1、2021 年四川省眉山市仁寿县中考数学调研试卷（年四川省眉山市仁寿县中考数学调研试卷（5 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑. 14 的平方根是（ ） A2 B2 C16 D16 2下列计算正确的是（ ） A（x2）3x5 B（x）6（x）3x2 C D 3某市 2021 年参加中考的学生大约有 4.3 万人，将 4.3 万人用科学记数法表示应为
2、（ ） A4.3104人 B43105人 C0.43105人 D4.3105人 4如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 5如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当135时，2 的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 6关于 x 的一元二次方程（m2）x2+2x+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 7下列说法正确的是（ ） A若|a|a，则 a0 B若，则锐角A60 C矩形的对角线互相垂直平分 D菱形的面积等于对角线的乘积 8如图，O 是ABC 的外接圆，AOB60，ABAC2，则
3、弦 BC 的长为（ ） A B3 C2 D4 9某班数学兴趣小组 10 名同学的年龄情况如下表： 年龄（岁） 12 13 14 15 人数 1 4 4 1 则这 10 名同学年龄的平均数和中位数分别是（ ） A13.5，13.5 B13.5，13 C13，13.5 D13，14 10 如图， ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形， 且位似比为 1： 2， 下列结论不正确的是 （ ） AACDF B CBC 是OEF 的中位线 DSABC：SDEF1：2 11如图，RtABC 中，C90，点 D 在 AC 上，DBCA若 AC4，cosA，则 BD 的长度为（ ） A B C D4
4、 12二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；3a+c0；当1x3 时，y0；顶点坐标为（1，4a），其中正确的个数为（ ）个 A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。 13分解因式：ab2a3 14设 x1，x2是方程 x2x10 的两个实数根，则 15已知不等式组的解集为 x1，则 k 的取值范围是 16关于 x 的分式方程无解，则 m 的值为 17我市百年梨乡计划种植
5、一批梨树，原计划总产值为 30 万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 6 万千克，种植亩数减少了 10 亩，则原 来 每 亩 产 量 是 多 少 万 千 克 ？ 设 原 来 平 均 每 亩 产 量 为 x 万 千 克 ， 根 据 题 意 列 方 程为 18如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CE2DE，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G， 连接 AG， CF， 下列结论： ABGAFG； G 为 BC 的中点； CFAG；，其中正确结论的序号是 三、解答题：本大题
6、共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 78 分分. 19先化简再求值：（），其中 20如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A、B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上，从 B 站测得船 C 在东北方向上，则船 C 到海岸线 L 的距离是多少 km？ 21小红随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（分钟），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0t10，B：10t20，C：20t30，D：t30），根据图中信息，解答下列问题 这项调查被调查的总人数是多少人？ 试求表示 A 组的扇形统计图的圆心角的度数，并补全条形
7、统计图 如果小红想从 D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表法或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两人的概率 22如图直线 y2x+b 与双曲线（k 为常数，k0）在第一象限内交于点 A（1，4），且与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点 求直线和双曲线的解析式； 若点 P 在 x 轴上，且BCP 的面积等于 4，求点 P 的坐标 23如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，交 CD 于点 F，且 CECF 求证：直线 AC 是O 的切线； 若，求的值 24某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计
