2022年江苏省南京市中考考前信息必刷数学试卷（含答案解析）

1、2022年江苏省南京市中考考前信息必刷数学试卷一、选择题(每题2分，共12分)1(本题2分)计算的结果是（）ABCD2(本题2分)实数4的平方根是（）AB2CD3(本题2分)下面的计算错误的是（ ）ABCD4(本题2分)某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图下列说法错误的是（）A得分在7080分之间的人数最多B及格（不低于60分）的人数为26C得分在90100分之间的人数占总人数的5%D该班的总人数为405(本题2分)关于x的方程（m为常数）的根的情况，下列说法正确的是（）A一正根，一负根B两个正根C两个负根D无实数根6(本题2分)如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如

2、图摆放，若顶点A，B的坐标分别为，则顶点D的坐标为（）ABCD二、填空题(每题2分，共20分)7(本题2分)已知a与互为相反数，则式子_8(本题2分)如果分式有意义，那么的取值范围是_9(本题2分)石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000000000335米，把数据0.000000000335用科学记数法表示为_10(本题2分)计算的结果等于_11(本题2分)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x2y4，则k的值为_12(本题2分)方程 的解是_.13(本题2分)如图，已知直线交x轴于点B，交y轴于点A，点C在y轴负半轴上，则直线BC的解析式为_14(本题2分)正五边形

3、ABCDE中，对角线AC、BD相较于点P，则APB的度数为_15(本题2分)如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E作直线DE，交BC于点M分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G作直线FG，交BC于点N连接AM，AN若，则_ 16(本题2分)如图，抛物线与抛物线的交点在x轴上，现将抛物线向下平移个单位，向上平移_个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上三、解答题(共88分)17(本题7分)化简：18(本题7分)解方程：x24x+3=019(本题7分)如图，求证：20(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜

4、靠在两坐标轴上，点A的坐标为(0，4)，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点C求反比例函数的表达式21(本题8分)目前“微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学小组在校内对“你最认可的新生事物”进行调查，随机调查了m名学生（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图(1)根据图中信息，求出_，_；(2)请把条形统计图补充完整；(3)根锯抽样调查的结果，请估算在全校1800名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的学生共有多少名22(本题8分)小明、小红两人准备去菏泽万达广场玩，已知两人选择

5、上午、中午、下午三个时间段是等可能的(1)则小明在下午去万达广场的概率为_；(2)请用列表法或树状图的方法求两人在相同时间段去万达广场的概率23(本题8分)自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物一种酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压锅，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）(1)求转动到扫过的面积（结果保留）；(2)求点到直线的距离（结果精确到）（参考数据：，）24(本题8分)如图，在中，以边为直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点(1)求证：是的切线；(2)若，且，求线段的长25(本题8分)晨晨和明明是两名汽车爱好者，对甲、乙两种智能汽

6、车进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，开始记录数据，发现甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，乙的舒适指数与空调启动时间的函数关系式为，函数图象如图，且在小时，乙的舒适指数最大(1)求m的值及乙的舒适指数最大值；(2)当时，求的较大值26(本题10分)在中，将绕点顺时针旋转，角的两边分别交射线于，两点，为上一点，连接，且（当点，重合时，点，也重合）设，两点间的距离为，两点间的距离为小刚根据学习函数的经验，对因变量随音自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小刚的探究过程，请补充完整（1）列表：下表的已知数据是根据，两点间的距离进行取点，画图，测量分别得到了与的几组对应值；01

7、2345678请你通过计算补全表格：_；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图像；（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势；（4）解决问题：当时，的长度大约是_（结果保留两位小数）27(本题9分)（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为AP+BP的最小值如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对

8、称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用如图（3）：已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法2022年江苏省南京市中考考前信息必刷数学试卷一、单选题(共12分)1(本题2分)计算的结果是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先去绝对值，然后根据有理数的减法计算法则求解即可【详解】解：，故选D【点睛】本

9、题主要考查了有理数的减法和绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键2(本题2分)实数4的平方根是（）AB2CD【答案】C【解析】【分析】根据平方根的定义解答即可【详解】解：故选：C【点睛】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解答本题的关键3(本题2分)下面的计算错误的是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可【详解】A，计算正确，不符合题意；B、，计算错误，符合题意；C、，计算正确，不符合题意；D、，计算正确，不符合题意；故选：B【点睛】

10、本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式与单项式相乘，解决本题的关键是熟记相关法则4(本题2分)某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图下列说法错误的是（）A得分在7080分之间的人数最多B及格（不低于60分）的人数为26C得分在90100分之间的人数占总人数的5%D该班的总人数为40【答案】B【解析】【分析】根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可【详解】A得分在7080分之间的人数最多，有14人，故此选项正确，不符合题意，B及格（不低于60分）的人数为12148236（人），故此选项错误，符合题意，C总人数为412148240（人

