1、第26讲 以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题一、选择题1已知点O是锐角ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=4 ，且cosBsinCAB+cosBsinBAC=OA，则的值为（）A 22 B 22 C 2 D 2【答案】D【解析】如图所示：O是锐角ABC的外心，D、E分别是AB、AC的中点，且ODAB，OEAC，设ABC外接圆半径为R，则|OA|=R，由图得，OA=OD+DA，则ABOA=AB(OD+DA)=ABDA =AB(-12AB)=-12AB2=-12|AB|2，同理可得，ACOA=-12|AC|2，由cosBsinCAB+cosCsinBAC=OA得，cosB
2、sinCABOA+cosCsinBACOA=OA2，所以-12cosBsinC|AB|2-12cosCsinB|AC|2=OA2，则cosB|AB|AB|sinC+cosC|AC|AC|sinB=-2|OA|2，在ABC中由正弦定理得：|AB|sinC=|AC|sinB=2R，代入得，2RcosB|AB|+2RcosC|AC|=-2R2，则cosB|AB|+cosC|AC|=-R，由正弦定理得，|AB|=2RsinC、|AC|=2RsinB，代入得，2RsinCcosB+2RcosCsinBR；所以2sin（C+B），即2sin34=-，解得=-2，故选D2在ABC中，内角A,B,C的对边分别
3、为a,b,c，若ABC的面积为18c2，则ab+ba的最大值为（ ）A 2 B 4 C 25 D 42【答案】C【解析】由题意得，S=12absinC=18c2，c2=4absinC，又c2=a2+b2-2abcosC，a2+b2=c2+2abcosC，ab+ba=a2+b2ab=c2+2abcosCab =4absinC+2abcosCab=4sinC+2cosC =25sin(C+)，则ab+ba的最大值为25，故选C3已知函数f（x）3sin（x）（0，0），f(-3)=0，对任意xR恒有f(x)|f(3)|，且在区间（15，5）上有且只有一个x1使f（x1）3，则的最大值为A 574
4、B 1114 C 1054 D 1174【答案】C【解析】由题意知-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z，则=32k+14=k2+4,k1,k2Z，其中k=k2-k1,=k1+k2，又f(x)在（15，5）上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间（15，5）包含的周期应最多，所以5-15=2152T，得030，即32k+1430，所以k19.5.分类讨论：.当k=19时，=1174，此时=34可使-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z成立，当x15,5时，1174x+342.7,6.6，所以当117x14+34=4.5或6.5时，fx1=3都成立，舍去；.当k=18时，=1114，此时=3
5、4可使-3+=k13+=k2+2,k1,k2Z成立，当x15,5时，1054x+342.5,6，当且仅当105x14+34=4.5或6.5时，fx1=3都成立，综上可得：的最大值为1054.本题选择C选项.4在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1,CMD=120,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则NANB的取值范围是( )A -1,0) B -1,1) C -34,0) D -12,1)【答案】C【解析】由NANB =MA-MNMB-MN=MN2-MA2=MN2-1，在MCN中，MC=1,MCN=30，MN2=12+NC2-2NC132 =NC2-3N
6、C+1，MN2-1=NC2-3NC=NC-322-34，N在CD上，MC=MD=1,CMD=120，可得CD=3，0NC3，34MN2-10的图象向左平移3个单位，得到函数y=gx的图像，若y=gx在0,4上为增函数，则的最大值为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解析】由三角函数的性质可得：fx=2sinx2cosx2-23cos2x2+3=sinx-231+cosx2+3=sinx-3cosx=2sinx-3，其图象向左平移3个单位所得函数的解析式为：gx=2sinx+3-3=2sinx，函数的单调递增区间满足：2k-2x2k+2kZ，即2k-2x2k+2kZ，令k=0可得函数
7、的一个单调递增区间为：-2,2，y=gx在0,4上为增函数，则：24，据此可得：2，则的最大值为2.本题选择B选项.7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，ABBC0，a=32，则ABC周长的取值范围是（ ）A 2+32,3+32 B 3,3+32 C 1+32,2+32 D 1+32,3+32【答案】B【解析】A是B和C的等差中项，2A=B+C，A=3，又ABBC0，则cos(-B)0，从而B2，2B23，asinA=bsinB=csinC=32sin3=1，b=sinB,C=sinC=sin(23-B)，所以ABC的周长为l=a+b+c=32+sinB+
