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    5.5用二次函数解决问题 专项练习1(含答案解析)-2021-2022学年苏科版九年级数学下册

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    5.5用二次函数解决问题 专项练习1(含答案解析)-2021-2022学年苏科版九年级数学下册

    1、5. 5.5 5 用二次函数解决问题用二次函数解决问题 专项练习专项练习 1 1 一、一、单选题单选题 1如图,抛物线2yxx交 x 轴的负半轴于点 A,点 B 是 y 轴的正半轴上一点,点 A 关于点 B 的对称点A恰好落在抛物线上过点 A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C,则点 A的纵坐标为( ) A1.5 B2 C2.5 D3 2用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是( ). A28425m B243m C283m D24m 3如图所示,将一根长2m 的铁丝首尾相接围成矩形,则矩形的面积与其一边满足的函数关系是( ) A正比例函数

    2、关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 4有一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为20m的篱笆围成已知墙长为15 ,m若平行于墙的一边长不小于8 ,m则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为( ) A2248,37.5mm B2250,32mm C2250,37.5mm D2248,32mm 5如图ABCV和DEFV都是边长为2的等边三角形,它们的边,BC EF在同一条直线l上,点C,E重合,现将ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动在此过程中,设点移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图像大致为( ) A B C D 6如图所示,矩

    3、形ABCD中,8,6ABBC,P 是线段BC上一点(P 不与 B 重合) ,M 是DB上一点,且BPDM,设,BPx MBPV的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数关系式为( ) A224 (06)5yxxx B224 (06)5yxxx C233 (06)10yxxx D233 (06)10yxxx 7如图,在等腰 Rt ABC 中,C90 ,直角边 AC 长与正方形 MNPQ 的边长均为 2cm,CA 与 MN 在直线 l 上开始时 A 点与 M 点重合;让 ABC 向右平移;直到 C 点与 N 点重合时为止设 ABC 与正方形 MNPQ 重叠部分(图中阴影部分)的面积为 ycm2,MA

    4、 的长度为 xcm,则 y 与 x 之间的函数关系大致是( ) A B C D 8 如图, 边长为2的正ABC的边BC在直线l上, 两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l,a和b同时向右移动(a的起始位置在B点) ,速度均为每秒1个单位,运动时间为t(秒) ,直到b到达C点停止,在a和b向右移动的过程中, 记ABC夹在a和b间的部分的面积为S, 则S关于t的函数图像大致为 ( ) A B C D 9某涵洞的截面是抛物线形状,如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数解析式为214yx ,当涵洞水面宽AB为16m时,涵洞顶点O至水面的距离为( ) A6m B12m C16m D24m 10有

    5、一拱桥洞呈抛物线形,这个桥洞的最大高度是 16m,跨度为 40m,现把它的示意图(如图)放在坐标系中,则抛物线的解析式为( ) A215252yxx B18255xyxx C251825yxx D21816255yxx 11如图所示,桥拱是抛物线形,其函数的表达式为 y=14x2,当水位线在 AB 位置时,水面宽 12m,这时水面离桥顶的高度为( ) A3m B6m C4m D9m 12某商品的进价为每件 60 元,现在的售价为每件 80 元,每星期可卖出 200 件市场调查反映:如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件则每星期售出商品的利润y(单位:元)与每件涨价x(单位:元)之

    6、间的函数关系式是( ) A200 10yx B200 1080 60yxx C200 1080 60yxx D200 1080 60yxx 13某童装专卖店销售一批某品牌童装,已知销售这种童装每天获得的利润 y(元)与童装的销售价 x(元/件)之间的函数解析式为 yx2+160 x4800若想每天获得的利润最大,则销售价应定为( ) A110 元/件 B100 元/件 C90 元/件 D80 元/件 14某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品据市场分析,若按每千克 50 元销售,一个月能售出 500 千克;销售单价每涨 2 元,月销售量就减少 10 千克设每千克涨 x 元,月销售利润

