1、 1 九年级第一学期阶段性巩固训练数学科试题九年级第一学期阶段性巩固训练数学科试题 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 1010 个小题，满分个小题，满分 3030 分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的）分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的） 1下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） Aax2+by+c0 Bx22（x+3）2 Cx2+3y50 Dx210 2将一元二次方程 5x214x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A5、1、4 B5、4、1 C5、4、1 D5、1、4 3若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数
2、根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 或 k0 4学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场） 共进行了 28 场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有 x 个班级参加比赛根据题意列出方程正确的是（ ） Ax228 Bx（x1）28 Cx228 Dx（x1）28 5不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x4y+9 的值（ ） A总不小于 4 B总不小于 9 C可为任何实数 D可能为负数 6对于抛物线 y（x1）23，下列说法错误的是（ ） A抛物线开口向上 B当 x1 时，y0 C抛物线与 x 轴有两个交点 D当 x1
3、 时，y 有最小值3 7已知点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（2，y3）在抛物线 y（x+1）2+n 上，则下列结论正确的是（ ） Ay3y1y2 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy2y1y3 8定义运算“”为：ab，如：1（2）1（2）24则函数 y2x的图象大致是（ ） 9已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 1x3 时，其对应的函数值 y 的最小值为 1，则 h的值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 3 D0 或 3 2 10如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线n：y（xn）2+n2（n 为正整数） ，若 C1和n的顶点的连线平
4、行于直线 y10 x，则该条抛物线对应的 n 的值是（ ） A8 B9 C11 D10 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2828 分）分） 11关于 x 的一元二次方程 mx2+x+m2+3m0 有一个根为零，那 m 的值等于 12如果抛物线 y（a3）x22 有最低点，那么 a 的取值范围是 13二次函数 ya（xm）2+n 的图象如图，则一次函数 ymx+n 的图象不经过第 象限 14一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染 15设 a，b 是方程 x2+x20220 的两个不
5、相等的实数根，则 a2+2a+b 的值为 16如图，抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2，则图中两个阴影部分的面积和为 3 17如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ya（x+1）2+b 与 ya（x2）2+b+1 交于点 A过点 A 作 y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点 B、C（点 B 在点 A 左侧，点 C 在点 A 右侧） ，则线段 BC 的长为 三、解答题（一） （本大题解答题（一） （本大题 3 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，共分，
6、共 1818 分请写出解答步骤）分请写出解答步骤） 18用适当方法解方程：x27x+60 19已知一元二次方程 2x2mxm0 的一个根是 x，求 m 的值和方程的另一个根 20把二次函数 ya（xh）2+k 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y（x+1）21 的图象 （1）试确定 a，h，k 的值； （2）指出二次函数 ya（xh）2+k 的开口方向，对称轴和顶点坐标 三、三、解答题（二） （本大题解答题（二） （本大题 3 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 8 分，共分，共 2424 分）分） 21如图，抛物线 y（x1）24 的图象与 x 轴
7、交于的 A、B 两点，与 y 轴交于点 D，抛物线的顶点为 C （1）求ABD 的面积； （2）求ABC 的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 4 时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （4）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 8 时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （5）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 10 时，求所有符合条件的点 P 的坐标 4 22如图，在边长为 12cm 的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以每秒钟 1cm 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以每秒钟 2cm 的速度
