1、2021 的绝对值是（ ） A2021 B12021 C2021 D12021 2 （4 分）如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ） A B C D 3 （4 分）已知点 A 与点 B 关于原点对称，若点 A 的坐标为（2，3） ，则点 B 的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （2，3） 4 （4 分）下列运算错误的是（ ） Aa+2a3a B （a2）3a6 Ca2a3a5 Da6a3a2 5 （4 分）某校举办“喜迎建党 100 周年”校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数， 制作了一个表格， 如果去掉一
2、个最高分和一个最低分， 则表中数据一定不发生变化的是 （ ） 中位数 众数 平均数 方差 9.3 9.4 9.2 9.5 A中位数 B众数 C平均数 D方差 6 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B1 C1 D1 7 （4 分）如图所示，在 44 的网格中，A、B、C、D、O 均在格点上，则点 O 是（ ） AABC 的内心 BABC 的外心 CACD 的外心 DACD 的重心 8 （4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，已知BADBCD90，ADCD，且ADC120，若点 E 为弧 BC 的中点，连接 DE，则
3、CDE 的大小是（ ） A25 B30 C35 D40 9 （4 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC，以点 A 为圆心，AB 为半径画圆弧交 AC 于点 F，连接DF则FDC 的度数是（ ） A18 B30 C36 D40 10 （4 分）抛物线 yx2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6） ，且抛物线的对称轴与线段 y2x1（1x3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A5 B7 C10 D14 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算：sin45 12 （4 分）如
4、图，ABCD，BE 交 AD 于点 E，若B18，D34，则BED 的度数为 13 （4 分）某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数 n 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数 m 93 192 380 561 752 941 1128 优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是 （精确到 0.01） 14 （4 分）在ABC 中，以下命题正确的有 如果 ADBC，点 D 为 BC 中点，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线； 如果 ADBC，A
5、C，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线； 如果 ADBC，ADCD，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线； 如果 ADBC，ABAC，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线 15 （4 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数以十六乘之，九而一，所得开立方除之， 即立圆径“开立圆术” 相当于给出了已知球的体积V， 求其直径d的一个近似公式d1693 我们知道球的体积公式为43r3，那么利用开立圆柱圆柱的直径相当于体积公式中的 16 （4 分） 如图， RtAOB 的顶点 O 是坐标原点， 点 B 在 x 轴上， OAB90，反比例函数 y=7（x0）的图象关于
6、AO 所在的直线对称， 且与 AO、 AB 分别交于 D、 E 两点， 过点 A 作 AHOB 交 x 轴于点 H，过点 E 作 EFOB 交 AH 于点 G，交 AO 于点 F，则四边形 OHGF 的面积为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x24x+10 18 （8 分）如图，点 D、F 分别为 AC、BC 的中点，ABCD，ACDE，求证：BCCE 19 （8 分）先化简，再求值：2（x4） ，其中 x= 2 2 20 （8 分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市 20天全
