1、20212022 学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题： （本大题一、选择题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号分）在每个小题的下面，都给出了代号为为 A、BCD的四个答案，其中只有个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对的四个答案，其中只有个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，应的方框涂黑， 1. 方程 x23x的解为（ ） A. x3 B. x0 C. x10，x23 D. x10，x23 2. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形是（
2、） A. B. C. D. 3. 抛物线 y（x3）21 的顶点坐标是（ ） A. （3，1） B. （3，1） C. （3，1） D. （3，1） 4. 已知关于 x的方程 x24xa0有一个根为3，则 a的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 3或3 D. 0 5. 巳知关于 x的一元二次方程 mx24x10 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ） A. m4 且 m0 B. m4且 m0 C. m4 D. m4 6. 将抛物线 yx2向左平移 3个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. y（x3）22 B. y（x3）22 C. y（x3）22 D. y（x
3、3）22 7. 若二次函数 yx24xc 的图象过 A （1， y1） ， B （2， y2） ， C （6， y3） 则 y1、 y2、 y3的大小关系是 （ ） A. y1y2y3 B. y1y3y2 C. y2y1y3 D. y3y1y2 8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1980 张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. 11980 x x B. 11980 x x C. 1119802x x D. 1119802x x 9. 有两个完全重合的矩形， 将其中一个始终保持不动， 另一个矩形绕其对称中心 O 按逆时针方向进行旋转
4、，每次均旋转 45 ，第 1 次旋转后得到图，第 2 次旋转后得到图，则第 2021次旋转后得到的图形与图中相同的是（ ） A. 图 B. 图 C. 图 D. 图 10. 二次函数2yaxbxc图象如图所示，下列结论：240bac；20ab；0abc；420ab c ；230axbxc有两个相等的实数根，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，在 RtABC中，ACB90，A60，AC10 将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB边上，则点 B与点 B之间的距离为（ ） A. 10 B. 20 C. 102 D. 103
5、12. 如果数 m使关于 x 的若二次函数 yx22xm4 的函数值恒为负数，且使关于 x 的方程（m2）x24x10 有实数根，那么所有满足条件的整数 m的值的和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题： （本大题二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卷中分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上对应的横线上 13. 点 P（1，2）关于原点的对称点的坐标为_ 14. 如果220mmxx是关于 x的一元二次方程，那么 m的值为_ 15. 抛物线 yx24x 的对称轴是_ 16. 如图， 把矩形
6、 OABC 放在直角坐标系中， OC 在 x轴上， OA在 y轴上， 且 OC4， OA8， 把矩形 OABC绕着原点顺时针旋转 90得到矩形 ODEF，则点 E坐标为 _ 17. 如图，某运动员推铅球，铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 y-x2x6，则此运动员将铅球推出的距离是_ 18. 某个“卡通玩具”自动售货机出售 A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是 3元/个、5 元/个，6 元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是 B玩具数量的 2倍，B玩具的数量（单位：个）是 C玩具数量的 2倍某个周六，A、B、C三
7、种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了 50%， 70%、 50%， 且全部售出 但是由于软件出错， 发生了一起错单 （即消费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具 1 个） ，结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了 958 元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是_元 三、解答题：本大四三、解答题：本大四 7 个小题每小题个小题每小题 10 分，共分，共 70 分分解答时每小题必多须给出必要的演算过解答时每小题必多须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 19. 在下列网格图中，
