t1 20某大型连锁超市随机抽取了 100 位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这 100 位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2，0.8内，按0.2，0.3，（0.3，0.4，（0.4，0.5，（0.5，0.6，（0.6，0.7，（0.7，0.8分成 6 组，其频率分布直方图如图所示 （1）求该频率分布直方图中 a 的值，并求出这 100 位客户最近一年到该超市消费金额的平均
29、数 x（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）； （2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间（0.3，0.4和（0.4，0.5内的客户中，采用分层抽样的方法抽取 5 人进行电话访谈，再从访谈的 5 人中随机选择 2 人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有 1人来自区间（0.3，0.4的概率 解：（1）0.1（a+a+2+3+1.8+0.6）1，a1.3， x0.130.25+0.20.35+0.30.45+0.180.55+0.130.65+0.060.750.466， 这 100 位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为 0.466 万元， （2）采用分层抽样的方法抽取 5 人进行
30、电话访谈，则从消费金额在区间（0.3，0.4和（0.4，0.5内的客户中分别抽取 2 人，3 人； 记区间（0.3，0.4内的客户为 a，b，区间（0.4，0.5内的客户为 1，2，3， 则样本空间 ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23，共 10 种情况， 记 A“幸运客户中恰有 1 人来自区间（0.3，0.4”，则 A 共 6 种情况， 故 P（A）0.6， 即幸运客户中恰有 1 人来自区间（0.3，0.4的概率为 0.6 21如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，CD3AB3，BC，点 E 在 CD 上，且 CE1沿AE 将ADE 翻折到SAE 处，使得平
31、面 SAE平面 ABCE （1）证明：SE平面 ABCE； （2）求二面角 SACE 的正切值 【解答】（1）证明：因为 CD3AB3，CE1，所以 ABEC1，DESE2， 又因为 ABCD，所以 ABCE 为平行四边形， 又 ABBC，所以 ABCE 为矩形， 则 AEDC，故 AESE， 又平面 SAE平面 ABCE，平面 SAE平面 ABCEAE，SE平面 SAE， 所以 SE平面 ABCE； （2）解：在平面 ABCE 内，过 E 作 EPAC，垂足为 P，连结 SP， 由（1）可知，SE平面 ABCE， 又 AC平面 ABCE，所以 SEAC， 因为 EPAC，且 EP，SE平面
32、AEP，EPSEE， 则 AC平面 SPE， 又 SP平面 SEP，所以 ACSP， 又因为 EPAC， 则SPE 即为二面角 SACE 的平面角， 由（1）可知，AEAC，AEBC，EC1， 又 EPAC， 所以， 则， 又在 RtSEP 中，SEP90，SE2， 所以 tanSPE， 故二面角 SACE 的正切值为 22在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a+cmb（mR） （1）若 m，求B 的最大值； （2）若B 为钝角，求： m 的取值范围； 的取值范围 （参考公式：sin+sin2sin） 解：（1）当 m时， 由余弦定理定理可得， B， B 的最大值为 （2）由三角形的性质，可得 a+cb， 又a+cmb（mR）， m1， B 是钝角， 存在 a0，c0，使得 a2+c2b2， a+cmb， ，1+成立， ， 1m22， ， （3）a+cmb（mR）， 由正弦定理，可得 sinA+sinCmsinB， ， ， ， ， 由三角函数的二倍角可得， 1+cosAcosC+sinAsinCm2（1+cosAcosCsinAsinC）， ， ， ， 的取值范围为
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