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    2022年中考数学热身模拟试卷(1)含答案

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    2022年中考数学热身模拟试卷(1)含答案

    1、 第 1 页 2022 年中考年中考数学数学热身模拟试卷(热身模拟试卷(1) 同学你好!答题前请认真阅读以下内容:同学你好!答题前请认真阅读以下内容: 1、全卷共 6 页,三个大题,共 25 小题,满分 150 分。考试时间 120 分钟,考试形式闭卷。 2、一律在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题视为无效。 3、不能使用科学计算器。 一、选择题(以下每小题均有一、选择题(以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个选项正确,请用四个选项,其中只有一个选项正确,请用 2B 铅笔在答题卡相应的位置作答,每小题铅笔在答题卡相应的位置作答,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1. 计

    2、算 2-(-1)的结果是( ) A. 5 B. 1 C. 3 D. 1 2面对全国 14 亿人口,国家卫健委表示:新冠疫苗接种率至少要达到 60%甚至 70%,才能建立全民保 护。这意味着需要接种的人数至少在 8.5 亿以上,8.5 亿用科学记数法可表示为( ) A8.510 8 B8.510 9 C8510 9 D0.8510 7 3.如图,AB 和 CD 相交于点 O,则下列结论错误的是( ) A. 1=4+5 B. 23 C.25 D. 1=2 4下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的,其中,主视图、左视图、俯视图都相同的是( ) A B C D 5已知样本数据 2,3,5,3,7,

    3、下列说法正确的是( ) A中位数是 5 B平均数是 4 C众数是 7 D方差是 3 6下列运算正确的是( ) AA 3a2a5 Ba+2a3a 2 C(ab) 3ab3 D(a 3)2a6 7不等式组 13 392 x x 的解集是( ) A无解 Bx-2 Cx3 D3x2 8如图,E为矩形ABCD的边AD上一点,点P从点B出发沿折线BED运动到点D停止,点Q从点 B出发沿BC运动到点C停止, 它们的运动速度都是 1cm/s 现P,Q两点同时出发, 设运动时间为x(s) , BPQ的面积为y(cm 2),若 y与x的对应关系如图所示,则矩形ABCD的面积是( ) 第 2 页 A56cm 2 B

    4、72cm 2 C84cm 2 D96cm 2 9.如图,在ABCV中,按以下步骤作图:分别以点B和C为圆心,以大于 1 2 BC的长为半径作弧, 两弧相交于点M和N;作直线MN交AC于点D,连接BD若 AC=7,AD=3,则BD的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10如图,已知抛物线:y1x 22x+3 与 x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C将 抛物线y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线y2与x轴交于B,B两点(B在B的右侧),顶点D的 对应点为点D,若BDB90,求抛物线y2的解析式( ) A: y2x 2 2+3x4 B. y 2x 2 2+3x3 C:

    5、y2x 2 2+4x4 D. y 2x 2 2+4x3 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 4 分,共分,共 2020 分)分) 11分解因式:m3m 12如图,ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请添加一个条件: ,使ABCD 是菱形 13如图,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(3,1),B(1,2)反比例函数 y= (k0)的图 象经过OABC 的顶点 C,则 k 14如图,在 66 的方格纸中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,其中 A、B、C 为格点,作ABC 的外接圆,则的长等于 15如图,有一张矩形纸条 ABCD,AB5cm,BC2cm,点 M,N 分别在边

    6、AB,CD 上,CN1cm现 将四边形 BCNM 沿 MN 折叠,使点 B,C 分别落在点 B,C上,在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中, 若边 MB与边 CD 交于点 E,求 DE 最大值与最小值的和为 cm 第 3 页 第第 1212 题题 第第 1313 题题 第第 1414 题题 第第 1515 题题 三、简答题(本大题三、简答题(本大题 1010 题,共题,共 100100 分)分) 16.(本题满分 8 分)如图,在 55 的网格中,ABC的三个顶点都在格点上。 (1)在图 1 中画出一个以AB为边的ABDE,使顶点D,E在格点上。 (2)在图 2 中画出一条恰好平分ABC

    7、周长的直线l(至少经过两个格点)。 17.(本题满分 10 分)在世界环境日(6 月 5 日),学校组织了保护环境知识测试,现从中随机抽取部 分学生的成绩作为样本,按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计,绘制了如下尚不 完整的统计图表 测试成绩统计表测试成绩统计表 等级 频数 (人数) 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 第 4 页 根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)表中a_,b_,c_; (2)补全条形统计图; (3)若该校有 2400 名学生参加了本次测试,估计测试成绩等级在良好以上(包括良好)的学