8、移动若 P、Q 分别从 A、B 同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过几秒后，BPQ 是直角三角形？ （2）经过几秒BPQ 的面积等于 10cm2？ 23某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克 50 元，连续两次降价后每千克售价 32 元；每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率； （2）已知这种水果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克经市场调查发现，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过 8 元，现该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价多少元？
9、 四、四、解答题（三） （本大题解答题（三） （本大题 2 2 个小题，每小题个小题，每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分） 24如图，ABC 中，ABAC33，BAC=120，D 为边 BC 上任意一点，DEAB 于 E，DFAC于 F， （E，F 分别在边 AB，AC 上） （1）BC 的长为 ，ABCS （2）若AEDFS四边形8313求 BD 的长； （3）连 AD、EF，当 D 点在 BC 边上运动时，EFAD的值是否变化？如果变化，直接写出变化范围；如果不变，直接写出它的值 5 25如图 1，已知直线 ya 与抛物线 y交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，交 y
10、 轴于点 C （1）若 AB4，求 a 的值； （2）若抛物线上存在点 D（不与 A、B 重合） ，使 CDAB，求 a 的取值范围； （3）如图 2，直线 ykx+2 与抛物线交于点 E、F，点 P 是抛物线上的动点，延长 PE、PF 分别交直线 y2 于 M、N 两点，MN 交 y 轴于 Q 点，求 QMQN 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 1010 个小题，满分个小题，满分 3030 分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的）分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确的） 1下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） Aax2+
11、by+c0 Bx22（x+3）2 Cx2+3y50 Dx210 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：一定是一元二次方程的为 x210， 故选：D 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解本题的关键 2将一元二次方程 5x214x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A5、1、4 B5、4、1 C5、4、1 D5、1、4 【分析】 一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c0 （a， b， c 是常数且 a0） 特别要注意 a0 的条件 这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，
12、 6 c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 【解答】解：5x214x 化成一元二次方程一般形式是 5x24x10， 它的二次项系数是 5，一次项系数是4，常数项是1 故选：C 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式 3若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 或 k0 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k0 且（2）24k （1）0，然后其出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k0 且（2）24k
13、（1）0， 解得 k1 且 k0 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 4学校初二年级组织足球联赛，赛制为单循环制（每两个队之间比赛一场） 共进行了 28 场比赛，问初二年级有几个参赛班级？设初二年级有 x 个班级参加比赛根据题意列出方程正确的是（ ） Ax228 Bx（x1）28 Cx228 Dx（x1）28 【分析】设这次有 x 队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，则此次比赛的总场数为：x（x1）场根据题
