1、广东省潮州市2022年高考第二次模拟考试数学试卷一、选择题1 已知集合或，则（ ）A. B. C. D. 或2. 复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（ ）A. B. C. D. 4. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 5. 若点P是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.
2、唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. 5B. C. 45D. 7. 已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数两个零点分别在区间和内，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. （二）多项选择题（本题共4小题
3、，每小题5分，共20分每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，错选不得分）9. 某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（ ）A. 1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月B. 1月到9月最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C. 1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小D. 1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 点是图像的一个对称中心C. 的图像关于直线对称D. 在区间单调递减11. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数的定义
4、域为B. 函数为非奇非偶函数C. 过点且与图象相切直线方程为D 若，则12. 已如斜率为k的直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（ ）A. 为定值B. 为定值C. k的取值范围为D. 存在实数k使得二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 记为等比数列的前n项和若，则_14. 已知，则_15. 设，则_16. 设函数，点在图象上，点为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，则的最大值是_三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第1822题每小题12分，共70分）17. 已知数列
5、的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19. 已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，（1）求角B的大小；（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度的面积为；的周长为21. 如图，平面平面CEFG，四边形CEFG中，点E在正方形ACDE的外部，且，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值23. 我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30的概率为，收益率为的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30的概率为0.4，收益率为的概率为0.1，收益率为零的概率为0.
6、5（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份x20182019202020211234累计投资金额y（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元附：收益投入的资金获利的期望；线性回归中，25. 设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.()求椭圆的方程()设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否
7、存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.26. 已知函数，（1）若函数在区间内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，且，求证：潮州市2022年高考第二次模拟考试数学试卷一、选择题（本题共12道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至12小题为多项选择题，每小题5分，共60分）（一）单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1. 已知集合或，则（ ）A. B. C. D. 或【1题答案】【答案】B【解析】【分析】利用补集的概念求解.【详解】因为或，所以，故选：B2. 复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）A.
8、B. C. D. 【2题答案】【答案】B【解析】【分析】化简，即得解.【详解】解：由题得，所以复数在复平面内对应的点的坐标是.故选：B3. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】由取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，根据对立事件的概率公式求解即可,【详解】围棋盒子中有多粒黑子和白子，从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，由对立事件概率计算公式得：从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是：.故选：D.【点睛】本题主要考查对立事件的概率公
9、式，属于基础题.4. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】D【解析】【分析】设圆柱底面半径为R，高为h，由题意列方程组求出R、h，即可求出圆柱的体积.【详解】设圆柱底面半径为R，高为h，设，解得，圆柱的体积为故选：D5. 若点P是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.【详解】由题意可知，若，则，或1（舍去），若，或13，故“”是“”的充分不
10、必要条件故选：A6. 唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. 5B. C. 45D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】先求出点关于直线的对称点，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】因为点关于直线的对称点为，所以即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为故选：B7.
11、 已知是边长为3等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】求出球心到底面ABC的距离和球的半径，从而确定三棱锥的高的最大值为3，利用椎体体积公式求出体积的最大值.【详解】球O的半径为R，则，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距离为，故三棱锥的高的最大值为3，体积最大值为故选：C8. 已知函数，若函数的两个零点分别在区间和内，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】A【解析】【分析】先作出的图像，令，利用数形结合法求解即可【详解】先作出的图像，令， 在区
12、间内时，得到，所以，；在区间内时，得到，解得，所以，；综上，得故选A【点睛】解题的关键在于先作出的图像，并令，然后，分段讨论出的范围，属于中档题（二）多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，错选不得分）9. 某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：）的折线图如图，则（ ）A. 1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是4月B. 1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系C. 1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小D. 1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大【9题答案】【答案】BD【解析】【
13、分析】由该旅游景点2019年1月至9月每月最低气温与最高气温的折线图逐项观察出选项可得答案.【详解】1月到9月中，最高气温与最低气温相差最大的是1月，故A选项错误；1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系，故B选项正确；最高气温与最低气温的差不稳定，故C选项错误；最低气温的极差超过35，最高气温的极差约为25，故D选项正确故选：BD10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 点是图像的一个对称中心C. 的图像关于直线对称D. 在区间单调递减【10题答案】【答案】ACD【解析】【分析】直接作出的图像，利用图像法对四个选项一一判断.【详解】由的图像得到的图像如