8、每个小正方形边长均为 1个单位在 Rt ABC 中，C90 ，AC3，BC4 （1）试在图中作出 ABC以 A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 90 后的图形 A1B1C1； （2）若点 B的坐标为（2，3） ，试在图中画出平面直角坐标系，并标出 A，B1，C1三点的坐标 20. 解方程： （1）2x213x（配方法） （2） （x3） （x1）3（公式法） 21. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花局 ABCD（围墙 MN最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 60m 长的墙的材料： （1）如何设计，可使矩形花园的面积为 400m2； （2）矩形花园的面积可以
9、为 500m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由 22. 类比探究二次函数图象与性质的方法，小明对函数 y1|x24|的图象和性质进行了探究其探究过程中的列表如下： x 3 2 1 0 1 2 3 y m 0 3 n 3 0 5 （1）求表中 m，n 的值； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象； （3）观察函数图象，写出一条函数性质； （4）再画出 y2x2的函数图象结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x24|x2的解集 23. 某商店购进一批单价为 10 元的商品，如果每件 12 元出售，那么每天可销传 200 件，经调查发现，这种商品的
10、销售单价每提高 1元，其销售量相应碱少 10件 （1）求销售量 y 件与销售单价 x 元之间的解析式； （2）当销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 24. 对于任意一个四位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2倍，则称这个四位数 m 为“平衡数”例如：m2316，因为 262（31） ，所以 2316 是“平衡数”，m4123.因为 432（12） ，所以 4123不是“平衡数” （1）判断 5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由； （2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位
11、上的数字之和能被 9整除，记 F（n）3n，求满足 F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有 n 25. 如图， 二次函数 yx2bxc 的图象交 x 轴于 A D 两点， 并经过 B 点， 对称轴交 x轴于点 C， 连接 BD，BC，已知 A 点坐标是（1，0） ，B点的坐标是（4，3） （1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及 D点的坐标； （2）抛物线上有一个动点 P，与 AD两点构成ADP，是否存在 SADF13SBCD？若存在，请写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在请说明理由 四、解答题： （本大题四、解答题： （本大题 8 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，
12、诮将解答书分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书写在答题卡中对应的位置上写在答题卡中对应的位置上 26. 在ABC 中AB10，AC83ACB30，将ABC绕 A 按逆时针方向旋转得到ADE （1）如图 1，点 F 为 BC与 DE的交点，连接 AF求证：FA平分DFC； （2）如图 2，点 P为线段 AB 中点，点 G是线段 BC上的动点，在ABC绕 A按逆时针方向旋转的过程中，点 G 的对应点是点 G1，求线段 PG1长度的最大值与最小值 20212022 学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷学年重庆市南川区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题： （本大题一、选择
13、题： （本大题 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号分）在每个小题的下面，都给出了代号为为 A、BCD的四个答案，其中只有个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对的四个答案，其中只有个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑，应的方框涂黑， 1. 方程 x23x的解为（ ） A. x3 B. x0 C. x10，x23 D. x10，x23 【答案】D 【解析】 【分析】将原式移向整理为230 xx，然后运用因式分解法解一元二次方程即可 【详解】解：x23x， 230 xx， (3)0 x x， 120,3xx， 故选