14、意可知：此次比赛的总场数28 场，依此等量关系列出方程 【解答】解：设这次有 x 队参加比赛，则此次比赛的总场数为：x（x1）场， 根据题意列出方程得：x（x1）28， 故选：B 【点评】 考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 本题的关键在于理解清楚题意， 找出合适的等量关系，列出方程，再求解需注意赛制是“单循环形式” ，需使两两之间比赛的总场数除以 2 5不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x4y+9 的值（ ） 7 A总不小于 4 B总不小于 9 C可为任何实数 D可能为负数 【分析】首先把 x2+y2+2x4y+9 化成（x+1）2+（y2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，
15、判断出代数式 x2+y2+2x4y+9 的值总不小于 4 即可 【解答】解：x2+y2+2x4y+9 （x2+2x+1）+（y24y+4）+4 （x+1）2+（y2）2+4 （x+1）20， （y2）20， x2+y2+2x4y+94， 即不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x4y+9 的值总不小于 4 故选：A 【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握 6对于抛物线 y（x1）23，下列说法错误的是（ ） A抛物线开口向上 B当 x1 时，y0 C抛物线与 x 轴有两个交点 D当 x1 时，y 有最小值3 【分析】根据二次函数的性质，二次函数的顶
16、点式即可判断； 【解答】解：a10， 抛物线开口向上， 二次函数为 ya（xh）2+k 顶点坐标是（h，k） ， 二次函数 y（x1）23 的图象的顶点坐标是（1，3） ， 抛物线顶点（1，3） ，开口向上，对称轴是 x1， 抛物线与 x 轴有两个交点，当 x1 时，y 有最小值3， 故 A、C、D 正确， 故选：B 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数为 ya（xh）2+k 顶点坐标是（h，k） ，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 7已知点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（2，y3）在抛物线 y（x+1）2+n 上，则下列结论正确的是（ ） Ay3y1y2
17、 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy2y1y3 8 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 y（x+1）2+3 的开口向下，对称轴为直线 x1，然后根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】解：y（x+1）2+n， 抛物线开口向下，函数的对称轴为 x1， 当 x1，y 随 x 的增大而增大；当 x1，y 随 x 的增大而减小；且距 x1 距离越远，y 越小， 112， y1y2， |1（2）|1|11|2， y3y1， y3y1y2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质 8定义运算“”为：ab，如：1（2）1（2）24则
18、函数 y2x的图象大致是（ ） 【分析】 根据定义运算“”为：ab，可得 y2x 的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象 【解答】解：y2x， x0 时，图象是 y2x2对称轴右侧的部分；x0 时，图象是 y2x2对称轴左侧的部分， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象，利用定义运算“”为：ab得出分段函数是 9 解题关键 9已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 1x3 时，其对应的函数值 y 的最小值为 1，则 h 的值为（ ） A2 或 4 B0 或 4 C2 或 3 D0 或 3 【分析】根据对称轴 xh 和 1x3 位置关系，分三种情况讨论即可求
19、解 【解答】解：函数的对称轴为：xh， 当 h3 时， x3 时，y 取得最小值，即（3h）21， 解得：h2 或 4（舍去 2） ， 故 h4； 当 h1 时， x1 时，y 取得最小值，即（1h）21， 解得：h0 或 2（舍去 2） ， 故 h0； 当 1h3 时， xh 取得最小值，最小值为 0，不符合题意，舍去，故此结论不成立； 综上，h0 或 4， 故选：B 【点评】 本题考查了二次函数的性质， 二次函数的最值， 解题的关键确定对称轴与给定区间的位置关系，讨论求解 10如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线n：y（xn）2+n2（n 为正整数） ，若 C1和n的顶点的连线平行于
20、直线 y10 x，则该条抛物线对应的 n 的值是（ ） A8 B9 C11 D10 【分析】设 C1和n的顶点的连线为 y10 x+b，将 n1 时顶点代入求出解析式，然后再将 nn 时顶点 10 代入求 n 【解答】解：设 C1和n的顶点所在直线解析式为 ykx+b， C1和n的顶点的连线平行于直线 y10 x， k10，y10 x+b， 抛物线 y（xn）2+n2的顶点坐标为（n，n2） ， 当 n1 时，顶点为（1，1） ， 将（1，1）代入 y10 x+b， 解得 b9， y10 x9， 将（n，n2）代入解析式可得：n210n9， 解得 n1 或 n9， n9 故选：B 【点评】本题
21、考查二次函数的应用，解题关键是掌握一次函数 k 的几何意义 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2828 分）分） 11关于 x 的一元二次方程 mx2+x+m2+3m0 有一个根为零，那 m 的值等于 【分析】把 x0 代入方程 mx2+x+m2+3m0 得出 m2+3m0，求出 m0，m3，根据一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：把 x0 代入方程 mx2+x+m2+3m0 得：m2+3m0， 解得：m0，m3， 方程为一元二次方程， m0， m3， 故答案为：3 【点评】 本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应