14、图所示：可以得到：数最小正周期为.故A正确；函数图像不是中心对称图形，故B错误；的图像关于直线对称.故C正确；在区间单调递减.故D正确.故选：ACD11. 已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数的定义域为B. 函数为非奇非偶函数C. 过点且与图象相切的直线方程为D. 若，则【11题答案】【答案】BC【解析】【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.【详解】设，将点代入，得，则，即，对于A：的定义域为，即选项
15、A错误；对于B：因为的定义域为，所以不具有奇偶性，即选项B正确；对于C：因为，所以，设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，又因为切线过点，所以，解得，即切线方程为，即，即选项C正确；对于D：当时，即成立，即选项D错误故选：BC12. 已如斜率为k直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧，现有下列四个命题，其中为真命题的是（ ）A. 为定值B. 为定值C. k的取值范围为D. 存在实数k使得【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】设l的方程为，联立，整理得，根据根与系数的关系可判断A、B选项由弦长公式，得，再联立，M，N两点在y轴
16、的两侧，求得，由此判断C设，由弦长公式得，继而由已知得，求解即可判断D选项【详解】解：由题意可设l的方程为，联立，得，则为定值，故A正确又，故B不正确，则，即，联立，得，M，N两点在y轴的两侧，且，由及可得或，故k的取值范围为，故C正确设，则，则假设存在实数k，则由，得，解得或3，故存在满足题意D正确故选：ACD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 记为等比数列的前n项和若，则_【13题答案】【答案】【解析】【分析】由已知解出公比，根据通项公式即可求解【详解】设等比数列的公比为q，由已知，即，解得，所以故答案为：14. 已知，则_【14题答案】【答案】#1.4#【解析】【分析
17、】先对两边平方得到，从而求出，结合，求出.【详解】，得，因为，所以，故故答案为：15. 设，则_【15题答案】【答案】9【解析】【分析】令，可求得，再根据二项式定理可求出的值，进而求出结果.【详解】在中，令得，所以，故答案为：.16. 设函数，点在图象上，点为坐标原点，设向量，若向量，且是与的夹角，则的最大值是_【16题答案】【答案】【解析】【分析】先利用平面向量的线性运算化简，再利用直线的斜率公式求出的表达式，再利用基本不等式求其最值.【详解】由向量的线性运算，得，因为点在函数的图象上，为坐标原点，向量，是与的夹角，所以，（当且仅当，即时取等号），即的最大值是故答案为：.三、解答题（本题共6
18、道小题，第17题10分，第1822题每小题12分，共70分）17. 已知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【17题答案】【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）当时，（1），（2），（1）（2）即得解；（2）由（1）得，再利用裂项相消法求和得解.【小问1详解】解：当时，所以，当时，（1），（2），由（1）（2）得，即，所以是首项，公比为的等比数列，故【小问2详解】解：由（1）得，所以.19. 已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，（1）求角B的大小；（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度的面积为；的周长为【19题
19、答案】【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范围可得答案；（2）选择（1），由（1）可得，则解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长解得，由余弦定理可得BC边上的中线的长度【小问1详解】，则由正弦定理可得，解得【小问2详解】若选择（1），由（1）可得，即则，解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：21. 如图，平面平面CEFG，四边形CEFG中，点E在正
20、方形ACDE的外部，且，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值【21题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）证明平面CEFG，即得证；（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解.【小问1详解】证明：正方形ACDE中，平面平面ABCDE，交线为CE，所以平面CEFG，又平面CEFG，所以【小问2详解】解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以点B到AC距离为1，则，所以，设平面BFG的法向量为，则，即，令，得为平面CEFG的一个法向量，所以，故二面角的余弦值为23. 我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯
21、片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30的概率为，收益率为的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30的概率为0.4，收益率为的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：年份x20182019202020211234累计投资金额y（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元附：收益投入的资金获利
22、的期望；线性回归中，【23题答案】【答案】（1）该风投公司投资光刻胶项目； （2）；2022年年末【解析】【分析】（1）设投资光刻机项目和光刻胶项目的年收益分别为和，分别列出和的分布列，计算出数学期望，使期望值相等求解出的值，再计算方差即可比较；（2）根据题目所给公式先计算回归系数和，写出回归直线方程，列出收益的表达式，使收益大于或等于亿元，求解的取值范围【小问1详解】若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为0.3Pp所以若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为0.30P0.40.10.5所以因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以，所以因为，所以，这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相
23、等，但光刻胶项目更稳妥综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目【小问2详解】，则，故线性回归方程为设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元25. 设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.()求椭圆的方程()设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.【25题答案】【答案】（1） （2）存在定点P(1,0)【解析】【分析】（）由椭圆长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为，列方程组，求出a
24、，b，c，得椭圆方程（）将直线l方程与椭圆方程联立，由直线与椭圆有且只有一个公共点，求出M，由，得N（4，4k+m）假设存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上设P（x1，0），由，得（4x14）+x124x1+30，由此可求出满足条件的定点.【详解】(1)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是 (2)由得(4k23)x28kmx4m2120因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以M(由得N(4,4km)假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在
25、x轴上设P(x1,0)，则对满足(*)式的m、k恒成立因为(，(4x1,4km)，由，得-4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*) 由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题26. 已知函数，（1）若函数在区间内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，且，求证：【26题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件将问题转化为在上恒成立问题,然后根据函数的单调
26、性求出的范围；（2）根据条件将问题转化为成立问题,令，即成立，再利用函数的单调性证明即可.【小问1详解】解：因为的定义域为，所以，若函数在区间递增，则在上恒成立，即在上恒成立，则只需，令，则，当时，单调递减，即在时取得最小值9，所以，所以a的取值范围为【小问2详解】解：令，则，由，且，得，所以，所以要证成立，只需证，即，即成立即可，令，则需证，由（1）可知时，函数在单调递增，所以，所以成立，所以【思路点睛】1、一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则恒成立2、对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.
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