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    2022年高考数学一轮复习《第18讲恒成立问题与存在性问题》专题练习(含答案)

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    2022年高考数学一轮复习《第18讲恒成立问题与存在性问题》专题练习(含答案)

    1、第18讲 恒成立问题与存在性问题高考预测一:不等式的恒成立问题 1已知函数,在点,处的切线方程为(1)求的解析式;(2)求证:当时,;(3)设实数使得对恒成立,求的最大值2已知函数,(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围3已知函数(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围4已知函数,其中实数()判断是否为函数的极值点,并说明理由;()若在区间,上恒成立,求的取值范围5设函数若对所有的,都有成立,求实数的取值范围6已知函数,为常数,是自然对数的底数),为的导函数,且,(1)求的值;(2)对任意,证明:;(3)若对所有的,都有成立,求实数的取值范围7设函数()求函数在点, 处的切线方程;()求

    2、的极小值;()若对所有的,都有成立,求实数的取值范围8设函数()求的单调区间;()如果对任何,都有,求的取值范围9设函数,()证明:;()若对所有的,都有,求实数的取值范围10设函数,其中常数(1)讨论的单调性;(2)若当时,恒成立,求的取值范围11已知函数,(1)证明为奇函数,并在上为增函数;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)设,当时,求的最大值12设函数且(1)求函数的单调区间;(2)已知对任意成立,求实数的取值范围13设函数,()判断函数的单调性;()当上恒成立时,求的取值范围;()证明:14已知函数的定义域是(1)求函数在,上的最小值;(2),不等式恒成立,求实数

    3、的取值范围15已知,()若函数在其定义域上是增函数,求实数的取值范围;()当时,对于任意,均有恒成立,试求参数的取值范围16已知函数 是实数)(1)当时,求函数在定义域上的最值;(2)若函数在,上是单调函数,求的取值范围17设函数,()当为自然对数的底数)时,求的极小值;()讨论函数零点的个数;()若对任意,恒成立,求的取值范围18已知函数,()当时,求函数的极值;()当时,讨论函数单调性;()是否存在实数,对任意的,且,有恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由高考预测二:不等式存在性问题19设函数,且,曲线在点,(1)处切线的斜率为0(1)求的值;(2)若存在,使得,求的取值范围

    4、20设函数,曲线在点,(1)处的切线的斜率为0(1)求的值;(2)设,若存在,使得且,求的取值范围21已知函数(1)若,求函数的极值和单调区间;(2)若在区间,上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围22已知函数(1)若,求函数的极小值;(2)设函数,求函数的单调区间;(3)若在区间,上存在一点,使得成立,求的取值范围,23(1)若函数的单调递减区间求,的值;(2)设,若在上存在单调递增区间,求的取值范围;(3)已知函数,若函数的图象在点,(2)处的切线的倾斜角为,对于任意,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围24已知函数,()当时,若函数是上的增函数,求的最小值;()当,时,函数在上存

    5、在单调递增区间,求的取值范围高考预测三:恒成立与存在性的综合问题25已知函数()当时,讨论的单调性;()设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围对于任意,都有,求的取值范围26已知函数()求的单调区间;()设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围27已知函数为常数,(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)当在处取得极值时,若关于的方程在,上恰有两个不同的相等的实数根,求实数的取值范围;(3)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围第18讲 恒成立问题与存在性问题高考预测一:不等式的恒成立问题 1已知函数,在点,处的切线方程为(1)求的解析式;(2)求证:当时,;(3)设实数使得对恒

    6、成立,求的最大值【解析】解:(1),故,由,得,由,得,解得:,故;(2)原命题等价于,设,当时,函数在递增,故,;(3)对恒成立,故,时,且,恒成立,即时,函数在递增,当时,令,解得:,取,的变化如下:,0递增极大值递减,显然不成立,综上,满足条件的的最大值是22已知函数,(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围【解析】解:(1),时,在恒成立,故在单调递减,时,由,解得:,由,解得:,故在单调递增,在单调递减;(2)由(1)可得,当时,在单调递减,当时,在单调递增,在单调递减,(a),令(a),易知函数(a)在单调递增,又(1),当时,(a),即,满足题意,当时,(a),即,不满足题意,

