1、 江苏省无锡市江阴市江苏省无锡市江阴市二二校校联考联考 2022 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 15 的相反数是（ ） A5 B5 C D 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 3下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B （2a2b）36a6b3 C D （a+b）2a2+b2 4如图，直线 a直线 c，直线 b直线 c，若170，则2（ ） A70 B90 C110 D80 5下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2、 A B C D 6已知关于 x 的一元二次方程 x2m2x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm2 Cm0 Dm0 7如图，ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（ ） A B C2 D 8 如图， 矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点， 矩形的边分别平行于坐标轴， 点 C 在反比例函数 y的图象上，若点 A 的坐标为（2，2） ，则 k 的值为（ ） A4 B4 C8 D8 9在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2（m1）x+m（m1）沿 y 轴向下平移 3 个单位则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四
3、象限 10如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是边 BC 上一动点，设PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象上的最低点那么 a+b 的值为（ ） A4 B7 C7 D9 二填空题（共二填空题（共 8 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 30 分）分） 11分解因式：4x216 12第七次人口普查数据公布：全国人口与 2010 年（第六次人口普查）相比，增加 7206 万人，这个数据用科学记数法可以表示为 人 13圆锥的底面半径为 7cm，母线长为 21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 度 14 如图， 已知 AB
4、AC， DE 垂直平分 AB 分别交 AB、 AC 于 D、 E 两点， 若A40， 则EBC 15如图，一块含 45角的直角三角板，它的一个锐角顶点 A 在O 上，边 AB，AC 分别与O 交于点 D，E，则DOE 的度数为 16 （6 分） 命题 “菱形的对角线互相垂直” 的逆命题是 ， 它是一个 命题 （填 “真” 或 “假” ） 17 如图， 在矩形 ABCD 中， AB5， AD4， 将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD， AB交 CD 于点 E，且 DEBE，则 AE 的长为 18 （6 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在边 AD、
5、BC 上，AECF3，点 G、H 在正方形 ABCD 的内部或边上，解答下列问题： （1）EF ； （2）若四边形 EGFH 是菱形，则菱形 EGFH 的最大面积为 三解答题（共三解答题（共 10 小题，共小题，共 90 分）分） 19 （8 分） （1）计算： （3）0+2sin30|2| （2）化简：（a+1）+ 20 （8 分） （1）解方程：1+； （2）解不等式组： 21 （8 分）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查通过简单随机抽样，获得了 100 个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表： 序号 1 2 25 26 50
6、51 75 76 99 100 月均用水量/t 1.3 1.3 4.5 4.5 6.4 6.8 11 13 25.6 28 （1）求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为 9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？ （2） 为了鼓励节约用水， 要确定一个用水量的标准， 超出这个标准的部分按 1.5 倍价格收费 若要使 75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？ 22 （8 分）小明登陆泰微课学习页面后，发现推荐的数学微课有四个，其中有两个等级为 A，另外两个等级为 B，如果小明点击微课学习是随机的，且每个微课只点击学习一次 （1）求小明第一次点击学习的微课等级为 A 的概率；
7、（2）如果小明第一次点击的微课等级为 A，小明继续点击学习两次，利用树状图或表格求三次点击学习中有两个等级为 A 的概率 23 （8 分）某物流公司的一辆货车 A 从乙地出发运送货物至甲地，1 小时后，这家公司的一辆货车 B 从甲地出发送货至乙地货车 A、货车 B 距甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关系如图所示 （1）求货车 B 距甲地的距离 y 与时间 x 的关系式； （2）求货车 B 到乙地后，货车 A 还需多长时间到达甲地 24 （8 分）请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图 （1）如图 1，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 上的中点，以 EF 为边画一
8、个矩形； （2）如图 2，在网格中有一定角 XOY 和一定点 P，请作一条线段 AB，使点 P 为 AB 中点，且点 A、B 分别在 OX、OY 上 25（8分） 如图所示， 小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元， 他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 MN 他俩在小明家的窗台 B 处，测得商业大厦顶部 N 的仰角1 的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在 B 处测得商业大厦底部 M 的俯角的度数于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 C 处测得大厦底部 M 的俯角2的度数，竟然发现1 与2 恰好相等已知 A，B，C 三点共线，CAAM，NMAM，AB31m，BC18m，试求商业大厦的高 MN 26 （10