8、sin(23-B) =3sin(B+6)+32，又2B23，23B+656，12sin(B+6)32，3l3+32故选B8若函数fx=sin2x-3与gx=cosx-sinx都在区间a,b0ab上单调递减，则b-a的最大值为（ ）A 6 B 3 C 2 D 512【答案】B【解析】根据正弦函数的单调递减区间为2+2k,32+2k,kZ ，所以f(x)=sin(2x-3) 的单调递减区间为2+2k2x-332+2k，可解得512+kx1112+k g(x)=cosx-sinx=2cos(x+4） ，由余弦函数的单调递减区间为2k,+2k,kZ，所以2kx+4+2k，可解得2k-4x34+2k 因
9、为f(x)与g(x)在a,b(0ab) 上同为单调递减函数，所以其交集为2k+512x34+2k，所以b-amax=34-512=3 所以选B9已知锐角ABC的内角为A，B，C，点M为AB上的一点，cosACM=313，AC=15，CM=313，则AB的取值范围为（ ）A 1522,152 B 15,152 C 62,15 D 1522,+【答案】A【解析】：AMC中，由余弦定理可得，AM2=AC2-CM2-2AC CMcosACM=72，AM=62，AMC中，由正弦定理得，AMsinACM=MCsinMAC，得sinMAC=22,MAC=4，当ACB=90时，AB=152，当ABC=90时，
10、AB=1522，ABC为锐角三角形，1522AB152，AB的取值范围为1522,152，故选A.10设函数fx=sin2x+3.若x1x20,且fx1+fx2=0，则x2-x1的取值范围为（ ）A (6,+) B (3,+) C (23,+) D (43,+)【答案】B【解析】（特殊值法）画出fx=sin2x+3的图象如图所示结合图象可得，当x2=0时，fx2=sin3=32；当x1=-3时，fx1=sin(-23+3) =-32，满足fx1+fx2=0由此可得当x1x2|0-(-3)|=3故选B11函数f(x)=2sin(2x+)(00)在-3,2内有且仅有一个最大值，则的取值范围是（ ）
11、A 34,5) B 1,5) C 1,92) D (0,34【答案】C【解析】fx=4sinxsin2x2+4+cos2x-1=4sinx1-cosx+22+cos2x-1=2sinx1+sinx+1-2sin2x-1=2sinx,因为函数f(x)在-3,2内有且仅有一个最大值，所以2252-32-3，可得10,2, 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,若fx1对x-12,3恒成立，则的取值范围是( )A 6，3 B 12,3 C 12,2 D 6,3【答案】D【解析】函数fx=2sinx+10,2，其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为，故函数的周期为2=， =2 ，f（x）=2si
12、n（2x+）+1 若fx1对x-12,3恒成立，即当x-12,3时，sin（2x+）0 恒成立，故有2k2（-12）+23+2k+，求得2k+62k+3，kZ， 结合所给的选项，故选D14已知函数fx=2sinx+10,2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,若fx2对x24,3恒成立，则的取值范围是( )A 6,2 B 6,3 C 12,3 D 12,6【答案】D【解析】因为函数fx=2sinx+10,2, 其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为,所以函数周期为T=,=2，由fx2知sin(2x+)12 ，又x24,3时，2x+12+,23+,且2 ，所以612+23+56解得126，
13、故选D.15的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由cosAcosBcosC0，可知，三角形是锐角三角形，由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，结合正弦定理有b=2acosA， ，A+B+C=180，B=2A，3A+C=180, ，2A0，tan0，tan+tan=1-tantan2tantan，令tantan=m，则m2+2m-10，0m-1+2，即0tantan3-22，当且仅当=8时取等号，tantan的最大值时3-22.故填：3-2219在ABC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2a,b,c成等差数列