    7、综上所述的取值范围为,3已知函数(1)讨论的单调性;(2)若,求的取值范围【解析】解:(1),当时,又,故,递增,当时,令,解得:,令,解得:,故在递减,在递增;(2),即,时,递增,恒成立,时,故,令(a),(a),故(a)递减,又,故,综上:,4已知函数,其中实数()判断是否为函数的极值点,并说明理由;()若在区间,上恒成立,求的取值范围【解析】解:()由可得函数定义域为,令,经验证(1),因为,所以的判别式,由二次函数性质可得,1是函数的异号零点,所以1是的异号零点,所以是函数的极值点()已知,因为,又因为,所以,所以当时,在区间,上,所以函数单调递减,所以有恒成立;当时,在区间,上,所

    8、以函数单调递增,所以,所以不等式不能恒成立;所以时,有在区间,恒成立5设函数若对所有的,都有成立,求实数的取值范围【解析】解法一:令,对函数求导数:令,解得,当时,对所有,所以在,上是增函数,又,所以对,都有,即当时,对于所有,都有当时,对于,所以在是减函数,又,所以对,都有,即当时,不是对所有的,都有成立综上,的取值范围是,解法二:令,于是不等式成立即为成立对函数求导数:令,解得,当时,为增函数,当,为减函数,所以要对所有都有充要条件为由此得,即的取值范围是,6已知函数,为常数,是自然对数的底数),为的导函数,且,(1)求的值;(2)对任意,证明:;(3)若对所有的,都有成立,求实数的取值范

    9、围【解析】解:(1)所以(3分)(2)证明:令,当,所以当时单调递增,从而有,;所以,所以当,;(8分)(3)令,则,令,解得,当时,所以,从而对所有,;在,上是增函数故有,即当时,对于所有,都有当时,对于,所以在上是减函数,所以对于有,即,所以,当,不是所有的都有成立,综上,的取值范围是,(14分)7设函数()求函数在点, 处的切线方程;()求的极小值;()若对所有的,都有成立,求实数的取值范围【解析】解:()的定义域为,又,切点为,所求切线方程为(2分)()设,得,得;,得,得;,得,得;则(6分)()令,则令,得,得;,得,得;,得,得;(1)当时,对所有时,都有,于是恒成立,在,上是增

    10、函数又,于是对所有,都有成立故当时,对所有的,都有成立(2)当时,对所有,都有恒成立,在上是减函数又,于是对所有,都有故当时,只有对仅有的,都有即当时,不是对所有的,都有综合(1),(2)可知实数的取值范围,(12分)8设函数()求的单调区间;()如果对任何,都有,求的取值范围【解析】解:()(2分)当时,即;当时,即因此在每一个区间是增函数,在每一个区间是减函数(6分)()令,则故当时,又,所以当时,即(9分)当时,令,则故当,时,因此在,上单调增加故当时,即于是,当时,当时,有因此,的取值范围是(12分)9设函数,()证明:;()若对所有的,都有,求实数的取值范围【解析】()证明:令,由,

    11、解得:,在,递减,在,递增,即成立()解:记,在,恒成立,在,递增,又,当时,成立,即在,递增,则,即成立;当时,在,递增,且,必存在使得,则时,即时,与在,恒成立矛盾,故舍去综上,实数的取值范围是10设函数,其中常数(1)讨论的单调性;(2)若当时,恒成立,求的取值范围【解析】解:(1),由知,当时,故在区间是增函数;当时,故在区间是减函数;当时,故在区间是增函数综上,当时,在区间和是增函数,在区间是减函数(2)由(1)知,当时,在或处取得最小值,由假设知,即,解得,故的取值范围是,11已知函数,(1)证明为奇函数,并在上为增函数;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)设,

    12、当时,求的最大值【解析】解:(1),所以为奇函数,而,在上恒成立,所以在上增,(2)由得,变形得,只要大于或等于右边式子的最大值即可令得,;(3),当时,等号仅当时成立,所以在上单调递增而,所以对任意,当时,若满足,即时,而,因此当时,不满足要求综上,故的最大值为212设函数且(1)求函数的单调区间;(2)已知对任意成立,求实数的取值范围【解析】解:(1)函数的导数为,由,由,即函数在上单调递增,在,及上单调递减(2)因为时,由得,即求函数的最大值即可由(1)知,函数在上单调递增,在,上单调递减,所以函数在上,当时取得最大值为,所以,即实数的取值范围13设函数,()判断函数的单调性;()当上恒