9、 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45连接 AO 并延长，交O于点 D，连接 BD过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AB12，求线段 EC 的长 27 （12 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A 和 B（3，0）两点，与 y 轴交于 C（0，2） ，对称轴为直线 x，连接 BC，在直线 BC 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线交二次函数的图象于点 N，交 x 轴于点 M， （1）求抛物线与直线 BC 的函数解析式； （2）设点 M 的坐标为（m，0） ，求当以 PN 为直
10、径的圆与 y 轴相切时 m 的值； （3）若点 P 在线段 BC 上运动，则是否存在这样的点 P，使得CPN 与BPM 相似，若存在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请写出理由 28 （12 分）问题提出 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，ACB 的平分线交 AB 于点 D过点 D 分别作DEAC，DFBC垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线段是 问题探究 （2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB8P 是上一点，且2，连接 AP，BPAPB 的平分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP，CFBP，垂足分别为 E，F，求线段 CF 的
11、长 问题解决 （3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O 的直径 AB70m，点 C 在O 上，且 CACBP 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交O 于点 D连接 AD，BD过点 P 分别作 PEAD，PFBD，垂足分别为 E，F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设 AP 的长为 x（m） ，阴影部分的面积为 y（m2） 求 y 与 x 之间的函数关系式； 按照 “少儿活动中心” 的设计要求， 发现当 AP 的长度为 30m 时， 整体布局比较合理 试求当 AP30m时室内活动区（四边形 PEDF）的面积 江苏省无
12、锡市江阴市江苏省无锡市江阴市二二校校联考联考 2022 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 15 的相反数是（ ） A5 B5 C D 【分析】根据相反数的定义直接求得结果 【解答】解：5 的相反数是 5 故选：B 【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，4x0， 解得 x4 故选：B 【点评】
13、本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 3下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B （2a2b）36a6b3 C D （a+b）2a2+b2 【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则分别化简求出答案 【解答】解：A、2a+3b 无法计算，故此选项错误； B、 （2a2b）38a6b3，故此选项错误； C、+2+3，正确； D、 （a+b）2a2+b2+2ab，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主
14、要考查了二次根式加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算等知识，正确把握相关运算法则是解题关键 4如图，直线 a直线 c，直线 b直线 c，若170，则2（ ） A70 B90 C110 D80 【分析】首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得 ab，再根据两直线平行同位角相等可得13根据对顶角相等可得23，利用等量代换可得到2170 【解答】解：直线 a直线 c，直线 b直线 c， ab， 13， 32， 2170 故选：A 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理 5下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C
15、D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 6已知关于 x 的一元二次方程 x2m2x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm2 Cm0 Dm
16、0 【分析】因为关于 x 的一元二次方程 x2m2x 有两个不相等的实数根，所以4+4m0，解此不等式即可求出 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2m2x 有两个不相等的实数根， 4+4m0， 即 m1 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用总结一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 7如图，ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（ ） A B C2 D 【分析】过 B 点作 BDAC，得 AB 的长，AC 的长，根据面积法可得 BD 的长，利用勾股定