14、：D 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练运用解一元二次方程的方法是解题的关键 2. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图
15、形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3. 抛物线 y（x3）21 的顶点坐标是（ ） A. （3，1） B. （3，1） C. （3，1） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特点即可求解 【详解】抛物线 y（x3）21 的顶点坐标是（-3，1） 故选 D 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数 y（x-h）2+k 的顶点为（h，k） 4. 已知关于 x的方程 x24xa0有一个根为3，则 a的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 3或3 D. 0 【答
16、案】A 【解析】 【分析】把 x=-3 代入原方程即可求解 【详解】把 x=-3 代入方程 x24xa0 得 9-12-a=0 解得 a=-3 故选 A 【点睛】此题主要考查方程的根，解题的关键是把根代入原方程求解 5. 巳知关于 x的一元二次方程 mx24x10 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（ ） A. m4且 m0 B. m4 且 m0 C. m4 D. m4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于 m 的不等式，求出 m的取值范围 【详解】解：mx24x10， am，b4，c1，方程有两个不相等的实数根， b24ac164m0，且 m0 m4且
17、m0 故选：A 【点睛】考查了根的判别式总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0 方程有两个不相等的实数根； （2）0 方程有两个相等实数根； （3）0 方程没有实数根 6. 将抛物线 yx2向左平移 3个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. y（x3）22 B. y（x3）22 C. y（x3）22 D. y（x3）22 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像的平移规则，求解即可，函数图像的平移规律为“上加下减，左加右减” 【详解】解：将抛物线 yx2向左平移 3个单位，得到2(3)yx 再向下平移 2个单位得到的抛物线解析式为2(3)2yx 故选 C
18、 【点睛】此题考查了函数图像的平移规则，解题的关键是掌握函数图像的平移规律 7. 若二次函数 yx24xc 的图象过 A （1， y1） ， B （2， y2） ， C （6， y3） 则 y1、 y2、 y3的大小关系是 （ ） A. y1y2y3 B. y1y3y2 C. y2y1y3 D. y3y1y2 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数抛物线向上，且对称轴为 x=-2ba=2根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小 【详解】解：二次函数 y=x2-4x+c， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=-2ba=2 点（-1，y1） 、 （2，y2） 、 （6，y3
19、）都在二次函数 y=x2-4x+c 的图象上， 有 6-22-(-1)2-2 而三点横坐标离对称轴 x=2 的距离按由远到近为： （6，y3） 、 （-1，y1） 、 （2，y2） ， y3y1y2， 故选：D 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴 8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1980 张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. 11980 x x B. 11980 x x C. 1119802x x D. 1119802x x 【答案】B 【解析】 【分析】如果全班有 x名同学，那么
20、每名同学要送出（x1）张，共有 x名学生，那么总共送的张数应该是x（x1）张，即可列出方程 【详解】解：全班有 x名同学， 每名同学要送出（x1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x1）1980 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键 9. 有两个完全重合的矩形， 将其中一个始终保持不动， 另一个矩形绕其对称中心 O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转 45 ，第 1 次旋转后得到图，第 2 次旋转后得到图，则第 2021次旋转后得到的图形与图中相同的是（ ） A. 图 B. 图 C. 图 D. 图 【答案】A