7、部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 y（单位：千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系如图所示 （1）观察图示，直接写出日销售量的最大值为 （2）根据图示，求李大爷家百香果的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式，并求出第 15 天的日销售量 21 （8 分）如图，ABAD，BAC=12BAD （1）在 AC 上方求作求作一点 E，使得ACEABD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接 DE，若 AC= 2AB，BDDE1，求证：EBC90 22 （10 分）从某城市的行政中心到市图书馆上班，有以下两种出行
8、方式方式一：乘坐地铁二号线到换乘点 A 站，换乘地铁一号线至 B 站下车，再步行 3 分钟方式二：乘坐地铁二号线到换乘点 A 站，出站后打车至市图书馆，出站需 2 分钟时间 （1）从二号线换乘点到一号线需要步行一段距离小明随机记录了 200 名乘客换乘需要的步行时间如图如果这些乘客中有一位 10：45 到达二号线 A 站，地铁一号线 10：48 到达 A 站，停留 30 秒（含开关门时间） 那么该乘客能赶上该趟一号线的概率是多少？ （2）从到达二号线换乘点 A 站至出一号线 B 站需 15 分钟，若从 A 站出站，直接打车到市图书馆大概需要 1220 分钟小海对他两个月 40 个工作日打车的时
9、间做了统计如表请你运用所学的统计知识判断这两个月选择哪种上班方式更省时间 行程时间 x/分钟 次数 12x14 6 14x16 10 16x18 m 18x20 9 23 （10 分）如图，点 D 为ABC 外接圆上一点，ABC90，BD 与 AC 交于点 E，点 F 在 BD 延长线上，DAFABD （1）求证：AF 与ABC 的外接圆相切： （2）若点 D 为 EF 的中点，cosBCA=13，AF26，求 EF 的长 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，点 E 是线段 BC 上一动点，连接 AE，过点 B 作 BFAE 于点 G，交直线 CD于点 F （1）如图 1，当矩
10、形 ABCD 是正方形时，以点 F 为直角顶点在正方形 ABCD 的外部作等腰 RtCFH，连接 EH判断线段 AE 与 EH 之间的关系，并说明理由； （2）如图 2，以 BE 和 BF 为邻边作BEHF，M 是 BH 中点，连接 GM，AB5，BC4，求 GM 的最小值 25 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和 B（点 A 在点 B 左侧） ，若ABC 是等腰三角形，则称抛物线 yax2+bx+c（a0）是“理想抛物线” （1）判断抛物线 yx2+4 是否为“理想抛物线” ，并说明理由； （2）已知经过点 B（3，0）的抛物线
11、yax2+bx+c（a0）是“理想抛物线” 若点 P（2k，y1） ，Q（k1，y2） （y1y10）是抛物线上另两点，满足当 k4 时，PB 与 AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段 AC 的垂直平分线恰好经过点 B，求此抛物线的解析式； 是否存在整数 c 使得 SABC|cn|， 且 0n52？若存在， 求出所有满足条件的整数 c 的值； 若不存在，请说明理由 2021 年福建省厦门市海沧区中考数学诊断性练习试卷年福建省厦门市海沧区中考数学诊断性练习试卷 答案与解析答案与解析 一、 选择题 （本大题有一、 选择题 （本大题有 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分，
12、共分， 共 40 分分.每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确）每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确） 1 （4 分）2021 的绝对值是（ ） A2021 B12021 C2021 D12021 【分析】根据绝对值的意义即可进行求解 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数， 2021 的绝对值为 2021 故选：C 2 （4 分）如图是由 4 个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ） A B C D 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案 【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形 故选：A 3 （4 分）已知点 A 与点 B
13、关于原点对称，若点 A 的坐标为（2，3） ，则点 B 的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （2，3） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案 【解答】解：点 A 与点 B 关于原点对称，点 A 的坐标为（2，3） ， 点 B 的坐标是（2，3） ， 故选：B 4 （4 分）下列运算错误的是（ ） Aa+2a3a B （a2）3a6 Ca2a3a5 Da6a3a2 【分析】根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可 【解答】解：a+2a3a， 选项 A 不符合题意； （a2）3a6， 选项 B
