1、专题 10××解析几何命题趋势解析几何的考查主要为直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的考查1直线与圆的考查常与导数结合，考查直线方程，考查点到直线的距离公式，主要以选择题、填空题的形式出现，难度相对简单，也与圆锥曲线结合，主要考查的问题为圆方程、圆弦长、面积等，难度中等2圆锥曲线的考查主要为两种：一是对其概念及性质的考查，主要以选择题或填空题的形式出现；二是圆锥曲线综合问题的考查，比如范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题，常以大题的形式出现，难度较难，计算量较大考点清单1直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y-y0=k(x-x0)不能表示斜
2、率不存在的直线斜截式y=kx+b两点式不能表示平行于坐标轴的直线截距式不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B不同时为零)可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有；当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1·k2=-1；当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2（3）两条直线的交点的求法直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1与l2的交
3、点坐标就是方程组的解（4）三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离：平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离：（5）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F>0)圆心：，半径：（6）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：若M(x0，y0)在圆外，
4、则(x0-a)2+(y0-b)2>r2若M(x0，y0)在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2=r2若M(x0，y0)在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2<r22直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点<0=0>0几何观点d>rd=rd<r（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d，R，r的关系d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公切线条数432103圆
5、锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)顶点坐标，B2(0，b)，,，长轴长轴A1A2=2a，a是长半轴的长短轴短轴B1B2=2b，b是短半轴的长焦距焦距F1F2=2c，c是半焦距范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a离心率，越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形一般方程mx2+ny2=1(mn<0)几何性质范围|x|a，yR|y|a，xR焦点F1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)顶点A1(-a，0)，A
6、2(a，0)A1(0，-a)，A2(0，a)对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b (a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长)焦距焦距|F1F2|=2c，c是半焦距离心率渐近线方程（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y=0(x轴)x=0(y轴)焦点离心率e=1准线方程范围x0，yRx0
7、，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)4圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y (也可以消去x)得到一个关于变量x (或变量y)的一元方程即联立，消去y，得ax2+bx+c=0当a0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为，则>0直线与圆锥曲线C相交；=0直线与圆锥曲线C相切；<0直线与圆锥曲线C相离当a=0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲
8、线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合（2）圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于M，N两点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则或 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1已知直线l1:x+my+7=0和l2:m-2x+3y+2m=0互相平行，则实数m等于（ ）A-1或3B-1C-3D1或-3【答案】A【解析】两条直线l1:x+my+7=0和l2:m-2x+3y+2m=0互相平行，1×3-mm-2=0，解得m=-1或m=3若m=-1，则l1:x-y+7=0与l2:-3x+3y-2=0平行，满足题意；若m=3，
9、则l1:x+3y+7=0与l2:x+3y+6=0平行，满足题意，故选A【点评】本题主要考查了直线平行的条件，属于基础题2直线ax+y-1=0被圆x2+y2-2x-8y+13=0所截得的弦长为23，则a=（ ）ABCD【答案】A【解析】x2+y2-2x-8y+13=0，即x-12+y-42=4，该圆圆心为1，4，半径为r=2，直线ax+y-1=0截圆所得的弦长为23，则圆心1，4到直线ax+y-1=0的距离为，解得，故选A【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式l=1+k2x1-x2，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角