21、【解析】 【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用 2021 除以 4，根据商和余数的情况确定即可 【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置， 2021 4=505 余 1， 第 2021 次旋转后得到的图形为第 505个循环组的第一个图，是图 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，图形变化规律，观察出四次旋转后矩形又回到初始水平位置是解题的关键 10. 二次函数2yaxbxc图象如图所示，下列结论：240bac；20ab；0abc；420ab c ；230axbxc有两个相等的实数根，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【
22、答案】D 【解析】 【分析】根据图象与 x 轴有两个交点可判定；根据对称轴为12ba可判定；根据开口方向、对称轴和与 y轴的交点可判定；根据当0 x时0y 以及对称轴为1x 可判定；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定 【详解】解：根据图象与 x轴有两个交点可得240bac，此结论正确； 对称轴为12ba，即2ba，整理可得20ab，此结论正确； 抛物线开口向下， 故0a ， 所以20ba， 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， 所以0c ， 故0abc，此结论错误； 当0 x时0y ，对称轴为1x ，所以当2x时0y ，即420ab c ，此结论正确； 当3y 时，只对应一个 x的值，即23
23、0axbxc有两个相等的实数根，此结论正确； 综上所述，正确的有 4个， 故选：D 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 11. 如图，在 RtABC中，ACB90，A60，AC10 将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB边上，则点 B与点 B之间的距离为（ ） A. 10 B. 20 C. 102 D. 103 【答案】D 【解析】 【分析】连接 BB，如图，先根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BC=10 3，再根据旋转的性质得到 CA=CA，CB=CB，ACA=BCB，则可判断CAA
24、为等边三角形，所以ACA=60 ，然后判断CBB为等边三角形，从而得到 BB的长 【详解】解：连接 BB，如图， ACB=90 ，A=60 ，AC=10， BC=3AC=10 3， ABC绕点 C按逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB 边上， CA=CA，CB=CB，ACA=BCB， CA=CA，A=60 ， CAA为等边三角形， ACA=60 ， BCB=60 ， CBB为等边三角形， BB=CB=10 3， 即点 B与点 B 之间的距离为10 3 故选:D 【点睛】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键 12. 如果数 m使关于 x 的若二次函数
25、 yx22xm4 的函数值恒为负数，且使关于 x 的方程（m2）x24x10 有实数根，那么所有满足条件的整数 m的值的和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知二次函数的图象开口朝下，与x无交点，令0y ，所得方程的判别式小于 0得出不等式， 根据方程的解有实数根可得判别式不小于 0， 得出不等式， 根据一元二次方程的定义，2m，解不等式组求不等式组的整数解，进而求和即可求得答案 【详解】解：二次函数 yx22xm4的函数值恒为负数， x22xm40，2444(4)0bacm 即3m 又使关于 x 的方程（m2）x24x10有实数
26、根， 24164(2)0bacm ，且2m 解得2m且2m 综上，23m 且2m 则整数解为：2, 1,0,1，其和为2 故选 C 【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元一次不等式组，掌握以上知识是解题的关键 二、填空题： （本大题二、填空题： （本大题 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卷中分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上对应的横线上 13. 点 P（1，2）关于原点的对称点的坐标为_ 【答案】 （1，-2） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横坐标、纵坐
27、标都互为相反数，进而得出答案 【详解】解：点 P（1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，-2） 故答案为： （1，-2） 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键 14. 如果220mmxx是关于 x的一元二次方程，那么 m的值为_ 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义进而分析得出答案 【详解】解：220mmxx是关于 x的一元二次方程， m=2，m-20， 解得：m=-2 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一