22、用， 关键是能根据题意得出方程 m2+3m0 和 m0 12如果抛物线 y（a3）x22 有最低点，那么 a 的取值范围是 【分析】由于抛物线 y（a+3）x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定 a 的范围 【解答】解：抛物线 y（a3）x22 有最低点， a30， 11 即 a3 故答案为 a3 【点评】 本题主要考查二次函数的最值的知识点， 解答此题要掌握二次函数图象的特点， 本题比较基础 13二次函数 ya（xm）2+n 的图象如图，则一次函数 ymx+n 的图象不经过第 象限 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出 m 与 n 的正负，即
23、可作出判断 【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n） ，且在第四象限， m0，n0，即 m0，n0， 则一次函数 ymx+n 不经过第二象限 故答案为：二 【点评】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键 14一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染 【分析】设一个患者一轮传染 x 人，根据经过两轮传染后共有 64 人患了流感即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 值，再取其正值64 即可得出结论 【解答】解：设一个患者一轮传染 x 人， 根据题意得：1+x+x（1
24、+x）64， 整理得：x2+2x630， 解得：x17，x29（不合题意，舍去） ， 第三轮将传染 647448（人） 故答案为：448 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 15设 a，b 是方程 x2+x20220 的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b 的值为 【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出 a2+a2022、a+b1，将其代入 a2+2a+b 12 a2+a+（a+b）中，即可求出结论 【解答】解：a，b 是方程 x2+x20220 的两个不相等的实数根， a2+a2022，a+b1， a2+2a+ba2+a+（a+
25、b）202212021 故答案为：2021 【点评】 本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系， 根据一元二次方程的解及根与系数的关系，找出 a2+a2022、a+b1 是解题的关键 16如图，抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） ，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2，则图中两个阴影部分的面积和为 【分析】根据题意可推出 OB2，OA1，ADOC2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可 【解答】解：如图所示， 过抛物线
26、L2的顶点 D 作 CDx 轴，与 y 轴交于点 C， 则四边形 OCDA 是矩形， 抛物线 L1：yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） ， 13 OB2，OA1， 将抛物线 L1向下平移两个单位长度得抛物线 L2，则 ADOC2， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积， S阴影部分S矩形OCDAOAAD122 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积 17
27、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ya（x+1）2+b 与 ya（x2）2+b+1 交于点 A过点 A 作 y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点 B、C（点 B 在点 A 左侧，点 C 在点 A 右侧） ，则线段 BC 的长为 【分析】设抛物线 ya（x+1）2+b 的对称轴与线段 BC 交于点 E，抛物线 ya（x2）2+b+1 的对称轴与线段 BC 交于点 F，由抛物线的对称性结合 BC2（AE+AF） ，即可求出结论 【解答】解：设抛物线 ya（x+1）2+b 的对称轴与线段 BC 交于点 E，抛物线 ya（x2）2+b+1 的对称轴与线段 BC 交于点 F，如图所示 由抛物线的对称性，可
28、知：BEAE，CFAF， BCBE+AE+AF+CF2（AE+AF）22（1）6 故答案为：6 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分请写出解答步骤）分请写出解答步骤） 14 18.用适当方法解方程：x27x+60 【分析】因式分解法求解可得 【解答】解： （1）因式分解可得： （x6） （x1）0， x60 或 x10， 解得：x16，x21； 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法