10、形，利用勾股定理求解优先采用几何法3已知点M的坐标满足不等式组，N为直线y=-2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（ ）ABC1D【答案】A【解析】点M的坐标x，y满足不等式组的可行域如图：点M的坐标x，y满足不等式组，N为直线y=-2x+3上任一点，则MN的最小值，就是两条平行线y=-2x+3与2x+y-4=0之间的距离，故选A【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力，解决本题的关键是作出不等式组所表示的平面区域与y=-2x+3的位置关系，难度一般；画出约束条件的可行域，利用已知条件，把MN的最小值转化求解平行线间的距离即可4若直线l：ax+by+1
11、=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则a-22+b-22的最小值为（ ）A5B5C25D10【答案】B【解析】由直线ax+by+1=0始终平分圆M的周长，则直线必过圆M的圆心，由圆的方程可得圆M的圆心坐标M(-2，-1)，代入直线ax+by+1=0的方程可得2a+b-1=0，又由(a-2)2+(b-2)2表示点(2，2)到直线2a+b-1=0的距离的平方，由点到直线的距离公式得，所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为d2=(5)2=5，故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把(a-2)2+(b-2)2转化为点(2，2)到直线2a+b-1=
12、0的距离的平方是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力5已知直线l:kx+y+4=0(kR)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴，过点P1，k作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（ ）ABCD【答案】D【解析】因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴，所以直线kx+y+4=0过圆心C3，-1，即3k-1+4=0，k=-1，所以点P1，-1，PC=2，因为圆C的半径r=1，所以切线长PA=PB=PC2-r2=3，且在直角三角形中，所以APC=BPC=30°，APB=60°，所以三角形PAB的面积，故选D【
13、点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题6若分别过P1，0，Q2，0，R4，0，S8，0四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（ ）ABCD【答案】C【解析】如果过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsin=PQsin=sin，AD=ANcos=RScos=4co
14、s，因为AB=AD，所以sin=4cos，则tan=4，所以正方形ABCD的面积，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选C【点评】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基本运算求解能力7已知双曲线，分别是双曲线C的左右焦点，且F1F2=2过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若OPF2的面积取最大值时，双曲线C的离心率为（ ）A3B3C2D2【答案】D【解析】设其中一条渐近线方程，焦点F2c，0到渐近线的距离，OPF2是直角三角形，且OF2=c，PF2=b
15、，OP=c2-b2=a，F1F2=2，c=1，即a2+b2=1，当a=b时等号成立，ab的最大值是，即OPF2的面积的最大值是，此时a=b，双曲线是等轴双曲线，离心率e=2，故选D【点评】本题的一个关键公式是，焦点到渐近线的距离d=b，小题时，可以直接用这个条件二、填空题8已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0，PQ的中点为Mx0，y0，且1y0-x07，则的取值范围是_【答案】【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+2y1-1=0，x2+2y2+3=0，两式相加可得x1+x2+2(y1+y2)+2=0，由于PQ的中点为Mx0，y0，所以x0+2y0+1=0
16、设，则y0=tx0代入上式可得因为1y0-x07，所以，解之得，故填【点评】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径9已知圆C1：x2+y2+2ax+a2-4=0，（aR）与圆C2：x2+y2-2by-1+b2=0，（）只有一条公切线，则a+b的最小值为_【答案】-2【解析】圆C1：x2+y2+2ax+a2-4=0的圆心C1坐标-a，0，半径r1=2，圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0的圆心C20，b，半径r2=1，由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距C1C2=a2+b2=2-1=1，所以可得a2+b2=1，设a=cos，b=sin，R，所以，当且仅
17、当时，即时，a+b的最小值为-2，故答案为-2【点评】本题考查由两个圆的公切线的条数判断两个圆的位置关系，及由三角函数的范围求代数式的最小值，属于中档题10已知方程表示的曲线为C，任取a、b1，2，3，4，5，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于_【答案】【解析】所有可能的a，b的组数为5×5=25，又因为焦距2c=2，所以c=1，所以a-b=±1，则满足条件的有：1，2、2，3、3，4、4，5、5，4、4，3、3，2、2，1，共8组，所以概率为，故答案为【点评】计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用11已知F是双
18、曲线的左焦点，A1，4，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为_【答案】9【解析】对于双曲线，则a=2，c=4，如下图所示：设双曲线的右焦点为M，则M4，0，由双曲线的定义可得PF-PM=4，则PF=4+PM，所以，PF+PA=PM+PA+4AM+4=1-42+4-02+4=9，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立因此，PF+PA的最小值为9，故答案为9【点评】利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解12已知双曲线（