28、元二次方程 15. 抛物线 yx24x 的对称轴是_ 【答案】直线 x=2 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴公式即可求解 【详解】对称轴为直线 x=-42221ba 故答案为：直线 x=2 【点睛】此题主要考查二次函数对称轴，解题的关键是熟知二次函数对称轴公式为2bxa 16. 如图， 把矩形 OABC 放在直角坐标系中， OC 在 x轴上， OA在 y轴上， 且 OC4， OA8， 把矩形 OABC绕着原点顺时针旋转 90得到矩形 ODEF，则点 E的坐标为 _ 【答案】 （8，4） 【解析】 【分析】据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得 ODOA，OFOC，再根据点 E
29、在第一象限写出点 E的坐标即可 【详解】解：矩形 OABC绕着原点顺时针旋转 90 得到矩形 ODEF， ODOA8，OFOC4， 又点 E 在第一象限， 点 E的坐标为（8，4） 故答案为： （8，4） 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键 17. 如图，某运动员推铅球，铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 y-x2x6，则此运动员将铅球推出的距离是_ 【答案】3m 【解析】 【分析】根据题意，令0y ，取0 x的值即可 【详解】Q铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系是 y-x2x6， 令0y
30、即-260 xx 即260 xx 320 xx 解得123,2xx 根据题意，3x 故答案为：3m 【点睛】本题考查了二次函数的应用，令0y 求得与x轴的交点坐标是解题的关键 18. 某个“卡通玩具”自动售货机出售 A、B、C三种玩具，A、B、C三种玩具的单价分别是 3元/个、5 元/个，6 元/个，工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A玩具的数量（单位：个）是 B玩具数量的 2倍，B玩具的数量（单位：个）是 C玩具数量的 2倍某个周六，A、B、C三种玩具的上货量分别比一个工作日的上货量增加了 50%， 70%、 50%， 且全部售出 但是由于软件出错， 发生了一起错单 （即消
31、费者按某种玩具一个的价格投币，但是取得了另一种玩具 1 个） ，结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了 958 元，则这个“卡通玩具”自动售货机一个工作日的销售收入是_元 【答案】1680 【解析】 【分析】设 C 玩具数量工作日时有 x 个，表示出 A、B 两种玩具数量工作日数量为 4x 个、2x 个，A、B、C三种玩具周六数量分别为：6x（个） ，3.4x（个） ，1.5x（个） ，继而得出工作日销售收入和周六销售收入及不发生任何故障时多出的钱数，而由于发生故障，周六销售额变化，据此设变化了 y 元，得 16x+y=958，其中x 为整数，进而求得工作日销售收入，即可求得 y的值
32、 【详解】解：设 C 玩具数量工作日时有 x 个， 根据题意，得 A、B两种玩具数量工作日时 4x个、2x个， A、B、C三种玩具周六数量分别为： 4x（1+50%）=6x（个） ， 2x（1+70%）=3.4x（个） ， x（1+50%）=1.5x（个） ， 工作日销售收入：3 4x+5 2x+6x=28x（元） ， 周六销售收入：3 6x+5 3.4x+6 1.5x=44x（元） ， 当不发生任何故障时，多出 44x-28x=16x（元） ， 其中 x 为整数， 由于发生了故障，周六的销售额发生了变化， 设变化了 y 元， 则 16x+y=958， 其中 x 为整数，y=1、2、3、-1、
33、-2、-3， 当 y=-2 时，x=60， 所以工作日销售收入为：28 60=1680（元） 故答案为：1680 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意设未知数找到等量关系 三、解答题：本大四三、解答题：本大四 7 个小题每小题个小题每小题 10 分，共分，共 70 分解答时每小题必多须给出必要的演算过分解答时每小题必多须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上 19. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为 1个单位在 Rt ABC中，C90 ，AC3，BC4 （1）试在图中
34、作出 ABC以 A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 90 后的图形 A1B1C1； （2）若点 B的坐标为（2，3） ，试在图中画出平面直角坐标系，并标出 A，B1，C1三点的坐标 【答案】 （1）图见解析（2）图见解析，A（1，-1） ，B1（5，2） ，C1（1，2） 【解析】 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 B、C的对应点 B1、C1即可； （2）利用 B点坐标画出直角坐标系，从而得到 A，B1，C1三点的坐标 【详解】 （1）如图， A1B1C1为所作； （2）如图，A（1，-1） ，B1（5，2） ，C1（1，2） 【点睛】 本题考查了作图旋转变换： 根据旋转的性质可知，
35、 对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点， 顺次连接得出旋转后的图形 20. 解方程： （1）2x213x（配方法） （2） （x3） （x1）3（公式法） 【答案】 （1）x1=1，x2=12； （2）x1=17 ，x2=17 【解析】 【分析】 （1）先移项，然后方程两边同时加一次项系数一半的平方，再配方，即可解答此方程； （2）先化为一般形式，然后写出 a、b、c，求出 =b2-4ac 的值，即可求得该方程的根 【详解】解： （1）2x2+1=3x， x2-32x=-12， x2-32x+(34)2=-12+(34