    8、生约有多 少人? 18.(本题满分 10 分)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFAE,垂足为F (1)求证:ABEDFA; (2)若6AB,4BC ,求DF的长 19(10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线yax3a(a0)与x轴、y轴分别相交于A、B两点, 与双曲线y(x0)的一个交点为C,且BCAC (1)求点A的坐标; (2)当SAOC3 时,求a和k的值 20.(本题满分 10 分)新高考将采用“312 ”模式:“3”是指语文、数学、外语 3 科为必选科目, “1”是指在物理、历史 2 科中任选科,“2”是指在化学、生物、思想政治、地理 4 科中任选 2 科 (1)若小丽在

    9、“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理,则她选择生物的概率是_; (2)若小明在“1”中选择了物理,用画树状图的方法求他在“2 中选化学、生物的概率 21.(本题满分 10 分)某校计划为教师购买甲、乙两种词典已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共 需 170 元,购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元 (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元? (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本,总费用不超过 1600 元,那么最多可购买甲种词典多 少本? 第 5 页 22(本题满分 8 分)如图,小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB,在

    10、观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为 30,测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为 14,观测点与大桥主 架的水平距离CM为 60 米,且AB垂直于桥面(点A,B,C,M在同一平面内) (1)求大桥主架在桥面以上的高度AM;(结果保留根号) (2)求大桥主架在水面以上的高度AB(结果精确到 1 米) (参考数据 sin140.24,cos140.97,tan140.25,1.73) 23.(本题满分 10 分)如图,在 RtABC 的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O 与边AB相切于点D,ACAD,连接OA交O 于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F (1)若 AB=10, 5

    11、4 inBS,求O 的半径. (2) 若F是AB的中点, 试探究 AF, EF,FD 的数量关系并说明理由. 24(本题满分 12 分)抛物线yx 2+bx+c 经过点A(3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式; (2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧 如图 1,过点P作PDx轴于点D,作PEy轴于点E,当PD2PE时,求PE的长; 如图 2,在直线 AC 下方,抛物线上是否存在点 P,使得PAC 的面积最大,若存在,求出 P 点的坐 标及PAC 的面积最大值,若不存在,请说明理由。 第 6 页 25.(本题满分 12 分)背景:一次小组合作探究课上,小明将两

    12、个正方形按如图所示的位置摆放(点E、 A、D在同一条直线上),发现BEDG且BEDG 小组讨论后,提出了下列三个问题,请你帮助解答: (1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转(如图 1),还能得到BEDG吗?若能,请给出证明; 若不能,请说明理由; (2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如 图 2),试问当F 与C 的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BEDG仍成立?请说明理由; (3)把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD,且 = = 2 3,AE2,AB4,将矩形 AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图 3),连接D

    13、E,BG问:在旋转过程中,BE 与 DG 的位置关系如 何?DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值。 第 7 页 答案答案 一、选择题(以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项,其中只有一个选项正确,请用 2B 铅笔在答题卡相 应的位置作答,每小题 3 分,共 30 分) 1. 计算 2-(-1)的结果是( ) A. 5 B. 1 C. 3 D. 1 【答案】C 【分析】利用有理数的减法法则转化为加法,再计算即可 【详解】解:2-(-1)=2+1=3 2面对全国 14 亿人口,国家卫健委表示:新冠疫苗接种率至少要达到 60%甚至 70%,才能建立全民保护。 这意味着需要接种的人数至少在 8.

    14、5 亿以上,8.5 亿用科学记数法可表示为( ) A8.5108 B8.5109 C85109 D0.85107 【答案】A 【分析】利用科学计数法计算即可。 【详解】解:8.5 亿=850 000 000=8.5108 3.如图,AB 和 CD相交于点 O,则下列结论错误的是( ) A. 1=4+5 B. 23 C.25 D. 1=2 【答案】C 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断,即可得到答案 【详解】解:由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知2=5+4.所以25 错误 4下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的,其中,主视图、左视图、俯视图都相同的是( ) A

    15、 B C D 【答案】B 【分析】根据三视图进行判断,即可得到答案 【详解】A 俯视图和主视图,左视图不一致, C 三视图都不一致, D 三视图都不一致 5已知样本数据 2,3,5,3,7,下列说法正确的是( ) A中位数是 5 B平均数是 4 C众数是 7 D方差是 3 【答案】B 第 8 页 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可 【解答】解:样本数据 2,3,5,3,7 中平均数是 4,中位数是 3,众数是 3,方差是 S2= 1 5(24) 2+(3 4)2+(54)2+(34)2+(74)23.2 6下列运算正确的是( ) AA3a2a5 Ba+2a3