17、理可得 AD的长，最后利用锐角三角函数得结果 【解答】解：过 B 点作 BDAC，如图， 由勾股定理得， AB，AC3， SABC， BD， AD2， cosA， 故选：D 【点评】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键 8 如图， 矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点， 矩形的边分别平行于坐标轴， 点 C 在反比例函数 y的图象上，若点 A 的坐标为（2，2） ，则 k 的值为（ ） A4 B4 C8 D8 【分析】设 C 的坐标为（m，n） ，根据矩形的性质求得 ADAF+FD2+m，ABBN+NA2+n；由相似三角形OMDDAB 的对应边
18、成比例列出比例式求得 mn4，即 k8 【解答】解：设 C 的坐标为（m，n） ，又 A（2，2） ， ANMD2，AF2，CEOMFDm，CMn， ADAF+FD2+m，ABBN+NA2+n， AOMD90，MODODF， OMDDAB， ，即， 整理得：4+2m2m+mn，即 mn4， 则 k8 故选：D 【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数 k 的几何意义反比例函数系数 k 的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值 k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力
19、9在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2（m1）x+m（m1）沿 y 轴向下平移 3 个单位则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可 【解答】解：yx2（m1）x+m（x）2+m， 该抛物线顶点坐标是（，m） ， 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m3） ， m1， m10， 0， m310， 点（，m3）在第四象限； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次
20、函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键 10如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是边 BC 上一动点，设PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象上的最低点那么 a+b 的值为（ ） A4 B7 C7 D9 【分析】点 A 关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小，进而求解 【解答】 解： 如图， 将ABC 沿 BC 折叠得到ABC， 则四边形 ABAC 为菱形， 菱形的对角线交于点 O， 由图可知，当点 P 与点 B 重合时， yPA+PEAB+PEAB+AB3， 解得：AB
21、，即菱形的边长为 则该菱形的高为， 点 A 关于 BC 的对称点为点 A，连接 AE 交 BC 于点 P，此时 y 最小， ABAC，BAC120， 则BAA60，故AAB 为等边三角形， 点 E 是 AB 的中点， AEAB， ABAC， PAC 为直角，ACAB2， 则， 此时 bPC，aAE3， 则 a+b7 故选：B 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程 二填空题（共二填空题（共 8 小题，每空小题，每空 3 分，共分，共 30 分）分） 11分解因式：4
22、x216 4（x+2） （x2） 【分析】先提取公因式 4，再对剩余项 x24 利用平方差公式继续进行因式分解 【解答】解：4x216， 4（x24） ， 4（x+2） （x2） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底 12第七次人口普查数据公布：全国人口与 2010 年（第六次人口普查）相比，增加 7206 万人，这个数据用科学记数法可以表示为 7.206107 人 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n
23、 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：7206 万720600007.206107 故答案为：7.206107 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 13圆锥的底面半径为 7cm，母线长为 21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 120 度 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为 n 度， 圆锥的底面半径为 7cm， 圆锥的底面
24、周长为 14cm，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 14cm， 则14， 解得：n120， 故答案为：120 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键 14 如图， 已知 ABAC， DE 垂直平分 AB 分别交 AB、 AC 于 D、 E 两点， 若A40， 则EBC 30 【分析】 由 DE 垂直平分 AB 分别交 AB、AC 于 D、 E 两点， 利用线段垂直平分线的性质， 可得 AEBE， 即可求得ABE 的度数，又由 ABAC，即可求得ABC 的度数，继而求得答案 【解答】解：DE 垂直平分 AB 分别交 AB、AC 于 D
25、、E 两点， AEBE， ABEA40， ABAC， ABCC70， EBCABCABE30 故答案为：30 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 15如图，一块含 45角的直角三角板，它的一个锐角顶点 A 在O 上，边 AB，AC 分别与O 交于点 D，E，则DOE 的度数为 90 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论 【解答】解：A45， DOE2A90 故答案为：90 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 16 （6 分）命题“菱形的对
