1、 安徽省芜湖市安徽省芜湖市 2020-2021 学年学年八年级八年级下下期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列各式是最简二次根式的是（ ） A B C D 2下列各式计算正确的是（ ） A624 B5+510 C422 D428 3如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ） AABCD，ADBC BADBC，ABCD COAOC，OBOD DABCD，ADBC 4 ABC 中， A， B， C 的对边分别记为 a， b，
2、 c， 由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是 （ ） AA+BC BA：B：C1：2：3 Ca2c2b2 Da：b：c3：4：6 5如图，有两棵树分别用线段 AB 和 CD 表示，树高 AB15 米，CD7 米，两树间的距离 BD6 米，一只鸟从一棵树的树梢（点 A）飞到另一棵树的树梢（点 C） ，则这只鸟飞行的最短距离 AC（ ） A6 米 B8 米 C10 米 D12 米 6当有意义时，a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 7ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，则ABC 的周长为（ ） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 8如图，ABC 和
3、DCE 都是边长为 3 的等边三角形，点 B，C，E 在同一条直线上，连接 BD，则 BD 长（ ） A B2 C3 D4 9如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BF4CF，四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A3 B4 C6 D8 10如图，顺次连接边长为 1 的正方形 ABCD 四边的中点，得到四边形 A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形 A2B2C2D2，再顺次连接四边形 A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，按此方法得到的四边形 A8B8C8D
4、8的周长为（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 11 （5 分） 12 （5 分）命题“对顶角相等”的逆命题是 13 （5 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AD2AB，CE 平分BCD 交 AD 边于点 E，且 AE4，则AB 的长为 14 （5 分）已知：点 B 是线段 AC 上一点，分别以 AB，BC 为边在 AC 的同侧作等边ABD 和等边BCE，点 M，N 分别是 AD，CE 的中点，连接 MN若 AC6，设 BC2，则线段 MN 的长是 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题
5、小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 15 （8 分）计算：+（2021）0 16 （8 分）已知：a，b 求值： （1）ab； （2）a23ab+b2； 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，AB2，BC2，CD1，AD5，且C90，求四边形ABCD 的面积 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE、DF 分别是ABC、ADC 的平分线，且与对角线 AC分别相交于点 E、F求证：AECF 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10
6、 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1以格点为顶点 （1）在图 1 中画一个边长分别为、2、的三角形； （2）在图 2 中画出一个两边长都为，面积都为 2 的三角形 20 （10 分）图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的 （1）在 RtABC 中，ACm，BCn，ACB90，若图中大正方形的面积为 61，小正方形的面积为 1，求（m+n）2； （2）若将图中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车” ，求这个风车的外围周长（图中实线部分） 六、 （本题满分六、 （本
7、题满分 12 分）分） 21 （12 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BAD 的角平分线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 E （1）求证：BECD； （2）若 BF 恰好平分ABE，连接 AC、DE，求证：四边形 ACED 是平行四边形 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）观察下列各式： 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第 4 个算式为： ； （2）求的值； （3）请直接写出的结果 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB10，AD16，A60，P 是射线
8、AD 上一点，连接PB，沿 PB 将APB 折叠，得APB （1）如图 1 所示，当DPA10时，APB 度； （2）如图 2 所示，当 PABC 时，求线段 PA 的长度； （3）当点 P 为 AD 中点时，点 F 是边 AB 上不与点 A，B 重合的一个动点，将APF 沿 PF 折叠，得到APF，连接 BA，求BAF 周长的最小值 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列各式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可 【解答】解：
9、A、3，故不是最简二次根式，故 A 选项错误； B、是最简二次根式，符合题意，故 B 选项正确； C、2，故不是最简二次根式，故 C 选项错误； D、，故不是最简二次根式，故 D 选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键 2下列各式计算正确的是（ ） A624 B5+510 C422 D428 【分析】直接利用二次根式的加减、乘除运算法则分别判断得出答案 【解答】解：A624，故此选项不合题意； B5+5无法合并，故此选项不合题意； C422，故此选项不合题意； D428，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了二次