    16、a2 C(ab)3ab3 D(a3)2a6 【答案】A 【分析】利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可 【解答】解:a2a3a3+2a5,因此选项 A 符合题意; a+2a3a,因此选项 B 不符合题意; (ab)3a3b3,因此选项 C 不符合题意; (a3)2a6,因此选项 D 不符合题意; 【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则,掌握计算法则是正 确计算的前提 7不等式组 13 392 x x 的解集是( ) A无解 Bx-2 Cx3 D3x2 【答案】D 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部

    17、分即可 【解答】解:不等式组 13 392 x x , 由得:x2, 由得:x3, 则不等式组的解集为3x2, 8如图,E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,点 P 从点 B 出发沿折线 BED 运动到点 D 停止,点 Q 从 点 B 出发沿 BC 运动到点 C 停止, 它们的运动速度都是 1cm/s 现 P, Q 两点同时出发, 设运动时间为 x (s) , BPQ 的面积为 y(cm2),若 y 与 x 的对应关系如图所示,则矩形 ABCD 的面积是( ) A56cm2 B72cm2 C84cm2 D96cm2 【答案】B 第 9 页 【分析】过点 E 作 EHBC,由三角形面积公式求

    18、出 EHAB6,由图 2 可知当 x14 时,点 P 与点 D 重合,则 AD12,可得出答案 【解答】解:从函数的图象和运动的过程可以得出:当点 P 运动到点 E 时,x10,y30, 过点 E 作 EHBC, 由三角形面积公式得:y30, 解得 EHAB6, AE8, 由图 2 可知当 x14 时,点 P 与点 D 重合, ADAE+DE8+412, 矩形的面积为 12672 9.如图,在ABCV中,按以下步骤作图:分别以点B和C为圆心,以大于 1 2 BC的长为半径作弧,两弧 相交于点M和N;作直线MN交AC于点D,连接BD若 AC=7,AD=3,则BD的长为( ) A. 2 B. 3

    19、C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 由作图可知, M N是线段 BC的垂直平分线,据此可得解 【详解】解:由作图可知, M N 是线段 BC的垂直平分线, 第 10 页 BD=CD=AC-AD=7-3=4, 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这 一性质添加辅助线是解题的关键 10如图,已知抛物线:y1x22x+3 与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧),与 y 轴交于点 C将抛 物线 y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线 y2与 x 轴交于 B,B两点(B在 B 的右侧),顶点 D 的对应 点为点 D,若BDB90,求

    20、抛物线 y2的解析式; A. y2x2+3x4 B. y2x2+3x3 C:y2x2+4x4 D. y2x2+4x3 【答案】D 【分析】设平移后的抛物线的解析式为 y2(xa)2+b,如图 1 中,过 点 D作 DHOB于 H,连接 BD,BD构建方程组解决问题 即可 【解答】解:设平移后的抛物线的解析式为 y2(xa)2+b, 如图 1 中,过点 D作 DHOB于 H,连接 BD D是抛物线的顶点, DBDB,D(a,b), BDB90,DHBB, BHHB, DHBHHBb, a1+b, 又y2(xa)2+b,经过 B(1,0), b(1a)2, 解得 a2 或 1(不合题意舍弃),b1

    21、, y2(x2)2+1x2+4x3 二、填空题二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.分解因式:m3m 第 11 页 【答案】m(m+1)(m1) 【分析】先提取公因式 m,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解:m3m, m(m21), m(m+1)(m1) 【点睛】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因式 12如图,ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,请添加一个条件: ,使ABCD 是菱形 【答案】ADDC(答案不唯一) 【分析】根据菱形的定义得出答案即可 【解答】解:邻边相等的平行四边形是菱形, 平行四边形 ABCD

    22、 的对角线 AC、BD 相交于点 O,试添加一个条件:可以为:ADDC; 【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质,根据菱形的定义得出是解题关键。 13如图,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(3,1),B(1,2)反比例函数 y= (k0)的图象 经过OABC 的顶点 C,则 k 【答案】2 【分析】连接 OB,AC,根据 O,B 的坐标易求 P 的坐标,再根据平行四边形的性质:对角线互相平分 即可求出则 C 点坐标,根据待定系数法即可求得 k 的值 【解答】解:连接 OB,AC,交点为 P, 四边形 OABC 是平行四边形, APCP,OPBP, O(0,0),B(1,2),