14、 不符合题意； a2a3a5， 选项 C 不符合题意； a6a3a3， 选项 D 符合题意 故选：D 5 （4 分）某校举办“喜迎建党 100 周年”校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数， 制作了一个表格， 如果去掉一个最高分和一个最低分， 则表中数据一定不发生变化的是 （ ） 中位数 众数 平均数 方差 9.3 9.4 9.2 9.5 A中位数 B众数 C平均数 D方差 【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这
15、组数据的中位数可得答案 【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故选：A 6 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 的值为（ ） A0 B1 C1 D1 【分析】直接把 x0 代入进而方程，再结合 a10，进而得出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0， a210，且 a10， 则 a 的值为：a1 故选：D 7 （4 分）如图所示，在 44 的网格中，A、B、C、D、O 均在格点上，则点 O 是（ ） AABC 的内心 BABC 的外心 CACD 的
16、外心 DACD 的重心 【分析】根据网格利用勾股定理得出 OAOBOC，进而判断即可 【解答】解：连接 OA，OB，OC， 由勾股定理可知： OAOBOC= 22+ 12= 5， 所以点 O 是ABC 的外心， 故选：B 8 （4 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，已知BADBCD90，ADCD，且ADC120，若点 E 为弧 BC 的中点，连接 DE，则CDE 的大小是（ ） A25 B30 C35 D40 【分析】连接 BD，根据圆内接四边形的性质求出ABC，根据弧、弦、圆心角之间的关系求出ABDCBD30，求出BDC，再求出答案即可 【解答】解：解法一、连接 BD， 四边
17、形 ABCD 是O 的内接四边形， ABC+ADC180， ADC120， ABC60， ADCD， = ， DBCABD=12 60 =30， BCD90， BDC90CBD60， E 为的中点， CDEBDE=12BDC30； 解法二、连接 AC、BD， ADCD， = ， ABDCBD， BADBCD90， ADBCDB， ADC120， ADBCDB60， 点 E 为弧 BC 的中点， BDECDE=12BDC=126030； 故选：B 9 （4 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC，以点 A 为圆心，AB 为半径画圆弧交 AC 于点 F，连接DF则FDC 的度
18、数是（ ） A18 B30 C36 D40 【分析】证明四边形 AEDF 是菱形，推出EDFEAF72可得结论 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， AEDEABABC108， BABC， BACBCA36， EAC72， AED+EAC180， DEAF， AEAFDE， 四边形 AEDF 是菱形， EDFEAF72， EDC108， FDC36， 故选：C 10 （4 分）抛物线 yx2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6） ，且抛物线的对称轴与线段 y2x1（1x3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A5 B7 C10 D14 【分析】由点 A 坐标可
19、得到 b、c 的关系式，再由对称轴的范围可求得 b 的范围，代入可求得 c 的取值范围 【解答】解：抛物线 yx2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6） ， 64+2b+c，即 c22b， 对称轴为 x= 2，且抛物线的对称轴与线段 y2x1（1x3）有交点， 1 23，解得 2b6， 42b12， 622b14，即 6c14， 故选：A 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算：sin45 22 【分析】根据特殊角的三角函数值解答 【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45=22 12
20、（4 分）如图，ABCD，BE 交 AD 于点 E，若B18，D34，则BED 的度数为 52 【分析】由平行线的性质推知AD34，然后由三角形外角性质解答 【解答】解：ABCD，D34， AD32， B18， BEDA+B18+3452 故答案为：52 13 （4 分）某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数 n 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数 m 93 192 380 561 752 941 1128 优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等