8、划购买 A，B 两种花木共 100 棵绿化操场，其中 A 花木每棵 50 元，B 花木每棵 100 元 （1）若购进 A，B 两种花木刚好用去 8000 元，则购买了 A，B 两种花木各多少棵？ （2）如果购买 B 花木的数量不少于 A 花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用 25如图，已知边长为 10 的正方形 ABCD，E 是 BC 边上一动点（与 B、C 不重合），连接 AE，将 AE 绕着 E 点沿顺时针方向旋转 90后与DCG 的角平分线相交于点 F，过 F 点作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G 求证：ABEEGF； 若 EC2，求证ABE
9、EGF； 当 EC 为何值时，CEF 的面积最大，并求出其最大值 26如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点（0，3） 求抛物线的解析式； 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点， 过点 P 的直线 yx+m 与直线 BC 交于点 E， 与 y 轴交于点 F，当 PE+EF 有最大值时，求 P 点的坐标； 在抛物线的对称轴上是否存在一点 D 使BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题
10、 4 分，共分，共 48 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑. 14 的平方根是（ ） A2 B2 C16 D16 【分析】首先根据平方根的定义求出 4 的平方根，然后就可以解决问题 解：2 的平方等于 4， 4 的平方根是：2 故选：B 2下列计算正确的是（ ） A（x2）3x5 B（x）6（x）3x2 C D 【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根的定义对各项进行求解即可 解：A、（x2）3x6，故 A 不符合
11、题意； B、（x）6（x）3x3，故 B 不符合题意； C、，故 C 符合题意； D、，故 D 不符合题意 故选：C 3某市 2021 年参加中考的学生大约有 4.3 万人，将 4.3 万人用科学记数法表示应为（ ） A4.3104人 B43105人 C0.43105人 D4.3105人 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 解：4.3 万人43000 人4.3104人 故选：A 4如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 【分析】找到从左侧面看所得到的图形即可
12、，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形 故选：A 5如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当135时，2 的度数为（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由余角的定义即可得出结论 解：直尺的两边互相平行，135， 335 2+390， 255 故选：C 6关于 x 的一元二次方程（m2）x2+2x+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b2
13、4ac 的意义得到 m20 且0，即 224（m2）10，然后解不等式组即可得到 m 的取值范围 解：关于 x 的一元二次方程（m2）x2+2x+10 有实数根， m20 且0，即 224（m2）10，解得 m3， m 的取值范围是 m3 且 m2 故选：D 7下列说法正确的是（ ） A若|a|a，则 a0 B若，则锐角A60 C矩形的对角线互相垂直平分 D菱形的面积等于对角线的乘积 【分析】由绝对值的定义判定 A，由 30角的正弦值判定 B，由矩形的性质判定 C，由菱形的面积公式判定 D 解：A、当|a|a 时，a0，故选项 A 错误，不符合题意； B、， 锐角A30，故选项 B 正确，符合
14、题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故选项 C 错误，不符合题意； D、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故选项 D 错误，符合题意 故选：B 8如图，O 是ABC 的外接圆，AOB60，ABAC2，则弦 BC 的长为（ ） A B3 C2 D4 【分析】如图，首先证得 OABC；然后由圆周角定理推知C30，通过解直角ACD 可以求得 CD的长度则 BC2CD 解：如图，设 AO 与 BC 交于点 D AOB60， CAOB30， 又ABAC， ADBC， BDCD， 在直角ACD 中，CDACcos302， BC2CD2 故选：C 9某班数学兴趣小组 10 名同学的年龄情况如下表： 年龄
15、（岁） 12 13 14 15 人数 1 4 4 1 则这 10 名同学年龄的平均数和中位数分别是（ ） A13.5，13.5 B13.5，13 C13，13.5 D13，14 【分析】根据加权平均数和中位数的定义列式计算即可 解：这 10 位同学年龄的平均数为13.5， 中位数为13.5， 故选：A 10 如图， ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形， 且位似比为 1： 2， 下列结论不正确的是 （ ） AACDF B CBC 是OEF 的中位线 DSABC：SDEF1：2 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线的概念判断即可 解：A、ABC 与DEF 是以