    7、为 y 元,则 y 与x 的函数关系式为( ) Ay(50+x-40) (50010 x) By(x+40) (10 x500) Cy(x40)5005(x50) Dy(50+x-40) (5005x) 15某海滨浴场有 100 把遮阳伞,每把每天收费 10 元时,可全部租出,若每把每天收费提高 1 元,则减少5 把伞租出,若每把每天收费再提高 1 元,则再减少 5 把伞租出,为了投资少而获利大,每把伞每天应提高收费( ) A7 元 B6 元 C5 元 D4 元 二、二、填空题填空题 16用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形,该矩形面积的最大值是_2cm 17用 16m 长的篱笆围成长方形的生

    8、物园饲养小兔,设围成长方形的生物园的长为xm,则围成长方形的生物的面积S(单位:2m)与 x 的函数表达式是_ (不要求写自变量x的取值范围) 18某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50? m) ,中间用两道墙隔开(如图) 已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为_2m 19如图,在 ABC 中,ABAC,BAC120 ,点 D 为 AB 边上一点(不与点 B 重合) ,连接 CD,将线段CD绕点D逆时针旋转90 , 点C的对应点为E, 连接BE 若AB6, 则 BDE面积的最大值为_ 20 如图, 一段抛物线:(2)yx

    9、x (02)x记为1C, 它与x轴交于两点O,1A; 将1C绕1A旋转180得到2C,交x轴于2A;将2C绕2A旋转180得到3C,交x轴于3A;L如此进行下去,直至得到6C,若点11,Pm在第6段抛物线6C上,则m_ 21二次函数223yx的图像如图所示,点 A0位于坐标原点,A1,A2,A3,A2009在 y 轴的正半轴上,B1,B2,B3,B2009在二次函数223yx第一象限的图像上,若 A0B1A1, A1B2A2, A2B3A3, A2008B2009A2009都为等边三角形,计算出 A2008B2009A2009的边长为_ 22如图,已知 AB=12,P 为线段 AB 上的一个动

    10、点,分别以 AP、PB 为边在 AB 的同侧作菱形 APCD 和菱形 PBFE,点 P、C、E 在一条直线上,DAP=60 M、N 分别是对角线 AC、BE 的中点当点 P 在线段AB 上移动时,点 M、N 之间的距离最短为_ (结果留根号) 23 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 yx22x1 交 y 轴于点 A, 过点 A 作 ABx 轴交抛物线于点 B,点 P 在抛物线上, 连结 PA、 PB, 若点 P 关于 x 轴的对称点恰好落在直线 AB 上, 则 ABP 的面积是_ 24如图,桥洞的拱形是抛物线,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m若选取拱形顶点C为坐标原点,以水平方向

    11、为x轴,建立平面直角坐标系,此时该抛物线解析式为_ 25廊桥是我国古老的文化遗产,如图是某座抛物线形的廊桥示意图已知抛物线的函数表达式为211020yx , 为保护廊桥的安全, 在该抛物线上距水面AB高为 8 米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是_米 26一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系为2116yx ,当水面的宽度 AB 为 16 米时,水面离桥拱顶的高度 OC 为_m 27廊桥是我国古老的文化遗产如图,是某座抛物线型的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为211040yx ,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面 AB 高为 8

    12、米的点 E、F 处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离 EF =_ 28 某种商品每件进价为 20 元, 调查表明: 在某段时间内若以每件 x 元 (2 03 0 x, 且 x 为整数) 出售,可卖出(30)x件,若使利润最大,则每件商品的售价应为_元 29某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为 180 元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 40 元的各种费用。房价定为_时,宾馆利润最大,最大利润是_元 30某商店销售一批头盔,售价为每顶 80 元,每月可售出 200 顶在“创建文明城市

    13、”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价 1 元,每月可多售出 20 顶已知头盔的进价为每顶 50 元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为_元 三、三、解答题解答题 31 美丽的励志我的家, 为创建文明城市美化校园, 我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园 其中一边靠墙,另外三边用长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米(如图所示) ,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米 (1)若苗圃园的面积为 72 平方米,求 x 的值 (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米,则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值; (3)当这个苗圃园的面积不小于

    14、 100 平方米时,试结合函数图像,直接写出 x 的取值范围 32如图所示,某河面上有一座抛物线形拱桥,桥下水面在正常水位AB时,宽为20m,若水位上升3m,水面就会达到警戒线,CD这时水面宽为10m (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式; (2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶? 33如图,正方形ABCD的边长为4cm,E,F分别是BC,CD边上一动点,点E,F同时从点C出发,以每秒2cm的速度分别向点B,D运动,当点E与点B重合时,运动停止,设运动时间为( )x s,运动过程中AEF的面积为2()y cm,求y关于x