36、)2， （x-34）2=116， x-34=14， x=14+34， x1=1，x2=12； （2）（x3） （x1）=3， x2+2x-6=0， a=1，b=2，c=-6， =b2-4ac=22-4 1 （-6）=280， 该方程有两个不相等的实数根， x=2282 =17 ， x1=17 ，x2=17 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 21. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花局 ABCD（围墙 MN最长可利用 25m）
37、 ，现在已备足可以砌 60m 长的墙的材料： （1）如何设计，可使矩形花园的面积为 400m2； （2）矩形花园的面积可以为 500m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由 【答案】 （1）当 AB长度是 20m时，矩形花园的面积为 400m2（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）设 ABx m，则 BC（602x）m，根据矩形花园面积为 400m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x的值，再结合围墙 MN最长可利用 25m，即可确定结论； （2）设 ABy m，则 BC（602y）m，根据矩形花园的面积为 500m2，即可得出关于 y的一元二次方程，由根的判别式
38、 400，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为 500m2的矩形花园 【详解】解： （1）设 ABx m，则 BC（602x）m， 依题意得：x（602x）400， 解得：x110，x220 当 x10时，602x4025，不合题意，舍去； 当 x20时，602x2025，符合题意 答：当 AB长度是 20m时，矩形花园的面积为 400m2 （2）不能，理由如下： 设 ABy m，则 BC（602y）m， 依题意得：y（602y）500， 整理得：y230y2500 （30）2412501000， 该方程无实数根， 不能围成面积为 500m2的矩形花园 【点睛】本题考查了一元二次方
39、程的应用以及根的判别式，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）牢记“当 0 时，方程无实数根” 22. 类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数 y1|x24|的图象和性质进行了探究其探究过程中的列表如下： x 3 2 1 0 1 2 3 y m 0 3 n 3 0 5 （1）求表中 m，n 的值； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象； （3）观察函数图象，写出一条函数的性质； （4）再画出 y2x2的函数图象结合你所画的函数图象，利用图象法直接写出不等式|x24|x2的解集 【答案】 （1）5m，4n； （2）见解析；
40、（3）函数的对称轴为y轴（答案不唯一） ； （4）3x或1x 且2x 【解析】 【分析】 （1）将表格中3,0 xx 分别代入解析式即可求得,m n的值； （2）根据表格中的数据描点，连线，画出函数图象； （3）根据函数图像可从对称轴，最小值，增减性等分析； （4）根据图象分析，找到当12yy时，x的取值范围即可 【详解】 （1）当3x 时，945y ，则5m 当0 x时，044y ，则4n （2）根据表格中的数据，描点，连线，如图； （3）该函数的一条性质：函数的对称轴为y轴（答案不唯一） ； （4）如图， 根据图图象可知当12yy时，x的取值范围为：3x或1x 且2x |x24|x2的解集
41、为3x或1x 且2x 【点睛】本题考查了画函数图象，二次函数的图象与性质，根据函数图图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键 23. 某商店购进一批单价为 10 元的商品，如果每件 12 元出售，那么每天可销传 200 件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高 1元，其销售量相应碱少 10件 （1）求销售量 y 件与销售单价 x 元之间的解析式； （2）当销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】 （1）320 101232yxx； （2）当售价为 21元时，每天获得的最大利润为 1210元 【解析】 【分析】（1） 设售价为 x 元， 根据销售单价每提高 1
42、元， 其销售量相应减少 10件， 可得销量 y 为 200-10 （x-12）件； （2）根据利润=数量 每件的利润建立 W与 x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论 【详解】解： （1）由题意得：y=200-10（x-12）=320-10 x（12x32） ； （2）设商店每天获得的利润为 W元，则 2210103201010420320010211210Wxyxxxxx ， 100 当 x=21时，w最大=1210， 当售价为 21 元时，每天获得的最大利润为 1210 元 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大 24. 对于任意一个四