16、点 O 为位似中心的位似图形， ACDF，本选项说法正确，不符合题意； B、ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 1：2， ABDE， OABODE， ，本选项说法正确，不符合题意； C、同 B 选项可知， BC 是OEF 的中位线，本选项说法正确，不符合题意； D、ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 1：2， SABC：SDEF1：4，本选项说法不正确，符合题意； 故选：D 11如图，RtABC 中，C90，点 D 在 AC 上，DBCA若 AC4，cosA，则 BD 的长度为（ ） A B C D4 【分析】在ABC 中，由锐角三角函数求得
17、 AB，再由勾股定理求得 BC，最后在BCD 中由锐角三角函数求得 BD 解：C90，AC4，cosA， AB， ， DBCA cosDBCcosA， ， 故选：C 12二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；3a+c0；当1x3 时，y0；顶点坐标为（1，4a），其中正确的个数为（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解：根据图象可得：a0，b0，c0 则 abc0，故正确
18、； 根据图示知，该抛物线的对称轴直线是 x1，即1，则 b2a那么当 x1 时，yab+ca+2a+c3a+c0，故正确； 根据图示知，该抛物线与 x 轴的一个交点是（，0），对称轴直线是 x1，则一个交点为（3，0）， 当1x3 时图象在 x 轴的上方，即 y0，故错误； 当 x1 时，yab+ca+2a+c0，则 c3a，故 yax22ax3a， 当 x1 时，ya2a3a4a，故顶点坐标为（1，4a），故正确 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。分，请将正确答案直接填在答
19、题卡相应的位置上。 13分解因式：ab2a3 a（b+a）（ba） 【分析】首先提取公因式 a，再利用平方差公式分解因式即可 解：ab2a3a（b2a2）a（b+a）（ba） 故答案为：a（b+a）（ba） 14设 x1，x2是方程 x2x10 的两个实数根，则 0 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和方程的解的概念得出 x1x21，x12x11，再代入计算即可 解：x1，x2是方程 x2x10 的两个实数根， x1x21，x12x11， 原式110， 故答案为：0 15已知不等式组的解集为 x1，则 k 的取值范围是 k2 【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于 k 的不等式，求
20、出不等式的解集即可 解：， 由得 x1； 由得 xk+1 不等式组的解集为 x1， k+11， 解得 k2 故答案为 k2 16关于 x 的分式方程无解，则 m 的值为 7 【分析】先解分式方程，再根据分式方程无解的情况进行讨论 解：， 方程两边同乘 x1，得 7+3（x1）m 去括号，得 7+3x3m 移项，得 3xm+37 合并同类项，得 3xm4 x 的系数化为 1，得 x 关于 x 的分式方程无解， 当 x，x10 m7 故答案为：7 17我市百年梨乡计划种植一批梨树，原计划总产值为 30 万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的 1.5 倍，总产量比原
21、计划增加了 6 万千克，种植亩数减少了 10 亩，则原来每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为 x 万千克， 根据题意列方程为 10 【分析】设原来平均每亩产量是 x 万千克，则改良后平均每亩产量是 1.5x 万千克，根据种植亩数总产量平均亩产量结合改良后比改良前种植亩数减少了 10 亩，列出分式方程即可 解：设原来平均每亩产量是 x 万千克，则改良后平均每亩产量是 1.5x 万千克， 依题意，得：10， 故答案为：10 18如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CE2DE，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G， 连接 AG， CF
22、， 下列结论： ABGAFG； G 为 BC 的中点； CFAG；，其中正确结论的序号是 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 RtABGRtAFG；在直角ECG 中，根据勾股定理可证 BGGC；通过证明AGBAGFGFCGCF，由平行线的判定可得 AGCF；由 EF2，GF3，可求EFC 的面积 解：将ADE 沿 AE 对折至AFE， ADAF，DAFE90， ABADAF，AGAG，BAFG90， RtABGRtAFG（HL）； 故正确； CE2DE， EFDECD2， 设 BGFGx，则 CG6x 在直角ECG 中，根据勾股定理，得（6x）2+42（x+2）2， 解得 x3 BG
23、363CG， 点 G 是 BC 的中点； 故正确； CGBG，BGGF， CGGF， FGC 是等腰三角形，GFCGCF 又RtABGRtAFG； AGBAGF，AGB+AGF2AGB180FGCGFC+GCF2GFC2GCF， AGBAGFGFCGCF， AGCF； 故正确； SECGGCCE346，EF2，GF3， SEFC， 故正确， 故答案为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 78 分分. 19先化简再求值：（），其中 【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将 x 的值代入计算即可 解：原式