11、），得分在90100分之间的人数为2人，得分在90100分之间的人数占总人数的百分比为100%5%，故此选项正确，不符合题意；D该班的总人数为40，故此选项正确，不符合题意，故选：B【点睛】本题考查条形统计图，正确提取图中信息是解题关键5(本题2分)关于x的方程（m为常数）的根的情况，下列说法正确的是（）A一正根，一负根B两个正根C两个负根D无实数根【答案】A【解析】【分析】先把方程化为x2+x2m2=0，再根据判别式，知该方程有两个不相等的实数根，再由两根的积为即可得出结论【详解】解：关于x的方程(x1)(x+2)-m2=0(m为常数)，x2+x2m2=0，方程有两个不相等的实数根，两根的积

12、为，此方程的两个根中一个正根，一个负根，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系：若x1，x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根，则，6(本题2分)如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为，则顶点D的坐标为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】过D作DMx轴于M，根据正方形的性质得到AB=AD，BAD=90，根据余角的性质得到ABO=DAO，根据全等三角形的性质得到DM=OA， AM=OB，于是得到结论【详解】解：如图所示，过D作DMx轴于M，四边形ABCD是正方形， AB=AD，BAD=90，AOB=AMD=90，

13、BAO+DAM=ABO+BAO=90，ABO=DAM，DM=OA， AM=OB，点A， B的坐标分别为( a， 0)，(0，b)，OA=a， OB=b，DM=a， AM=b，OM=b-a，顶点D的坐标为( a-b，-a )，故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共20分)7(本题2分)已知a与互为相反数，则式子_【答案】3【解析】【分析】先由相反数定义求出a值，再代入计算即可【详解】解：a与1互为相反数，a=1，当a=1时，|-(a+2)|=|-(1+2)|=|-3|=3，故答案为：

14、3【点睛】本题考查相反数与绝对值，解题的关键是掌握相反数与绝对值意义8(本题2分)如果分式有意义，那么的取值范围是_【答案】x2【解析】【分析】根据分式的分母不能为零解答；【详解】解：由题意得：x20，即x2，故答案为：x2；【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件：分母不能为0；掌握分式的性质是解题关键9(本题2分)石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000000000335米，把数据0.000000000335用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的

15、位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义10(本题2分)计算的结果等于_【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式计算即可【详解】解：原式故答案为【点睛】本题考查了完全平方式及二次根式的运算属于基础题，计算过程中细心即可11(本题2分)已知关于x、y的二元一次方程组的解满足方程x2y4，则k的值为_【答案】7【解析】【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将x，y的值代入2x-y=k得出答案即可【详解】根据题意，得解得，将代入2x-y=k，得

16、，解得k=7故答案为：7【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键12(本题2分)方程 的解是_.【答案】【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可【详解】解：去分母得，解得，经检验是原方程的解，原方程的解为，故答案为：【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键13(本题2分)如图，已知直线交x轴于点B，交y轴于点A，点C在y轴负半轴上，则直线BC的解析式为_【答案】【解析】【分析】作CDAB于D，根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD，由直线的解析式求得B（-4，0），A（0，3），即可求得OB

17、=4，OA=3，利用勾股定理求得AB，设BD=CD=m，则AD=5-m，利用勾股定理表示出AC，然后根据三角形面积公式得到4，解方程求得m，进一步即可求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式【详解】解：作CDAB于D，ABC=45，DCB=45，BD=CD，直线y=x+3交x轴于点B，交y轴于点A，令x=0，则y=3；令y=0，则x=-4；B（-4，0），A（0，3），OB=4，OA=3，设BD=CD=m，则AD=5-m，由等积关系得，解得或m=20（舍去），设直线BC的解析式为，代入B（-4，0）得，解得，直线BC的解析式为，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标

18、特征，勾股定理的应用，三角形面积公式，待定系数法求一次函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键14(本题2分)正五边形ABCDE中，对角线AC、BD相较于点P，则APB的度数为_【答案】72#72度【解析】【分析】根据正五边形的性质，可得，AB=BC=CD，从而得到ACB=CBD=36，再由三角形外角的性质，即可求解【详解】解：多边形ABCDE是正五边形，AB=BC=CD，ACB=CBD=36，APB=ACB+CBD=72故答案为：72【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键15(本题2分)如