19、a>0，b>0）的右焦点为F，直线（k>0）与E交于M，N两点（M在第一象限），直线MF与E的另一个交点为P，以NP为直径的圆经过点F，且NF=PF，则E的渐近线方程为_【答案】【解析】如图，设E的左焦点为F1，PF=t，连接MF1，PF1，利用双曲线定义得PF1=t+2a，因为以NP为直径的圆经过点F，所以PFNF，依题意，得四边形FMF1N为矩形，则MF1=NF=t，MF=t-2a，MN=FF1=2c，则MP=MF+PF=2t-2a在RtMNF中，MN2=MF2+NF2，即2c2=t-2a2+t2，在RtMPF1中，PF12=MF12+MP2，即t+2a2=t2+2t-2
20、a2，所以t=3a，由，得5a2=2c2，所以5a2=2a2+b2，所以，所以E的渐近线方程为,故答案为【点评】求双曲线的渐近线的方法：（1）定义法：直接利用a，b，求得比值，则焦点在x轴时渐近线，焦点在y轴时渐近线；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合a2+b2=c2，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可13已知点A(0，1)，直线l1:x-y-1=0，直线l2:x-2y+2=0，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为_，直线l2关于直线l1的对称直线方程是_【答案】2，-1，2x-y-5=0【解析】（1）设B(x，y)，则，（2）由，得，设C(4，3)，由（1）得l2
21、上的点A0，1关于直线l1的对称点B，因此所求对称直线过BC，即，【点评】本题主要考查了一个点关于某直线的对称点坐标的求法，直线关于直线对称的直线的求法，属于基础题三、解答题14已知椭圆过点B2，1，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设经过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于C，D两点，判断点与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由【答案】（1）；（2）详见解析【解析】（1）由已知，点B2，1在椭圆上因此，解得a=2，b=2，所以椭圆的方程为（2）设点，Dx2，y2，CD中点为Qx0，y0椭圆的右焦点为2，0，当直线CD斜率为零时，点P显然在圆外；当直线CD斜率不为零时，设直线CD的方程为x=k
22、y+2，由，得k2+2y2+22ky-2=0，所以，从而所以，故，当k-，-22，+时，点在以CD为直径的圆的外部；当k=2或k=-2时，点在以CD为直径的圆上；当时，点在以CD为直径的圆的内部【点评】本题考查了椭圆的方程、点和圆的位置关系，关键点是求出圆心和半径，利用P点到圆心的距离和半径比较大小，考查了学生分析问题、解决问题及转化的能力15已知椭圆的离心率为，短轴长为23（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4，0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q证明：点Q在定直线上【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆的离
23、心率，又2b=23，b=3因为b2=a2-c2=3c2=3，所以c=1，a=2，所以椭圆C的方程为（2）解法一：设直线MN:x=ty+4，Mx1，y1，Nx2，y2，可得3t2+4y2+24ty+36=0，所以直线AM的方程：，直线BN的方程：由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立，可得因为，所以，所以点Q在直线x=1上解法二：设Mx1，y1，Nx2，y2，Qx3，y3，x1，x2，x3两两不等，因为P，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2-5x1+x2+8=0又A，M，Q三点共线，有，又B，N，Q三点共线，有，将与两式相除得：，即，将2x1x2-5x1+x2+8=0，即，代入得，解
24、得x3=4（舍去）或x3=1，（因为直线BQ与椭圆相交故x34）所以Q在定直线x=1上【点评】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题16椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且F1AB的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求AOB面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为F1AB的周长为8，由椭圆的定义知4a=8，故a=2，又，所以c=1b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为（2）由题意可设直线l的方程为x=my+1，Ax1，y1，Bx2，y2，由，显
25、然>0且，令m2+1=t(t1)，易知S在单调递减，从而【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题17已知椭圆过点(0，2)，其长轴长焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆相交于两点M、N，各点互不重合，且满足，（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的方程为y=-x+1，求的值；（3）若，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标【答案】（1）；（2）；（3）证明见解
26、析，(2，0)【解析】（1）由题意，因为椭圆过点(0，2)，可得b=2，设焦距为，又由长轴长焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2，即a2+b2=2c2，又因为a2=b2+c2，解得a2=12，所以椭圆的标准方程为（2）由直线l的方程为y=-x+1，可得而P(0，1)，Q(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为，可得(x1，y1-1)=1(1-x1，-y1)，(x2，y2-1)=2(1-x2，-y2)，从而x1=1(1-x1)，x2=2(1-x2)，于是，所以，由，整理得4x2-6x-9=0，可得，所以（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，