14、，则3sinA+2sinC的最小值为_.【答案】23+1【解析】由题得2b=2a+c,cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(22a+c2)22ac,所以cosB=12a2+34c2-22ac2ac212a234c2-22ac2ac=6-24,所以0B750,0sinB6+24,因为2sinB=2sinA+sinC,2sinA+sinC6+22,2sinA+sinC6+221.所以3sinA+2sinC (3sinA+2sinC)2sinA+sinC6+22=42+2sinAsinC+3sinCsinA6+2242+22sinAsinC3sinCsinA6+22=42+266+22=2
15、(3+1).故答案为：23+120不等式(acos2x-3)sinx-3对xR恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】-32,12【解析】令sin=t,-1t1，则原函数化为gt=-at2+a-3t，即gt=-at3+a-3t，由-at3+a-3t-3,-att2-1-3t-10，t-1-att+1-30及t-10知，-att+1-30，即at2+t-3， 当t=0,-1时（1）总成立，对0t1,0t2+t2，a-3t2+tmax=-32；对-1t0，-14t2+t23)，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)，则的取值范围是_（结果用区间表示）【答案】78,
16、1112【解析】由题意，函数f(x)=sinx-cosx=2sin(wx-4),(23)， 由fx的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)， 则T2=w3-2=，解得w1，即23BEAB-AE32x-x1x12，xR，若f(x)的图像在x(3，4)内与x轴无交点，则的取值范同是_.【答案】712，11161112，1516【解析】f(x)的图像在x(3，4)内与x轴无交点T2f(x)=sinx-12+cos2x2=22sin(x+4)121由对称中心可知x+4=kx=1(k-4),kZ假设在区间(3，4)内存在交点，可知k4-116k3-112当k=2,3,4时，716712,
17、11161112,151654 以上并集在全集121中做补集，得712,11161112,1516故答案为712,11161112,151624ABC的垂心H在其内部，A=60，AH=1，则BH+CH的取值范围是_.【答案】3,2【解析】在ABC为锐角三角形，设BAH=，且(0,600)，所以BH=2AHsin=2sin,CH=2AHsin(60-)=2sin(60-)，所以BH+CH=2sin+2sin(60-)=2(sin+32cos-12sin)=2sin(+60)，又由(0,600)，则+600(600,1200)，所以2sin(+60)(3,2，即BH+CH的取值范围是(3,2.25
18、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c, c=22, b2-a2=16,则角C的最大值为_；【答案】6 【解析】在ABC中，由角C的余弦定理可知cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab32，又因为0C，所以Cmax=6。当且仅当a=22,b=26时等号成立。26已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+csinA-sinC=bsinA-sinB，且c=3，则a-b2的取值范围为_【答案】-32,3【解析】由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，得(a+c)(a-c)=b(a-b) 即c2=a2+b2-
19、ab由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC 得C=3；A+B=23 又c=3 csinC=2R；R=1a-b2=2R(sinA-sinB2)=2sinA-sin(23-A)=32sinA-32cosA=3sin(A-6)由题可知 0A23 则-6A-62-32a-b23 即a-b2的范围(-32,3)27如图，在ABC中，sinABC2=33，点 D在线段AC上，且AD=2DC，BD=433，则ABC的面积的最大值为_【答案】32.【解析】由sinABC2=33可得：cosABC2=63，则sinABC=2sinABC2cosABC2=223.由sinABC2=3322可知：ABC245，
20、则ABC0,y0,z0，在ABD中由余弦定理可得：cosBDA=163+2z2-x224332z，在CBD中由余弦定理可得：cosBDC=163+z2-y22433z，由于BDA+BDC=180，故cosBDA=-cosBDC，即：163+2z2-x224332z=-163+z2-y22433z，整理可得：16+6z2-x2-2y2=0.在ABC中，由余弦定理可知：x2+y2-2xy13=3z2，则：6z2=23x2+23y2-49xy，代入式整理计算可得：13x2+43y2+49xy=16，由均值不等式的结论可得：16213x243y2+49xy=169xy，故xy9，当且仅当x=32,y=