19、图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E作直线DE，交BC于点M分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G作直线FG，交BC于点N连接AM，AN若，则_ 【答案】2-180【解析】【分析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到BBAM，CCAN，即可得到MAN的度数【详解】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，MBMA，NANC，BMAB，CNAC，在ABC中，BC180BAC180，即MABNAC180，则MANBAC（MABNAC）（180）2-180故答案是：2-180【点睛】此题主要考查线

20、段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等16(本题2分)如图，抛物线与抛物线的交点在x轴上，现将抛物线向下平移个单位，向上平移_个单位，平移后两条抛物线的交点还在x轴上【答案】【解析】【分析】将y0代入yx2+1求出抛物线与x轴交点坐标，从而可得抛物线ykx22的解析式，然后求出将抛物线yx2+1向下平移个单位后与x轴交点坐标为（1，0），（1，0），将x1或x1代入另一个抛物线解析式可得抛物线在平移之前与直线x1或直线x1的交点坐标，进而求解【详解】解：把y0代入yx2+1得0x2+1，解得x1，x2，抛物线交点坐标为（，0），（，

21、0），把（，0）代入ykx22得0，解得k，yx22，抛物线yx2+1向下平移个单位后解析式为yx2，把y0代入yx2得0x2，解得x1，抛物线yx2与x轴交点为（1，0），（1，0），把x1代入yx22得y，抛物线经过（1，），把抛物线yx22向上移动个单位后抛物线经过（1，0），故答案为：【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握抛物线平移的规律三、解答题(共88分)17(本题7分)化简：【答案】【解析】【分析】原式先将括号内的进行通分，再把除法转换为乘法，进行约分即可得到结果【详解】解：【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题

22、的关键18(本题7分)解方程：x24x+3=0【答案】x1=3，x2=1【解析】【分析】利用因式分解法求解即可【详解】解：x2-4x+3=0，（x-3）（x-1）=0，x-3=0或x-1=0，x1=3，x2=1【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的步骤是本题的关键，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法19(本题7分)如图，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意可证，可得，再根据三角形内角和即可得【详解】证明：如图，在和中，,，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本

23、题的关键20(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点A的坐标为(0，4)，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点C求反比例函数的表达式【答案】【解析】【分析】过点B作BDx轴，垂足为D根据AAS证明BCDCAO，从而求得点B的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的关系式【详解】解：过点B作BDx轴，垂足为点D当y0时，解得x-2点C的坐标为（-2，0），OC2A（0，4），AO4ABC为等腰直角三角形，CBCA，ACB90，DCBACO90，CAOACO90，DCBCAO，BDCAOC90，BDCCOA（AAS），DCA

24、O4，BDOC2，ODDCOC6，点B的坐标是（-6，2）将点B（-6，2）的坐标代入，得，解得m-12反比例函数的表达式是【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，利用了数形结合思想求得点B的坐标是解题的关键21(本题8分)目前“微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学小组在校内对“你最认可的新生事物”进行调查，随机调查了m名学生（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图(1)根据图中信息，求出_，_；(2)请把条形统计图补充完整；(3)根锯抽样调查的结果

25、，请估算在全校1800名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的学生共有多少名【答案】(1)100，35；(2)见解析；(3)1350名【解析】【分析】（1）利用选“共享单车”人数为10，所占百分比为，即可求出m；利用选“网购”所占百分比为，求出选“网购”的人数，进一步可得选“支付宝”的人数，再除以总人数即可求出其所占百分比；（2）由（1）求出的数据补充条形图即可；（3）求出抽样中选“支付宝”和“微信”的人数所占百分比，再乘以1800即可(1)解：由题意可得：，选“网购”的人数为：人，选“支付宝”的人数为：人，即；(2)解：由（1）可知选“支付宝”的35人，选“网购”的15人，补全条

26、形统计图如图所示(3)解：（名）全校1800名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的学生大约有1350名【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，结合两者的信息求总人数，求扇形统计图中某项所占百分比，根据样本所占百分比估计总体解题的关键是掌握条形统计图和扇形统计图中关联信息，利用关联信息求解22(本题8分)小明、小红两人准备去菏泽万达广场玩，已知两人选择上午、中午、下午三个时间段是等可能的(1)则小明在下午去万达广场的概率为_；(2)请用列表法或树状图的方法求两人在相同时间段去万达广场的概率【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）利用概率公式计算即可；（2）列树状图得到所有可能的

27、结果，再利用概率公式计算(1)解：小明在上午，中午，下午去万达广场的概率是一样的，小明在下午去万达广场的概率为，故答案为：；(2)解：列树状图如下， 共有9种等可能的情况，其中两人在相同时间段去万达广场的有3种，P（两人在相同时间段去万达广场）=【点睛】此题考查了求事件的概率，会利用列举法求事件的概率，掌握概率的计算公式23(本题8分)自“新冠”病毒出现后，瓶装酒精成了人们家中常备之物一种酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压锅，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）(1)求转动到扫过的面积（结果保留）；(2)求点到直线的距离（结果精确到）（参考数据：，）【