43、位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2倍，则称这个四位数 m 为“平衡数”例如：m2316，因为 262（31） ，所以 2316 是“平衡数”，m4123.因为 432（12） ，所以 4123不是“平衡数” （1）判断 5223，3126是否为“平衡数”，并说明理由； （2）对于“平衡数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被 9整除，记 F（n）3n，求满足 F（n）各数位上的数字之和是奇数的所有 n 【答案】 （1）5223是“平衡数”， 3126不是“平衡数”； （2）n的值是 1227 【解析】 【分
44、析】 （1）根据题目中的定义，可直接判断 5223，3126 是否为“平衡数”； （2）根据定义，先用两个未知数表示 F（n） ，然后列出含有 n 的式子，找出满足要求的结果即可 【详解】解： （1）5223是“平衡数”， 3126不是“平衡数”， 5+3=2 （2+2） ， 5223 是“平衡数”， 3+62（1+2） ， 3126 不是“平衡数”； （2）n是“平衡数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设 n的千位上的数字为 a，则十位上的数字为 2a， （1a4） ， 设 n的百位上的数字为 b， 个位和百位都是 0-9 的数字， 个位上数字为 9-b，且 9-bb， 0b4
45、， n=1000a+100b+20a+9-b， F（n）=10001002093abab =340a+33b+3， 由于 n 是“平衡数”， a+9-b=2 （2a+b） ， 即 a+b=3， 可能的情况有：12ab，21ab，30ab， 当 a=1，b=2 时，n 的值为 1227，则 F（n）的值为 409，各数位上数字之和是奇数， 当 a=2，b=1 时，n 的值为 2148，则 F（n）的值为 716，各数位上数字之和是偶数，舍去， 当 a=3，b=0 时，n 的值为 3069，则 F（n）的值为 1023，各数位上数字之和是偶数，舍去， n的值是 1227 【点睛】本题主要考查新定义
46、的运算，正确理解新定义的运算是解题的关键，第二问中要能根据题意写出 F（n）是突破口 25. 如图， 二次函数 yx2bxc 的图象交 x 轴于 A D 两点， 并经过 B 点， 对称轴交 x轴于点 C， 连接 BD，BC，已知 A 点坐标是（1，0） ，B点的坐标是（4，3） （1）求二次函数的解析式，函数图象的顶点坐标及 D点的坐标； （2）抛物线上有一个动点 P，与 AD两点构成ADP，是否存在 SADF13SBCD？若存在，请写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在请说明理由 【答案】（1）243yxx， 顶点坐标(2, 1)，(3,0)D；（2）46 1(, )22，46 1(, )
47、22，421(,)22，421(,)22 【解析】 【分析】 （1）将AB、两点坐标代入抛物线解析式即可求解，再求解顶点坐标以及与x轴交点坐标即可； （2）设点2( ,43)P m mm，求得BCDS的面积，根据题意列方程即可 【详解】解： （1）将AB、两点坐标代入抛物线解析式得 101640bcbc，解得43bc 即抛物线解析式为243yxx 2244 1(2)1yxxx ，顶点坐标为(2, 1) 令0y ，即2430 xx，解得11x ，23x ，即(3,0)D 故答案为243yxx，顶点坐标(2, 1)，(3,0)D （2）由题意可得(2,0)C，1CD，2AD 则1131 3222C
48、DBBCDyS 设点2( ,43)P m mm 则21=432ADPPSADymm 由题意可得13ADFBCDSSVV，即213143322mm 即21432mm或21432mm 分别求解得，1462m，2462m或1422m，2422m 点P的坐标为46 1(, )22，46 1(, )22，421(,)22，421(,)22 故答案为46 1(, )22，46 1(, )22，421(,)22，421(,)22 【点睛】此题考查了二次函数的有关性质，待定系数法求解函数解析式，二次函数的顶点，二次函数与坐标轴交点，一元二次方程的求解，解题的关键是灵活运用相关基本性质进行求解 四、解答题： （
49、本大题四、解答题： （本大题 8 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，诮将解答书写在答题卡中对应的位置上写在答题卡中对应的位置上 26. 在ABC 中AB10，AC83ACB30，将ABC绕 A 按逆时针方向旋转得到ADE （1）如图 1，点 F 为 BC与 DE的交点，连接 AF求证：FA平分DFC； （2）如图 2，点 P为线段 AB 中点，点 G是线段 BC上的动点，在ABC绕 A按逆时针方向旋转的过程中，点 G 的对应点是点 G1，求线段 PG1长度的最大值与最小值 【答案】 （1）见解析； （2）线段 PG1长
50、度的最大值为 5+83，最小值为 43-5 【解析】 【分析】 （1）先判断出 AM=AN，即可得出结论； （2） 当 G在 BC 上运动至垂足点 F， ABC 绕点 A 旋转， 使点 G的对应点 G1在线段 AB上时， PG1最小； 当 G在 BC上运动至点 C，ABC绕点 A 旋转，使点 G对应点 G1在线段 AB延长线上时，PG1最大，即可求得线段 PG1长度的最大值与最小值 【详解】解： （1）如图 1，作 AMBC，ANDE于点 M，N， 根据旋转的性质可知：ABCADE， ABC的面积=ADE的面积，即1122BCAMCEAN， AM=AN， AF 平分DFC， AFD=AFC；
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