10、根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ） AABCD，ADBC BADBC，ABCD COAOC，OBOD DABCD，ADBC 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断 【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定； 故选：B 【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是
11、熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型 4 ABC 中， A， B， C 的对边分别记为 a， b， c， 由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是 （ ） AA+BC BA：B：C1：2：3 Ca2c2b2 Da：b：c3：4：6 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可 【解答】解：A、A+BC，又A+B+C180，则C90，是直角三角形； B、A：B：C1：2：3，又A+B+C180，则C90，是直角三角形； C、由 a2c2b2，得 a2+b2c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、32+4262，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形 故选：D 【点
12、评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断 5如图，有两棵树分别用线段 AB 和 CD 表示，树高 AB15 米，CD7 米，两树间的距离 BD6 米，一只鸟从一棵树的树梢（点 A）飞到另一棵树的树梢（点 C） ，则这只鸟飞行的最短距离 AC（ ） A6 米 B8 米 C10 米 D12 米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出 【解答】解：如图，设大树高为 AB15m， 小树高为 C
13、D7m， 过 C 点作 CEAB 于 E，则 EBDC 是矩形， 连接 AC， EB7m，EC6m，AEABEB1578（m） ， 在 RtAEC 中，AC10m， 故小鸟至少飞行 10m 故选：C 【点评】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 6当有意义时，a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【分析】本题主要考查代数式中字母的取值范围，代数式中主要有二次根式和分式两部分 【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数 a20，解得 a2； 根据分式有意义的条件，a20，解得 a2 a2故选：B 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当
14、函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数 7ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，则ABC 的周长为（ ） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 【分析】本题应分两种情况进行讨论： （1）当ABC 为锐角三角形时，在 RtABD 和 RtACD 中，运用勾股定理可将 BD 和 CD 的长求出，两者相加即为 BC 的长，从而可将ABC 的周长求出； （2）当ABC 为钝角三角形时，在 RtABD 和 RtACD 中，运用勾股定理可将 BD 和 CD 的长求出，两者相减即为
15、 BC 的长，从而可将ABC 的周长求出 【解答】解：此题应分两种情况说明： （1）当ABC 为锐角三角形时，在 RtABD 中， BD9， 在 RtACD 中， CD5 BC5+914 ABC 的周长为：15+13+1442； （2）当ABC 为钝角三角形时， 在 RtABD 中，BD9， 在 RtACD 中，CD5， BC954 ABC 的周长为：15+13+432 当ABC 为锐角三角形时，ABC 的周长为 42；当ABC 为钝角三角形时，ABC 的周长为 32 故选：C 【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要
16、全面，有一定难度 8如图，ABC 和DCE 都是边长为 3 的等边三角形，点 B，C，E 在同一条直线上，连接 BD，则 BD 长（ ） A B2 C3 D4 【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现BDE90，再进一步根据勾股定理进行求解 【解答】解：ABC 和DCE 都是边长为 3 的等边三角形， DCECDE60，BCCD3 BDCCBD30 BDE90 BD 故选：C 【点评】此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理 9如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且
17、 BF4CF，四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A3 B4 C6 D8 【分析】连接 EC，过 A 作 AMBC 交 FE 的延长线于 M，求出平行四边形 ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出BDE 的面积和CDE 的面积相等，ADE 的面积和AME 的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形 ACFM 的面积的一半，求出 CFhCF的值即可 【解答】解：连接 EC，过 A 作 AMBC 交 FE 的延长线于 M， 四边形 CDEF 是平行四边形， DECF，EFCD， AMDECF，ACFM， 四边形 ACFM 是平行四边形， BDE 边 DE 上的高和C
18、DE 的边 DE 上的高相同， BDE 的面积和CDE 的面积相等， 同理ADE 的面积和AME 的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形 ACFM 的面积的一半，是CFhCF， ABC 的面积是 24，BC3CF BChBC3CFhCF24， CFhCF16， 阴影部分的面积是168， 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度 10如图，顺次连接边长为 1 的正方形 ABCD 四边的中点，得到四边形 A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形 A2B2C2D2，再