21、品的概率的估计值是 0.94 （精确到 0.01） 【分析】由表中数据可判断频率在 0.94 左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为 0.94 【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是 0.94 故答案为 0.94 14 （4 分）在ABC 中，以下命题正确的有 如果 ADBC，点 D 为 BC 中点，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线； 如果 ADBC，AC，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线； 如果 ADBC，ADCD，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线； 如果 ADBC，ABAC，那么直线 AD 是 BC 的垂直平分线
22、【分析】根据条件，逐一判定命题是否正确 【解答】解：ADBC，点 D 为 BC 中点，则 AD 符合中垂线的定义，命题正确； ADBC，BC 时，AD 才是中垂线，命题错误； ADBC，BDCD 时，AD 才是中垂线，命题错误； ADBC，ABAC，根据等腰三角形的三线合一，可知命题正确 故答案为： 15 （4 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数以十六乘之，九而一，所得开立方除之， 即立圆径“开立圆术” 相当于给出了已知球的体积V， 求其直径d的一个近似公式d1693 我们知道球的体积公式为43r3，那么利用开立圆柱圆柱的直径相当于体积公式中的 3.375 【分析】根据球的
23、体积公式求出 r，再求出 d，根据题意得1693=63，从而得到 的值 【解答】解：V=43r3， r=343， d2343=63， 1693=63， 169V=6， 3.375 故答案为：3.375 16 （4 分） 如图， RtAOB 的顶点 O 是坐标原点， 点 B 在 x 轴上， OAB90，反比例函数 y=7（x0）的图象关于 AO 所在的直线对称， 且与 AO、 AB 分别交于 D、 E 两点， 过点 A 作 AHOB 交 x 轴于点 H，过点 E 作 EFOB 交 AH 于点 G，交 AO 于点 F，则四边形 OHGF 的面积为 72 【分析】 反比例函数系数 k 的
24、几何意义， 利用反比例函数 y=7（x0） 的图象关于 AO 所在的直线对称，得到 OA 所在的直线是第一、三象限的角平分线，利用等腰三角形的性质可得 FGGE，则梯形的上底+下底OM，设点 E（a，b） ，则 OMa，GMb，利用反比例函数系数 k 的几何意义解答即可得出结论 【解答】解：过点 E 作 EMOB 于点 M，连接 OE，如图， 反比例函数 y=7（x0）的图象关于 AO 所在的直线对称， AOB45 OAB90， RtAOB 为等腰直角三角形 AHOB， OAHBAH45 EFOB， RtAEF 为等腰直角三角形 FGGE FEOB，AHOB，EMOB， 四边形 G
25、HME 为矩形， HMGE，GHEM OH+FGOH+HMOM 设点 E（a，b） ，则 OMa，GMb 点 E 在反比例函数 y=7（x0）的图象上， ab7 四边形 OHGF 为梯形， 梯形=12（FG+OH）GH =12OMEM =12ab =72 故答案为：72 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解方程：x24x+10 【分析】根据配方法可以解答此方程 【解答】解：x24x+10 x24x+43 （x2）23 x2= 3 x12+3，x223； 18 （8 分）如图，点 D、F 分别为 AC、BC 的中点，ABCD，ACDE
26、，求证：BCCE 【分析】由三角形中位线定理证出 DFAB，由平行线的性质得出ACDE，证明ABCDCE（SAS） ，由全等三角形的性质得出 BCCE 【解答】证明：D、F 分别为 AC、BC 的中点， DFAB， ACDE， 在ABC 和DCE 中， = = = ， ABCDCE（SAS） ， BCCE 19 （8 分）先化简，再求值：2（x4） ，其中 x= 2 2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式=2（24） =2(+2)(2) =2(+2)(2) =1+2， 当 x= 2 2 时， 原式=122+2=12=22
27、 20 （8 分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市 20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量 y（单位：千克）与上市时间 x（单位：天）的函数关系如图所示 （1）观察图示，直接写出日销售量的最大值为 960 千克 （2）根据图示，求李大爷家百香果的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式，并求出第 15 天的日销售量 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，可以直接写出日销售量的最大值； （2）根据函数图象中的数据，可以得到李大爷家百香果的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式，并求出第 15 天的日销售