    15、的函数表达式,并写出自变量x的取值范围 34某企业设计了一款工艺品,每件的成本是 50 元,为了合理定价,投放市场进行试销据市场调查,销售单价是 100 元时,每天的销售量是 50 件,而销售单价每降低 1 元,每天就可多售出 5 件,但要求销售单价不得低于成本 (1)求出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元,那么销售单价应控制在什么范围内? 参考答案参考答案 1B 【分析】 先求出点 A 坐标,利用对称可得点A横坐标,代入2yxx可得纵坐标.

    16、解:令0y 得20 xx,即(1)0 x x 解得120,1xx ( 1,0)A Q点 B 是 y 轴的正半轴上一点,点 A 关于点 B 的对称点 A恰好落在抛物线上 A点的横坐标为 1 当1x 时,2y 所以点 A的纵坐标为 2. 故选:B 【点拨】本题考查了二次函数的图像,熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键. 2C 【分析】 设窗的高度为 xm,宽为823xm,则根据矩形面积公式列出二次函数,求函数值的最大值即可 解:设窗的高度为 xm,宽为(823x)m, 故 S=823xx S=22833xx =228233x 当 x=2m 时,S 最大值为83m2 故选 C 【点拨】本题考查二

    17、次函数的应用,根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键 3C 【分析】 设矩形的一边长为 xm,求出矩形面积即可判断 设矩形的一边长为 xm,另一边长为(1-x)m,面积用 y 表示, 21yxxxx, 故选择:C 【点拨】本题考查列函数关系式,并判断函数的类型,掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键 4C 【分析】 设垂直于墙面的长为 xm,则平行于墙面的长为(202x)m,这个苗圃园的面积为 ym2,根据二次函数的图像及性质求最值即可 解:设垂直于墙面的长为 xm,则平行于墙面的长为(202x)m,这个苗圃园的面积为 ym2 由题意可得 y=x(202x)=-2(x5)250,且 820

    18、2x15 解得:2.5x6 -20,二次函数图像的对称轴为直线 x=5 当 x=5 时,y 取最大值,最大值为 50 ; 当 x=2.5 时,y 取最小值,最小值为 37.5 ; 故选 C 【点拨】此题考查的是二次函数的应用,掌握二次函数的图像及性质是解题关键 5A 【分析】 根据图像可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为32x,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4x),同时可得 C 点移动到 F 点,重叠部分三角形的边长为 x,由于是等边三角形,则高为32x,面积为 y=x32x12=234x, B 点移动到 F 点,重叠部分三

    19、角形的边长为(4x),高为()342x-,面积为 y=(4x)()342x-12=2344x, 两个三角形重合时面积正好为3. 由二次函数图像的性质可判断答案为 A, 故选 A. 【点拨】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 6A 【分析】 根据勾股定理可得10BD,因为DMx,所以10BMx,过点 M 作MEBC于点 E,可得BMEBDCVV,然后根据相似三角形的性质得到MEBMDCBD,由此可用 x 表示 ME,最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系 解:8,6ABBC, 8CD ,10BD, DMx,10BMx, 如图,过点 M

    20、 作MEBC于点 E, /ME DC, BMEBDCVV, MEBMDCBD, 485MEx,而12MBPSBPMEV, 2245yxx ,P 不与 B 重合,那么0 x,可与点 C 重合,那么6x 故 y 与 x 之间的函数关系式为224 (06)5yxxx 故答案选 A 【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式,主要是通过三角形相似得出等式 7C 【分析】 根据动点的运动过程确定每段阴影部分与 x 的关系类型,根据函数的性质确定选项 解:当 x2cm 时,重合部分是边长为 x 的等腰直角三角形, 面积为:y12x2, 是一个开口向上的二次函数; 当 x2 时, 重合部分是直角梯形,