27、设直线l的方程为y=kx-mm>0，M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得P(0，-km)，Q(m，0)，由，可得(x1，y1+km)=1(m-x1，-y1)，所以x1=1m-x1，从而，同理，又，x1x2-2m(x1+x2)+3m2=0，联立，得(1+3k2)x2-6k2mx+3k2m2-12=0，则=36k4m2-4(1+3k2)(3k2m2-12)=1212k2+4-k2m2>0，且，代入得，m=2，(满足)故直线l的方程为y=kx-2，所以直线l恒过定点(2，0)【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数
28、表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关18在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点F的两条直线l1、l2与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点【答案
29、】（1）y2=4x；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，设，因为圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线x=-1相切，可得|x+1|=(x-1)2+y2，化简得y2=4x（2）设l1，l2的方程分别为，y=k2(x-1)，联立方程组，整理得k12x2-2k12+4x+k12=0，所以，则，同理，所以，由k1+k2=-1，可得kMN=k11+k1，所以直线MN的方程为，整理得y+2=k11+k1(x-1)，所以直线MN恒过定点【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；利用条件
30、找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关19已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，点在抛物线E上，点的横坐标为2，且（1）求抛物线E的标准方程；（2）若A，B为抛物线E上的两个动点(异于点P)，且APAB，求点B的横坐标的取值范围【答案】（1）x2=4y；（2）【解析】（1）依题意得，设，又点是E上一点，所以，得p2-4p+4=0，即p=2，所以抛物线E的标准方程为x2=4y（2）由题意知P
31、2，1，设，则，因为x1-2，所以，AB所在直线方程为，联立x2=4y因为xx1，得(x+x1)(x1+2)+16=0，即x12+x+2x1+2x+16=0，因为=(x+2)2-42x+160，即x2-4x-600，故x10或x-6，经检验，当x=-6时，不满足题意，所以点B的横坐标的取值范围是【点评】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围20已知双曲线的左右两个顶点是A1，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E0，2，轨迹D上的点A，B满足EA=EB，求实数的取值范围【答案】（1
32、）；（2）【解析】（1）由已知A1-2，0，A22，0，设，则直线，直线，两式相乘得，化简得，即动点M的轨迹D的方程为（2）过E0，2的直线若斜率不存在则或3，设直线斜率k存在，Ax1，y1，Bx2，y2，则（2）由（2）（4）解得x1，x2，代入（3）式得，化简得，由（1）0，解得代入上式右端得，解得，综上实数的取值范围是【点评】本题考查了动点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题21如图，已知圆和双曲线，记1与y轴正半轴、x轴负半轴的公共点分别为A、B，又记1与2在第一、第四象限的公共点分别为C、D（1）若r=2，且B恰为2的左焦点，求2的两条渐近线的方程；（2）若r=2，且AC+
33、AD=(m，-5)，求实数m的值；（3）若B恰为2的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点P，使得PA-PC=2019【答案】（1）；（2）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意圆方程为x2+(y-1)2=4，令y=0，得x=±3，B(-3，0)，即c=3，b=c2-a2=3-1=2，渐近线方程为（2）由（1）圆方程为x2+(y-1)2=4，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得(b2+1)y2-2b2y-2b2=0 (*)，AC+AD=(x1，y1-3)+(x2，y2-3)=(x1+x2，y1+y2-6)=(m，-5)，所以y1+y2-6=-5，即，解得b=1，方程(*)为2y
34、2-2y-2=0，即y2-y-1=0，代入双曲线方程得，C，D在第一、四象限，（3）由题意，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得，由，得，解得，所以，AC=2，PA-PCAC=2，当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立，x轴上不存在点P，使得PA-PC=2019【点评】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标难度较大，属于困难题高频易错题一、选择题1已知P是曲线C：x+2y-y2=0上的点，Q是直线x-y-1=0上的一点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由x+2y-y2=0，得x2+y-12
35、=1(x0)，曲线C是圆心为，半径r=1的左半圆，曲线C上的点到直线x-y-1=0的最小距离为原点到直线的距离，所以的最小值为，故选D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题2过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）Ax-y+1=0Bx+y-3=0C2x-y=0或x+y-3=0D2x-y=0或x-y+1=0【答案】D【解析】易知斜率不存在时，不满足；设直线方程为，则截距和为，解得k=1或k=2，故直线方程为y=x+1和y=2x，故选D【点评】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力3若F1，F2是双曲线与椭圆