29、，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 19已知一元二次方程 2x2mxm0 的一个根是 x，求 m 的值和方程的另一个根 【分析】先根据一元二次方程 2x2mxm0 的一个根是 x，求出 m 的值，再根据根与系数的关系：x1x2，x1+x2，列出方程求解即可 【解答】解：一元二次方程 2x2mxm0 的一个根是 x， 2（）2（）mm0， 解得：m1， 设方程的另一个根为 x2， 则（）x2， 解得：x21， m 的值是 1，这个方程的另一个根是 1 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系：x1x2，x1+x2，列出方程是本题的关键 20把
30、二次函数 ya（xh）2+k 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y（x+1）21 的图象 （1）试确定 a，h，k 的值； （2）指出二次函数 ya（xh）2+k 的开口方向，对称轴和顶点坐标 【分析】 （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案 【解答】解： （1）由题意，得 15 ya（xh+2）2+k+4 与 y（x+1）21 是同一函数， a，2h1，k+41， 解得 a，h1，k5 （2）ya（xh）2+k 的解析式为 y（x1）25， a0 函数图象开口向上，对称轴是直线 x1，顶点坐标是（1，5） 【点评】本题考查
31、了二次函数的几何变换，解（1）的关键是利用平移规律得出 ya（xh+2）2+k+4 与y（x+1）21 是同一函数，解（2）的关键是利用二次函数的性质 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 8 分，共分，共 2424 分）分） 21如图，抛物线 y（x1）24 的图象与 x 轴交于的 A、B 两点，与 y 轴交于点 D，抛物线的顶点为 C （1）求ABD 的面积； （2）求ABC 的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 4 时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （4）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 8
32、 时，求所有符合条件的点 P 的坐标； （5）点 P 是抛物线上一动点，当ABP 的面积为 10 时，求所有符合条件的点 P 的坐标 【分析】 （1）求得 A、B、D 点的坐标即可求得ABD 的面积； （2）求得 A、B、C 点的坐标即可求得ABD 的面积； （3）设点 P 的坐标为（x0，y0） ，由ABP 的面积为 4 得到AB|y0|4，从而求得 y02，即（x01）242，求得 x 的值后即可求得点 P 的坐标； （4）设点 P 的坐标为（x0，y0） ，由ABP 的面积为 8 得到AB|y0|8，从而求得 y04，即（x01）244，求得 x 的值后即可求得点 P 的坐标； （5）设
33、点 P 的坐标为（x0，y0） ，由ABP 的面积为 10 得到AB|y0|5，从而求得 y05，即（x0 16 1）245，求得 x 的值后即可求得点 P 的坐标； 【解答】解：令 y0， 即（x1）240， 解得 x3 或 x1， 知 A（1，0） ，B（3，0） ， 即 AB4， 令 x0 得：y3， 知：D（0，3） ， 故 SABDABOD436； （2）由 y（x1）24 知顶点 C 的坐标为（1，4） ， 故 SABC448； （3）设点 P 的坐标为（x0，y0） ， 又由ABP 的面积为 4， 知AB|y0|4， 即4|y0|4， 即|y0|2， 即 y02， 即（x01）2
34、42 解得 x1+或 x1或 x1+或 x1 即 P（1+，2）或 P（1，2）或（1+，2）或（1，2） ； （4）由ABP 的面积为 8， 知AB|y0|8， 即4|y0|8， 即|y0|4， 即 y04， 17 即（x01）244 解得 x1+2或 x12或 x1 即 P（1+2，4）或 P（12，4）或（1，4） ； （5）由ABP 的面积为 10， 知AB|y0|10， 即4|y0|10， 即|y0|5， 即 y05， 即（x01）245 解得 x2 或 x4 即 P（4，5）或 P（2，5） ； 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标，后三个
35、题目解题方法几乎一致，只是数据不同，难度中等偏上 22如图，在边长为 12cm 的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以每秒钟 1cm 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以每秒钟 2cm 的速度移动若 P、Q 分别从 A、B 同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过几秒后，BPQ 是直角三角形？ （2）经过几秒BPQ 的面积等于 10cm2？ 【分析】 （1）先分别表示出 BP，BQ 的值，当BQP 和BPQ 分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论； （2）作 QDAB 于 D，由勾股定理可以表示出 D
36、Q，然后根据面积公式建立方程求出其解即可 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， ABBC12cm，ABC60， 18 当PQB90时， BPQ30， BP2BQ BP12x，BQ2x， 12x22x， 解得 x， 当QPB90时， PQB30， BQ2PB， 2x2（12x） ， 解得 x6 答：6 秒或秒时，BPQ 是直角三角形； （2）作 QDAB 于 D， QDB90， DQB30， DBBQx， 在 RtDBQ 中，由勾股定理，得 DQx， 10， 解得 x110，x22， x10 时，2x12，故舍去， x2 答：经过 2 秒BPQ 的面积等于 10cm2 【点评】本题考查了等