26、角线互相垂直”的逆命题是 对角线互相垂直的四边形是菱形 ，它是一个 假 命题（填“真”或“假” ） 【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题， 那么把另一个叫做它的逆命题 本题只需将命题 “菱形的对角线互相垂直”的条件和结论部分互换，变成新的命题即可得到它的逆命题；再根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，运用所学知识对它进行判断 【解答】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，它是一个假命题 【点评】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换在写逆命题时要
27、用词准确，语句通顺而判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 17 如图， 在矩形 ABCD 中， AB5， AD4， 将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD， AB 交 CD 于点 E，且 DEBE，则 AE 的长为 4.1 【分析】根据旋转的性质得到 ABAB5，设 AECEx，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 ABCD， ABAB5， DEBE， AECE， 设 AECEx， DE5x， D90， AD2+DE2AE2， 即 42+（5x）2x2， 解得：x4.1， 即 AE 的长为 4.1， 故答案为：4.1 【点
28、评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质及勾股定理解直角三角形是解题的关键 18 （6 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，AECF3，点 G、H 在正方形 ABCD 的内部或边上，解答下列问题： （1）EF 2 ； （2）若四边形 EGFH 是菱形，则菱形 EGFH 的最大面积为 34 【分析】 （1）由勾股定理求解即可； （2）根据题意求出当菱形 EGFH 的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出 GH 长度，即可求出面积 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形，ABBCAD8，AB90， 过 E 作 EM
29、BC 于 M，如图 1 所示： 则 BMAE3，AMAB8，EMF90， MFBCBMCF8332， EF2， 故答案为：2； （2）四边形 EGFH 为菱形， S菱形EGFHEFGH， 当菱形 EGFH 的面积最大时，只需 GH 值最大， 根据题意可得 G，H 在正方形 ABCD 的边上时，GH 最大， 过 E 作 EMBC 于 M，过点 G 作 GNCD 于 N，如图 2 所示： 则EMFGNH90，EMGNAB8， 又EFGH， MEFNGH， 在EMF 和GNH 中， EMFGNH（AAS） ， GHEF2， S菱形EGFHEFGH2234， 即菱形 EGFH 的最大面积为 34， 故
30、答案为：34 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 10 小题，共小题，共 90 分）分） 19 （8 分） （1）计算： （3）0+2sin30|2| （2）化简：（a+1）+ 【分析】 （1）根据零指数幂、特殊角三角函数值、立方根定义、绝对值定义计算即可 （2）先算除法，再计算加法即可 【解答】解： （1）原式 1+122 2 （2）原式 【点评】本题考查实数的混合运算和分式的混合运算，解题关键是零指数幂、特殊角三角函数值、立方根定义、绝对值定义以及分式的运算法则
31、 20 （8 分） （1）解方程：1+； （2）解不等式组： 【分析】 （1）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答 【解答】解： （1）1+， x2+3x6， 解得：x2， 检验：当 x2 时，x20， x2 是原方程的增根； 原方程无解； （2）， 解不等式得：x3， 解不等式得：x2 原不等式组的解集为：3x2 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验 21 （8 分）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查通过简单随机抽样，获得了 100 个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按
32、从小到大的顺序排列，其中部分数据如表： 序号 1 2 25 26 50 51 75 76 99 100 月均用水量/t 1.3 1.3 4.5 4.5 6.4 6.8 11 13 25.6 28 （1）求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为 9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？ （2） 为了鼓励节约用水， 要确定一个用水量的标准， 超出这个标准的部分按 1.5 倍价格收费 若要使 75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？ 【分析】 （1）利用所给数据，即可得这组数据的中位数，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用
33、水比较浪费； （2）由于 10075%75，所以为了鼓励节约用水，要使 75%的家庭水费支出不受影响，即要使 75 户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为 11t 【解答】解： （1）共有 100 个数，按大小顺序排列后第 50，51 个数据分别是 6.4，6.8，所以中位数为：（6.4+6.8）26.6； 已知这组数据的平均数为 9.2t， 从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费， 答：这组数据的中位数是 6.6； （2）10075%75， 第 75 个家庭去年的月均用水量为 11t， 所以为了鼓励节约用水，要使