24、（） ， 当 x+2 时， 原式 1+ 20如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A、B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上，从 B 站测得船 C 在东北方向上，则船 C 到海岸线 L 的距离是多少 km？ 【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CDxkm，证BCD 是等腰直角三角形，得 BDCDxkm，再由含 30角的直角三角形的性质得 ADCDx（km），然后求出 x 的值即可 解：过点 C 作 CDAB 于点 D，如图所示： 则CDA90， 设 CDxkm， 根据题意得：CAD906030，CBD904545， BC
25、D 是等腰直角三角形， BDCDxkm， 在 RtACD 中，CAD30， AC2CD2x（km）， ADCDx（km）， ADBDAB， xx2， 解得：x+1， 即 CD（+1）km， 答：船 C 到海岸线 l 的距离是（+1）km 21小红随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（分钟），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0t10，B：10t20，C：20t30，D：t30），根据图中信息，解答下列问题 这项调查被调查的总人数是多少人？ 试求表示 A 组的扇形统计图的圆心角的度数，并补全条形统计图 如果小红想从 D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情
26、况，请用列表法或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两人的概率 【分析】（1）由 B 组的人数除以所占的百分比，即可求解； （2）由 360乘以 C 组所占的比例得出表示 A 组的扇形统计图的圆心角的度数，再求出 C 组的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有 12 个等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两人的结果有 2 种，再由概率公式求解即可 解：（1）这项调查被调查的总人数是：1938%50（人）； （2）A 组所占圆心角的度数是：360108； C 组的人数有：501519412（人）， 补全条形图如图所示： （3）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两人的
27、结果有 2 种， 恰好选中甲、乙两人的概率为 22如图直线 y2x+b 与双曲线（k 为常数，k0）在第一象限内交于点 A（1，4），且与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点 求直线和双曲线的解析式； 若点 P 在 x 轴上，且BCP 的面积等于 4，求点 P 的坐标 【分析】（1）把 A（1，4）代入双曲线以及直线 yx+b，分别可得 k，b 的值； （2）先根据直线解析式得到 BO1，CO2，再根据BCP 的面积等于 4，即可得到 P 的坐标 解：（1）把 A（1，4）代入双曲线（k 为常数，k0），可得 k144， 双曲线的解析式为 y； 把 A（1，4）代入直线 y2x+b，可得 b
28、2， 直线的解析式为 y2x+2； （2）设 P 点的坐标为（x，0）， 在 y2x+2 中，令 y0，则 x1；令 x0，则 y2， B（1，0），C（0，2）， BO1，CO2， BCP 的面积等于 4， BPCO4，即|x（1）|24， 解得 x3 或5， P 点的坐标为（3，0）或（5，0） 23如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，交 CD 于点 F，且 CECF 求证：直线 AC 是O 的切线； 若，求的值 【分析】要证明直线 CA 是O 的切线，则只要证明ACB90即可； 易证ADFACE，由相似三角形的性质以及结合已
29、知条件即可求出的值 【解答】证明：BC 为直径， BDCADC90， DAF+DFA90， AE 平分BAC 交 BC 于点 E，CECF， DAFCAE，CEFCFE， CAE+DFA90， DFACFE， CAE+CEF90，即 ACBC， 直线 AC 是O 的切线； 解：由（1）可知，DAFCAE，DFACEF， ADFACE， ， BDDC， tanABC， ABC+BAC90，ACD+BAC90， ABCACD， tanACD， sinACD， 24某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买 A，B 两种花木共 100 棵绿化操场，其中 A 花木每棵 50 元，B 花木每棵 1
30、00 元 （1）若购进 A，B 两种花木刚好用去 8000 元，则购买了 A，B 两种花木各多少棵？ （2）如果购买 B 花木的数量不少于 A 花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用 【分析】（1）设购买 A 种花木 x 棵，B 种花木 y 棵，根据“A，B 两种花木共 100 棵、购进 A，B 两种花木刚好用去 8000 元”列方程组求解可得； （2）设购买 A 种花木 a 棵，则购买 B 种花木（100a）棵，根据“B 花木的数量不少于 A 花木的数量”求得 a 的范围，再设购买总费用为 W，列出 W 关于 a 的解析式，利用一次函数的性质求解可得 解：