    23、 P 的坐标(1 2,1), A(3,1), C 的坐标为(2,1), 第 12 页 反比例函数 y= (k0)的图象经过点 C, k212, 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,平行四边形的性质,求得 C 点的坐标是解答此题 的关键 14如图,在 66 的方格纸中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,其中 A、B、C 为格点,作ABC 的 外接圆,则的长等于 【答案】 【分析】由 AB、BC、AC 长可推导出ACB 为等腰直角三角形,连接 OC,得出BOC90,计算出 OB 的长就能利用弧长公式求出的长了 【解答】解:每个小方格都是边长为 1 的正方形, AB2,AC,BC,

    24、AC2+BC2AB2, ACB 为等腰直角三角形, AB45, 连接 OC,则COB90, OB, 的长为:, 15如图,有一张矩形纸条 ABCD,AB5cm,BC2cm,点 M,N 分别在边 AB,CD 上,CN1cm现将 四边形 BCNM 沿 MN 折叠,使点 B,C 分别落在点 B,C上,在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中,若边 MB与边 CD 交于点 E,求 DE 最大值与最小值的和为 cm 【答案】3.5cm 【分析】探究点 E 的运动轨迹,寻找特殊位置解决问题即可 第 13 页 【解答】解:如图 2 中,当点 M 与 A 重合时,DE 的值最小。 根据题意易得:AEEN,设

    25、 AEENxcm, 在 RtADE 中,则有 x222+(4x)2,解得 x= 5 2, DE4 5 2 = 3 2(cm), 如图 3 中,当点 M 运动到 MBAB 时,DE的值最大,DE5122(cm) DE 最大值与最小值的和 3.5cm 【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学 知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题 三、简答题三、简答题(本大题 10 题,共 100 分) 16.(本题满分 8 分)如图,在 5 5 的网格中,ABC的三个顶点都在格点上 (1)在图 1中画出一个以 AB为边的ABDE,使顶点 D,E在格点上 (2)

    26、在图 2中画出一条恰好平分ABC周长的直线 l(至少经过两个格点) 【详解】解:(1)如图平行四边形 ABDE 即为所求(点 D 的位置还有 6种情形可取)每小题 4 分,画对才 给分。 ; 17.(本题满分 10 分)在世界环境日(6 月 5 日),学校组织了保护环境知识测试,现从中随机抽取部分学 第 14 页 生的成绩作为样本,按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计,绘制了如下尚不完整的 统计图表 测试成绩统计表测试成绩统计表 等级 频数(人数) 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 根据统计图表提供的信息,解答

    27、下列问题: (1)表中a_,b_,c_; (2)补全条形统计图; (3)若该校有 2400 名学生参加了本次测试,估计测试成绩等级在良好以上(包括良好)的学生约有多少 人? 【答案】(1)0.25,54,120;(2)见解析;(3)1680人 【详解】解:(1)样本的总频数(人数)=12 0.1=120c(人), 其中:“优秀”等次的频率 30 =0.25 120 a, “良好”等次的频数=120 0.45=54b(人) 故答案为:0.25,54,120;每空 1 分,共 3 分 (2)如下图; 该小题 3 分 第 15 页 (3)试成绩等级在良好以上(包括良好)的学生=24000.25 0.

    28、451680(人).3 分 答:测试成绩等级在良好以上(包括良好)的学生约有 1680 人.1 分 【点睛】本题考查了频率统计表和条形统计图,读懂统计图,掌握“频率= 频数 总数 ”是解决问题的关键 18.(本题满分 10 分)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFAE,垂足为F (1)求证:ABEDFA; (2)若6AB,4BC ,求DF的长 【答案】(1)见解析;(2) 6 10 5 DF 【详解】证明:(1)四边形ABCD是矩形, 90B ,ADBC AEBDAF ,.2 分 DFAE, 90DFA BDFA ,.4 分 ABEDFA.5 分 解:(2)ABEDFA, ABAE D