37、边三角形的性质的运用，两角是 30、60的直角三角形的性质的运用，勾股定 19 理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键 23某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克 50 元，连续两次降价后每千克售价 32 元；每次下降的百分率相同 （1）求每次下降的百分率； （2）已知这种水果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克经市场调查发现，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过 8 元，现该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】 （
38、1） 设每次降价的百分率为 a， （1a）2为两次降价的百分率， 50 降至 32 就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值 【解答】解： （1）设每次下降的百分率为 a，根据题意，得： 50（1a）232， 解得：a1.8（舍）或 a0.2， 答：每次下降的百分率为 20%； （2）设每千克应涨价 x 元，由题意，得 （10+x） （50020 x）6000， 整理，得 x215x+500， 解得：x15，x210， 因为规定每千克涨价不能超过 8 元，所以 x5 符合题意 答：该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应
39、涨价 5 元 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 2 个小题，每小题个小题，每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分） 24如图，ABC 中，ABAC33，BAC=120，D 为边 BC 上任意一点，DEAB 于 E，DFAC于 F， （E，F 分别在边 AB，AC 上） （1）BC 的长为 ，ABCS （2）若AEDFS四边形8313求 BD 的长； 20 （3）连 AD、EF，当 D 点在 BC 边上运动时，EFAD的值是否变化？如果变化，直接写出变化范围；如果不变，
40、直接写出它的值 【分析】 （1）根据等腰三角形的三线合一的性质，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半，然后表示出 BC 即可； （2）设 DFx，然后解直角三角形表示出 BE、DF、CF，根据三角形的面积和差，整理即可得解； （3）连接 AD，EF,取 AD 的中点 O，连接 OE、OF 【解答】 （1）证明：过点 A 作 AMBC，垂足为点 M， ABC 是等腰三角形， ， EDBFDC30BM=CM， AMAB， AM233， 由勾股定理得，BM29， BC2BM9； 432792332121BCAMSABC； （2）解：设 DE=x，则 BD2x， ABC 是等腰三角形，D
41、EAB 于 E，DFAC 于 F， EDBFDC30， DEBD，DFCD， BD2x，DF (92x)； BE3x，FC 23(92x)； BDES+CDFSABCSAEDFS四边形； 21 232x+ (92x) 23(92x)43278313； 解得：, 21x,252x BD2x4 或 5； （3）解：取 AD 的中点 O，连接 OE、OF； 在 RtAED 中， OEAD， 在 RtAFD 中， OFAD， EOF2EDF， EF3OE， 又OEAD， EFAD332 【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，读懂题目信息理清求解的思路是解题的关键
42、。 25如图 1，已知直线 ya 与抛物线 y交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C （1）若 AB4，求 a 的值； （2）若抛物线上存在点 D（不与 A、B 重合） ，使 CDAB，求 a 的取值范围； （3）如图 2，直线 ykx+2 与抛物线交于点 E、F，点 P 是抛物线上的动点，延长 PE、PF 分别交直线 y2 于 M、N 两点，MN 交 y 轴于 Q 点，求 QMQN 的值 【分析】 （1）由抛物线的对称性可知点 A，B 的横坐标，可求出其纵坐标，即可得到 a 的值； 22 （2）先用含 a 的代数式表示出 CD 的长，设点 D 的坐标为（2，m） ，如
43、图 1，过点 D 作 DHy 轴于H，通过勾股定理求出 a 与 m 的关系，由 m0，可求出 a 的取值范围； （3）设 E（x1，x12） ，F（x2，x22） ，P（n，n2） ，求出直线 PE，PF 的解析式，求出点 M，N 的纵坐标， 联立抛物线与直线 ykx+2， 得出x2kx20， 利用一元二次方程根与系数的关系可求出 x1+x24k，x1x28，代入 QMQNxMxN求解即可 【解答】解： （1）在 y中， 当 AB4 时，由抛物线的对称性可知，xA2，xB2， yAyB1， a1； （2）当 ya 时，a， x2， AB4， CDAB2， 可设点 D 的坐标为（2，m） ， 如
44、图 1，过点 D 作 DHy 轴于 H， 则在 RtCDH 中，CH2+DH2CD2， （am）2+（2）2（2）2， 整理，得（ma） （ma+4）0， ma， ma+40， 即 ma4， 又m0， a40， a4； （3）设 E（x1，x12） ，F（x2，x22） ，P（n，n2） ， 设直线 PE 的解析式为 ymx+b， 23 则将 P（n，n2） ，E（x1，x12）代入， 得， 解得，m（n+x1） ，bnx1， yPE（n+x1）xnx1， 当 y2 时，xM， 同理可求，yPF（n+x2）xnx2，xN， 联立， 得，x2kx20， x1+x24k，x1x28， QMQNxMxN8 【点评】本题主要考查了二次函数的图象及性质等，计算量较大，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质和具有较强的计算能力
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