21、322时等号成立，据此可知ABC面积的最大值为：Smax=12ABBCmaxsinABC=129223=32.28（安徽省宿州市2018届三模）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足asinA-4bsinC=0，A为锐角，则sinB+sinC2sinA的取值范围为_【答案】(64,22).【解析】由asinA-4bsinC=0结合正弦定理可得：a2=4bc，且sinB+sinC2sinA=b+c2a，A为锐角，则：0cosA1，即0b2+c2-a22bc1，据此有：0b2+c2-4bc2bc1，0b2+c2-4bc2bc，6bcb2+c2+2bc8bc，6b+c2bc8，即6
22、16b+c216bc816，616b+c24a2816，据此可得：64b+c2ac，即a+aqaq2，即q2-q-10，解得5-12q5+12，所以ab=1q(5-12,5+12)31已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=33DA=1，设ABD与BCD面积分别为S1,S2，则S12+S22的最大值为_.【答案】78【解析】因为AB=1，DA=3，所以S12=14AB2AD2sin2A=34sin2A，在ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=4-23cosA，作CEBD于E，因为BC=CD=1，所以S22=14BD2CE2=14BD2BC2-14BD2=1-32
23、cosA32cosA=32cosA-34cos2A，所以S12+S22=34sin2A+32cosA-34cos2A=-32cosA-362+7878，当cosA=36时，S12+S22的最大值为78.故答案为：7832已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2=b2+2bcsinA,0A2，则tanA-4tanB的最小值为_【答案】-12【解析】：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=b2+2bcsinA，得c2-2bccosA=2bcsinA即c-2bcosA=2bsinA，再由正弦定理，得sinC-2sinBcosA=2sinBsinA，即sinA+B-2sin
24、BcosA=2sinBsinA，即sinAcosB-cosAsinB=2sinBsinA，所以tanA-tanB=2tanAtanB，所以tanB=tanA2tanA+1，所以tanA-4tanB=tanA-4tanA2tanA+1=122tanA+1+22tanA+1-522122tanA+122tanA+1-52=-12，当且仅当122tanA+1=22tanA+1，即tanA=12时等号成立，所以tanA-4tanB的最小值为-12；故答案为：-1233在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_【答案】【解析】由题意可得， ，又平面
25、， 平面 平面， 平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中， ，设，则有中， ，又在中， ，在中， ，又 ，则， ，故答案为.34在中， ，满足的实数的取值范围是_【答案】【解析】中， ，即 则；由|得： 整理得： 解得 实数的取值范围是.故答案为.35点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为_.【答案】【解析】设，由，得，则由，可得，化为，可设， ， ， ，即的最大值为，故答案为.36在中，设， 分别表示角， 所对的边， 为边上的高.若，则的最大值是_【答案】【解析】有题设条件，所以，又所以，得，其中，令，则，所以的最大值是。37在ABC中，角A
26、，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，若3a2=2b2+c2，则Sb2+2c2的最大值为_【答案】1424 【解析】由题得3a2=3b2-b2+3c2-2c2b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccosASb2+2c2=12bcsinA6bccosA=112tanA由题得a2=2b2+c23,cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-2b2+c232bc=b2+2c26bc22bc6bc=23所以tanA=1cos2A-192-1=142,当且仅当b=2c时取等号.所以Sb2+2c2的最大值为1424,故填1424.38锐角中，角的对边分别为，若，则 取值范围是_【答案】【解析】由结合余弦定理可得 ，即 ，再由正弦定理可得，可得或（舍去），又均为锐角，由于 可得，可得 ，由可得 ，故答案为.
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