    29、FAD .6 分 4BC ,E是BC的中点, 11 42 22 BEBC.7 分 第 16 页 在Rt ABE中, 2222 622 10AEABBE .8 分 又4ADBC, 62 10 4DF , 6 10 5 DF .10 分 19(10 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 yax3a(a0)与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点, 与双曲线 y(x0)的一个交点为 C,且 BCAC (1)求点 A 的坐标; (2)当 SAOC3 时,求 a 和 k 的值 【解答】解:(1)由题意得:令 yax3a(a0)中 y0,.1 分 即 ax3a0,解得 x3,.3 分 点 A 的坐标为(3

    30、,0).4 分 (2)过 C 点作 y 轴的垂线交 y 轴于 M 点,作 x 轴的垂线交 x 轴于 N 点,如下图所示: 显然,CMOA, BCMBAO,且ABOCBO, BCMBAO,.5 分 ,即:, CM1,.6 分 又 第 17 页 即:, CN2,.7 分 C 点的坐标为(1,2), 故反比例函数的 k122,.8 分 再将点 C(1,2)代入一次函数 yax3a(a0)中, 即 2a3a,解得 a1,.9 分 当 SAOC3 时,a1,k2.10 分 20.(本题满分 10 分)新高考将采用“312 ”模式:“3”是指语文、数学、外语 3科为必选科目,“1” 是指在物理、历史 2

    31、科中任选科,“2”是指在化学、生物、思想政治、地理 4 科中任选 2 科 (1)若小丽在“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理,则她选择生物的概率是_; (2)若小明在“1”中选择了物理,用画树状图的方法求他在“2 中选化学、生物的概率 【答案】(1) 1 3 ;(2)图表见解析, 1 6 【详解】(1) 1 3 ;.3 分 (2)列出树状图如图所示: .7 分 由图可知,共有 12 种可能结果,其中选化学、生物的有 2 种, 所以,P(选化学、生物) 21 126 .9 分 答:小明同学选化学、生物的概率是 1 6 .10 分 21. (本题满分 10 分) 某校计划为教师购买甲、 乙两

    32、种词典 已知购买 1本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元,购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290元 (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元? (2) 学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本, 总费用不超过 1600元, 那么最多可购买甲种词典多少本? 【答案】(1)每本甲种词典的价格为 70 元,每本乙种词典的价格为 50 元;(2)学校最多可购买甲种词典 5 本 【详解】(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据题意,得 2170 23290 xy xy .2 分 第 18 页 解得 70 50 x y .4 分 答:每本甲种词典的

    33、价格为 70 元,每本乙种词典的价格为 50 元.5 分 (2)设学校计划购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30)m本,根据题意,得 7050(30)1600mm .7 分 解得5m.9 分 答:学校最多可购买甲种词典 5 本.10 分 22(本题满分 8 分)如图,小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB,在观测点 C 处 测得大桥主架顶端 A 的仰角为 30,测得大桥主架与水面交汇点 B 的俯角为 14,观测点与大桥主架 的水平距离 CM 为 60 米,且 AB 垂直于桥面(点 A,B,C,M 在同一平面内) (1)求大桥主架在桥面以上的高度 AM;(结果保留根号) (2)

    34、求大桥主架在水面以上的高度 AB(结果精确到 1 米) (参考数据 sin140.24,cos140.97,tan140.25,1.73) 【解答】解:(1)AB 垂直于桥面, AMCBMC90, 在 RtAMC 中,CM60,ACM30, tanACM,.2 分 AMCMtanACM6020(米),.3 分 答:大桥主架在桥面以上的高度 AM 为 20米;.4 分 (2)在 RtBMC 中,CM60,BCM14, tanBCM, MBCMtanBCM600.2515,.6 分 ABAM+MB15+2050(米).7 分 答:大桥主架在水面以上的高度 AB 约为 50 米.8 分 23.(本题

    35、满分 10 分)如图,在 RtABC 的边 BC 上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O 与边 AB相切于点D,ACAD,连接OA交O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F 第 19 页 (1)若 AB=10, 5 4 inBS,求O 的半径; (2)若F是AB的中点,试探究 AF,EF,FD 的数量关系并说明理由 【答案】(1) 8 3 ;(2)AFBD CE,理由见解析 【详解】解:(1)在 Rt ABC 中, 5 4 in AB AC BS, AB=10, 5 4 10 AC AC=8,.2 分 AD=AC=8 BD=AB-AD=2, OB2=OD2+BD2, (6-OC)2=OC