    21、面积为:y812(x2)2, 是一个开口向下的二次函数, 故选:C 【点拨】本题是对函数图像的考查,熟练掌握图像的面积及函数知识是解决本题的关键. 8B 【分析】 依据 a 和 b 同时向右移动,分三种情况讨论,求得函数解析式,进而得到当 0t1 时,函数图像为开口向上的抛物线的一部分,当 1t2 时,函数图像为开口向下的抛物线的一部分,当 2t3 时,函数图像为开口向上的抛物线的一部分 如图,当 0t1 时,BEt,DE3t, sS BDE12 t3t32t2; 如图,当 1t2 时,CE2t,BGt1, DE3(2t) ,FG3(t1) , sS五边形AFGEDS ABCS BGFS CD

    22、E 12 2312 (t1)3(t1)12 (2t)3(2t) 3t233t3 32; 如图,当 2t3 时,CG3t,GF3(3t) , sS CFG12 (3t)3(3t)32t233t932, 综上所述,当 0t1 时,函数图像为开口向上的抛物线的一部分;当 1t2 时,函数图像为开口向下的抛物线的一部分;当 2t3 时,函数图像为开口向上的抛物线的一部分, 故选 B 【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图像,函数图像是典型的数形结合,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力 9C 【分析】 根据抛物线的对称性及解析式求解 解:依题意,设A点坐标

    23、为( 8, )y, 代入抛物线方程得:164164y , 即水面到桥拱顶点O的距离为 16 米 故选:C 【点拨】本题考查二次函数的应用,熟练掌握二次函数的解析式、图像与性质是解题关键 10B 【分析】 根据题意设出顶点式,将原点代入即可解题 由图可知该抛物线开口向下,对称轴为 x20, 最高点坐标为(20,16) ,且经过原点, 由此可设该抛物线解析式为22016ya x, 将原点坐标代入可得400160a, 解得:a125, 故该抛物线解析式为 y21201625x 218255xx 故选:B 【点拨】本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等难度不大,找到顶点坐标设出顶点式

    24、是解题关键 11D 【分析】 根据题意可得点 A、B 的横坐标分别为-6 和 6,然后把点 B 的横坐标代入抛物线解析式求解即可 解:由题意及抛物线的对称性得:点 A、B 的横坐标分别为-6 和 6, 则有把点 B 代入解析式得:21694y ,所以这时水面离桥顶的高度为 9m; 故选 D 【点拨】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 12D 【分析】 由每件涨价x元,可得出销售每件的利润为80 60 x元,每星期的销售量为200 10 x,再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润 每星期的销售量,即可得出结论 解: 每涨价 1 元,每星期要少卖 10 件,每件涨价

    25、 x 元, 销售每件的利润为80 60 x元,每星期的销售量为200 10 x, 每星期销售出商品的利润200 1080 60yxx 故选:D 【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式,根据各数量之间的关系,找出 y 与 x 之间的函数关系式 13D 【分析】 根据函数解析式为 yx2160 x4800,可得当 x160280 时,y 有最大值 1600 解:yx2+160 x4800, 抛物线的开口向下, 当 x160280 时,y24 4800 16041600, 想每天获得的利润最大,则销售价应定为 80 元, 故选:D 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用,解此类题的关键是通过题

    26、意确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义 14D 【分析】 根据题意直接列式计算求解即可 解:设每千克涨 x 元,月销售利润为 y 元,由题意可得: 5040500 5yxx; 故选 D 【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用,关键是根据题意得到二次函数表达式即可 15C 【分析】 设每个遮阳伞每天应提高 x 元, 每天获得利润为 S, 每个每天应收费 (10+x) 元, 每天的租出量为 (100-5x)个,由此列出函数解析式即可解答 解:设每个遮阳伞每天应提高 x 元,每天获得利润为 S,由此可得, S=(10+x) (100-5x) , 整

    27、理得 S=-5x2+50 x+1000, =-5(x-5)2+1125, -50 当 x=5 时,S 最小, 即为了投资少而获利大,每把伞每天应提高收费 5 元 故选 C 【点拨】此题考查运用每天的利润=每个每天收费 每天的租出量列出函数解析式,进一步利用题目中实际条件解决问题 1625 【分析】 先根据题意列出函数关系式,再求其最值即可 解:设矩形的一边长为 xcm,所以另一边长为(10-x)cm, 其面积为 s=x(10-x)=-x2+10 x=-(x-5)2+25, 当 x=5 时,s 的最大值=25 周长为 20cm 的矩形的最大面积为 25cm2 故答案为:25 【点拨】 本题考查了