34、75%的家庭水费支出不受影响，即要使 75 户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为 11t 答：这个标准应该定为 11t 【点评】本题考查中位数，读频频数分布表的能力及利用统计表获取信息的能力；利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题 22 （8 分）小明登陆泰微课学习页面后，发现推荐的数学微课有四个，其中有两个等级为 A，另外两个等级为 B，如果小明点击微课学习是随机的，且每个微课只点击学习一次 （1）求小明第一次点击学习的微课等级为 A 的概率； （2）如果小明第一次点击的微课等级为 A，小明继续点击学习两次，利用树状图或表格求三次点击
35、学习中有两个等级为 A 的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）小明第一次点击学习的微课等级为 A 的概率为； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中三次点击学习中有两个等级为 A 的有 4 种结果， 三次点击学习中有两个等级为 A 的概率为 【点评】 此题主要考查了概率的意义以及树状图法与列表法的运用， 当有两个元素时， 可用树形图列举，也可以列表列举利用树状图或者列表法列举出所有可能是解题关键 23 （8 分）某物流公司的一辆货车 A 从乙地出发运送货
36、物至甲地，1 小时后，这家公司的一辆货车 B 从甲地出发送货至乙地货车 A、货车 B 距甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关系如图所示 （1）求货车 B 距甲地的距离 y 与时间 x 的关系式； （2）求货车 B 到乙地后，货车 A 还需多长时间到达甲地 【分析】 （1）设货车 B 距甲地的距离 y 与时间 x 的关系式为 ykx+b，把（1，0） ， （5，240）代入求解即可； （2）把 x3 代入（1）的结论求出货车 B 行驶 2 小时时的路程，进而求出货车 A 的速度，然后根据“时间路程速度”列式计算即可 【解答】解： （1）设货车 B 距甲地的距离 y 与时间 x 的关系式
37、为 ykx+b， 根据题意得： ， 解得， 货车 B 距甲地的距离 y 与时间 x 的关系式为 y60 x60（1x5） ； （2）当 x3 时，y60360120， 故货车 A 的速度为： （240120）340（km/h） ， 货车 A 到达甲地所需时间为：240406（小时） ， 651（小时） ， 答：货车 B 到乙地后，货车 A 还需 1 小时到达甲地 【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键 24 （8 分）请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图 （1）如图 1，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 上的中点，以 EF
38、为边画一个矩形； （2）如图 2，在网格中有一定角 XOY 和一定点 P，请作一条线段 AB，使点 P 为 AB 中点，且点 A、B 分别在 OX、OY 上 【分析】 （1）连接 AC，BD 交于点 O，连接 EO，延长 EO 交 CD 于点 G，连接 FO，延长 FO 交 AD 于点H，连接 EH，HG，FG，四边形 EFGH 即为所求； （2）取格点 R，Q，连接 RQ 交 OY 于点 B，连接 BP，延长 BP 交 OX 于点 A，线段 AB 即为所求 【解答】解： （1）如图1，四边形EFGH即为所求的矩 形 （2）如图 2，线段 AB 即为所求的线段 【点评】本题考查作图应用与设计作
39、图，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 25（8分） 如图所示， 小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元， 他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 MN 他俩在小明家的窗台 B 处，测得商业大厦顶部 N 的仰角1 的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在 B 处测得商业大厦底部 M 的俯角的度数于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 C 处测得大厦底部 M 的俯角2的度数，竟然发现1 与2 恰好相等已知 A，B，C 三点共线，CAAM，NMAM，AB31m，BC18m，试求商业大厦的高 MN 【分析】过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作
40、 BFMN 于点 F，可得四边形 AMEC 和四边形 AMFB 均为矩形，可以证明BFNCEM，得 NFEM49，进而可得商业大厦的高 MN 【解答】解：如图，过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F， CEFBFE90， CAAM，NMAM， 四边形 AMEC 和四边形 AMFB 均为矩形， CEBF，MEAC， 12， BFNCEM（ASA） ， NFEM31+1849m， 由矩形性质可知：EFCB18m， MNNF+EMEF49+491880（m） 答：商业大厦的高 MN 为 80m 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构
41、造全等三角形解决问题 26 （10 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45连接 AO 并延长，交O于点 D，连接 BD过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AB12，求线段 EC 的长 【分析】 （1）连接 OC，由切线的性质可得OCE90，由圆周角定理可得AOC90，可得结论； （2）过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F，由锐角三角函数可求 AD8，可证四边形 OAFC 是正方形，可得 CFAF4，由锐角三角函数可求 EF12，即可求解 【解答】证明： （1）连接 OC， CE 与O 相切于点 C， OCE90，