19、顺次连接四边形 A2B2C2D2四边的中点，得到四边形 A3B3C3D3，按此方法得到的四边形 A8B8C8D8的周长为（ ） A B C D 【分析】根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形 ABCD 四边中点得正方形 A1B1C1D1的面积为正方形 ABCD 面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形 A8B8C8D8的周长 【解答】解：顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得正方形 A1B1C1D1，则得正方形 A1B1C1D1的面积为正方形 ABCD 面积的一半，即，则周长是正方形 ABCD 的； 顺次连接正方形 A1B1C1D1中点得正方形 A2B2C2D2，则正方形
20、 A2B2C2D2的面积为正方形 A1B1C1D1面积的一半，即正方形 ABCD 的，则周长是正方形 ABCD 的； 顺次连接正方形 A2B2C2D2得正方形 A3B3C3D3，则正方形 A3B3C3D3的面积为正方形 A2B2C2D2面积的一半，即正方形 ABCD 的，则周长是正方形 ABCD 的； 顺次连接正方形 A3B3C3D3中点得正方形 A4B4C4D4，则正方形 A4B4C4D4的面积为正方形 A3B3C3D3面积的一半，即正方形 ABCD 的，则周长是正方形 ABCD 的； 故第 n 个正方形周长是原来的， 以此类推：正方形 A8B8C8D8周长是原来的， 正方形 ABCD 的边
21、长为 1，周长为 4， 按此方法得到的四边形 A8B8C8D8的周长为， 故选：C 【点评】本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质进而得到周长关系 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 11 （5 分） 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案 【解答】解：原式32 故答案为：2 【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般 12 （5 分）命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 【分析】交换原
22、命题的题设与结论即可得到其逆命题 【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角” 故答案为：相等的角为对顶角 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了逆命题 13 （5 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AD2AB，CE 平分BCD 交 AD 边于点 E，且 AE4，则AB 的长为 4 【分析】根据平行四边形的性质可得 ABCD，ADCD，然后根据角平分线定义证明 DEDC，进而可以解
23、决问题 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD， DECBCE， AD2AB， AD2CD， CE 平分BCD， DCEBCE， DCEDEC， DEDC， AD2DE， ADAE+DE， DEAE4， AB4， 故答案为：4 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质 14 （5 分）已知：点 B 是线段 AC 上一点，分别以 AB，BC 为边在 AC 的同侧作等边ABD 和等边BCE， 点 M，N 分别是 AD，CE 的中点，连接 MN若 AC6，设 BC2，则线段 MN 的长是 【分析】连接 DC 和 AE，取 AC 的中点 P，连接 P
24、M、PN，过 P 作 PQMN 于点 Q，过点 D 作 DHAB于点 H，证明ABEDBC，得到 AEDC，利用中位线的性质证明 PMPN，由勾股定理都觉得 CD的长度，便可得 PM 与 PN 的长度，根据中位线的性质把MPA+NPC 转化成MCA+MAC，根据DMAMCA+MAC 可知求出DMA 度数即可，再解直角三角形求得 NQ，便可得 MN 的长度 【解答】解：连接 DC 和 AE，取 AC 的中点 P，连接 PM、PN，过 P 作 PQMN 于点 Q，过点 D 作 DHAB 于点 H， ABD 和BCE 都是等边三角形， ABDB，BEBC，ABDCBE60， ABEDBC， 在ABE
25、 和DBC 中， ， ABEDBC（SAS） AEDCAEBDCB， P 为 AC 中点，N 为 EC 中点， PNAE 同理可得 PMDC PMPN AC6，BC2， AB4， ABD 是等边三角形， BDAB4， DHBDsin602，BH， ， PMPN， P 为 AC 中点，N 为 EC 中点， PNAE NPCEAC 同理可得MPADCA， MPA+NPCEAC+DCA 又DCAAEB， MPA+NPCEAC+AEBCBE60 MPN18060120， NPQMPQ60， MQNQPNsin60， 解法二：如图，过点 M 作 MHAB 于 H，过点 N 作 NGBC 于 G，过点 N
26、 作 NKMH 于 K想办法求出 MK，NK，路勾股定理求解 故答案为： 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型的构造直角三角形难度较大，一般为中考压轴题 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 15 （8 分）计算：+（2021）0 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及零指数幂的性质分别化简，再合并得出答案 【解答】解：原式 【点评】 此题主要考查了二次根式的乘除运算以及零指数幂的性质， 正确掌握相关运算法则是解题关键 16 （8 分）已知：a，b 求值：
27、（1）ab； （2）a23ab+b2； 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）ab（+） （） 53 2 （2）ab+ 2， a23ab+b2（ab）2ab 122 10 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，AB2，BC2，CD1，AD5，且C90，求四边形ABCD 的面积 【分析】连接 BD，根据已知条件运用勾股定理可求 BD，再运用勾股定理逆定理可证ABD 为直角三角形，