    36、2+4, OC= 8 3 , .4 分 (2)连接 OD,DE, O与边 AB相切于点 D, ODAB,即ADO=90 , AO=AO,AC=AD,OC=OD, ACOADO(SSS) ACO=ADO=90 ,AOC=AOD,.5 分 又CO=DO,OE=OE, COEDOE(SAS), COE=DOE, DE=CE.6 分 OC=OE=OD, 第 20 页 OCE=OEC=OED=ODE, DEF=180 -OEC-OED=180 -2OCE,.7 分 点 F是 AB中点,ACB=90 , CF=BF=AF, FCB=FBC, DFE=180 -BCF-CBF=180 -2OCE,.8 分

    37、DEF=DFE, DE=DF, DE=CE(已证) CE=DF.9 分 CE+EF=DF+BD EF=BD AF=BF=BD+FD=EF+FD.10 分 24(本题满分 12 分)抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(4,0)和点 B(1,0),与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是该抛物线上的动点,且位于 y 轴的左侧 如图 1,过点 P 作 PDx 轴于点 D,作 PEy 轴于点 E,当 PD3PE 时,求 PE 的长; 如图 2,在直线 AC 下方,抛物线上是否存在点 P,使得PAC 的面积最大,若存在,求出 P 点的坐 标及PAC 的面积最大值,若不存在,请说

    38、明理由。 【解答】解:(1)抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(4,0)和点 B(1,0), cb cb 4160 10 解得: 3 4 b c , 抛物线解析式为:yx2+3x4;.2 分 (2)设点 P(a,a2+3a4), 点 P 位于 y 轴的左侧, 第 21 页 a0,PEa, PD3PE, |a2+3a4|3a,.4 分 a2+3a43a 或 a2+3a43a, 解得:a1133,a2133(舍去)或 a32,a42(舍去).5 分 PE2 或133;.6 分 存在点 P,理由如下, 抛物线 yx2+3x4 与 x 轴交于点 C, 点 C(0,4),A(4,0) 直线 AC 的解

    39、析式为4xy.8 分 设 P 的坐标为(m , m2+3m4),过 P 点做 x 轴的垂线交 AC 于 Q 点,设 Q 的坐标为(m , -m-4) 则 QP=-m2-4m 4m-m4 2 1 2 PAC S mmS PAC 82 2 822 2 )(mS PAC .10 分 当 m= -2 时 PAC S最大值为 8 m= -2 代入 m2+3m4 m2+3m4= 6 点 P 的坐标(2,6).12 分 25.(本题满分 12 分)背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点 E、A、 D 在同一条直线上),发现 BEDG 且 BEDG 小组讨论后,提出了下列三个问题

    40、,请你帮助解答: (1)将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转(如图 1),还能得到 BEDG 吗?若能,请给出证明; 若不能,请说明理由; (2)把背景中的正方形分别改成菱形 AEFG 和菱形 ABCD,将菱形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转(如 图 2),试问当F 与C 的大小满足怎样的关系时,背景中的结论 BEDG 仍成立?请说明理由; (3)把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD,且 = = 2 3,AE2,AB4,将矩 第 22 页 形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转(如图 3),连接 DE,BG问:在旋转过程中,BE 与 DG 的位置关系 如

    41、何?DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值。 【分析】(1)由正方形的性质得出 AEAF,EAG90,ABAD,BAD90,得出EAB GAD,证明AEBAGD(SAS),则可得出结论; (2)由菱形的性质得出 AEAG,ABAD,证明AEBAGD(SAS),由全等三角形的性质可得出 结论; (3) 证明EABGAD, 得出BEAAGD, 则 A, E, G, Q 四点共圆, 得出GQEGAE90, 连接 EG,BD,由勾股定理可求出答案 【解答】(1)证明:四边形 AEFG 为正方形, AEAF,EAG90, 又四边形 ABCD 为正方形, ABAD,BAD90, EABGAD, AEBA

    42、GD(SAS), BEDG;.3 分 (2)当EAGBAD 时,BEDG, 理由如下: EAGBAD, EABGAD, 又四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为菱形, AEAG,ABAD, AEBAGD(SAS), BEDG;.6 分 (3)解:如图,设 BE 与 DG 交于 Q, 第 23 页 = = 2 3,AE2,AB4 AG3,AD6.7 分 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为矩形, EAGBAD, EABGAD, = , EABGAD, BEAAGD, A,E,G,Q 四点共圆,.9 分 GQEGAE90, GDEB,.10 分 连接 EG,BD, ED2+GB2 EQ2+QD2+GQ2+QB2 EQ2+GQ2+QD2+QB2 EG2+BD2 AE2+AG2+AB2+AD2.11 分 22+32+42+62 65.12 分


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