36、的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线中，c=3，a2+b2=9，设点P为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，PF1F2为等腰三角形，所以PF2=F1F2=6，所以PF1=2a-PF2=10-6=4，在双曲线中，2a=PF2-PF1=6-4=2，所以，代入a2+b2=9，得b=22，所以该双曲线的渐近线方程为，故选B【点评】此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由PF1F2为等腰三角形和椭圆的定义求出PF2，PF1的值，属于中档题精准预测题一、选择题1已知点A(2，3)，与直
37、线l:kx-y-k+1=0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）A或B或CD【答案】A【解析】已知点A(2，3)，与直线l:kx-y-k+1=0，且直线l与线段AB相交，直线l:kx-y-k+1=0，即直线l:k(x-1)-y+1=0，它经过定点，的斜率为，的斜率为，则直线l的斜率k的取值范围为或，故选A【点评】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题2点P在函数的图象上若满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值为（ ）A22B23C3D4【答案】C【解析】过函数yex的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，于是ex0=1，则，于是当点P到直线的距
38、离为2时，则满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，解得或，又当时，函数的图象与直线相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足，故a3，故选C【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大3设A-2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA2+PB216，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】设Px，y，则PA2+PB2=x+22+y2+x-22+y216，整理可得x2+y24，故OP2，在PQO中，则，设原点到直线的距离为d，则需满足d4，解得或，故选C【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是
39、得出OQ=2OPsinQPO4，利用原点到直线的距离小于等于4求解4设a，b，c分别是ABC中A，B，C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx-ysinB+sinC=0位置关系是（ ）A平行B重合C垂直D相交但不垂直【答案】C【解析】a，b，c分别是ABC中A，B，C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0斜率为，bx-ysinB+sinC=0的斜率为，两条直线垂直，故选C【点评】本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查5如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C其中，CD=4AB，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】连接CA，BD，不妨设A
40、B=1，则CD=4，BD=1+2a，AC=4+2a在ABD中，1+4c2-212ccos60°=(1+2a)2在ACD中，16+4c2-242ccos120°=(4+2a)2-，得15+10c=12a+15，则，故选C【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算二、填空题6已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率_【答案】【解析】设切点为M，右焦点为F1，由题意可知OF=c，OM=b，则PF=2c2-b2，因为M，O分别是PF，FF1的中点，所以PF1=2OM=2b，
41、由椭圆的定义可知2c2-b2+2b=2a，即c2-b2=a-b，两边平方得，即，故答案为【点评】解决本题的关键是由椭圆的定义得出，进而得出离心率7双曲线的左顶点为A，M是双曲线的渐近线与圆的一个交点，过M作圆的切线l交y轴于P，若AP的斜率为3，则双曲线E的离心率为_【答案】3【解析】不妨设M是圆与渐近线在第一象限的交点，由，解得，则切线PM的方程为，令x=0，得y=c，即P(0，c)，AP的斜率为3，即离心率为3，故答案为3【点评】本题结合直线与圆的位置关系，考查了双曲线的离心率，属于基础题8已知圆C:x2+y2-16y+48=0与双曲线的渐近线相切，则E的离心率为_【答案】【解析】由x2+
42、y2-16y+48=0得x2+(y-8)2=42，所以圆心C0，8，半径r=4，双曲线的一条渐近线为，由题意得圆心到渐近线的距离，所以，所以，所以，故答案为【点评】本题的关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，可得a，b，c之间的关系，即可求离心率三、解答题9已知点F是椭圆的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且（1）求椭圆的离心率e；（2）已知M1，0，N4，3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可得OF=c，OP=b，即c=3b，
43、a=b2+c2=2b，（2）由（1）可得椭圆方程为，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-1，设，联立直线与椭圆，得1+4k2x2-8k2x+4k2-4b2=0，则=64k4-41+4k24k2-4b2>0，即4k2b2-k2+b2>0，则，即b2-1k-1=0对任意k成立，即b2=1，则椭圆方程为；当直线斜率不存在时，则直线方程为x=1，则A1，y1，B1，y2，且y1+y2=0，此时，满足题意，综上，椭圆方程为【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为Ax1，y1，Bx2，y2；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为x1+x2，x1x2形式；（5）代入韦达定理求解10已知椭圆的离心率为，且过点A2，1（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AMAN，证明：直线MN过定点【答案】（1）；（
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