31、（1）设购买 A 种花木 x 棵，B 种花木 y 棵， 根据题意，得：， 解得：， 答：购买 A 种花木 40 棵，B 种花木 60 棵； （2）设购买 A 种花木 a 棵，则购买 B 种花木（100a）棵， 根据题意，得：100aa， 解得：a50， 设购买总费用为 W， 则 W50a+100（100a）50a+10000， W 随 a 的增大而减小， 当 a50 时，W 取得最小值，最小值为 7500 元， 答：当购买 A 种花木 50 棵、B 种花木 50 棵时，所需总费用最低，最低费用为 7500 元 25如图，已知边长为 10 的正方形 ABCD，E 是 BC 边上一动点（与 B、C
32、 不重合），连接 AE，将 AE 绕着 E 点沿顺时针方向旋转 90后与DCG 的角平分线相交于点 F，过 F 点作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G 求证：ABEEGF； 若 EC2，求证ABEEGF； 当 EC 为何值时，CEF 的面积最大，并求出其最大值 【分析】（1）根据互余关系证BAEFEG，又BFGE90，即可得证结论； （2）由（1）得ABEEGF，可得线段比例关系，根据线段的比例关系求出 FG 的长度，得出 FGBE 即可得证结论； （3）设 CEx，则 BE10 x，根据线段比例关系求出 FG，根据 SECFCEFG，得出关于 x 的二次函数，根据二次函数性质求最值即可
33、 解：（1）四边形 ABCD 是正方形，EFAE，BFGCAEF90， BAE+AEB90，AEB+FEG90， BAEFEG， BFGC90， ABEEGF； （2）由（1）知ABEEGF， ， ABBC10，EC2， BEBCEC1028， CF 是DCG 的角平分线，DCG90， FCG45， 即CGF 是等腰直角三角形， CGFG， EGEC+CG2+FG， ， FG8， 即 FGBE， 又BAEFEG，BFGC90， ABEEGF（AAS）； （3）设 CEx，则 BE10 x， EGCE+CGx+FG， 由（1）知ABEEGF， ， 即， FG10 x， SECFCEFGx（10
34、x）（x210 x）（x5）2+， 当 x5 时，SECF有最大值为 26如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点（0，3） 求抛物线的解析式； 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点， 过点 P 的直线 yx+m 与直线 BC 交于点 E， 与 y 轴交于点 F，当 PE+EF 有最大值时，求 P 点的坐标； 在抛物线的对称轴上是否存在一点 D 使BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）利用待定系数法解得即可； （2）过点 P 作 PQFC，交直线 BC 与点
35、Q，设直线 EF 交 x 轴于点 K，由已知易得EPQ 和EFC 是等腰直角三角形；设 P（t，t24t+3），则 Q（t，t+3），利用已知条件得出用字母 t 表示 PE+EF 的关系式，再利用二次函数的性质求得符合条件的 t 值，结论可求； （3）分两种情况讨论解答：点 D 在 x 轴上方时，点 D 在 x 轴下方时，设出点 D 的坐标，利用相似三角形对应边成比例，列出方程即可求解 解：（1）由题意得： ， 解得： 抛物线的解析式为：yx24x+3 （2）过点 P 作 PQFC，交直线 BC 与点 Q，设直线 EF 交 x 轴于点 K，如图， 由题意：F（0，m），K（m，0）， OFOK
36、m OFPOKF45 OBOC3， OBCOCB45 ECFEFC45 PQFC， EPQ 和EFC 都是等腰直角三角形 PEPQ，EFFC FCOF+OC， FC3m EF（3m） 设直线 BC 的解析式为 ykx+m， ， 解得： 直线 BC 的解析式为：yx+3 设 P（t，t24t+3），1t3，则 Q（t，t+3）， PQ（t+3）（t24t+3）t2+3t， PE（t2+3t） 抛物线 yx24x+3 与直线 yx+m 相交于点 P， t24t+3t+m， t25tm3 PE+EF（t2+3t）+（3m）（t24t）（t2）2+4 0， 当 t2 时，PE+EF 取得最大值为 4
37、此时点 P 的坐标为（2，1） （3）在抛物线的对称轴上存在一点 D，使BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形 点 D 在 x 轴上方时， 过点 D 作 DGOC，交 OC 延长线于点 G，过点 B 作 BHGD 交 GD 延长线于点 H，如图， yx24x+3（x2）21， 抛物线的对称轴为直线 x2， GDOK2 OCOB，HGOC，BHGH， 四边形 OBHG 为矩形， GHOB3，BHOG DHGHGD1 设 D（2，n），则 OGBHn， CGn3 BDC90， GDC+HDB90 DGOC， GCD+GDC90 GCDHDC CGDDHB90， GCDHDB 解得：n（负数不合题意，舍去） D（2，）； 点 D 在 x 轴下方时， 过点 D 作 DNOC，交 OC 延长线于点 N，过点 B 作 BMND 交 ND 延长线于点 M，如图， 设 D（2，n），则 ONBMn， CNn+3 同理可知：DN2，DM1， 同理DNCBMD， 解得：n（正数不合题意，舍去） n， D（2，） 综上，在抛物线的对称轴上存在一点 D，使BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形 点 D 的坐标为：（2，）或（2，）
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