28、然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形 ABCD 的面积 【解答】解：连接 BD， C90， BCD 为直角三角形， BD2BC2+CD222+12（）2， BD0， BD， 在ABD 中， AB2+BD220+525，AD25225， AB2+BD2AD2， ABD 为直角三角形，且ABD90， S四边形ABCDSABD+SBCD2+216 故四边形 ABCD 的面积是 6 【点评】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单 18 （8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE、DF 分别
29、是ABC、ADC 的平分线，且与对角线 AC分别相交于点 E、F求证：AECF 【分析】 根据平行四边形的性质得出 ABCD， ABCD， ABCADC， 根据平行线的性质得出BACDCF，根据角平分线定义得出ABECDF，那么利用 AAS 证明ABECDF，推出 AECF 【解答】证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 ABCD，ABCD，ABCADC， 所以BACDCF， 又因为 BE、DF 分别是ABC、ADC 的平分线， 所以ABEABC，CDFADC， 所以ABECDF， 所以ABECDF（ASA） ， 所以 AECF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和
30、性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1以格点为顶点 （1）在图 1 中画一个边长分别为、2、的三角形； （2）在图 2 中画出一个两边长都为，面积都为 2 的三角形 【分析】 （1）利用网格根据勾股定理即可在图 1 中画一个边长分别为、2、的三角形； （2）利用网格根据勾股定理和三角形的面积公式即可在图 2 中画出一个两边长都为，面积都为 2 的三角形 【解答】解： （1）如图，ABC 即为所求；
31、 （2）如图，DEF，MNQ 即为所求 【点评】本题考查了作图应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解决本题的关键是利用网格准确画图 20 （10 分）图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的 （1）在 RtABC 中，ACm，BCn，ACB90，若图中大正方形的面积为 61，小正方形的面积为 1，求（m+n）2； （2）若将图中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车” ，求这个风车的外围周长（图中实线部分） 【分析】 （1）由题意（nm）21，m2+n261，推出 2mn60，可得（m+n）2m2+n2+2mn121 （2）
32、由（1）可知，求出 m，n 的值，再利用勾股定理求解即可 【解答】解： （1）由题意（nm）21，m2+n261， 2mn60， （m+n）2m2+n2+2mn61+60121； （2）由（1）可知， ， AC5，BC6， ACB90，AC5，CD12， AD13， 这个风车的外围周长4（13+6）76 【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BAD 的角平分线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 E （1）求证：BECD； （2）若 BF
33、恰好平分ABE，连接 AC、DE，求证：四边形 ACED 是平行四边形 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出 ADBC，ABCD，根据平行线的性质得出DAEAEB，求出BAEAEB，根据等腰三角形的判定得出即可； （2） 根据等腰三角形的性质得出 AFEF， 求出ADFECF， 根据全等三角形的性质得出 DFCF，再根据平行四边形的判定得出即可 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， DAEAEB， AE 平分BAD， BAEDAE， BAEAEB， BEAB， BECD； （2）BEAB，BF 平分ABE， AFEF， 在ADF 和ECF 中， ，
34、ADFECF（ASA） ， DFCF， 又AFEF， 四边形 ACED 是平行四边形 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）观察下列各式： 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第 4 个算式为： ； （2）求的值； （3）请直接写出的结果 【分析】根据题目的规律进行计算即可不难发现由根号形式转化为积的形式因此 （1）可以猜想到接下来的第 4 个算式为：， （2）题中可以根据题目进行每一项的转化从而计算出结果； （3
35、）第（2）题进一步扩展到 n 项即可详见解答过程 【解答】解： （1）依题意：接下来的第 4 个算式为： 故答案为 （2）原式 （3） 原式 【点评】此题考查的是二次根式的化简，要观察到的转化此类题即可解决 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB10，AD16，A60，P 是射线 AD 上一点，连接PB，沿 PB 将APB 折叠，得APB （1）如图 1 所示，当DPA10时，APB 85 度； （2）如图 2 所示，当 PABC 时，求线段 PA 的长度； （3）当点 P 为 AD 中点时，点 F 是边 AB 上不与点 A，
36、B 重合的一个动点，将APF 沿 PF 折叠，得到APF，连接 BA，求BAF 周长的最小值 【分析】 （1）求出APA，利用翻折不变性解决问题即可 （2）如图 2 中，作 BHAD 于 H解直角三角形 AH，PH 即可解决问题 （3）BFA的周长FA+BF+BAAF+BF+BAAB+BA10+BA，推出当 BA的长度最小时，BFA的周长最小，由此即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， DPA10， APA180DPA18010170， 由翻折的性质可知：APBAPB17085 故答案为 85 （2）如图 2 中，作 BHAD 于 H 在 RtABH 中，AHB90，AB10，A60
37、， AHABcos605，BHABsin605， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， PABC， PAAD， APA90， HPBBPA45， PHBH5， PAAH+PH5+5 （3）如图 3 中，作 BHAD 于 H，连接 BP PA8，AH5， PH853， BH5， PB2， 由翻折可知：PAPA8，FAFA， BFA的周长FA+BF+BAAF+BF+BAAB+BA10+BA， 当 BA的长度最小时，BFA的周长最小， BAPBPA， BA28， BA的最小值为 28， BFA的周长的最小值为 10+282+2 【点评】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
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