28、量 【解答】解： （1）由图象可得， 日销售量的最大值为 960 千克， 故答案为：960 千克； （2）当 0 x12 时，设 y 与 x 的函数关系式为 ykx， 12k960，得 k80， 即当 0 x12 时，y 与 x 的函数关系式为 y80 x； 当 12x20 时，设 y 与 x 的函数关系式为 yax+b， 12 + = 96020 + = 0，得 = 120 = 2400， 即当 12x20 时，y 与 x 的函数关系式为 y120 x+2400， 由上可得，y 与 x 的函数关系式为 y= 80(0 12)120 + 2400(12 20)； 当 x15 时，y
29、12015+2400600， 答：李大爷家百香果的日销售量 y 与上市时间 x 的函数解析式为 y= 80(0 12)120 + 2400(12 20)，第15 天的日销售量是 600 千克 21 （8 分）如图，ABAD，BAC=12BAD （1）在 AC 上方求作求作一点 E，使得ACEABD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接 DE，若 AC= 2AB，BDDE1，求证：EBC90 【分析】 （1）作BAD 的平分线，取 AEAC 即可； （2）由等腰三角形的性质得 AE 垂直平分 BD，则 BEDE1，再证明AEBACB（SAS） ，得 BEBC1，
30、利用勾股定理的逆定理即可证明结论 【解答】解： （1）作BAD 的平分线，取 AEAC 即可； （2）如图，连接 DE，BE，BC， ABAD，AE 平分BAD， AE 垂直平分 BD， BEDE1， ACEABD，AC= 2AB， CAEBAD，CE= 2BD= 2， AEAC，AB 是公共边， AEBACB（SAS） ， BEBC1， BC2+BE2CE2， CBE90 22 （10 分）从某城市的行政中心到市图书馆上班，有以下两种出行方式方式一：乘坐地铁二号线到换乘点 A 站，换乘地铁一号线至 B 站下车，再步行 3 分钟方式二：乘坐地铁二号线到换乘点 A 站，出站后打车至市
31、图书馆，出站需 2 分钟时间 （1）从二号线换乘点到一号线需要步行一段距离小明随机记录了 200 名乘客换乘需要的步行时间如图如果这些乘客中有一位 10：45 到达二号线 A 站，地铁一号线 10：48 到达 A 站，停留 30 秒（含开关门时间） 那么该乘客能赶上该趟一号线的概率是多少？ （2）从到达二号线换乘点 A 站至出一号线 B 站需 15 分钟，若从 A 站出站，直接打车到市图书馆大概需要 1220 分钟小海对他两个月 40 个工作日打车的时间做了统计如表请你运用所学的统计知识判断这两个月选择哪种上班方式更省时间 行程时间 x/分钟 次数 12x14 6 14x16 10 16x18
32、 m 18x20 9 【分析】 （1）直接用概率公式计算； （2）计算两种方式的平均时间，比较即可 【解答】解： （1）一共 200 个人，其中 3 分钟内（含 3 分钟）换乘的有 90 人， 故该乘客能赶上一号线 10：48 分地铁的概率为：90200=0.45 （2）地铁换乘的平均时间为：240+350+460+550200=3.6（分钟） 故方式一的平均时间为：15+3.6+321.6（分钟） m40610915， 方式二的平均时间为：136+1510+1715+19940+218.35（分钟） 21.618.35， 方式二更省时间 23 （10 分）如图，点 D 为ABC
33、外接圆上一点，ABC90，BD 与 AC 交于点 E，点 F 在 BD 延长线上，DAFABD （1）求证：AF 与ABC 的外接圆相切： （2）若点 D 为 EF 的中点，cosBCA=13，AF26，求 EF 的长 【分析】 （1）欲证明 AF 是O 的切线，只要证明FAE90即可 （2）过点 B 作 BJEC 于 J设 BCa，AC3a，证明CBJBAC，得出 CJ=13a，BJ=223a，再证明CEBCBE，推出 CECBa，推出 EJ 的长，AEACEC2a，由 AFBJ，求得 a= 3，利用勾股定理求出 EF，可得结论 【解答】 （1）证明：连接 CD AC 是直径， ADC90，
34、 DAC+ACD90， ABDACD，DAFABD， DAFACD， DAF+DAC90， FAC90， AC 是直径， AF 为O 的切线 （2）解：过点 B 作 BJEC 于 J AC 是直径， ABC90， cosBCA=13， 设 BCa，AC3a， BJAC， AJB90， BAC+ABJ90，ABJ+CBJ90， CBJBAC， cosJCBcosBCA=13， CJ=13a， BJ= 2 2=223， DADE， DAEAEDCEB， DAECBE， CEBCBE， CECBa， EJECCJa13a=23a，AEACEC2a， AFBJ， =， 26223=223，
35、 a= 3， AE23，EJ=233，BJ=263， EF= 2+ 2=(26)2+ (23)2=6 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，点 E 是线段 BC 上一动点，连接 AE，过点 B 作 BFAE 于点 G，交直线 CD于点 F （1）如图 1，当矩形 ABCD 是正方形时，以点 F 为直角顶点在正方形 ABCD 的外部作等腰 RtCFH，连接 EH判断线段 AE 与 EH 之间的关系，并说明理由； （2）如图 2，以 BE 和 BF 为邻边作BEHF，M 是 BH 中点，连接 GM，AB5，BC4，求 GM 的最小值 【分析】 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定
