1、考点 10 函数的单调性 【命题解读】【命题解读】 考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点） 、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查； 【基础知识回顾基础知识回顾】 1. 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数 f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(或减函数) (2)如果函数 yf(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说 f(x)在这个区间上具有(严
2、格的)单调性，这个区间叫做 f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间 2. 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数 f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减 3. 3. 复合函数的单调性 对于函数 yf(u)和 ug(x)，如果当 x(a，b)时，u(m，n)，且 ug(x)在区间(a，b)上和 yf(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数 yf(g(x)在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减 4.
3、4. 函数单调性的常用结论 (1)对x1，x2D(x1x2)，f（x1）f（x2）x1x20 f(x)在 D 上是增函数； f( )x1f( )x2x1x20)的增区间为(， a和 a，)，减区间为( a，0)和(0， a) (3)在区间 D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数； (2)若k0，则kf(x)与f(x)单调
4、性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y1f（x）的单调性相反； (4)复合函数yfg(x)的单调性与yf(u)和ug(x)的单调性有关简记： “同增异减” 2增函数与减函数形式的等价变形：x1，x2a，b且 x1x2，则 (x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是减函数 1、函数 yx25x6 在区间2，4上是( ) A递减函数 B递增函数 C先递减再递增函数 D先递增再递减函数 2、函数 y1x1在2，3上的最小值为( ) A2 B.12 C.13
5、D12 3、已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x1)0)的单调性 变式 2、试讨论函数 f(x)axx21(a0)在(0，)上的单调性，并证明你的结论 方法总结： 1.1. 判断函数的单调性，通常的方法有： （1）定义法； （2）图像法； （3）利用常见函数的单调性； （4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法. 2. 2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下： 取值 作差 变形 确定符号 得出结论 其中， 变形是十分重要的一步， 其目的是使得变形后的式子易于判断符号， 常用的方法是(1)分解因式；
6、(2)配方；(3)通分约分等 考向二 函数的单调区间 例 1、求下列函数的单调区间 （1）yx22|x|1； （2） 、.函数y|x|(1x)的单调递增区间是_. 变式 1、（2019河北石家庄二中模拟）函数 f(x)|x23x2|的单调递增区间是( ) A.32， B.1，32 和2，) C(，1和32，2 D.，32 和2，) 变式 2、 函数 f(x)x12x1的单调减区间为_ 方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等值得引起高度重视的是： (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域
7、； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解 考向三 复合函数的单调区间 例 3、求下列函数的单调区间 (1)f(x) x22x3； （2）212log (32)yxx 变式 1、函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间为（ ） A,0 B2, C0, D, 2 变式 2、函数f(x)2xx2的单调递增区间为( ) A.，12 B.0，12 C.12， D.12，1 方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。 考向四 函数单调性中的含参问题 例 4、已知函数 f(x)（12
8、a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_ 变式 1、如果函数 f(x)（2a）x1，x0 成立，那么 a 的取值范围是_. 变式 2、设函数 f(x)ax1x2a在区间(2，)上是增函数，那么 a 可能的值为( ) A2 B0 C1 D2 例 5、(2019安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x)log2（x1），x1，1，x1，则满足 f(2x1)f(3x2)的实数 x 的取值范围是( ) A(，0 B(3，) C1，3) D(0，1) 变式 1、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212 (
9、)()()0f xf xxx恒成立，若(31)(2)0fxf，则 x 的取值范围是_ 变式 2、已知函数 f(x)为 R R 上的减函数，则满足 f1xf(1)的实数 x 的取值范围是( ) A(1，1) B(0，1) C(1，0)(0，1) D(，1)(1，) 方法总结：:1.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”. 2.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 1、(2015 北京)下列 函数中，定义域是R且为增函数的是 Axye B3yx Cl
10、nyx Dyx 2、（2017 北京）已知函数1( )3( )3xxf x ，则( )f x A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 3、 （2019 北京理 13）设函数 (a 为常数)，若为奇函数，则 a=_； 若是上的增函数，则 a 的取值范围是 _ 4、(2018 北京)能说明“若( )(0)f xf对任意的(0,2x都成立，则( )f x在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_ 5、 （2017 山东）若函数e( )xf x(e=271828L，是自然对数的底数)在( )f x的定义域上单调递增，则称函数( )f x具有M性质，下列函数中具有M性质的是 ( )2xf x ( )3xf x 3( ) f xx 2( )2f xx 6、(2012 安徽)若函数( ) |2|f xxa的单调递增区间是), 3 ，则a=_ 7、已知 f(x)xxa(xa) (1)若 a2，试证 f(x)在(，2)内单调递增； (2)若 a0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围 ( )exxf xea( )f x( )f xR
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