42、ABC45， AOC90， AOC+OCE180， ADEC （2）如图，过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F， BAC75，ABC45， ACB60， DACB60， AD 是O 的直径， ABD90， sinADB， AD8， OAOC4， AFEC，OCE90，AOC90， 四边形 OAFC 是矩形， 又OAOC， 四边形 OAFC 是正方形， CFAF4， BAD90D30， EAF180903060， tanEAF， EFAF12， CECF+EF12+4 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键 27 （1
43、2 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A 和 B（3，0）两点，与 y 轴交于 C（0，2） ，对称轴为直线 x，连接 BC，在直线 BC 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线交二次函数的图象于点 N，交 x 轴于点 M， （1）求抛物线与直线 BC 的函数解析式； （2）设点 M 的坐标为（m，0） ，求当以 PN 为直径的圆与 y 轴相切时 m 的值； （3）若点 P 在线段 BC 上运动，则是否存在这样的点 P，使得CPN 与BPM 相似，若存在，请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请写出理由 【分析】 （1）由已知对称轴可得 ba，再将点 B（3
44、，0） ，C（0，2）代入 yax2+bx+c，即可求二次函数的解析式，再由待定系数法求直线 BC 的解析式即可； （2）求出 P、N 的坐标，然后求出 PN 和 PN 的中点坐标，根据圆与 y 轴线切的条件，可得|m|PN，列出方程求出 m 即可； （3）由题意可知PCN 是直角三角形，分两种情况求解：当PCN90时，过点 N 作 ENy 轴交于点 E，证明OBCECN，再由边的比例关系求出 m 的值；当CNP90时，CNx 轴，可得N 点纵坐标为2，由此可求 m 的值 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为直线 x， ， ba， yax2ax+c， 将点 B（3，0） ，C（0，2）代入，
45、， ， yx2x2， 设直线 BC 的解析式为 ykx+n， ， ， yx2； （2）点 M 的坐标为（m，0） ，PMx 轴， P（m，m2） ，N（m，m2m2） ， PNPyNym2+4m，P、N 的中点为（m，m2m2） ， 以 PN 为直径的圆与 y 轴相切， |m|PN|m2+2m|， m或 m； （3）存在这样的点 P，使得CPN 与BPM 相似，理由如下： PMB90，MPBCPN， 当得CPN 与BPM 相似时有两种情况： 当PCN90时， 过点 N 作 ENy 轴交于点 E， PCN90， OCB+ECP90， OCB+OBC90， ECPOBC， OBCECN， ， ，
46、m， P（，） ； 当CNP90时，CNx 轴， N 点纵坐标为2， m2m22， m， P（，） ； 综上所述：P 点的坐标为（，）或（，） 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，圆与直线的位置关系是解题的关键 28 （12 分）问题提出 （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，ACB 的平分线交 AB 于点 D过点 D 分别作DEAC，DFBC垂足分别为 E，F，则图 1 中与线段 CE 相等的线段是 CF、DE、DF 问题探究 （2）如图 2，AB 是半圆 O 的直径，AB8P 是上一点，且2，连接 AP，BPAPB 的平
47、分线交 AB 于点 C，过点 C 分别作 CEAP，CFBP，垂足分别为 E，F，求线段 CF 的长 问题解决 （3）如图 3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图已知O 的直径 AB70m，点 C 在O 上，且 CACBP 为 AB 上一点，连接 CP 并延长，交O 于点 D连接 AD，BD过点 P 分别作 PEAD，PFBD，垂足分别为 E，F按设计要求，四边形 PEDF 内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区设 AP 的长为 x（m） ，阴影部分的面积为 y（m2） 求 y 与 x 之间的函数关系式； 按照 “少儿活动中心” 的设计要求， 发现当 AP 的长度为
48、30m 时， 整体布局比较合理 试求当 AP30m时室内活动区（四边形 PEDF）的面积 【分析】 （1）证明四边形 CEDF 是正方形，即可得出结果； （2） 连接 OP， 由 AB 是半圆 O 的直径，2， 得出APB90， AOP60， 则ABP30，同（1）得四边形 PECF 是正方形，得 PFCF，在 RtAPB 中，PBABcosABP4，在 RtCFB中，BFCF，推出 PBCF+BF，即可得出结果； （3） 同 （1） 得四边形 DEPF 是正方形， 得出 PEPF， APE+BPF90， PEAPFB90，将APE 绕点 P 逆时针旋转 90，得到APF，PAPA，则 A、F
49、、B 三点共线，APEAPF，证APB90，得出 SPAE+SPBFSPABPAPBx（70 x） ，在 RtACB 中，ACBC35，SACBAC21225，由 ySPAB+SACB，即可得出结果； 当 AP30 时，AP30，PB40，在 RtAPB 中，由勾股定理得 AB50，由SAPBABPFPBAP，求 PF，即可得出结果 【解答】解： （1）ACB90，DEAC，DFBC， 四边形 CEDF 是矩形， CD 平分ACB，DEAC，DFBC， DEDF， 四边形 CEDF 是正方形， CECFDEDF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接 OP，如图 2 所示： AB 是半圆
50、O 的直径，2， APB90，AOP18060， ABP30， 同（1）得：四边形 PECF 是正方形， PFCF， 在 RtAPB 中，PBABcosABP8cos3084， 在 RtCFB 中，BFCF， PBPF+BF， PBCF+BF， 即：4CF+CF， 解得：CF62； （3）AB 为O 的直径， ACBADB90， CACB， ADCBDC， 同（1）得：四边形 DEPF 是正方形， PEPF，APE+BPF90，PEAPFB90， 将APE 绕点 P 逆时针旋转 90，得到APF，PAPA，如图 3 所示： 则 A、F、B 三点共线，APEAPF， APF+BPF90，即APB
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