    13、成立时,求的取值范围;()证明:【解析】解:(2分)()所以当时,在是增函数(4分)当时,在上在上,故在上是增函数,在上是减函数(6分)()由()知当时,在上不恒成立;(8分)当时,在处取得最大值为,因此,即时,在上恒成立,即在上恒成立所以当在上恒成立时,的取值范围为(10分)()由()知当时,的最大值为所以(当且仅当时等号成立),令,则得,即,(12分)从而得,由函数的单调性得(14分)14已知函数的定义域是(1)求函数在,上的最小值;(2),不等式恒成立,求实数的取值范围【解析】解:(1),当时,在,上递减;当时,在,上递增当时,在,上递增,;当时,在,上递减,在,上递增,(1)(2),恒

    14、成立,即恒成立由(1)可知,当且仅当时取等号,又,当且仅当时取等号,当且仅当时,有15已知,()若函数在其定义域上是增函数,求实数的取值范围;()当时,对于任意,均有恒成立,试求参数的取值范围【解析】解:()函数的定义域为,对于任意上,满足,即,而,当且仅当时,取最大值5,所以(),令,可得或,所以函数在单调递增,在,单调递减,所以,恒成立,满足,即,所以的取值范围是,16已知函数 是实数)(1)当时,求函数在定义域上的最值;(2)若函数在,上是单调函数,求的取值范围【解析】解:(1)时,函数在,上单调递减,在,上单调递增,因此时函数取得极小值即最小值,时,函数在定义域上有最小值为,无最大值(

    15、2),当时,恒成立,在,上是单调函数当时,在,上是单调函数时恒成立,解得,综上所述的取值范围为,17设函数,()当为自然对数的底数)时,求的极小值;()讨论函数零点的个数;()若对任意,恒成立,求的取值范围【解析】解:()的定义域为,当时,则,当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,时,取得极小值(e),的极小值为2;()由题设,令,得,设,则,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,是的唯一极值点,且是极大值点,也是的最大值点,的最大值为(1)又,结合的图象(如图所示),可知当时,函数无零点;当时,函数有且只有一个零点;当时,函数有两个零点;当时,函数有且只有一个零点,综上所述,当时,函数无

    16、零点;当或时,函数有且只有一个零点;当时,函数有两个零点;()对任意的,恒成立,等价于恒成立,设,等价于在上单调递减,由在上恒成立,得恒成立,(对,仅在时成立),的取值范围是,18已知函数,()当时,求函数的极值;()当时,讨论函数单调性;()是否存在实数,对任意的,且,有恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由【解析】解:()当时,当或时,单调递增;当时,单调递减,所以时,;时,(2)()当时,当,即时,由可得或,此时单调递增;由可得,此时单调递减;当,即时,在上恒成立,此时单调递增;当,即时,由可得或,此时单调递增;由可得,此时单调递减综上:当时,增区间为,减区间为;当时,增区间

    17、为,无减区间;当时,增区间为,减区间为()假设存在实数,对任意的,且,有恒成立,不妨设,则由恒成立可得:恒成立,令,则在上单调递增,所以恒成立,即恒成立,即恒成立,又,在时恒成立,当时,对任意的,且,有恒成立高考预测二:不等式存在性问题19设函数,且,曲线在点,(1)处切线的斜率为0(1)求的值;(2)若存在,使得,求的取值范围【解析】解:(1)函数,且,导数,曲线在点,(1)处的切线斜率为0,(1),解得(2)函数的定义域为,由(1)可知:,当时,则,则当时,函数在单调递增,存在,使得的充要条件是(1),即,解得;当时,则,则当时,函数在上单调递减;当,时,函数在,上单调递增存在,使得的充要

    18、条件是,而,不符合题意,应舍去若时,(1),成立综上可得:的取值范围是,20设函数,曲线在点,(1)处的切线的斜率为0(1)求的值;(2)设,若存在,使得且,求的取值范围【解析】解:(1),曲线在点,(1)处的切线斜率为0,(1),解得(2)由于,则令,函数的定义域为,当时,则,则当时,函数在单调递增,存在,使得的充要条件是(1),即,解得;当时,则,则当时,函数在上单调递减;当,时,函数在,上单调递增存在,使得的充要条件是,而,不符合题意,应舍去若时,(1),成立综上可得:的取值范围是,21已知函数(1)若,求函数的极值和单调区间;(2)若在区间,上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围【