28、答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由BDEF，求出DBE72，可得DBD36，扫过的面积是以B为圆心，BD为半径的扇形面积，用扇形面积公式计算可得；（2）过D作DGBD于G，过E作EHBD于H，RtBDG中，求出DGBDsin363.54，RtBEH中，HE3.80，故DG+HE7.3，即点D到直线EF的距离为7.3cm(1)解：，扫过的面积：；答：转动到扫过的面积为(2)解：过作于，过作于，如图：在中，在中，点到直线的距离为答：点到直线的距离为【点睛】本题考查扇形面积的计算及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握扇形面积公式，熟练运用三角函数解直角三角形24(本题8分)如图，在中，以边为

29、直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点(1)求证：是的切线；(2)若，且，求线段的长【答案】(1)见解析(2)8【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可证，从而可得，即可解答；（2）在中，根据题意设，从而求出，再在中，求出，然后根据，进行计算求出，最后在中利用勾股定理求出，即可解答(1)证明：连接， ，是的半径，是的切线；(2)解：在中，设，在中，线段的长为【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键25(本题8分)晨晨和明明是两名汽车爱好者，对甲、乙两种智能汽车进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调1小时后，

30、开始记录数据，发现甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，乙的舒适指数与空调启动时间的函数关系式为，函数图象如图，且在小时，乙的舒适指数最大(1)求m的值及乙的舒适指数最大值；(2)当时，求的较大值【答案】(1)m的值为3，且乙的舒适指数最大值为10(2)当w乙=9时，w乙-w甲的较大值为【解析】【分析】（1）根据图象中给出的信息，可以得到图象上的点，进而求出；由的值可以得到上的点，结合题意，在时，取得最大，可得出，代入点的坐标，可求出的值；（2）由（1）可得到的解析式，求出时的值，再求出对应的的值，进而求出的值(1)解：由题意，甲的舒适指数与空调启动时间成反比例关系，且的图象过点，由反比例函

31、数的性质可得，解得，（负值舍去）；这两点的坐标为，可得在3小时，乙的舒适指数最大，且过点，解得，当时，的值为3，且乙的舒适指数最大值为10(2)由（1）可得，当，即时，解得，当，时，则，当时，则，当时，的较大值为【点睛】本题主要考查反比例函数的性质与二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解决本题的关键26(本题10分)在中，将绕点顺时针旋转，角的两边分别交射线于，两点，为上一点，连接，且（当点，重合时，点，也重合）设，两点间的距离为，两点间的距离为小刚根据学习函数的经验，对因变量随音自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小刚的探究过程，请补充完整（1）列表：下表的已知数据是根据，两点间的距离进行

32、取点，画图，测量分别得到了与的几组对应值；012345678请你通过计算补全表格：_；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图像；（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势；（4）解决问题：当时，的长度大约是_（结果保留两位小数）【答案】（1）；（2）见解析；（3）随着自变量的不断增大，函数不断减小；（4）【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，证明，根据相似三角形性质可得结果；（2）描点连线画出图形即可；（3）根据（2）画出图像判断增减性即可；（4）根据，可得，画出与（2）中图像交点即为所求【详解】解：（1）当时，即两点之间的距离为，旋转

33、至如图所示时：此时点和点C重合，故答案为：；（2）函数图像如下图：；（3）根据图像可知：随着自变量的不断增大，函数不断减小；（4），如图：与（2）中函数图像交点即为所求，即的长度大约是：cm，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，动点问题的函数图像，读懂题意，运用数形结合的思想解题是关键27(本题9分)（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为AP+BP的最小值如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，A

34、D是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用如图（3）：已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 （3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法【答案】解：（1）（2） （3）见解析【解析】【详解】分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值：在等边三角形AB

35、C中，AB=2，点E是AB的中点CEAB，BCE=BCA=30，BE=1CE=BE=（2）实践运用：过B点作弦BECD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值：BECD，CD平分BE，即点E与点B关于CD对称的度数为60，点B是的中点，BOC=30，AOC=60EOC=30AOE=60+30=90OA=OE=1，AEOA=AE的长就是BP+AP的最小值，BP+AP的最小值是（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N则点M，点N，使PM+PN的值最小解：（1）观察发现：（2）实践运用：如图，过B点作弦BECD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，则点P 即为使BP+AP的值最小的点BP+AP的最小值是（3）拓展延伸：作图如下：