    28、二次函数的性质, 求最值得问题常用的思路是转化为函数问题, 利用函数的性质求解 1728Sxx 【分析】 设围成长方形的生物园的长为xm,围成长方形的生物园的宽为(162-x)m,利用矩形的面积公式列出矩形面积 S 与 x 的关系式; 解:设围成长方形的生物园的长为 xm,则宽为(162-x)m,围成长方形的生物园的面积为 Sm2, S=x(162-x)=-x2+8x, 围成长方形的生物的面积S(单位:2m)与 x 的函数表达式是28Sxx , 故答案为:28Sxx 【点拨】本题考查了二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答 18144 【分析】 要求这三间长方形种牛饲

    29、养室的总占地面积的最大值,可设总占地面积为 S,中间墙长为 x,根据题目所给出的条件列出 S 与 x 的关系式,再根据函数的性质求出 S 的最大值 解:如图,设总占地面积为 S(m2) ,CD 的长度为 x(m) , 由题意知:AB=CD=EF=GH=x, BH=48-4x, 0BH50,CD0, 0 x12, S=ABBH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144 x=6 时,S 可取得最大值,最大值为 S=144, 故答案为:144 【点拨】本题考查实际问题与二次函数最值,需要根据题目列出函数关系式,然后利用函数的性质求出该问题的最值 19818 【分析】 作 CMAB 于 M,ENAB

    30、 于 N,根据 AAS 证得VEDNVDCM,得出 ENDM,然后解直角三角形求得AM3,得到 BM9,设 BDx,则 ENDM9x,根据三角形面积公式得到 S BDE12BD EN12x(9x)12(x4.5)2+818,根据二次函数的性质即可求得 解:作 CMAB 于 M,ENAB 于 N, EDN+DEN90 , EDC90 , EDN+CDM90 , DENCDM, 在VEDN 和VDCM 中 DENCDMENDDMC90EDDC VEDNVDCM(AAS) , ENDM, BAC120 , MAC60 , ACM30 , AM12AC1263, BMAB+AM6+39, 设 BDx,

    31、则 ENDM9x, S BDE12BD EN12x(9x)12(x4.5)2+818, 当 BD4.5 时,S BDE有最大值为818, 故答案为:818 【点拨】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值,解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值 20-1 【分析】 将这段抛物线 C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与 x 轴的交点,由旋转的性质可以知道 C1与 C2的顶点到 x 轴的距离相等,且 OA1A1A2,照此类推可以推导知道点 P(11,m)为抛物线 C6的顶点,从而得到结果 yx(x2) (0 x2) , 配方可得 y(x1)21(0

    32、 x2) , 顶点坐标为(1,1) , A1坐标为(2,0) C2由 C1旋转得到, OA1A1A2,即 C2顶点坐标为(3,1) ,A2(4,0) ; 照此类推可得,C3顶点坐标为(5,1) ,A3(6,0) ; C4顶点坐标为(7,1) ,A4(8,0) ; C5顶点坐标为(9,1) ,A5(10,0) ; C6顶点坐标为(11,1) ,A6(12,0) ; m1 故答案为:-1 【点拨】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标,学会从一般到特殊的探究方法,属于中考常考题型 212009 【分析】 此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律;可设出 A0A

    33、1B1的边长为 m1,由于此三角形是正三角形,则B1A0A160 ,B1A0 x30 ,可用边长 m1表示出 B1的坐标,代入抛物线的解析式中,即可得到 m1的值,同理可求出 A1B2A2、 A2B3A3的边长,通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到 A2008B2009A2009的边长 解:设 A0A1B1的边长为 m1; A0A1B1是等边三角形, A1A0B160 ,B1A0 x30 ; 故 B1(13m2,1m2) ; 由于点 B1在抛物线的图像上,则有: 23 (32m1)21m2,解得 m11; 同理设 A1A2B2的边长为 m2; 同上可得 B2(23m2,1+2m2)