    19、解析】解:(1)因为,(2分)当,令,得,(3分)又的定义域为,随的变化情况如下表:10极小值所以时,的极小值为1(5分)的单调递增区间为,单调递减区间为;分(2),令,得到,若在区间,上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间,上的最小值小于0即可当,即时,对成立,在区间,上单调递减,故在区间,上的最小值为(e),由,得;当,即时,若,则对,成立,在区间,上单调递减,在区间,上的最小值为(e),显然,在区间,上的最小值小于0不成立若,即时,则有,0极小值在区间,上的最小值为,由,得,解得,即综上,由(1)(2)可知:,22已知函数(1)若,求函数的极小值;(2)设函数,求函数的单调区间;(3)

    20、若在区间,上存在一点,使得成立,求的取值范围,【解析】解:(1)的定义域为,(1分)当时,(2分)10极小(3分)所以在处取得极小值1(4分)(2),(6分)当时,即时,在上,在上,所以在上单调递减,在上单调递增;(7分)当,即时,在上,所以,函数在上单调递增(8分)(3)在,上存在一点,使得成立,即在,上存在一点,使得,即函数在,上的最大值小于零(9分)由(2)可知即,即时,在,上单调递减,所以的最小值为(e),由(e)可得,因为,所以;(10分)当,即时,在,上单调递增,所以最小值为(1),由(1)可得;(11分)当,即时,可得最小值为,因为,所以,故此时,不成立(12分)综上讨论可得所求

    21、的范围是:或(13分)23(1)若函数的单调递减区间求,的值;(2)设,若在上存在单调递增区间,求的取值范围;(3)已知函数,若函数的图象在点,(2)处的切线的倾斜角为,对于任意,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围【解析】解:(1),因为的单调递减区间,所以方程的两根分别为,2,即,所以;(2),函数的导数为,若函数在,上存在单调递增区间,即在,上有解,只需即可,由,解得,当时,则当时,恒成立,即此时函数在,上为减函数,不满足条件(3)由(2),令得,故两个根一正一负,即有且只有一个正根,函数在区间上总不是单调函数,在上有且只有实数根,(3),故,而在,单调减,综合得24已知函数,()当

    22、时,若函数是上的增函数,求的最小值;()当,时,函数在上存在单调递增区间,求的取值范围【解析】解:()因为函数是上的增函数,所以在上恒成立则有,即设为参数,则当,且时,取得最小值()当,时,当时,是开口向上的抛物线,显然在上存在子区间使得,所以的取值范围是当时,显然成立当时,是开口向下的抛物线,要使在上存在子区间使,应满足或解得则的取值范围是高考预测三:恒成立与存在性的综合问题25已知函数()当时,讨论的单调性;()设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围对于任意,都有,求的取值范围【解析】解:()函数的定义域为,因为,所以当时,令得,所以此时函数在上是增函数,在是减函数;(2分)当时,所以

    23、此时函数在是减函数;当时,令,解得,此时函数在是增函数,在上是减函数;(4分)当,令,解得,此时函数在是增函数,在上是减函数;(6分)当,由于,令,解得,此时函数在是增函数,在上是减函数(8分)()当时,在上是减函数,在上是增函数,所以对任意,有,又已知存在,使,所以,即存在,使,即,即,所以,解得,即实数取值范围是(12分)不妨设,由函数在,上是增函数,函数在,是减函数,等价于,所以设是减函数,所以在,上恒成立,即,解得(16分)26已知函数()求的单调区间;()设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围【解析】解:()当时,在区间上,;在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是当时,在区间

    24、和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是当时,故的单调递增区间是当时,在区间和上,;区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是()设,为增函数,由已知,(2)由可知,当时,在,上单调递增,故(2),所以,解得,故当时,在上单调递增,在上单调递减,故由可知,所以,综上27已知函数为常数,(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)当在处取得极值时,若关于的方程在,上恰有两个不同的相等的实数根,求实数的取值范围;(3)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围【解析】解:(1)时,于是(1),又(1),即切点为,切线方程为;(2),即,此时,上递减,上递增,又,(2),;(3),即,在,上递增,(1),问题等价于对任意的,不等式成立,设(a),则(a),又(1),(a)在1右侧需先增,(1),设(a),对称轴,又,(1),所以在上,(a),即(a),(a)在上单调递增,(a)(1),即,于是,对任意的,总存在,使不等式成立,


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