36、和性质得出 AEBF，BECF，进而利用平行四边形的判定和性质解答即可； （2）根据平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答即可 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABEBCF90， BFAE， AGB90， BAE+ABG90， ABG+CBF90， BAECBF， ABEBCF（ASA） ， AEBF，BECF， CFFH， BEFH， BCFH， 四边形 BEHF 为平行四边形， BFEH， AEEH， BFEH，BFAE， AEEH， 故答案为：AEEH；AEEH； （2）解：连接 EF， BFAE，且 M 是 BH 中点，四边形 BE
37、HF 是平行四边形， M 是 EF 中点，且 GM=12EF， 当 EF 最小时，GM 最小， 设 CEx，则 BE4x， BFAE， AGBABC90， BAEFBC， ABEBCF， =， 即54=4， CF=1645， EF= 2+ 2=2+ (1645)2=412128+2565=41(6441)2+64005， EF最小16， GM最小8 25 （14 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和 B（点 A 在点 B 左侧） ， 若ABC 是等腰三角形，则称抛物线 yax2+bx+c（a0）是“理想抛物线” （1）判断抛物线
38、yx2+4 是否为“理想抛物线” ，并说明理由； （2）已知经过点 B（3，0）的抛物线 yax2+bx+c（a0）是“理想抛物线” 若点 P（2k，y1） ，Q（k1，y2） （y1y10）是抛物线上另两点，满足当 k4 时，PB 与 AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段 AC 的垂直平分线恰好经过点 B，求此抛物线的解析式； 是否存在整数 c 使得 SABC|cn|， 且 0n52？若存在， 求出所有满足条件的整数 c 的值； 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据“理想抛物线”的定义可直接判断； （2）要满足ABC 是等腰三角形，则 AB 可能为底边，也可能为腰；当 AB 为底
39、边时，当 AB 为腰时，分两种情况讨论； 由 SABC=12 （3xA） |yC|cn|和 0n52可得，2xA3，则需要分两种情况，当2xA0 时，c0，此时 BABC；当 0 xA3 时，c0，此时，ABAC，再利用两点间距离公式，列出方程，即可得出 c 的取值 【解答】解： （1）抛物线 yx2+4 是“理想抛物线” ，理由如下： 抛物线 yx2+4 的对称轴为直线：x0， 该抛物线是关于 y 轴对称，则点 A、B 关于 y 轴对称， OC 垂直平分 AB， ABC 为等腰三角形， yx2+4 是为“理想抛物线” ； （2）要满足ABC 是等腰三角形，则 AB 可能为底边，也可能为腰；
40、当 AB 为底边时，ACAB，点 A、B 关于 y 轴对称， 此时 B（3，0） ，A（3，0） ， 当 k4 时，2k2，k13， xP2，xQ3， AC 的垂直平分线恰好经过点 B， BCAB6， 又ABC 是等腰三角形， ACABBC6， ABC 是等边三角形； 又OA=12AB3， OC32， C（0，32） ； 抛物线的交点式为：ya（x+3） （x3） ， 把点 C 坐标代入，32 =a（0+3） （03） a=23（负值舍去） ， 此时抛物线的解析式为：y=23（x+3） （x3） ； 当 AB 为腰时，ABCB，仍满足 xP2，xQ3， y1y20，a0， yP0，
41、yQ0， 必有点 P 在 A 点上方，则 A（2，0） ， 对称轴直线 x=12， CBAB5， OB3， OC4，C（0，4） ，c4， 又xAxB=，得 a=23，b= 32； 此时抛物线的解析式为：y=23x232x4； 存在整数 c 使得 SABC|cn|，理由如下： OC 是ABC 的高，且 a0，开口向上，抛物线与 x 轴有两个交点， SABC=12 （3xA） |yC|cn|， |n|=12 （3xA） ， 0n52， 012 （3xA）52， 解得2xA3， 则需要分两种情况，当2xA0 时，c0，此时 BABC， |3xA|= 32+ 2，解得 c2（xA3）29， 2xA0， 0（xA3）2916，即 0c216， 此时，存在 c1 或 c2 或 c3 或 c4 满足题意； 当 0 xA3 时，c0，此时，ABAC， |3xA|= ()2+ 32，解得 c296xA， 0 xA3， 996xA9，即 0c29， 此时，存在 c1 或 c2 满足题意； 综上可知，存在整数 c 是使得 SABC|cn|，且 0n52，此时 c 的值为1 或2 或3 或4 或 1 或 2
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