    34、; 由于点 B2也在抛物线的图像上,则有: 23 (32m2)22m2+1,解得 m22; 依此类推, A2B3A3的边长为:m33, AnBn+1An+1的边长为 mn+1n+1; A2008B2009A2009的边长为 2009 【点拨】此题是典型的规律型试题,需要从简单的例子入手来找出题目的一般化规律,然后根据得到的规律求出特定的值 223 2 【分析】 连接 MP,NP,证明 MPNP,将 M、N 的距离转化为直角三角形的斜边最短,利用勾股定理结合二次函数即可求解; 解:连接 MP,NP, 菱形 APCD 和菱形 PBFE,DAP=60 , MP=12AP,NP=12BP, M、N 分

    35、别是对角线 AC、BE 的中点, MPC=60 ,EPN=30 , MPNP, MN2=MP2+NP2, 即 MN2=(12AP)2+(12BP)2=14AP2+(12-AP)2= 12(AP2-12AP+72)=12(AP-6)2+18, 当 AP=6 时,MN 有最小值 32, 点 M、N 之间的距离最短为 32; 故答案为 32; 【点拨】本题考查菱形的性质,二次函数的应用;将点的最短距离借助勾股定理转化为二次函数最小值是解题的关键 232 【分析】 求得 C 的坐标,进而求得 B 的坐标,根据点 P 关于 x 轴的对称点恰好落在直线 AB 上得出三角形的高,然后根据三角形面积公式即可求

    36、得 解:令 x=0,则 y=x2-2x-1=-1, A(0,-1), 把 y=-1 代入 y=x2-2x-1 得-1=x2-2x-1, 解得 x1=0,x2=2, B(2,-1), AB=2, 点 P 关于 x 轴的对称点恰好落在直线 AB 上, PAB 边 AB 上的高为 2, S=12 2 2=2 故答案为 2 【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征,求得 A、B 的坐标以及三角形的高是解题的关键 24219yx 【分析】 设抛物线解析式为 y=ax2,根据题意得出点 B 的坐标,代入解析式求出 a 的值即可 解:如图,拱形顶点 C 为坐标原点,以水平方向为 x 轴,建立平面直角坐标

    37、系, 由题意知 B(6,-4) , 设抛物线解析式为 y=ax2, 将点 B(6,-4)代入,得:-4=36a, 解得19a , 219yx , 故答案为:219yx 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键 254 10 【分析】 根据题意可知 E、F 两点是关于 y 轴对称的,且纵坐标都为 8,则代入解析式可分别求解出两点的横坐标,从而计算出 EF 的长度 由题,E、F 两点是关于 y 轴对称,纵坐标都为 8,代入解析式, 2110820 x,解得:12 10 x ,22 10 x , 214 10 xx, 故答案为:4 10 【点拨】本题考查二次函数的实际

    38、应用,仔细观察图形并理解题意,准确建立并求解方程是解题关键 264 【分析】 根据题意得到点 B 的横坐标为 8,代入求出纵坐标的值,其绝对值就是 OC 的长 解:根据抛物线的对称性, 16ABm, 182BCABm, 令8x ,则218416y , 4OCm 故答案是:4 【点拨】本题考查二次函数图像性质的应用,解题的关键是掌握二次函数图像的性质 278 5米 【分析】 已知抛物线上距水面 AB 高为 8 米的 E、F 两点,可知 E、F 两点纵坐标为 8,把 y=8 代入抛物线解析式,可求 E、F 两点的横坐标,根据抛物线的对称性求 EF 长 解:由“在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米

    39、的点 E、F 处要安装两盏警示灯”, 把 y=8 代入211040yx 得: x= 45 , 由两点间距离公式得:EF=85(米) , 故答案为:85米 【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,读懂题意,筛选信息是解题的关键 2825 【分析】 本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润 销售量,每件利润=每件售价-每件进价再根据所列二次函数求最大值 解:设利润为 w 元, 则 w=(x-20) (30-x)=-(x-25)2+25, 20 x30, 当 x=25 时,二次函数有最大值 25, 故答案是:25 【点拨】本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应

    40、用此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题 29360 10240 【分析】 设房价为 x 元,利润为 y 元,利用公式:利润=(每间房价-每天开支) 房间数量,则180405010 xyx ,化为顶点式,即可给出最大利润和房价单价 设房价为 x 元,利润为 y 元, 则有218014050=360102401010 xyxx, 故360 x元时,y 的利润最大,最大值为 10240 元, 故答案为:360;10240 【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用,准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键 3070 【分析】 设降价 x 元,利润为 W,根据题意得出方程,然后求出取最大值时的

    41、 x 值即可得到售价 解:设降价 x 元,利润为 W, 由题意得:W=(80-50-x)(200+20 x), 整理得:W=-20 x2+400 x+6000=-20(x-10)2+8000, 当 x=10 时,可获得最大利润, 此时每顶头盔的售价为:80-10=70(元) , 故答案为:70 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用,根据题意列出式子是解题关键 31 (1) x12; (2) 垂直于墙的一边长为 7.5 米时这个苗圃园的面积最大, 这个最大值为 112.5 平方米; (3)610 x 【分析】 (1)由题意得(302x)x72,然后进行求解即可; (2)设苗圃面积为 ycm2,由

    42、题意可得 y(302x)x,然后根据二次函数的最值问题可进行求解; (3)由题意得这个苗圃园的面积不小于 100 平方米,即2(x7.5)2+112.5100,然后由(1)可知 6x15,可进行求解 解: (1)由题意得(302x)x72, 解得:x13,x212, 302x18, x6, x12; (2)设苗圃面积为 ycm2, y(302x)x 2(x7.5)2+112.5, 由题意得 302x8,解得 x11, 又 302x18,解得 x6; 6x11, 当 x7.5 时,y最大112.5; (3)这个苗圃园的面积不小于 100 平方米, 即2(x7.5)2+112.5100, 5x10

    43、, 由(1)可知 6x15, x 的取值范围为610 x 【点拨】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键 32 (1)坐标系见详解,2125yx ; (2)5 小时 【分析】 (1)以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,然后根据题意可得点 B、D 的横坐标,设抛物线解析式为2yax,然后可进行求解; (2)由(1)可得 CD 距拱顶的距离,然后根据题意可直接进行列式求解 解: (1)以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示: 设抛物线解析式为2yax,点 D 的坐标为5,Dm,则10,3Bm, 由抛物线

    44、经过点 D 和点 B,可得:251003amam, 解得:1251am , 抛物线的解析式为2125yx ; (2)由(1)可得 CD 距拱顶的距离为 1m,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,到达拱顶的时间为1=50.2(小时) , 答:从警戒线开始,再持续 5 小时就能到达拱桥的拱顶 【点拨】本题主要考查二次函数的应用,熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键 33228yxx (02)x剟 【分析】 AEF 的面积=正方形 ABCD 的面积- ABE 的面积- ADF 的面积- ECF 的面积,分别表示正方形 ABCD的面积、 ABE 的面积、 ADF 的面积、 ECF

    45、的面积代入即可 解:设运动时间为( )x s, Q点E,F同时从点C出发,以每秒2cm的速度分别向点B,D运动, 2CEx,2CFx,42BEx,42DFx, AEF的面积正方形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积ECF的面积, 即:11116222yAB BEAD DFEC FCggg 111164(42 )4(42 )22222xxxxg 228xx (02)x剟 【点拨】此题考查了函数关系式,解题关键是正确表示正方形 ABCD 的面积、 ABE 的面积、 ADF 的面积、 ECF 的面积 34 (1)y=5x2+800 x27500(50 x100) ; (2)当 x=80 时,y最大

    46、值=4500; (3)70 x90. 【分析】 (1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式. (2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价. (3) 根据开口向下的抛物线的图像的性质,满足要求的 x 的取值范围应该在5(x80)2+4500=4000 的两根之间,即可确定满足题意的取值范围. 解: (1)y=(x50)50+5(100 x) =(x50) (5x+550) =5x2+800 x27500, y=5x2+800 x27500(50 x100) ; (2)y=5x2+800 x27500=5(x80)2+4500, a=50, 抛物线开口向下 50 x100,对称轴是直线 x=80, 当 x=80 时,y最大值=4500; (3)当 y=4000 时,5(x80)2+4500=4000, 解得 x1=70,x2=90 当 70 x90 时,每天的销售利润不低于 4000 元 【点拨】本题主要考查二次函数的应用.


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